ĐÁP án và đề VDC TOÁN số 40 LOGA PT BPT mũ LOGA PHẦN 03

Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị m nguyên để phương trình f x m.. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P3xy lần lượt là M và m... Gọi S là tập chứa tất cả các

ĐỀ VDC TOÁN SỐ 40 - LOGARIT VÀ MŨ VẬN DỤNG CAO MỨC 3/4

(Đề gồm 3 trang - 28 câu - Thời gian làm bài chuẩn 100 phút) Câu 1 (4) Hỏi có tất cả bao nhiêu cặp số thực ( ; )x y thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây:

2

2

2x   x 3 y ; 2019 |y||y2 |y  ? 2

Câu 2 (4) Hỏi có tất cả bao nhiêu cặp số thực ( ; )x y thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây:

2

5

2 log 2

2 2log 5 3

2x x 5y ;y |y2 | 2 | y3 | 10 ?

Câu 3 (3) Số nghiệm của phương trình (x1)(2x2 1) ( x2)(2x11) là: 0

Câu 4 (3) Số nghiệm của phương trình (2x21) lnx(x2)(xln 21)0 là:

Câu 5 (4) Cho hàm số y f x( )có đồ thị biểu diễn như hình vẽ và đồ thị đạo hàm không tiếp xúc với trục hoành

Số nghiệm của phương trình f x( ).2f'( )x 2 '( ).3f x f x( )  f x( ) 2 '( ) f x tương ứng là:

Câu 6 (4) Cho hàm số y f x( ) có đồ thị như hình vẽ Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị m nguyên để phương trình f x( )m 2019 f x( ) m1 f x( ).e f x( )1 có 6 nghiệm thực phân biệt Số phần tử của S bằng: 0

Câu 7 (5) Cho hai số thực x và y thỏa mãn: x2y2 và 9 2 2 

logx y x x(8 8y 7 ) 7x  y 2 Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P3xy lần lượt là M và m Khi đó giá trị của biểu thức (M 2 )m bằng :

A.12 18 2 B 24 C 6 10 D 10 2 3

x

y

O

f(x)

2



6

x

y

O

f(x)

Câu 8 (5) Cho hai số thực x và y thỏa mãn đồng thời: x2y24 và logx2y212x2my3m41 Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m để tồn tại duy nhất một cặp số thực ( ; )x y thỏa mãn bài toán Số phần tử của tập S là:

Câu 9 (4) Cho hai số thực x và y thỏa mãn đồng thời: x2y2  và 9 logx2y222x2ym11 Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất một cặp số thực ( ; )x y thỏa mãn bài toán Tổng tất cả các phần tử của tập S nằm trong khoảng nào dưới đây ?

Câu 10 (4) Cho hai số thực x và y thỏa mãn đồng thời: 2x  y 1 0 và logx2 y2 14x 2my 1 1

chứa tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất một cặp số thực ( ; )x y thỏa mãn bài toán Tổng tất cả các phần tử của tập S nằm trong khoảng nào dưới đây ?

A.(0; 3) B ( 4; 2)  C ( 6; 4)  D (3; 6)

Câu 11 (5) Cho hai số thực x và y thỏa mãn các điều kiện: xy 2 0 ; logx2y212x2y31 Gọi giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức P2xy lần lượt là a và b Giá trị của biểu thức T a b nằm trong khoảng nào dưới đây ?

A. 2 2 5 B 2 C 4 2 3 D 4

Câu 12 (4) Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn : log3 log5 2 log(5 7 )

5

y

x

y

A.(0; 2) B (3; 6) C (6;10) D (2;3)

Câu 13 (4) Gọi S là tập chứa tất cả giá trị nguyên của m  [ 18;18] để hệ phương trình sau có nghiệm thực

x







Số phần tử của tập S là:

Câu 14 (4) Giá trị lớn nhất của số thực y thỏa mãn hệ điều kiện:

3 2

x







là:

Câu 15 (4) Cho hàm số

1 2

2

ln 2

x



2

2

x x

Câu 16 (4) Cho hàm số ( ) 4 3 2 2

ln 2

x

trình f x( 2019)m có nhiều nghiệm nhất ?

Câu 17 (4) Cho hai số thực x y thỏa mãn ,

1 4

1

7 2

x x



2

A 7

Câu 18 (4) Cho hai số thực x y thỏa mãn , log2x y (x2 4 ) 1y  Giá trị lớn nhất của biểu thức T 2xy1

tương ứng bằng:

A 19

3 B 1 5 C 5 D 22 3

Câu 19 (4) Số nghiệm của phương trình (3 5 )( x x1) tương ứng là: 8

Câu 20 (4) Số nghiệm của phương trình (2 3 )(3 2 )x 5

x

Câu 21 (4) Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  [ 20; 20] để bất phương trình

(m 1) ln(x1) ( m 2m2) log(2xx ) có nghiệm ? 0

Câu 22 (5) Gọi S là tập hợp chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình sau có nghiệm

(x1) lnx(x 2mxm1) log(x 2mxm)0 Số phần tử của S là:

Câu 23 (5) Cho phương trình (x22mx1) log (2 x22mx) ( x24nx2) log(x24nx1) , trong đó m và n 0

là hai số thực không âm sao cho phương trình đã cho có nghiệm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức T 2m3n

tương ứng bằng:

A 2

1

Câu 24 (4) Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình: (x22x1) lnx(x1) log(x22 )x  ? 0

Câu 25 (4) Gọi S là tập hợp chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

(x m 1) log (x 5x5) ( x 5x4) log (x m ) có đúng hai nghiệm thực Tổng tất cả các phần tử của 0 tập S bằng:

Câu 26 (4) Cho phương trình log(x3) 2 x x 3 6x162 log(x4) 2( x3)3 có một nghiệm có dạng

2

x  , trong đó a b, là hai số nguyên dương Giá trị của biểu thức (a b ) bằng:

Câu 27 (5) Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn log2 xlog2 ylog (2 xy) 1 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T

A 1

3

1

3

10

Câu 28 (4) Cho hai số nguyên không âm và chẵn x , y thỏa mãn 4x3y 247 Trong tất cả các cặp số thực ( ; )x y

thỏa mãn thì giá trị lớn nhất của biểu thức T 2xy bằng:

- Hết -

ĐÁP ÁN:

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT:

Câu 1 (4 - A) Hỏi có tất cả bao nhiêu cặp số thực ( ; )x y thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây:

2

2

2x   x 3 y ; 2019 |y||y2 |y  ? 2

Giải:

 Từ giả thiết suy ra:

2 2

( 1) ( 1) | 2|

log 3

2019 |y||y2 |y  2019y 2 yy  2020yy   (vì 2 2 y 0)

2019 | y||y2 |y  Dấu "=" xảy ra khi 2 y 0

2

x



 Suy ra tồn tại 2 bộ số (x;y) là: {(1; 0); ( 2; 0)} Vậy ta chọn đáp án A

Câu 2 (4 - A) Hỏi có tất cả bao nhiêu cặp số thực ( ; )x y thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây:

2

5

2 log 2

2 2log 5 3

2x x 5y ;y |y2 | 2 | y3 | 10 ?

Giải:

 Từ giả thiết suy ra:

2 5

2

2 1 2 log 2

  

 Nhận thấy: 2x22x15y2 20  1 y 2 0 y  2

1

y

y

 





 Trường hợp 1: Với y  2, ta có: 2x22x15y2 2x22x15y2 50  1 x22x 1 0 x  1

 Trường hợp này có một cặp số thực x, y thỏa mãn là: ( ; )x y   ( 1; 2)

 Trường hợp 2: Với y 1, ta có:

 Trường hợp này có hai cặp số x, y thỏa mãn là: ( ; )x y   ( 1 3log 5;1)2

 Suy ra có tất cả ba cặp số thực (x;y) thỏa mãn bài toán Vậy ta chọn đáp án A

Câu 3 (3 - D) Số nghiệm của phương trình (x1)(2x21) ( x2)(2x11) là: 0

Giải:





2

x x







 



, ta chia hai vế của phương trình cho (x1)(x2) sẽ được:

0

t

a

f t

t



 với a  và 1 t  0

t

t



t

t



 Như vậy: ( ) 1 0

t

a

f t

t



  với a  và 1 t  0

 Suy ra với x   thì: 2

2

0 2

x

x







1

0 1

x

x

 



0

 Tức là phương trình (1) vô nghiệm

 Suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm là: x 2; x1 Vậy ta chọn đáp án D

Câu 4 (3 - C) Số nghiệm của phương trình (2x21) lnx(x2)(xln 21)0 là:

Giải:

(2x 1) lnx(x2) (2 x) 1 0

 (2x 21) lnx(x2) 2 ln 2.log 2x10(2x 21) lnx(x2) 2 lnx1 0





2

x x











, ta chia hai vế của phương trình cho (x2) lnx sẽ được:

2 ln

0



t

a

f t

t



 với a  và 1 t  0

t

t



t

t



t

a

f t

t



  với a  và 1 t  0

 Suy ra với x  thì: 2

2

0 2

x

x







ln

0 ln

x

x



 Suy ra:

2 ln

0





 Tức là phương trình (1) vô nghiệm

 Suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm là: x1; x2

 Vậy ta chọn đáp án C

Câu 5 (4 - B) Cho hàm số y f x( )có đồ thị biểu diễn như hình vẽ và đồ thị đạo hàm không tiếp xúc với trục hoành Số nghiệm của phương trình f x( ).2f'( )x 2 '( ).3f x f x( )  f x( ) 2 '( ) f x tương ứng là:

Giải:

x

y

O

f(x)

 Ta đã biết: 1 0

t

a t



 với  a 1 ;t0

( ) 2f x 1 2 '( ) 3f x 1 0

f x

f x







thì thỏa mãn phương trình đã cho Số nghiệm của phương trình f x ( ) 0

là 4 và số nghiệm của phương trình f x '( ) 0 là 4 ; nhưng có một nghiệm trùng nhau (tại chỗ đồ thị hàm số

( )

y f x tiếp xúc với trục hoành) nên sẽ có tất cả 7 nghiệm thỏa mãn

f x

f x











; ta chia hai vế cho f x f x( ) '( ) sẽ được:

'( ) ( )

 Lại có:

'( ) ( )

 Suy ra có tất cả 7 nghiệm Vậy ta chọn đáp án B

Câu 6 (4 - B) Cho hàm số y f x( ) có đồ thị như hình vẽ Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị m nguyên để

Giải:

 Ta chứng minh x a . x 10 với   x 0

 CM: Với x0(a x1) 0 x a( x1)0 ; Với x0(a x1) 0 x a( x1) 0

 Với x0x a x10

 Phương trình f x ( ) 0 có ba nghiệm phân biệt

 Yêu cầu của bài toàn  phương trình f x( )m có ba nghiệm phân biệt (khác với ba nghiệm phân biệt

0

m m











những giá trị m nguyên là: m  { 1;1; 2;3; 4;5}

 Suy ra có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn

 Vậy ta chọn đáp án B

x

y

O

f(x)

2



6

Câu 7 (5 - A) Cho hai số thực x và y thỏa mãn: 2 2

9

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P3xy lần lượt là M và m Khi đó giá trị của biểu thức (M 2 )m

bằng :

A.12 18 2 B 24 C 6 10 D 10 2 3

Giải:

logx y x x(8 8y 7 ) 7x  y 2  (x2y2)(8x7)(x2y2 2)  (x4)2y2  9

 Như vậy x và y thỏa mãn:

2 2

2 2

9





Đây là miền D giới hạn bởi bên trong đường tròn (C2):

2 2

(x4) y  và bên ngoài đường tròn (C9 1): x2y2  9

 Hai đường tròn có cùng bán kính R1 = R2 = 3 và tâm I1(0;0) , tâm I2(4;0) như hình vẽ:

 Giao điểm của hai đường tròn là (2; 5) Cụ thể điểm A như hình vẽ có A(2; 5)

 Xét họ đường thẳng Δ song song với nhau: 3xyP0

 Để thỏa mãn bài toán thì họ đường thẳng này phải cắt miền D

 Ứng với vị trí đường thẳng Δ1 đi qua điểm A, ta có: 3.2 5P 0 P1 6 5

 Ứng với vị trí đường thẳng Δ2 tiếp xúc với (C2) ta có: d I( ;2 2)R2

12 3 10

P P

P P

 

 Vậy suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P tương ứng là :

2 max

1 min

12 3 10





 Suy ra : (M 3m 2 )12 18 2

 Vậy ta chọn đáp án A

Câu 8 (5 - B) Cho hai số thực x và y thỏa mãn đồng thời: x2y2 4 và logx2y212x2my3m41 Gọi S

là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m để tồn tại duy nhất một cặp số thực ( ; )x y thỏa mãn bài toán Số phần tử của tập S là:

Giải:

(C 1 )

(C2)

A 5



I2

Δ1

Δ2

x

y

 Miền điều kiện x2y2 4 là miền nằm trong hình tròn (C tâm là gốc tọa độ 1) O(0; 0) bán kính R 1 2 kể

cả đường tròn (C như hình vẽ 1)

2 2 1

logx y  2x2my3m4  1 2x2my3m 4 x y 1

R  m  m

kể cả đường tròn (C như hình vẽ 2)

 Để tồn tại duy nhất một cặp số thực ( ; )x y thỏa mãn bài toán thì xảy ra hai trường hợp sau:

 Trường hợp 1: Đường tròn (C có 2) R  , coi như một điểm I và điểm I này nằm trong hình tròn 2 0 (C 1)

 Ta có điều kiện tương ứng:

2

2 2 1

1

1

m

 Trường hợp 2: Đường tròn (C tiếp xúc ngoài với đường tròn 1) (C 2)

 Ta có điều kiện tương ứng:

OI R R  m   m  m m   m  m  m  m

1

7

m m

m











 Suy ra có đúng một giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán là: m = 1

 Suy ra số phần tử của tập S là 1

 Vậy ta chọn đáp án B

Câu 9 (4 - C) Cho hai số thực x và y thỏa mãn đồng thời: x2y2  và 9 logx2y222x2ym11 Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất một cặp số thực ( ; )x y thỏa mãn bài toán Tổng tất

cả các phần tử của tập S nằm trong khoảng nào dưới đây ?

Giải:

 Xét điểm M x y( ; ) thỏa mãn điều kiện bài toán

 Điểm M nằm trên đường tròn (C1) :x2y2  có tâm là gốc tọa độ 9 O(0; 0) bán kính R  1 3

 Từ giả thiết:

2 logxy  2x2ym1  1 2x2ym 1 x y 2(x1) (y1) m1

 Nằm trong hình tròn (C tâm ) I(1; 1) bán kính R  m1 kể cả đường tròn (C )

(C1)

O

R1 = 2 (C2)

I

(C1)

(C2)

O

I

 Để tồn tại duy nhất một cặp số thực ( ; )x y cũng là tồn tại duy nhất một điểm M Điểm M là giao của đường tròn (C1) và hình tròn (C2) Xảy ra hai trường hợp sau:

 Đường tròn (C tiếp xúc ngoài với đường tròn 1) (C hoặc tiếp xúc trong với đường tròn 2) (C 2)

 Ta có điều kiện tương ứng:

1 2

1 2

1 2

1 2

2 1





 Suy ra tập S là: S {12 6 2} Suy ra tổng tất cả các phần tử của tập S là: 24

 Vậy ta chọn đáp án C

Câu 10 (4 - C) Cho hai số thực x và y thỏa mãn đồng thời: 2x  y 1 0 và log 2 2 14 2 1 1

tập chứa tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất một cặp số thực ( ; )x y thỏa mãn bài toán Tổng tất

cả các phần tử của tập S nằm trong khoảng nào dưới đây ?

A.(0; 3) B ( 4; 2)  C ( 6; 4)  D (3; 6)

Giải:

 Giả thiết suy ra: y2x1 , với mỗi x thì có duy nhất một giá trị của y

2 2 1

          

4x2 (2m x1) 1  x (2x1)  1 5x 4mx 2 2m0

 Để tồn tại duy nhất cặp số thực ( ; )x y thì bất phương trình trên phải có nghiệm duy nhất x, tức là:

 Suy ra tổng tất cả các phần tử của tập S là:  Vậy ta chọn đáp án C 5

Câu 11 (5 - A) Cho hai số thực x và y thỏa mãn đồng thời các điều kiện: xy 2 0 ;

logxy  2x2y3 1 Gọi giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức P2xy lần lượt là a và b Giá trị của

biểu thức T a b nằm trong khoảng nào dưới đây ?

A. 2 2 5 B 2 C 4 2 3 D 4

Giải:

1 logx y  2x2y3  1 2x2y 3 x y  1 (x1) (y1) 4

 Như vậy, điểm M x y( ; ) nằm trong miền D giới hạn bởi: D{(x1)2(y1)24;xy 2 0}

 Miền D được xác định như hình vẽ:

(C1)

(C2)

(C1)

(C2)

O

I

 Biểu thức P được biến đổi về dạng họ đường thẳng: P: 2xyP 0

 Khi P  thì đường thẳng đi qua gốc O và tương ứng là: 0 0: 2xy0, như hình vẽ

 Ứng với vị trí: 1: 2xyP1  ; đi qua điểm 0 B  ( 1; 1) ; suy ra: 2( 1) ( 1)   P1 0P1   3

 Suy ra ở vị trí 2: 2xyP2  (thì 0 P  ) Ở vị trí này đường thẳng 2 0  tiếp xúc với đường tròn (C), 2

nên ta có:

2

2

2

2

1 2 5

4 1

0

P

P

P

 





 Từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là: P2  1 2 5b P; 1  3 a

 Suy ra: a b   2 2 5 Vậy ta chọn đáp án A

Câu 12 (4 - D) Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn : log3 log5 2 log(5 7 )

5

y

x

y

A.(0; 2) B (3; 6) C (6;10) D (2;3)

Giải:

2

3 7

5

7

5

t t t

x y

y x









t

y

Nhận thấy được hàm số

f t       

đơn điệu tăng nên pt: f t ( ) 0 có nghiệm duy nhất: t = 2

x

y

d xy  (C)

(1; 1)

I 

(1; 3)

A 

( 1; 1)

B  

1: 2x y P1 0

2: 2x y P2 0

y

0: 2x y 0 (P 0)

Câu 13 (4 - A) Gọi S là tập chứa tất cả giá trị nguyên của m  [ 18;18] để hệ phương trình sau có nghiệm thực

x







Số phần tử của tập S là:

Giải:

 Từ bất phương trình: 20193x 3x 2020x20193 3x 202020193x 3x20193 3x 2020 2020 x

 2019 3x(20193x2019 )3 2020(1x) (*)

 Với x 1 2019 3x(20193x2019 )3 0 ; 2020(1x) Suy ra bất phương trình (*) vô nghiệm 0

 Với x 1 2019 3 x(20193x2019 )3 0 ; 2020(1x) , bất phương trình (*) luôn đúng Kết hợp với 0 điều kiện suy ra nghiệm của bất phương trình (*) là: 1x 3

 Với bất phương trình: x32(m1)x2(3m1)x2m 2 0(x2)(x22mxm1)0

 x22mxm 1 0 (**) (Vì 1x ) 3

x







có nghiệm

 Xét: f x( )x22mx m  1 0m m2m 1 xm m2m 1

 Suy ra điều kiện có nghiệm là:

2

2

0

1 3

m m









 Suy ra điều kiện của m là: 0m18 có 19 giá trị m nguyên thỏa mãn

 Vậy ta chọn đáp án A

Câu 14 (4 - B) Giá trị lớn nhất của số thực y thỏa mãn hệ điều kiện:

3 2

x







là:

Giải:

 Từ bất phương trình: 2019x 4x 1010x20192 4x 20202019x 4x 20192 4x 2020 1010 x

 2019 4x(2019x2019 ) 1010(22  x) (*)

 Với x 2 2019 4x(2019x2019 )2 0 ; 1010(2x) Suy ra bất phương trình (*) vô nghiệm 0

 Với x 2 2019 4x(2019x2019 )2 0 ; 1010(2x) , bất phương trình (*) luôn đúng Kết hợp với 0 điều kiện suy ra nghiệm của bất phương trình (*) là: 2x 4

yx  x  x   y x  x  x với x [2; 4]

 Dễ dàng suy ra được:

[2;4]

   khi x  Vậy ta chọn đáp án B 3

Câu 15 (4 - C) Cho hàm số

1 2

2

ln 2

x



2

2

x x

Giải:

 Xét hàm số

1 2

2

ln 2

t



'( ) 2t 2 2 2 2t 1

f t    t   t

1 ''( ) 2 2 ln 2 1 0 log log ln 2

ln 2

t

f t     t   