Chương I Bài 2: Cực trị của hàm số

Lý thuyết đầy đủ và tất cả các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Gồm các ví dụ hướng dẫn giải rõ ràng, dễ hiểu và các bài tập rèn luyện. Phù hợp cho các bạn muốn XPS, học hè trước để ôn thi tốt nghiệp

b) x được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một0khoảng (a b chứa điểm ; ) x sao cho 0 (a b Ì; ) D và

( ) ( )0

f x >f x với mọi xỴ (a b; \) { }x0 Khi đĩ f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số ( )0 f

Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị

CHÚ Ý

· Giá trị cực đại (cực tiểu) f x của hàm số f nĩi chung khơng phải( )0

là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập hợp D ; f x chỉ( )0

là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên khoảng (a b nào đĩ; )chứa điểm chứa x 0

5

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

· Nếu x là một điểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm0

số f đạt cực trị tại điểm x và điểm có tọa độ 0 (x f x0; ( )0 ) được gọi là

Giả sử hàm số có đạo hàm cấp một trên khoảng chứa điểm

và có đạo hàm cấp hai khác tại điểm a) Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm b) Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm

Nếu f x¢¢( )i < thì hàm số đạt cực đại tại điểm 0 x i

Nếu f x¢¢( )i > thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0 x i

Vì f ¢¢-( )1=- < nên hàm số đạt cực đại tại điểm 4 0 x =- 1, f -( )1= 3

Vì f ¢¢ = > nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm ( )3 4 0 x = 3, ( )3 23

3

f =-

Dạng 1 CÂU HỎI LÝ THUYẾT

Câu 1. Cho hàm số f x xác định, liên tục và có đạo hàm trên khoảng ( ) (a b; )Mệnh đề nào sau đây sai?

A Nếu f x đồng biến trên ( ) (a b thì hàm số không có cực trị trên ; ) (a b; )

7

B Nếu f x nghịch biến trên ( ) (a b thì hàm số không có cực trị trên ; ) (a b; )

C Nếu f x đạt cực trị tại điểm ( ) x0Î (a b; ) thì tiếp tuyến của đồ thị hàm sốtại điểm M x f x( 0; ( )0) song song hoặc trùng với trục hoành

D Nếu f x đạt cực đại tại ( ) x0Î (a b; ) thì f x đồng biến trên ( ) (a x và; 0)nghịch biến trên (x b0; )

Lời giải Các mệnh đề A, B, C đều đúng theo định nghĩa trong SGK.

Xét mệnh đề D Vì mệnh đề này chưa chỉ rõ ngoài x0Î (a b; ) là cực đại của( )

f x thì còn có cực trị nào khác nữa hay không Nếu có thêm điểm cực đại

(hoặc cực tiểu khác) thì tính đơn điệu của hàm sẽ bị thay đổi theo

Ví dụ: Xét hàm số f x( )=x4- 2 x2 Ta có f x đạt cực đại tại ( ) x0=0Î -( 2;2 ,)nhưng f x không đồng biến trên ( ) (- 2;0) và cũng không nghịch biến trên(0;2 Chọn D )

Câu 2. Cho khoảng (a b chứa điểm ; ) x hàm số 0, f x có đạo hàm trên khoảng( ) (a b (có thể trừ điểm ; ) x ) Mệnh đề nào sau đây đúng?0

A Nếu f x không có đạo hàm tại ( ) x thì 0 f x không đạt cực trị tại ( ) x0

B Nếu f x¢( )0 = thì 0 f x đạt cực trị tại điểm ( ) x 0

C Nếu f x¢( )0 = và 0 f x¢¢( )0 = thì 0 f x không đạt cực trị tại điểm ( ) x0

D Nếu f x¢( )0 = và 0 f x¢¢( )0 ¹ 0 thì f x đạt cực trị tại điểm ( ) x0

Lời giải Chọn D (theo định lí SGK) Các mệnh đề còn lại sai vì:

A sai, ví dụ hàm y=x không có đạo hàm tại x =0 nhưng đạt cực tiểu tại0

ì ¢

ïí

ï ¢¢ =

ïî nhưng x =0 là điểm cực tiểu của hàm số.

Câu 3. Cho hàm số y=f x( ) có đạo hàm cấp 2 trên khoảng K và x0Î K.Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Nếu x là điểm cực đại của hàm số 0 y=f x( ) thì f x¢¢( )0 <0

B Nếu f x¢¢( )0 = thì 0 x là điểm cực trị của hàm số 0 y=f x( )

C Nếu x là điểm cực trị của hàm số 0 y=f x( ) thì f x¢( )0 =0

D Nếu x là điểm cực trị của hàm số 0 y=f x( ) thì f x¢¢( )0 ¹ 0

Lời giải Chọn C Các mệnh đề còn lại sai vì:

A sai, vì theo định lí SGK không có chiều ngược lại Có thể lấy ví dụ cho hàm

Câu 4. Cho hàm số f x có đạo hàm cấp hai trên ( ) ¡ Trong các mệnh đề sauđây, có bao nhiêu mệnh đề sai?

i) Nếu f x¢( )0 = và 0 f x¢¢( )0 > thì 0 x là điểm cực tiểu của hàm số.0

ii) Nếu f x¢( )0 = và 0 f x¢¢( )0 < thì 0 x là điểm cực đại của hàm số.0

iii) Nếu f x¢( )0 = và 0 f x¢¢( )0 = thì 0 x không là điểm cực trị của hàm số.0iv) Nếu f x¢( )0 = và 0 f x¢¢( )0 = thì chưa kết luận được 0 x có là điểm cực trị0của hàm số

Lời giải Các khẳng định i), ii) và iv) là đúng; khẳng định iii) là sai Chọn B.

Câu 5 (ĐHSP Hà Nội lần 4, năm 2018-2019) Cho hàm số f x có đạo( )hàm cấp hai trên ¡ Trong các mệnh đề sau có bao nhiêu mệnh đề đúng?i) Nếu hàm số f x đạt cực tiểu tại ( ) x=x0 thì ( )

( )0 0

0.0

( )0 0

0.0

ïî nên hàm số f x( )=x4 đạt cựctiểu tại x =0 nhưng f ¢¢ = Do đó i) và iii) đều sai.( )0 0

Tương tự, xét hàm số f x( )=- x4¾¾® ii) sai Chọn A.

Câu 7 [ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016-2017] Cho

hàm số f x xác định, liên tục trên đoạn ( ) [- 2;2]

và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên

Hàm số f x đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?( )

Lời giải Chọn B.

Câu 8 Cho hàm số bậc ba f x có đồ thị như hình( )

vẽ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Giá trị cực tiểu của hàm số bằng - 1

B Điểm cực tiểu của hàm số là - 1

C Điểm cực đại của hàm số là 3

D Giá trị cực đại của hàm số bằng 0

Lời giải Chọn A.

hàm số f x liên tục trên ( )  và có đồ thị như hình bên

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 10 Cho hàm số f x liên tục trên ( ) [- 1;3] và có

đồ thị hàm số như hình bên Mệnh đề nào sau đây

đúng?

A Hàm số đạt cực tiểu tại x = cực đại tại 0, x =2

B Hàm số có hai điểm cực tiểu là x =0, x =3

C Hàm số đạt cực tiểu tại x = cực đại tại0,

trùng phương y ax= 4+bx2+ có đồ thị như hình bên.c

Phương trình y¢= có bao nhiêu nghiệm trên tập số0

Câu 12 Cho hàm số f x liên tục trên ( ) ¡ và có

đồ thị như hình bên Hỏi hàm số có bao nhiêu

Chú ý: Tại x =0 hàm số không có đạo hàm nhưng vẫn đạt cực đại tại đó

Câu 13 [Đại học Vinh lần 3, năm

Lời giải Hàm số có điểm cực đại x = điểm cực tiểu 0, x =2. Chọn B.

Câu 14. Cho hàm số f x liên tục trên ( ) ¡ và

có đồ thị như hình bên Hỏi hàm số có bao

nhiêu điểm cực trị?

Lời giải Chọn D.

Câu 15. Cho hàm số f x liên tục trên ( ) ¡ và có đồ

thị như hình bên Hỏi hàm số có bao nhiêu giá trị

Câu 16 Cho hàm số bậc ba y=f x( ) có đồ thị như

hình vẽ Hỏi hàm số y= f x( ) có bao nhiêu giá trị cực

· Đồ thị hàm số y=f x( ) phần phía dưới trục hoành ta lấy

đối xứng qua trục hoành

Dựa vào đồ thị hàm số y= f x( ), ta thấy có 3 giá trị cực trị Chọn B.

Chú ý: Nếu đề bài hỏi điểm cực trị thì ta kết luận có 5 điểm cực trị

Câu 17 Cho hàm số f x xác định, liên tục trên( )

đoạn [- 6;6] và có đồ thị là đường cong trong hình

vẽ bên Hỏi trên đoạn [- 6;6] hàm số y=f x( ) có

bao nhiêu điểm cực trị?

· Giữ nguyên đồ thị hàm số y=f x( ) phần bên

phải trục tung (xóa bỏ phần đồ thị phía bên trái

trục tung);

· Lấy đối xứng phần vừa giữ trên qua trục tung.

Dựa vào đồ thị hàm số y=f x( ), ta thấy có 4 điểm cực trị Chọn A.

Dạng 3 BẢNG BIẾN THIÊN

Câu 18 [ĐỀ CHÍNH THỨC 2018-2019] Cho hàm số f x có bảng biến thiên( )sau:

Mệnh đề nào sau đây sai?

A Hàm số có hai điểm cực tiểu B Hàm số có giá trị cực đại bằng 0.

C Hàm số có ba điểm cực trị D Hàm số có giá trị cực đại bằng 3 Lời giải Chọn B.

Câu 22. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:( )

13

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số có ba giá trị cực trị.

B Hàm số có ba điểm cực trị

C Hàm số có hai điểm cực trị.

D Hàm số đạt cực đại tại điểm x =1

Lời giải Chọn B Dựa vào đồ thị hàm số, ta có các nhận xét sau:

· Hàm số có ba điểm cực trị, gồm các điểm x =- 1, x = 1, x =0 vì đạo hàm y¢

đổi dấu đi qua các điểm đó

· Hàm số đạt cực đại tại x =0, đạt cực tiểu tại x = ±1

(đáp án A sai vì hàm số chỉ có hai giá trị cực trị là y =-CD 3 và y =-CT 4 Nếunói đến đồ thị hàm số thì khi đó mới có ba điểm cực trị là(0; 3 , ) ( 1;4 , 1; 4 ) ( )

Câu 23 [Đại học Vinh lần 2, năm 2018-2019] Cho hàm số f x có tập( )xác định (- ¥;2] và bảng biến thiên như hình sau:

Mệnh đề nào sau đây sai?

A Hàm số có hai điểm cực tiểu B Hàm số có hai điểm cực đại.

C Giá trị cực tiểu bằng - 1 D Giá trị cực đại bằng 2

Câu 25 [Đại học Vinh lần 1, năm 2018-2019] Cho hàm số f x liên tục( )trên đoạn [- 3;3] và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Mệnh đề nào sau đây sai?

A Đạt cực tiểu tại x =0 B Đạt cực tiểu tại x =1

C Đạt cực đại tại x =- 1 D Đạt cực đại tại x =2

Lời giải · f x¢( ) đổi dấu từ '' ''+ sang '' ''- khi qua x =- 1 và x =2 nên đạtcực đại tại hai điểm này

· f x¢( ) đổi dấu từ '' ''- sang '' ''+ khi qua x =1 nên đạt cực tiểu tại điểm này.

· f x¢( ) không đổi dấu khi qua x =0 nên không đạt cực trị tại điểm này Chọn A.

Câu 26. Cho hàm số y=f x( ) liên tục trên ¡ \ x{ }2 và có bảng biến thiên sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số có hai điểm cực đại, một điểm cực tiểu.

B Hàm số có một điểm cực đại, không có điểm cực tiểu.

C Hàm số có một điểm cực đại, hai điểm cực tiểu.

D Hàm số có một điểm cực đại, một điểm cực tiểu.

Lời giải · Tại x=x2, hàm số y=f x( ) không xác định nên không đạt cực trịtại điểm này

· Tại x=x1, hàm số đạt cực đại tại điểm này.

· Tại x=x0, hàm số không có đạo hàm tại x nhưng liên tục tại 0 x nên hàm0

số đạt cực trị tại x và theo bảng biến thiên thì 0 x là cực tiểu.0

Vậy hàm số có một điểm cực đại, một điểm cực tiểu Chọn D

Câu 27. Cho hàm số y=f x( ) xác định và liên tục trên ¡ \{ }x1 , có bảng biếnthiên như sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

15

A Hàm số đã cho có một điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.

B Hàm số đã cho không có cực trị.

C Hàm số đã cho có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

D Hàm số đã cho có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu

Lời giải Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy

· f x¢( ) đổi dấu từ " "+ sang " "- khi đi qua điểm x nhưng tại 1 x hàm số1

( )

f x không xác định nên x không phải là điểm cực đại 1

· f x¢( ) đổi dấu từ " "- sang " "+ khi đi qua điểm x suy ra 2 x là điểm cực tiểu2

của hàm số Chọn A.

Câu 28. Cho hàm số y=f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y= f x( ) có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 29* [KHTN lần 2, năm 2018-2019] Cho hàm số f x có bảng biến( )

thiên như hình dưới đây

Biết f( )0> Hỏi hàm số 0 y= f x( ) có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải Từ bảng biến thiên của hàm số f x ta có( ),

thể vẽ phát họa đồ thị hàm số f x như hình bên, mục( )

đích để làm trắc nghiệm cho nhanh

gặp những bài hàm hợp như thế này thì ta đi tính đạo hàm và lập BBT chohàm hợp Sau đó dựa vào BBT để kết luận

2) Cách xét dấu g x¢( ) như sau:

· Trước tiên tìm nghiệm của g x¢( )= và xác định rõ từng nghiệm là nghiệm0bội lẻ (qua nghiệm đổi dấu) hay nghiệm bội chẵn (qua nghiệm không đổi dấu)

17

· Sau đó ta áp dụng xét dấu nhanh Cụ thể trong bài toán trên ta xét trênkhoảng (1;+¥ ), chọn x = Î2 (1;+¥ ) Ta cần tính g¢( )2 mang dấu '' ''+ hay '' ''.-

Ta có g¢( )2 =2f¢( )4 , mà f ¢ < (vì BBT cho trong đề bài chứng tỏ ( )4 0 f x( )nghịch biến trên (2;+¥ ) Do đó ) g¢ <( )2 0

Câu 31. Cho hàm số y=f x( ) xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiênsau:

Hàm số g x( )=3f x( )+ đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây?1

Vậy điểm cực tiểu của hàm số g x là ( ) x = ±1. Chọn C.

Câu 32. Cho hàm số y=f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số g x( )=f(3- x) có bao nhiêu điểm cực trị?

Vậy hàm số g x( )=f(3- x) có 3 điểm cực trị Chọn B.

Dạng 4 TÌM ĐIỂM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU CỦA HÀM SỐ

Câu 33 Tìm các điểm cực trị x của hàm số 0 y=x3- 5x2+3x+1

¢= - + ¢= Û - + = Û ê

ê =ê

Vậy hàm số đạt cực đại tại x=- 1 Chọn A.

Câu 36 [ĐỀ MINH HỌA 2016-2017] Giá trị cực đại của hàm số

3 3 2

y x= - x+ bằng

19

Vẽ BBT, ta thấy g x( ) đạt cực đại tại x =- 1, giá trị cực đại bằng 8. Chọn C.

Nhận xét Rất nhiều học sinh đọc đề không kỹ đi tìm giá trị cực đại của hàm số( )

f x và dẫn tới chọn đáp án D.

Câu 38 [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Đồ thị hàm số y x= 3- 3x2- 9x+ có1hai cực trị A và B Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB?

=-êSuy ra đồ thị hàm số đã hai điểm cực trị là A -( 1;6) và B(3; 26 - )

Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị chính là đường thẳng AB cóphương trình :d y=- 8x- 2. Suy ra N(1; 10- )Î d. Chọn B.

Cách 2 Lấy y chia cho ,y¢ ta được phần dư là y=- 8x- 2 Đây chính làphương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

đường thẳng d y: =(2m- 1)x+ + vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm3 m

¢= - ¾¾® ¢= Û ê

Suy ra A(0;1 ,) B(2; 3- ) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Suy ra đường thẳng AB có một VTCP là AB =uuur (2; 4- )¾¾®VTPT n =rAB (2;1 )Đường thẳng d y: =(2m- 1)x+ + có một VTPT là 3 m nrd=(2m- 1; 1 - )

Câu 40. Cho hàm số y=- x4+2x2+3 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại và không có điểm cực tiểu.

B Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.

C Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu

D Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại

ê ëBảng biến thiên

=-Từ BBT, ta thấy đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại Chọn D.

Cách 2 (Cách trắc nghiệm) Ta có 1 0

2

a

ab b

ì

=-ïï Þ < ¾¾®

íï =

điểm cực trị Vì a=- <1 0 nên đồ thị có dạng chữ M Từ đó suy ra đồ thị hàm

số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại

Câu 41. Tính diện tích S của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thịhàm số y x= 4- 2x2+3

Gọi H là trung điểm (0;2)

H BC

Lời giải Ta có y¢=5x4+6x2= 0; y¢= Û0 x2(5x2+ = Phương trình 6) 0 y¢=0

không có nghiệm bội lẻ nên hàm số đã cho không có điểm cực trị Chọn A

Câu 43 Hàm số y=3x2 có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

ë đổi dấu khi qua x =0.

Vậy x =0 là điểm cực tiểu của hàm số Chọn B.

Câu 44 Hàm số y=x3- 3x+ có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?1

Ta thấy y¢ chỉ đổi dấu khi qua x =1. Vậy hàm số có một điểm cực trị Chọn B.

Câu 45 (KHTN lần 3, năm 2018-2109) Hàm số y= x4- 4x2- 1 có baonhiêu điểm cực trị?

Suy ra bảng biến thiên của hàm số y= f x( ) =x4- 4x2- 1 như sau:

Vậy hàm số đã cho có 5 điểm cực trị Chọn D.

Câu 46 Giá trị cực đại của hàm số y x= +2cosx trên khoảng (0;p bằng)

-Lời giải Đạo hàm: y¢= -1 2sinx và y¢¢=- 2cos x

Xét trên khoảng (0;p , ta có ) 0 sin 1 6

52

é

ê =ê

ê

=êê

y y

ï ¢ =ïïî

Cách 2 (Phương pháp trắc nghiệm) Vẽ phác họa

đồ thị hàm số bằng cách:

· Cho y = tìm được nghiệm kép 0 x =2, nghiệm

kép x =- 2, nghiệm bội ba x =0,5

· Hệ số của bậc cao nhất khi nhân ra âm

Từ đó ta phỏng đoán được đồ thị như hình bên

Cách 3 (Công thức giải nhanh) Áp dụng công thức: số điểm cực trị bằng

2 1

m+ n- Trong đó m là số nghiệm bội lẻ, n là số nghiệm bội chẵn (m=1,2

Dạng 5 BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ

Câu 49 Tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số y=x3- 3mx2+6mx m+

có hai điểm cực trị là

A (0;2 ) B (- ¥;0) (È 2;+¥). C (0;8 ) D (- ¥;0) (È 8;+¥ )

Lời giải Ta có y¢=3(x2- 2mx+2 m) Để hàm số có hai điểm cực trị Û y¢= có0

Lời giải Ta có ( )2 ( )2 2 2 ( ) 2 2

y¢= x a+ + x b+ - x =x + a b x a+ + +b Hàm số cóhai điểm cực trị Û y¢= 0 có hai nghiệm phân biệt

Lời giải · Nếu m=0 thớ y x= + +x 2017: Hỏm bậc hai luừn cụ cực trị.

· Khi mỈ 0, ta cụ yđ=mx2+2x+ Để hỏm số cụ cực trị 1 í yđ= cụ hai0

m

m m

ớ Ỉủủ

í ợủ đủùD = - > í Ỉ <

Hợp hai trường hợp ta được m<1. Chọn D.

Nhận xờt Sai lầm thường gặp lỏ khừng xờt trường hợp m=0 dẫn đến chọnđõp õn B

Cóu 53. Tớm tất cả cõc giõ trị của tham số m để hỏm số( 3) 3 2 2 3

yđ

í = cụ nghiệm kờp hoặc vừ nghiệm í D =đ 4m2ê í0 m= Chọn C 0

Cóu 54. Cho hỏm số y=2x3+bx2+ + Biết cx 1 M(1; 6- ) lỏ điểm cực tiểu của đồthị hỏm số Điểm cực đại N của đồ thị hỏm số lỏ

A N(2;21 ) B N -( 2;21 ) C N -( 2;11 ) D N(2;6 )

Lời giải Đạo hỏm: yđ=6x2+2bx c+ vỏ yđđ=12x+2 b

Điểm M(1; 6- ) lỏ điểm cực tiểu

( ) ( ) ( )

Suy ra N -( 2;21) lỏ điểm cực đại của đồ thị hỏm số Chọn B

Cóu 55. Cho hỏm số f x( )=ax3+bx2+ + Biết cx d M(0;2 ,) N(2; 2- ) lỏ cõc điểmcực trị của đồ thị hỏm số Tợnh f -( 2 )

A f -( 2)=- 18 B f -( 2)=2 C f -( 2)=6 D f -( 2)=22

Lời giải Đạo hỏm: f xđ( )=3ax2+2bx c+

Vớ M(0;2 , ) N(2; 2- ) lỏ cõc điểm cực trị của đồ thị hỏm số nởn