164 đề hsg toán 8 thái thụy 22 23

6,0 điểm Cho tam giác ABCvuông tại A AB < AC có AD là phân giác, M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên AB AC, , E là giao điểm của BN và DM , F là giao điểm của CM và DN 1 C

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI THỤY

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022-2023

MÔN TOÁN LỚP 8 Câu 1 (3,0 điểm)

1) Phân tích đa thức thành nhân tử : xy x 2y2 2 x y 2

2) Cho n Z , chứng minh n5 nchia hết cho 5

Câu 2 (4,0 điểm) Cho biểu thức

:

P

1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P

2) Tìm x để 2P 1

3) Chứng minh khi x 1thì P 4

Câu 3 (4,0 điểm)

1) Tìm x,y nguyên thỏa mãn : 4x2 9y24x12y 24 0

2) Giải phương trình

6

Câu 4 (2,0 điểm)

Tìm a b, để đa thức A x  x4 5x3ax b chia hết cho đa thức B x( )x2 5x8

Câu 5 (6,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A (AB < AC) có AD là phân giác, M và

N lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên AB AC, , E là giao điểm của BN và DM , F

là giao điểm của CM và DN

1) Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông và AB DC. AC BD.

2) Chứng minh EF/ /BC

3) Gọi H là giao điểm của BN và CM Chứng minh ANB∽NFAvà H là trực tâm của AEF

Câu 6 (1,0 điểm) Cho x y , 0thỏa mãn 32x64y3 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

3

2 2

x y A

 



ĐÁP ÁN Câu 1 (3,0 điểm)

3) Phân tích đa thức thành nhân tử : xy x 2y2 2 x y 2

2

4) Cho n Z , chứng minh n5 nchia hết cho 5

Câu 2 (4,0 điểm) Cho biểu thức

:

P

4) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P

ĐKXĐ: x0;x1

2

2 2

1

P

x



5) Tìm x để 2P 1

2

1

( ) 2

x

x











 



Vậy 2P-1khi

1 2

x 

6) Chứng minh khi x 1thì P 4

 

 

Vậy P 4khi x>1

Câu 3 (4,0 điểm)

3) Tìm x,y nguyên thỏa mãn : 4x2 9y24x12y 24 0

Vì x y Z,   2x3y3và 2x 3y1là các số nguyên

x

Vậy các cặp số nguyên (x;y) cần tìm là 6; 4 , 3;0 , 2;0 ; 5; 4        

4) Giải phương trình

6

Đặt

4

2

Với

1

2

x 

4

2

2

2

1

x

x







Vậy phương trình có nghiệm x  1 2

Câu 4 (2,0 điểm)

Tìm a b, để đa thức A x x4 5x3ax b chia hết cho đa thức B x( )x2 5x8

Đặt phép chia cột dọc ta có :

   

2

A x B x



Vậy

40

64

a

b











Câu 5 (6,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A (AB < AC) có AD là phân giác, M

và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên AB AC, , E là giao điểm của BN và

DM , F là giao điểm của CM và DN

E

N

B

4) Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông và AB DC. AC BD.

Chứng minh AMD90 ; AND90 , MAN 90

 là hình chữ nhật

Hình chữ nhật AMDN có AD là phân giác của MANnên tứ giác AMDN là hình vuông Tam giác ABCcó AD là phân giác nên . .

AB BD

AB DC AC BD

5) Chứng minh EF/ /BC

Chứng minh  1

FM DB

FC DC , Chứng minh  2

DB MB

DC MA

MB MB

AM DN

MA DN

, chứng minh  4

MB EM

DN ED

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra / /

EM FM

EF DC

ED FC  (Định lý Talet đảo) Nên EF//BC

6) Gọi H là giao điểm của BN và CM Chứng minh ANB∽ NFAvà H là trực tâm của AEF

AN DN

AN DN

AB AB

, chứng minh  6

DN CN

AB CA

Chứng minh  7

CN FN

CA AM Chứng minh AM=AN  8

FN FN

AM AN

Từ (5), (6), (7), (8) suy ra ( )

AN FN

ANB NFA c g c

AB AN   ∽

*Chứng minh H là trực tâm tam giác AEF

Vì ANB∽ NFA NBAFANmà

 

Tương tự ta có FHAE 10

Từ (9) và (10 ) suy ra H là trực tâm tam giác AEF

Câu 6 (1,0 điểm) Cho x y , 0thỏa mãn 32x64y3 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức

3

2 2

x y A

 



Chứng minh BĐT phụ : Với A, B > 0 ta có 4A3B3 A B   3 *

2

2

Áp dụng ta có :

Lại có :

2 2

3

2

1 2021

2022 2022

A



Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y 0,5