Gt12 c2 b5 pt mu pt logarit

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Thời lượng dự kiến: 3 tiết A.. Phương trình mũ cơ bản  VD MỞ ĐẦU: Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn

Trang 1

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 2

§5 PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Thời lượng dự kiến: 3 tiết

A PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH

I PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1 Phương trình mũ cơ bản

 VD MỞ ĐẦU:

Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu?

Lời giải

Gọi số tiền gửi ban đầu là P Sau n năm, số tiền thu được là

(1 0,084)n (1,084)n n

Để P n 2P thì phải có (1, 084)n 2.

Do đó: n log 1,0842 8,59

Vì n là số tự nhiên nên ta chọn n = 9

 Định nghĩa: Phương trình mũ cơ bản có dạng a x  (b a0,a1)

 Chú ý:

Với b > 0, ta có a x b x log b a

Với b 0, phương trình vô nghiệm

Ví dụ

VD1: Giải phương trình 22x3 7

Lời giải

4

VD2: Giải phương trình 22x14x15

Lời giải

4

2 Cách giải một số phương trình mũ đơn giản

a) Đưa về cùng cơ số: Bằng cách đưa về dạng a A x  a B x  và giải phương trình A x  B x 

Ví dụ:

VD3: Giải phương trình 62x3 1

Lời giải

2

VD4: Giải phương trình

1

1,5

3

x x



 

 

Trang 2

Lời giải

           

b) Đặt ẩn phụ

VD5: Giải phương trình 9x 4.3x 45 0

Lời giải

Đặt t 3 ,x ta có phương trình: t2 4t 45 0, t0.

Giải phương trình bậc hai này ta được hai nghiệm t19,t2 5

Chỉ có nghiệm t  thoả mãn điều kiện t > 0.1 9

Vậy 3x  do đó x = 2.9,

c) Lôgarit hoá

VD6: Giải phương trình 3 2x x2 1.

Lời giải

Lấy lôgarit hai vế với cơ số 3, ta được

3(3 2 )x x 31 33x 32x 0

2

2 3

x 0

2

log log







II  Phương trình logarit

Phương trình logarit là phương trình co chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu logarit Chẳng hạn, có phương trình

1 2

log x 4

, 2

log x 2log x 1 0

là những phương trình logarit

1.Phương trình logarit cơ bản

Phương trình logarit cơ bản có dạng loga x b (a0, a1)

Phương trình loga x b (a0, a luôn có nghiệm duy nhất 1) x a b với mọi b

VD1: Giải hương trình log4x  1 3

Lời giải

4 log x1  3 x1 4  x65

VD2: Giải hương trình  2 

2 log x 1 3

Lời giải

Trang 3

2 Cách giải một số phương trình logarit đơn giản

Người ta thường sử dụng các phương pháp sau để giải một số phương trình logarit

a) Đưa về cùng cơ số

4 Cho phương trình log3xlog9x 6

Hãy đưa các logarit ở vế trái về cùng cơ số

log xlog xlog x11

Lời giải

Đưa các số hạng ở vế trái về cùng cơ số 3, ta được

log xlog xlog x11

 log3x  6 Đây là phương trình logarit cơ bản

Vậy x  36 729.

b) Đặt ẩn phụ

1

5 log x1 log x 

Lời giải

Để phương trình có nghĩa, ta phải có x > 0, logx  và log5 x 1

Đặt tlogx t5, t1 ,

ta được phương trình

1

5 t1t 

Từ đó ta có phương trình

1 t 2 5 t  5 t 1t

  t 11t24t  5 t2 5t 6 0.

Giải phương trình bậc hai theo t, ta được hai nghiệm t  1 2, t  đều thỏa mãn điều kiện t  2 3

5, t  1

Vậy logx  1 2, logx  nên 2 3 x 1 100, x 2 1000

c) Mũ hóa

VD5: Giải phương trình log 9 22  x 3

Lời giải

Trang 4

Theo định nghĩa, phương trình đã cho tương đương với phương trình

2

log 9 2 3

2  x 2

 Phép biến đổi này thường được gọi là mũ hóa Từ đó ta có

3

9 2 x2  2x  1 x 0

B LUYỆN TẬP

I Chữa bài tập SGK

1.Phương trình mũ

Bài 1 trang 84 – SGK:

a) (0,3) 1 (0,3) (0,3) 3x 2 0 x

3

x

1

5



 

 

 

x 3

 Vậy phương trình có tập nghiệm S0;3

Bài 2 trang 84 – SGK:

a) 32x 1 32x 108 32x 1 32x 1  3 108 4.32x 1 108 32x 1 27 32 1 33

2x 1 3 x 2

    

Vậy phương trình có nghiệm x 2

b) 2x 1 2x 1 2x 28

2  2 2  2  2 28 2  2 1 2 28 2  7 28

c) 64x 8x 56 0   8x 2 8x 56 0

(Phương trình bậc hai ẩn 8 )x

 

x

x x

8 8

 



 d) 3.4x 2.6x 9x

                         

Trang 5

Đặt

x 2

t 0 3

 

 

 

  , phương trình trở thành:

 

x 2

t 1

2

3





 





2)Phương trình logarit

Bài 3 trang 84 – SGK: Giải các phương trình logarit:

a) log 53 x3 log 73 x5

; b) logx1 log 2 x11 log2

; c) log2x 5log2x2 3

; d) logx2 6x7 logx 3 

Bài 4 trang 84 – SGK:Giải các phương trình logarit:

2 x  x  x 5x;

b) 1  2 

log 4 1 log8 log4

2 x  x  x x;

c)

2 log x4log xlog x13

II Bài tập trắc nghiệm

1)Phương trình mũ

Câu 1: [Mức độ 1] Tìm tập nghiệm S của phương trình 2x1 8

A S  1

C S  4

D S  2

Lời giải Chọn D

Ta có 2x1 8  2x123  x  1 3  x2

Câu 2: [Mức độ 1] Tìm nghiệm của phương trình 2x3 2

A x 1 B x 2 C x 4 D x 3

Lời giải Chọn C

Ta có 2x3  2 x 4

Câu 3: [Mức độ 1] Số nghiệm của phương trình 2x2x 1

 là

Ta có:

1

x

Trang 6

Vậy phương trình có 2 nghiệm.

Câu 4: [Mức độ 1] Cho phương trình 4x2x1 3 0 Khi đặt t  , ta được phương trình nào dưới2x

đây?

A t22t 3 0 B 4t  3 0 C t2 t 3 0 D 2t2 3t  0

Lời giải Chọn A

Phương trình: 4x2x1 3 0  22x2.2x 3 0 0 

Khi đó, đặt t  , ta được phương trình 2x t22t 3 0

Câu 5: [Mức độ 2] Số nghiệm của phương trình: 4x 6.2x  là8 0

Lời giải Chọn B

Ta có: 4x 6.2x  8 0

2 6.2 8 0

1

x

x x



Câu 6: [Mức độ 2] Phương trình 4x 6.2x  có tổng các nghiệm là8 0

Ta có: 4x 6.2x  8 0

2 6.2 8 0

1

x

x x



Câu 7: [Mức độ 2] Cho phương trình 4x 6.2x  Gọi 8 0 x x là hai nghiệm của phương trình trên.1, 2

Khi đó, tích x x bằng1 2

4x 6.2x 8 0

2

1 2 2

1

x

x x x



Câu 8: [Mức độ 3] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

9 x m 3 3 x 2m 1 0

     có nghiệm thực?

Điều kiện:   1 x 1

Đặt t31 1x2 Ta có x   1;1 nên t 3;9 (do 0 1 x2 1)

Trang 7

Phương trình trở thành:    

2

t

 

 (do t 2 0,  t 3;9

)  1 .

Xét hàm số  

2

f t

t

 



 , t 3;9

;

 

2 2

4 5

0, 3;9 2

t

 





Vậy f  3 f t  f  9 hay 1   55

7

f t

,  t 3;9 Phương trình đã cho có nghiệm  phương trình  1 có nghiệm 3;9 1 55

7

Vậy m 1; 2;3;4;5;6;7 .

Câu 9: [Mức độ 3] Gọi a là một nghiệm của phương trình 4.22logx 6logx18.32logx Khẳng định0

nào sau đây đúng khi đánh giá về a?

A a 102  1 B a cũng là nghiệm của phương trình

log

x

 



 

C a2   a 1 2 D a102

Điều kiện x 0

Chia cả hai vế của phương trình cho 32logx ta được

2log log

Đặt

log 2 3

x

t  

  , t 0

Ta có t2 t 18 0  

9 4 2

t













Với

9 4

t 

log

x

 

   

   logx 2

1 100

x

Vậy

2 1

10 100

2) Phương trình logarit

Câu 10: Giải phương trình  2 

2 log x  x2 1

A x 0  v x 1  B x 0  v x 2  C x 0  v x1 D Vô nghiệm

2 log x  x2  1 x  x  2 2 x 0 x1

Trang 8

Câu 11: Tập nghiệm của phương trình log 3x 72   3

là

2 log 3x 7  3 3x 7 2  x5

thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình có tập nghiệm là S  5 .

Câu 12: Phương trình  2 

2 log x 2x1 0

có bao nhiêu nghiệm âm ?

2

0

2

x





 Vậy phương trình có 1 nghiệm âm

Câu 13: Tập nghiệm của phương trình log 3 x  1 2

là

A 3, 2

B 4, 2

C  3 . D 10, 2

Ta có 3

2

4

x





       

Câu 14: Tập nghiệm của phương trình: log 22 x 1 2

 

là

A 2 log 5 2  B  2 log 52  C log 52  . D 2 log 5 2 

Câu 15: Phương trình:lnxln 3 x 2 0 có mấy nghiệm?

Điều kiện:

x

x x







 

Phương trình

Trang 9

       

 

2

1

1 3

x







 



Câu 16: Tìm số nghiệm của phương trình log 3x log log3x 9x 8

ĐKXĐ: x 0

3 log x log logx x 8 log x 2 log x 2 x9

Vậy phương trình có 1 nghiệm

Câu 17: Tìm số nghiệm của phương trình log 5x2 log 45 x6

Điều kiện

3 2

x  

Ta có log 5x2 log 45 x6  log (5 x2)2 log 45 x6

Câu 18: Phương trình   2

log x2 log x 3

có nghiệm là

A x2, x 4 B x2,x 4 C x 2 D x 0

ĐK:

2 0

x x

 









log x2 log x  3 log x2 x  3 x2 x 64

 

2 2

2 2x 8

2 4

2x 8

x x

x





Câu 19: Biết rằng phương trình

3

81

x x

  có hai nghiệm phân biệt x x 1, 2 Tính P x x 1 2

Trang 10

A 3

1 9

P 

B P 3 6 C P 9 3 D P 3 8

Điều kiện: x 0

Phương trình    2 log3x2log3x2 log 81 7 03  

2

log 6log 7 0



Câu 20: Tìm tập nghiệm S của phương trình 2  1 

2 log x1 log x1 1

A

3 13

2

S   

C S  2 5;2 5 

D S  2 5 

Điều kiện: x 1.

Phương trình  2log2x1 log2x1 1 log2x12  1 log2x1

log x 1 log 2 x 1 x 1 2 x 1

         

2 5 loại

x

  

 



C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1) Phương trình mũ

Câu 21: [Mức độ 1] Số nghiệm của phương trình 2x2x 1

 là

Ta cĩ:

1

x

Vậy phương trình cĩ 2 nghiệm

Trang 11

A 1008 B 2017 C 1009 D 2018

Phương trình tương đương với 2x x 2018 x2018

Câu 23: [Mức độ 1] Phương trình 32x1 28.3x  có hai nghiệm là 9 0 x x x1, 2 1x2

Tính giá trị

1 2 2

Ta có 32x 1 28.3x 9 0 3 3 x 2 28.3x 9 0

3 3

x x

 







Vậy T x1 2x2  1 2.2 5

Câu 24: [Mức độ 2] Nghiệm của phương trình 9 x1 eln81 là

A x 5 B x 4 C x 6 D x 17

Ta có: 9 x1 eln81  9 x1 92  x1 4  x 5

Câu 25: [Mức độ 2] Giải phương trình 4x 2x1  trên tập số thực R 1 0

1 2

x 

D x 0.

1

4x 2x 1 0

     2x 2 2.2x 1 0

    2x  1 x 0

Câu 26: [Mức độ 2] Nghiệm của phương trình 42x m 8x ( m tham số) là

A xm B x2m C x2m D x m

Ta có: 42x m 8x   22 2x m  23 x  24x 2m 23x  4x 2m3x x2m

Câu 27: [Mức độ 3] Phương trình 4x1 2.6xm.9x  có 2 nghiệm thực phân biệt nếu0

1 0

4

m

 

1 4

m 

Trang 12

Ta có:  

2

          

Đặt

2 0 3

x

t  

  phương trình trở thành: 4t2 2t m 0 2 

Phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình  2 có hai nghiệm dương phân biệt

1

1 0 2

m m

S



   



 







Câu 28: [Mức độ 3] Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình

4x 4x m 1 2 x 2 x 16 8m

có nghiệm trên 0;1

?

4x 4x  m1 2 x 2 x 16 8 m 4 4x4x 4 m1 2x 2x 16 8 m

Đặt t u x  2x 2x

   , x 0;1

 x0;1

Suy ra u 0  t u 1

hay

3 0;

2

t   

 

2 4x 4 x 2.2 2x x 4x 4 x 2 2

Phương trình trở thành:

4 t 2 4t m1 16 8  m t  2 t m1  4 2m

2 t  t m1 2m 2 0

 m t 2   t t 2

 m t 2  t 2 t1

3

1 0;

2

     

  t m 1

Để phương trình đã cho có nghiệm trên 0;1 thì phương trình t m 1 phải có nghiệm

3 0;

2

t  

  Suy ra

3

1 0;

2

m   

  , hay

5 1;

2

m  

 

2)Phương trình logarit

Câu 29: Tập nghiệm của phương trình log 33  xlog 13  x 1

là

Trang 13

A  4

D 0; 4

Điều kiện:

1

x

x x

 





 



0

4

x





 Vậy nghiệm của phương trình x 0.

Câu 30: Phương trình    2 

3

log 4x 2 log x 1 0

có hai nghiệm x1x2 Tính x12x2

Điều kiện: 2

x

x x

 





 



Ta có

3 2

1

3

x





 Vậy x12x2 7

Câu 31: Phương trình  2  

log xlog x log 4x

là

A 0; 2; 2 

B 0;2 . C 2;2

D  2 .

0

2

x







 



Câu 32: Số nghiệm của phương trình 1 3 2  2 

2

log x  2x  3x4 log x1 0

là

Trang 14

Điều kiện:

1 0

x



 

Ta có

2

1 1

2

x x

x















Câu 33: Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình 3 9 27 81

2 log log log log

3

bằng

A

82

80

Lời giải:

Chọn A

3

log log log log log log log log

9 log 2

9

x x

x











 Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là:

1 82 9

9 9

 

Câu 34: Tổng các nghiệm của phương trình 4 2 1 

2

log 3x1 log x3 1

là

Điều kiện:

1 3 3

x x









  



Trang 15

       

2

7

1

x









Tổng các nghiệm của phương trình là: 6

Câu 35: Số tiền mà An để dành hàng ngày là x (đơn vị nghìn đồng, với x Z) biết x là nghiệm của

phương trình log 3x 2log3x 42 0

Tổng số tiền mà An để dành được sau 1 tuần (7 ngày) là

Điều kiện:

4 2

x x











2

3

4 4

4

3

x x

x

 

  















 

 Vậy x 3 nên tổng số tiền An để dành trong 7 ngày là: 21

Câu 36: Cho phương trình log4x12 2 log 2 4 xlog 48 x3

Phương trình trên có bao nhiêu nghiệm?

A 1 nghiệm B 2 nghiệm C 3 nghiệm D Vô nghiệm

Điều kiện:

1

x x







  



2 2

8 4

8

4

x x

x





 







 Kết hợp điều kiện thì pt vô nghiệm

Trang 16

Câu 37: Phương trình 2  2  

1

2

có bao nhiêu nghiệm?

Lời giải:

Chọn A

Điều kiện:

0 1

x x











2

2 2

1

2

1 2

2 2

x







Tiêu đề	Phương Trình Mũ Và Phương Trình Logarit
Tác giả	Hồng Minh, Lê Liên
Người hướng dẫn	Hue Nguyen A
Trường học	Trường Đại Học Sư Phạm
Chuyên ngành	Giải Tích
Thể loại	bài giảng
Năm xuất bản	2021-2022
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	905,25 KB