Ds c2 pt bpt mu

● Phương trình có một nghiệm duy nhất khi b 0.. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.. Nếu hàm số yf x  liên tục và luôn đồng biến hoặc luôn nghịch

CHỦ ĐỀ 4 PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Phương trình mũ cơ bản a x b a 0, a1

● Phương trình có một nghiệm duy nhất khi b 0

● Phương trình vô nghiệm khi b 0

2 Biến đổi, quy về cùng cơ số

a a  a hoặc    

0 a 1

 







3 Đặt ẩn phụ

 

 

0

0 0 1

0

g x

f t





Ta thường gặp các dạng:

● 2    

f x f x 0

● m a f x  n b f x  p , trong đó 0 a b  1 Đặt t a f x , t , suy ra 0 b f x  1

t



f x f x f x 0

m a n a b p b  Chia hai vế cho b 2 f x  và đặt

 

0

f x

a

t b

 

 

 

4 Logarit hóa

● Phương trình  

 

0 1, 0

log

f x

a



  



● Phương trình        

hoặc    

5 Giải bằng phương pháp đồ thị

o Giải phương trình: a x f x  0a 1  

o Xem phương trình   là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y a x

0a1 và yf x  Khi đó ta thực hiện hai bước:

 Bước 1 Vẽ đồ thị các hàm số x

y a 0a1 và yf x 

 Bước 2 Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ

thị

6 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

o Tính chất 1 Nếu hàm số yf x  luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên a b thì số nghiệm của phương trình ;  f x  k trên a b không nhiều hơn; 

một và f u f v  u v , u v, a b; 

o Tính chất 2 Nếu hàm số yf x  liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số y g x   liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f x  g x  không nhiều hơn một

đồng biến trênthì:

nghịch biến trênthì:

o Tính chất 3 Nếu hàm số yf x  luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D thì bất phương trình f u  f v  u v hoac  u v , u v D, 

7 Sử dụng đánh giá

o Giải phương trình f x g x 

o Nếu ta đánh giá được  

 











thì      

 









8 Bất phương trình mũ

 Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ

1

a

a

 

 





 









Tương tự với bất phương trình dạng:

   

   

   













 Trong trường hợp cơ sốacó chứa ẩn số thì: a M a N  a1 M N  0

 Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:

+

Đưa về cùng cơ số

+

Đặt ẩn phụ

+

Sử dụng tính đơn điệu:  

 











BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho phương trình 3x2  4x 5 9

 tổng lập phương các nghiệm thực của phương trình là:

Hướng dẫn giải

Ta có:

3

x

 Suy ra 1333 28 Chọn đáp án A

Câu 2. Cho phương trình : 3x2  3x 8 92x 1 

 , khi đó tập nghiệm của phương trình là:

C 5 61 5; 61

D S    2; 5

Hướng dẫn giải

2

2

3 8 2x 1

5

2

x







 Vậy S 2;5

Câu 3. Phương trình 1 1

9

x x

   

  có bao nhiêu nghiệm âm?

Hướng dẫn giải

Phương trình tương đương với

2

x

        

Đặt 1

3

x

t   

  , t 0 Phương trình trở thành 2 2 1

2

t

t





● Với t 1, ta được 1 1 0

3

x

x

 

 

3

1

3

x

x

 

 

Vậy phương trình có một nghiệm âm

Câu 4. Số nghiệm của phương trình

2 2

3

x

 

Hướng dẫn giải

Phương trình tương đương với

1 1

3

x x



 

    

  2

x

x

 

4 3 0

3

t

t





     

● Với t 1, ta được 3x 1 0

x

  

● Với t 3, ta được 3x 3 1

x

   Vậy phương trình có nghiệm x 0, x 1

Câu 5. Cho phương trình : 2

28 4

x 1 3

2 x 16 

 Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.

B Tổng các nghiệm của phương tình là một số nguyên

C Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ.

D Phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

2

28 4

2

3

7

3

x

x





  





  



 















Nghiệm của phương trình là : 7;3

3

S   

Vì 7.3 7 0

3

   Chọn đáp án A

Câu 6. Phương trình 8 2 8 2  51

2 x.5x 0,001 10 x

 có tổng các nghiệm là:

A 5 B 7 C 7 D – 5

Hướng dẫn giải

Ta có :   1 6 5 Chọn đáp án A

Câu 7. Phương trình 9x 5.3x 6 0

   có nghiệm là:

A.x1,xlog 23 B x1,xlog 23 C x1,xlog 32 D x1,x log 23

Hướng dẫn giải

Đặt 3x

3

5 6 0

x t





       



Câu 8. Cho phương trình 4.4x 9.2x1 8 0

   Gọi x x là hai nghiệm của phương trình 1, 2 trên Khi đó, tích x x bằng :1 2

A.2 B 2 C 1 D 1

Hướng dẫn giải

1 2

2

1 2

x t













 Vậy x x 1 2 1.22 Chọn đáp án A

Câu 9. Cho phương trình 1

4x 4x 3

  Khẳng định nào sau đây sai?

A Phương trình vô nghiệm.

B Phương trình có một nghiệm.

C Nghiệm của phương trình là luôn lớn hơn 0.

D Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 42x 3.4x 4 0

Hướng dẫn giải

2 4

1( )

t







 Chọn đáp án A

Câu 10. Cho phương trình 2 1 2 2

9x x 10.3x x 1 0

   Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là:

A.2 B 2 C 1 D 0

Hướng dẫn giải

Đặt t 3x2  x 1

 (t 0), khi đó phương trình đã cho tương đương với

2

2

1 2

1

2

1

0 3

1

x x

x x

x t

x

x t

x

 

 



















 Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng 2

Câu 11. Nghiệm của phương trình 2x 2x 1 3x 3x 1

A.

3 2

3 log 4

1

0

4 3

2 log 3

Hướng dẫn giải

3 2

x

 

Câu 12. Nghiệm của phương trình 22x 3.2x2 32 0

A. x 2;3 B.x 4;8 C. x 2;8 D.x 3;4

Hướng dẫn giải

3

x

x

x x





Câu 13. Nghiệm của phương trình 6.4 13.6x x 6.9x 0

A.x 1; 1  B. 2 3;

3 2

x   

Hướng dẫn giải

2

x

x

  



  

 







 

  

  



1 1

x x





  



Câu 14. Nghiệm của phương trình 1

12.3x 3.15x 5x 20

A. x log 5 13  B.x log 53 C.x log 5 13  D. x log 3 15 

Hướng dẫn giải

1 12.3x 3.15x 5x 20

   3.3 5x x 4 5 5 x 4 0

5x 4 3x 5 0

1

3x 5

   xlog 5 13 

Câu 15. Phương trình 9x 5.3x 6 0

   có tổng các nghiệm là:

A log 6 3 B 3

2 log

3 log

2 D  log 63

Hướng dẫn giải

9x 5.3x 6 0

    1

 1  32 x 5.3x 6 0  3x 2 5.3x 6 0 1' 

Đặt 3x 0

 

3









Với 2 3x 2 log 23

Với 3 3x 3 log 3 13

Suy ra 1 log 2 log 3 log 2 log 6 3  3  3  3

Câu 16. Cho phương trình 21 2  x 15.2x 8 0

   , khẳng định nào sau dây đúng?

A Có một nghiệm B Vô nghiệm.

C Có hai nghiệm dương D Có hai nghiệm âm.

Hướng dẫn giải

1 2

2 x 15.2x 8 0

    2

 2 2.22x 15.2x 8 0 2 2 x 2 15.2x 8 0 2' 

Đặt t 2x  Khi đó: 0    

  2

1 2

8













x

Câu 17. Phương trình 5x 251 x 6

  có tích các nghiệm là :

A 5

1 21 log

2

B 5

1 21 log

2

1 21 5log

2

Hướng dẫn giải

  1

5x 25x 6 1

 

x

            Đặt t   5x 0

 

 

 

2

5

2

1 21

2

t



















 



Với 5 5x 5 1

x



Câu 18. Phương trình 7 4 3  x 2 3x có nghiệm là:6

A.x log2 32



 B x log 32 C x log 22  3 D x 1

Hướng dẫn giải

 

2

2 3

2

3( )

t









Câu 19. Tập nghiệm của bất phương trình 1 32

2

x

 



 

  là:

A. x     ; 5 B.x    ;5 C. x     5;  D.x 5; 

Hướng dẫn giải

1

32 2

x

 



 

 

5

   

    

     x 5

Câu 20. Cho hàm số   2 sin2

2 3x x

1 ln 4 sin x ln 3 0

f x   x   B f x  1 2x2sin log 3 0x 2 

3

1 log 2 sin 0

2

Hướng dẫn giải

Chọn đáp án A

Câu 21. Tập nghiệm của bất phương trình 2x 2x 1 3x 3x 1

Hướng dẫn giải

2x 2x 3x 3x

3.2 3 3

x

 

   

   x2

Câu 22. Tập nghiệm của bất phương trình

2 1 1

3 9

x

 



 

  là:

A 2

x x

 



  

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x 1

2

x

1

x

x x

x x

 

 Kết hợp với điều kiện 2

x x

 



   



Câu 23. Tập nghiệm của bất phương trình 16x 4x 6 0

   là

A x log 3.4 B x log 3.4 C x 1. D x 3

Hướng dẫn giải

2

4

t  t      t   t x

Câu 24. Tập nghiệm của bất phương trình 3 3

3 2

x

 là:

A.

3

1 log 2

x

x









 B x log 23 C x 1 D log 23 x1

Hướng dẫn giải

1 ln 2 3 x ln1 ln 4 sin x ln 3 0

1

log 2

x

x x





Câu 25. Tập nghiệm của bất phương trình 6

11 x 11x

 là:

Hướng dẫn giải

6

2

0

6 0

0

6

x

x x

x

x



 

  







 





 

 



Câu 26. Tập nghiệm của bất phương trình 1 11

3x 5 3 x 1

A. 1 x1. B x 1. C x 1. D 1x2.

Hướng dẫn giải

3 1 0

t

 



  

Câu 27. Cho bất phương trình



    , tập nghiệm của bất phương trình có

dạng S a b;  Giá trị của biểu thức A b a  nhận giá trị nào sau đây?

Hướng dẫn giải

x x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 1;2 Chọn đáp án A

Câu 28. Tập nghiệm của bất phương trình 4x 3.2x 2 0

   là:

Hướng dẫn giải

4 3.2 2 0

2 1

x

x

 





1 0

x x





  



Câu 29. Tập nghiệm của bất phương trình 3 2x x1 72

 là:

Hướng dẫn giải

1

3 2x x 72 2.6x 72

Câu 30. Tập nghiệm của bất phương trình 3 1 22 1 122 0

x

Hướng dẫn giải

1 2 1 2

x

   3.92 2.162 122 0

   

       

   

2 4 1 3

x

 

  

 

0

x

 

Câu 31. Tập nghiệm của bất phương trình 2.3 2 2 1

3 2







A

3 2 0;log 3

B.x 1;3  C.x 1;3  D.

3 2 0;log 3

Hướng dẫn giải

2 2.3 2

1

3 2









3

2

1 3

1 2

x

x

 



 

 

 



 

 

3

2

1 0 3

1 2

x

x

 



 

 

 



 

  3

3 2

0 3

1 2

x

x

 



 

 

 



 

 

3

2

x

 

   

 

3 2

0 x log 3

Câu 32. Tập nghiệm của bất phương trình

x



là:

A 0;1

3

 

 

3

3

 

3

Hướng dẫn giải

Vì 2 1

5  nên bất phương trình tương đương với 1 3 1 3 0 0 1

3

x

x



Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 0;1

3

 

 

 

Câu 33. Tập nghiệm của bất phương trình 2x 4.5x 4 10x

A 0

2

x x









Hướng dẫn giải

2x 4.5x 4 10x

   2x 10x 4.5x 4 0 2 1 5x x 4 1 5 x 0 1 5x 2x 4 0

0

x

x x

    



    

Câu 34. Tập nghiệm của bất phương trình 2 x 21  x 1

  là:

A   1 x 1 B 8;0  C 1;9  D 0;1 

Hướng dẫn giải

1

2 x 2 x 1

   1 Điều kiện: x 0

 1 2 2 1 2 

2

x x

   Đặt t2 Do x x 0 t1

  2

x

t









VẬN DỤNG Câu 35. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 4x2  3x 2 4x2  6x 5 42x2  3x 7 1

A. x    5; 1;1;2  B.x    5; 1;1;3  C.x    5; 1;1; 2   D. x 5; 1;1;2  

Hướng dẫn giải

4x  x 4x x 4 x x 1

   4x23x2 4x26x5 4x23x2.4x26x5 1

4x x 1 4x x 1 4x  x 0

     4x2  3x 2 1 1 4  x2  6x 5 0

2

2

3 2

6 5

 

 

 



2 2

 



  



    



Câu 36. Phương trình  3 2 x 3 2 x  10x có tất cả bao nhiêu nghiệm thực ?

Hướng dẫn giải

1

Ta có: f  2 1

Hàm số f x nghịch biến trên ¡ do các cơ số   3 2 1; 3 2 1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x 2

Câu 37. Phương trình 32x2 3x x1 4.3x 5 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm không

âm ?

Hướng dẫn giải

2

3 x2 3x x1  4.3x 5 0  32x12 3x x1  4.3x4  0

3x 1 3  x 1 2x 4 3  x 1 0

        3x2x 5 3  x10 3x2x 5 0

Xét hàm số f x 3x2x 5 , ta có :f  1 0

 

' 3 ln 3 2 0;x

f x     x ¡ Do đó hàm số f x đồng biến trên ¡  

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x 1

Câu 38. Phương trình 2x 3 3x2  5x 6

 có hai nghiệm x x trong đó 1, 2 x1x2 , hãy chọn phát biểu đúng?

A 3x1 2x2 log 83 B 2x1 3x2 log 83

C 2x13x2 log 54.3 D 3x12x2 log 54.3

Hướng dẫn giải

Logarit hóa hai vế của phương trình (theo cơ số 2) ta được:

3 log 2x log 3x  x

   

2

2

3

2

log 3

x

x





  



log 2 2 log 2 log 9 log 18

Câu 39. Cho phương trình 7 4 3  x 2 3x  Khẳng định nào sau đây là đúng?6

A Phương trình có một nghiệm vô tỉ B Phương trình có một nghiệm hữu tỉ.

C Phương trình có hai nghiệm trái dấu D Tích của hai nghiệm bằng 6

Hướng dẫn giải

7 4 3  x 2 3x6  8

2 2

Đặt t  2 3x  0

 

3





     



 Với t 2 2 3x  2 xlog2 3 2 Chọn đáp án A

Câu 40. Phương trình 33 3  x 33 3  x 34 x 34 x 103

    có tổng các nghiệm là ?

Hướng dẫn giải

3 x 3 x 3x 3 x 10

Đặt 3 1 2 3 1 2

Côsi

3

3

Với 10 3 1 10 7 '' 

x x

Đặt y  3x 0 Khi đó:  

 

  2

3

1 10

3

3







 



Với y 3 3x  3 x1

x

Câu 41. Phương trình 9sin 2x 9cos 2x 6

  có họ nghiệm là ?

A ,  

4 2

πkπ kπkπ

2 2

πkπ kπkπ

C ,  

6 2

πkπ kπkπ

3 2

πkπ kπkπ

Hướng dẫn giải

2 2

sin cos

9 x 9 x 6

cos

9

9

x



Đặt cos2  

9 x, 1 9

t

Với 3 9cos 2 3 32cos 2 31 2cos2 1 0 cos 2 0 ,  

4 2

Câu 42. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 2 3 x 2 3x m vô

nghiệm?

A.m 2 B m 2 C.m 2 D m 2

Câu 43. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 2 3 x 2 3x m có hai

nghiệm phân biệt?

A m 2 B m 2 C.m 2 D m 2

Hướng dẫn giải câu 8 & 9

Nhận xét: 2 3 2   3 1 2 3 x 2 3x  1

Đặt t 2 3x 2 3x 1, t 0, 

t

 1 t 1 m f t  t 1 m 1' ,  t 0, 

Xét hàm số f t  t 1

t

  xác định và liên tục trên0,  

Ta có: f t'  1 12 t2 21



   Cho f t'    0 t 1 Bảng biến thiên:

t 1 0 1



 

'

f t

 0 

 

f t





2 Dựa vào bảng biến thiên:

+ Nếu m 2 thì phương trình  1' vô nghiệm pt 1 vô nghiệm

Câu 8 chọn đáp án A

+ Nếu m 2 thì phương trình  1' có đúng một nghiệmt 1 pt 1 có đúng một nghiệm t2 3x  1 x 0

+ Nếu m 2thì phương trình  1' có hai nghiệm phân biệt pt 1 có hai nghiệm phân biệt

Câu 9 chọn đáp án A

Câu 44. Gọi x x là hai nghiệm của phương trình 1, 2 2 4 2 2 1 2 2 2 2 3

2x  2 x 2 x 2x 1

đó, tổng hai nghiệm bằng?

Hướng dẫn giải

       

2x  2 x  2 x 2x 1 8.2x  2 x 4.2 x  4.2x 1

Đặt 2 1 

  , phương trình trên tương đương với

8t t  4t  4 1t  t  6 1 0t    t 3 10 (vì t 2) Từ đó suy ra

1

3 10 log

2

3 10 log

2

x

x x



 







 



Vậy tổng hai nghiệm bằng 0

Câu 45. Với giá trị của tham số m thì phương trình m1 16 x 2 2 m 3 4 x6m 5 0 có

hai nghiệm trái dấu?

A.4m 1 B Không tồn tại m C 1 3

2

m

6

m

   

Hướng dẫn giải

Đặt 4x   Phương trình đã cho trở thành: t 0    

 

2

f t

14444444444444244444444444443  * Yêu cầu bài toán   * có hai nghiệm t t thỏa mãn 1, 2 0t1 1 t2

Câu 46. Cho bất phương trình: 11 1

5x 1 5 5 x

  Tìm tập nghiệm của bất phương trình

Hướng dẫn giải

1

6 1 5

0 (1)

x



Đặt t  5x, BPT  

6 1

5 1 5

t



6 1 ( )

5 1 5

t

f t





6 1 ( )

5 1 5

t

f t





  , ta được nghiệm:

1

x x

t

x x t













Vậy tập nghiệm của BPT là S   1;0 1; 

Câu 47. Bất phương trình 25x2  2x 1 9x2  2x 1 34.15x2  2x

A.S    ;1 30; 21 3;

Hướng dẫn giải

 2   2 

x x x

       

 





 



Câu 48. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 4x m.2x 1 2m 0

nghiệm x x thoả mãn 1, 2 x1x2 3?

A m 4 B m 2 C m 1 D m 3

Hướng dẫn giải

Ta có: 4x m.2x 1 2m 0  2x 2 2 2m x 2m 0 * 

Phương trình  * là phương trình bậc hai ẩn 2xcó:   '  m2 2m m 2 2m Phương trình  * có nghiệm 2 2 0  2 0 2

0

m

m







Áp dụng định lý Vi-ét ta có: 2 2x1 x2 2m 2x x1  2 2m

Thử lại ta được m 4thỏa mãn Chọn A.

Câu 49. Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình 2sin 2x3cos 2x m.3sin 2x có

nghiệm?

A m 4 B.m 4 C.m 1 D.m 1

Hướng dẫn giải

Chia hai vế của bất phương trình cho 3sin 2x 0

 , ta được

3

m

Xét hàm số

3

y       

là hàm số nghịch biến

Ta có: 0 sin 2x nên 11  y 4

Vậy bất phương trình có nghiệm khi m 4 Chọn đáp án A

Câu 50. Cho bất phương trình:9xm1 3 xm0 1  Tìm tất cả các giá trị của tham

số m để bất phương trình  1 nghiệm đúng  x 1

A. 3

2

2

Hướng dẫn giải

Đặt 3x

t 

Vì x 1 t3 Bất phương trình đã cho thành: t2m1  t m 0 nghiệm đúng 3

t

 

2

1

m t



 nghiệm đúng  t 3

 2

trên 3; và   3 3

2

g  Yêu cầu bài toán tương đương 3 3