ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ

Câu 3: Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 / m s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t 5t10 / m s , trong đó t là khoảng thời gian tí

ĐÁP ÁN

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Một chất điểm chuyển động trên trục Ox với vận tốc thay đổi theo thời gian

v t  t  m s Tính quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10

Câu 3: Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 ( / )m s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển

động chậm dần đều với vận tốc v t( )5t10 ( / )m s , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ

GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG

giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyểnbao nhiêu mét?

A 0, 2 m B 2 m C 10 m D 20 m.

Lời giải

Chọn.C

Lúc bắt đầu đạp phanh: v5 10 10t    t 0

Tại thời điểm ô tô dừng hẳn thì v t  5 10 0t    t 2

Khi đó quãng đường cần tìm là:

Chú ý: Nếu một chất điểm chuyển động với vận tốc vf t 

(phụ thuộc vào thời gian) thì

quãng đường nó đi được từ thời điểm t1 t2 là

Câu 4: Một chiếc ôtô đang đi trên đường với vận tốc v t  2 t m s( / )0 t 30 Giả sử tại thời

điểm t  thì quãng đường 0 s2m Phương trình thể hiện quãng đường theo thời gian ôtô điđược là:

A

34

23

B s2 t C

3423

343

Câu 5: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức v t    ,3t 2

thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị m Biết tại thời điểm

Câu 6: Một chuyển động với vận tốc v t  , /m s

có gia tốc   1  2

/1

Câu 8: Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc v30m s/ 

thì đột ngột thay đổi gia tốc

a t   t m Tính quãng được đi được kể từ thời điểm thay đổi gia tốc đến thời điểmvận tốc lớn nhất

.Vận tốc lớn nhất tại thời điểm t4s Khi đó quãng đường mà chất điểm đi được là:

4 4

Câu 9: Một vận động viên đua xe F đang chạy với vận tốc 1 10m s/ 

thì anh ta tăng tốc với vận tốc

  6t  / 2

, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng tốc Hỏi quãng

đường xe của anh ta đi được trong thời gian 10 s 

kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu?

Câu 11: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v t  160 10 t m s /  Tính quãng đường S mà

vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t0 s đến thời điểm vật dừng lại

Câu 12: Một ôtô đang chạy thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ôtô chuyển động chậm dần đều với

vận tốc v t  12t24m s/ , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt

đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét?

 

 Vận tốc ban đầucủa vật là 6 m s/ Tính vận tốc của vật sau 10 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

3

6 7,19 13 /1

Câu 16: Một vật chuyển động với vận tốc v t  có gia tốc là a t  3t2t m s / 2

Vận tốc ban đầu củavật là 2m s/ 

Hỏi vận tốc của vật sau 2 s

Câu 17: Một ôtô đang chạy đều với vận tốc 15 /m s thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người

lái đạp phanh gấp Kể từ thời điểm đó, ôtô chuyển động chậm dần đều với gia tốc a m s/ 2.Biết ôtô chuyển động thêm được 20 m thì dừng hẳn Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây.

Câu 18: Hai ô tô xuất phát tại cùng một thời điểm trên cùng đoạn đường thẳng AB , ô tô thứ nhất bắt

đầu xuất phát từ A và đi theo hướng từ A đến B với vận tốc v t a  2 1t km h/ ; ô tô thứ hai

xuất phát từ O cách A một khoảng 22 km và đi theo hướng từ A đến B với vận tốc 10km h/ ,sau một khoảng thời gian người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô thứ hai chuyển động chậmdần đều với vận tốc v t a  5t0km h/ 

Hỏi sau khoảng thời gian bao lâu kể từ khi xuấtphát hai ô tô đó gặp nhau

Lời giải

Chọn.C

Khoảng thời gian xe 2 xuất phát đến lúc đạp phanh là: t2h

Quãng đường các xe đi được trong khoảng thời gian trên:

+) Xe 1: Đi từ A đến C là

 2

+) Li độ xe 1 là:    

1

1 2

2 1

t

x  t dt km

.+) Li độ xe 2 là:    

1

2 2

Câu 19: Một vật di chuyển với gia tốc a t  20 1 2 t2 m s/ 2

10( 20) 5 ln 1 2 20 5ln 5 40 48,0471896

, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ôtô bắt đầu

chuyển động Hỏi quãng đường ôtô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc củaôtô đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu mét?

Suy ra:

3 2 0

S  t t dt  m

Câu 21: Một vật chuyển động với vận tốc v t   1 2sin 2t m s /  Tính quãng đường vật di chuyển

trong khoảng thời gian từ thời điểm t0 s đến tời điểm 3  

t



 Vận tốc ban đầucủa vật là6m s Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây là bao nhiêu? / 

Câu 23: Một vật chuyển động với vận tốc10 /m s thì tăng tốc với gia tốc a t  3t t m s 2 / 2

Tínhquãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc

Vậy quãng đường cần tìm là

là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v t 

được tính theo đơn vịmét phút m p/  / 

Câu 25: Một chất điểm M chuyển động nhanh dần đều trên một đường thẳng với vận tốc  

3

t

v t 

,

trong đó t là khoảng thời gian bằng giây tính từ lúc bắt đầu chuyển động Sau 6 giây kể từ lúc

bắt đầu chuyển động thì M giữ nguyên vận tốc và chuyển sang trạng thái chuyển động thẳng

đều, trạng thái này được duy trì trong 1 phút Tính quãng đường mà M dịch chuyển được

trong 10 giây đầu tiên

Suy ra, quãng đường màM di chuyển trong 4 giây tiếp theo là: 4.2 8 m  

Vậy quãng đường mà M di chuyển trong 10 giây đầu là: 6 8 14 m   .

Cách 2:

Vận tốc của vật sau 6 giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động là v(6)2

Khi đó ta có hệ trục biểu diễn chuyển động của điểm M như hình vẽ bên

Ta có:

10 0

Gọi S là quãng đường vật đó1

đi trong 2 giây đầu và S2

là quãng đường đi từ giây thứ 3 đến giây thứ 5 Kết luận nào sau đây

sin 1

0,353182

phụ thuộc vào thời gian t h 

có đồ thị của vận tốc như hình bên

Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một

phần của đường parabol có đỉnh I2; 9

và trục đối xứng song song với trụctung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song với trục hoành

Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn

/4

.Vậy quãng đường vật đi được trong 3 giờ là:

như hình bên Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.

có đồ thị của vận tốc như hình bên Trong khoảng thời gian 3 giờ kể

từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I2; 9 và trục

đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một

đoạn thẳng song với trục hoành Tính quãng đường s mà vật di chuyển

được trong 4 giờ đó

27

/4

1

;82

I  

  và trục đối xứng song song với trục tung

như hình bên Tính quãng đường s người đó chạy được trong khoảng thời

gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy

Do đồ thị đi qua điểm O0;0 và có đỉnh

1

;82

30

Câu 31: Trong một đợt xả lũ, nhà máy thủy điện đã xả lũ trong 40 phút với tốc độ lưu lượng nước tại

thời điểm t giây là v t  10t500m s3/ 

Hỏi sau thời gian xả lũ trên thì hồ thoát nước củanhà máy đã thoát đi một lượng nước là bao nhiêu?

Câu 33: Người ta bơm nước vào một bồn chứa, lúc đầu bồn không chứa nước, mức nước ở bồn chứa

sau khi bơm phụ thuộc vào thời gian bơm nước theo một hàm số h h t   trong đó h tính bằng

cm , t tính bằng giây Biết rằng h t  32 1t và Mức nước ở bồn sau khi bơm được 13 giâylà:

8

h t  t dt  t t C

.Lúc đầu t  bể không có nước 0  h 0  0 C 83.

Câu 34: Trong một phòng thí nghiệm, người ta quan sát một đám vi trùng ban đầu có250000 con , tới

ngày thứ n thì số lượng vi trùng trong đám ấy là f n con, với    

số lượng vi trùng trong đám ấy sau 10 ngày, giá trị của x gần với kết quả nào nhất trong các

kết quả sau đây?

Suy ra: f  10 8000ln1 0C 8000ln1 0 250000 8000ln 2 262876   gần 26400 nhất

Câu 35: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước Gọi h t là thể tích nước bơm được sau t giây. 

Choh t  3at2bt và ban đầu bể không có nước Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là3

150m , sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 3

1100 m Tính thể tích của nước trong bể sau

khi bơm được 20 giây

2 3

5

210

Câu 36: Một công ty phải gánh chịu nợ với tốc độ D t đô la mỗi năm, với   D t  90t6 t212

trong đó t là thời gian (tính theo năm) kể từ khi công ty bắt đầu vay nợ Sau 4 năm công ty đã

phải chịu 1626000 đô la tiền nợ nần Tìm hàm số biểu diễn tốc độ nợ nần của công ty này

Câu 37: Trong Vật lý, công được hình thành khi một lực tác động vào một vật và gây ra sự dịch chuyển,

ví dụ như đi xe đạp Một lực F x 

biến thiên, thay đổi, tác động vào một vật thể làm vật này

di chuyển từ x a  đến x b thì công sinh ra bởi lực này có thể tính theo công thức

Mốc thời gian là 8 giờ nên 9 giờ thìt  , lúc 1 11 giờ thìt  3

Vậy số đơn vị công nhân A sản xuất được là:

Câu 39: Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và

kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía

trên là một Parabol Giá 1 m 2

của rào sắt là700.000 đồng Hỏi ông An phải trả bao nhiêu

tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Parabol có đỉnh là điểm C(0; )2 nên có dạng: y ax 2 2

Do Parabol đi qua điểm

Vậy ông An phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là: T S(700.000)6.417.000 (đồng)

Câu 40: Trên quả địa cầu, vĩ tuyến 30 độ Bắc chia khối cầu thành 2 phần (khoảng cách từ tâm của quả

cầu tới mặt cắt bằng nửa bán kính) Tính tỉ số thể tích giữa phần lớn và phần bé của khối cầuđó

Tại điểm cĩ hồnh độ xR h R ;  dựng mặt phẳng   vuơng gĩc Ox cắt mặt cầu O R; 

Câu 41: Ơng An cĩ một mảnh vườn hình Elip cĩ độ dài trục

lớn bằng 16 m và độ dài trục bé bằng 10 m Ơng

muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận

trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ)

Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1m2.

Hỏi ơng An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải

56481

5

64 25

648

4

2

0.100000 250000 64 7653000

nửa hình trịn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường trịn (phần tơ màu), cách nhaumột khoảng bằng4 m 

, phần cịn lại của khuơn viên (phần khơng tơ màu) dành để trồng cỏ.Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 100.000 đồng/ m2.Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đĩ? (Số tiền được làm trịn đến hàngnghìn)

Khi đĩ phần diện tích của hình phẳng giởi hạn bởi  P

và nửa đường trịn (phần tơ màu) là:

2

1 2

Câu 43: Người thợ gốm làm cái chum từ một khối cầu cĩ bán kính 5 dm bằng cách cắt bỏ hai chỏm cầu

đối nhau Tính thể tích của cái chum biết chiều cao của nĩ bằng 6 dm (quy trịn 2 chữ số thập phân).

A 135, 02 dm 3 B 104, 67 dm 3 C. 428,74 dm 3 D 414,69 dm 3

Lời giải

Chọn.D

Hình phẳng  H giới hạn bởi đồ thị hàm số x 25 y2 ; x  và hai đường thẳng0

3; 3

y y

Khi quay hình phẳng quanh trục tung ta được hình dạng cái chum (như hình vẽ)

Vậy thể tích cái chum là:    

Câu 44: Để trang trí toà nhà người ta vẽ lên tường một hình như sau: trên mỗi cạnh hình lục giác đều có

cạnh là 2 dm là một cánh hoa hình parabol mà đỉnh parabol  P cách cạnh lục giác là 3dm vànằm phía ngoài hình lục giác, 2 đầu mút của cạnh cũng là 2 điểm giới hạn của đường  P đó.

Hãy tính diện tích hình trên (kể cả lục giác)

đi qua điểm 1;0 a 3 y3x2 3

Suy ra diện tích mỗi cánh hoa là:      

1

1 1

Diện tích lục giác đều là:

a

.Vậy tổng diện tích của hình cần trang trí là:  2

chiều dài20 dm, chiều rộng 8dm và bề mặt

cong đều nhau với mặt cắt ngang là một hình

parabol như hình vẽ bên Hỏi bồn chứa được

tối đa bao nhiêu lít nước?

20

3

)

Câu 46: Một thùng rượu có bán kính các đáy là30 cm, thiết diện vuông

góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là 40cm, chiều cao

thùng rượu là 1m (hình vẽ) Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt

mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của

thùng rượu là bao nhiêu?

5

1

4 425, 2 425, 225

Chú ý: Trước đó ta đã đổi số liệu sang đơn vị dm.

Câu 47: Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua

mặt nằm ngang và đặt trong một hình trụ Thiết diện thẳng đứng qua

trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm

ngang Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao

h của mực cát bằng

3

4 chiều cao của bên đó (xem hình) Cát chảy từtrên xuống dưới với lưu lượng không đổi 2,90cm3/ phút Khi chiều

cao của cát còn 4 cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường

tròn chu vi 8 cm (xem hình) Biết sau 30 phút thì cát chảy hết xuống

phần bên dưới của đồng hồ Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu cm? (Kết quảlàm tròn đến hàng đơn vị)

Ta có thể tích:

0 0

2

87

Câu 48: Trong chương trình nông thôn mới, tại

một xã X có xây một cây cầu bằng bê

tông như hình vẽ Tính thể tích khối bê

tông để đổ đủ cây cầu (Đường cong

trong hình vẽ là các đường Parabol)

A 21m 3 B 18m 3

C. 40 m 3 D 19 m 3

Lời giải

Chọn.C

a a

a a

Câu 49: (Chuyên Vinh – Lần 2 – 2017) Trong

Công Viên Toán Học có những mảnh đất

mang hình dáng khác nhau Mỗi mảnh được

trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi

một trong những đường cong đẹp trong toán

học Ở đó có một mảnh đất mang tên

Bernoulli, nó được tạo thành từ đường

Lemniscate có phương trình trong hệ tọa độ

Oxy là 16y2 x225 x2

như hình vẽ

bên Tính diện tích S của mảnh đất

Bernoulli, biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét.

Câu 50: Ơng An xây dựng một sân bĩng đá mini hình chữ nhật cĩ

chiều rộng 30 m và chiều dài 50 m Để giảm bớt kinh phí

cho việc trồng cỏ nhân tạo, ơng An chia sân bĩng ra làm

hai phần (tơ màu và khơng tơ màu) như hình vẽ Phần tơ

màu gồm hai miền diện tích bằng nhau và đường cong

AIB là một parabol cĩ đỉnh I Phần tơ màu được trồng

cỏ nhân tạo với giá 130 nghìn đồng/ m2 và phần cịn lại được trồng cỏ nhân tạo với giá

2

90 nghìn đồng/ m Hỏi ơng An phải trả bao nhiêu tiền để trồng cỏ nhân tạo cho sân bĩng?

A 165 triệu đồng B 151triệu đồng C 195 triệu đồng D 135 triệu đồng

Parabol đi qua điểm A15;10

.Phần không tô màu có diện tích là:  2

.Khi đó, số tiền để trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng là:

1.130000 2.90000 400.130000 1100.90000 151000000