Chuyên đề đạo hàm của các hàm số lượng giác

Lý thuyết và tất cả các dạng bài tập về đạo hàm của hàm số lượng giác từ cơ bản đến nâng cao ( bao gồm các bài tập mẫu có hướng dẫn giải và các bài tập áp dụng, rèn luyện). Dành cho các bạn muốn học lí thuyết và làm bài tập luyện thêm về phần đạo hàm của hàm số lượng giác.

GIẢI TÍCH 11

BÀI 2 ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

I Lý thuyết đạo hàm của hàm số lượng giác

1 Giới hạn của sin x

x

Định lý :

Chú ý : Nếu hàm số uu x thỏa mãn điều kiện : u x  với mọi  0 xx0 và  

0

x x u x

 

0

sin

x x

u x

u x

2 Đạo hàm của hàm số ysinx

Định lý :

Chú ý : Nếu ysinuvà uu x thì sinu u.cosu

3 Đạo hàm của hàm số ycosx

Định lý :

Chú ý : Nếu y c osuvà uu x thì cosu  u.sinu

4 Đạo hàm của hàm số y tanx

Định lý :

Chú ý : Nếu ytanuvà uu x có đạo hàm trên K ,  

2

u x   k

k  với mọi x  Khi đó trên K ta có : K tan  2

cos

u u

u



5 Đạo hàm của hàm số ycotx

Định lý :

Chú ý : Nếu ycotuvà uu x  có đạo hàm trên K , u x k

k  với mọi x  K Khi đó trên K ta có : cot  2

sin

u u

u



  

Bảng đạo hàm của hàm số lượng giác

LÝ THUYẾT

I

=

0

sin

x

x x

Hàm số ysinx có đạo hàm tại mọi x  và sinx cosx

Hàm sốycosx có đạo hàm tại mọi x  và cosx  sinx

Hàm sốytanxcó đạo hàm tại mọi ,

2

x  k k

và   12 tan

cos

x

x

 

Hàm sốycotx có đạo hàm tại mọi xk,k và   12

cot

sin

x

x

  

Phương pháp chung:

- Sử dụng các công thức tính đạo hàm trong phần lý thuyết

- Nhận biết và tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức

- Sử dụng đạo hàm để chứng minh đẳng thức, giải phương trình có liên quan đến đạo hàm

Dạng 1: Tính đạo hàm hàm số lượng giác

Patkk881998@gmail.com

1 Đạo hàm của hàm ysin ,x ycosx

Ví dụ 1 Tính đạo hàm của hàm số : sin 2 cos

3

x

y x

Lời giải

TXĐ : D 

Ta có: 2.cos 2 1sin

x

y  x

Ví dụ 2.Tính đạo hàm của hàm số :  2

sin 5 1

y x

Lời giải

TXĐ : D 

Ta có: y 2 sin 5 x1  sin 5x 1 10 cos 5xsin 5x1

Ví dụ 3.Tính đạo hàm của hàm số ysin cos 4x x

Lời giải

TXĐ: D 

Ta có: y sinx.cos 4xsin cos 4x x cos cos 4x x4sin sin 4x x

sinx cosx sinu u.cosu

cosx  sinx cosu  u.sinu

tan

cos

x

x

cos

u u

u



 

cot

sin

x

x

sin

u u

x



  

CÁC DẠNG BÀI TẬP

II

=

CÁC DẠNG BÀI TẬP

II

=

Ví dụ 4.Tính đạo hàm của hàm số sin 2

cos 3

x y

x

4

x 



Lời giải

sin 2 cos 3 sin 2 cos 3 2 cos 2 cos 3 3sin 2 sin 3

y

Khi đó : 3 2

4

y  

 

  Vậy đạo hàm của hàm số đã cho tại x 4



 là 3 2.

Ví dụ 5.Tính đạo hàm của hàm số yx.cos 2x tại

2

x 



Lời giải

TXĐ : D 

Ta có: yx.cos 2xx cos 2 x cos 2x2 sin 2x x

Khi đó : '

1 2

y     

  Vậy đạo hàm của hàm số đã cho tại x 4



 là 1

Ví dụ 6 Chứng minh rằng : ' 

0

f x  x x x x x x

Lời giải

TXĐ : D 

Ta có :

2

sin 1 2 cos cos 3sin cos

sin 1 2 cos cos 1 2sin

sin cos 2sin cos 2sin cos

1



Khi đó : f x  0

Vậy chứng tỏ f x  với 0 f x đã cho  

Bài tập áp dụng:

Câu hỏi 1. Tính đạo hàm của hàm số ysin 3x

Câu hỏi 2 Tính đạo hàm của hàm số y5sinx3cosx

Câu hỏi 3. Tính đạo hàm của hàm số ycos 2x 1

Câu hỏi 4. Tính đạo hàm của hàm số y5sinx3cosx tại điểm

2

x

Câu hỏi 5. Tính đạo hàm của hàm số Tính đạo hàm của hàm số y2sin 3 cos 5x x tại điểm

8

x

Câu hỏi 6 Tính đạo hàm của hàm số Tính đạo hàm của hàm số 1 2

sin

y   x 

  tại điểm

3

x 

Lời giải Câu hỏi 1. Tính đạo hàm của hàm số ysin 3x

Ta có ysin 3x y3cos 3x

Câu hỏi 2 Tính đạo hàm của hàm số y5sinx3cosx

Ta có y5sinx3cosx y5cosx3sinx

Câu hỏi 3. Tính đạo hàm của hàm số ycos 2x 1

Ta có ycos 2x1 sin 2 1

x y

x





  



Câu hỏi 4. Tính đạo hàm của hàm số y5sinx3cosx tại điểm

2

x

Ta có y 5sinx3cosx5 sin x3 cos x5.cosx3sinx

y      

 

Câu hỏi 5. Tính đạo hàm của hàm số y2sin 3 cos 5x x tại điểm

8

x

Ta có y2sin 3 cos 5x xsin 8xsin 2x

 y sin8xsin 2x' 8cos8 x2cos 2x

y       

Câu hỏi 6 Tính đạo hàm của hàm số 1 2

sin

  tại điểm x 3





Ta có

2

cos

2

' cos

3

y x  x 

Phamthanh.namtruc@gmail.com

Bài tập tự luyện:

Bài 1 Tính đạo hàm của hàm số sin( ) cos

 

Bài 2 Tính đạo hàm của hàm số y4 cos 2x5sin(2x3)

Bài 3 Tính đạo hàm của hàm số y 3 sinxcosx2019x

Bài 4 Tính đạo hàm của hàm số 2

.cos 2 sin

yx x x x

Bài 5 Tính đạo hàm của hàm số 2 2

.cos 3 2 sin

3

yx x x x

Bài 6 Tính đạo hàm của hàm số 2 2

4

Bài giải

Bài 1 Tính đạo hàm của hàm số sin( ) cos

y x   x

 

Lời giải

y  x   x

Bài 2 Tính đạo hàm của hàm số y4 cos 2x5sin(2x3)

Lời giải

Ta có y  8sin 2x10cos 2 x 3

Bài 3 Tính đạo hàm của hàm số y 3 sinxcosx2019x

Lời giải

Ta có : y  3 cosxsinx2019

Bài 4 Cho hàm số cos 3 sin 2 2

y  x     x



 

 

 

Lời giải

y    x     x

Vậy

Bài 5 Tính đạo hàm của hàm số 2

.cos 3 2 sin 3

yx x x x

Lời giải

2 cos 3 3 sin 3 2sin 3 6 cos 3 8 cos 3 2 3 sin 3

y  x x x x x x x x x  x x

Bài 6 Tính đạo hàm của hàm số 2 2

4

y   x  x 

Lời giải

Ta có:

thongsptin43@gmail.com

2 Đạo hàm các hàm số tan và cot

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số ytan 2x

Lời giải

' tan 2 '

cos 2

x

Ví dụ 2 Tính đạo hàm của hàm số ycot 3 x 1

Lời giải

2

3

x

    



Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số tan 1

2

x

y 

Lời giải

Ta có

' '

1

' tan

2

x x

y





Ví dụ 4 Tính đạo hàm của hàm số 2

y x 

Lời giải

' 2

2

1

1

x

x

Ví dụ 5 Tính đạo hàm của hàm số   1 2

cot 2

2

x 

Lời giải

Ta có:    2

1

'



Suy ra:

2

sin

2 2

'

2

f





 

 

Ví dụ 6 Tính đạo hàm của hàm số   2 2

tan cot

f x  x x tại điểm

4

x

Lời giải

Suy ra:

2 tan 2 cot

f



 

Bài tập áp dụng:

Câu hỏi 1. Tính đạo hàm của hàm số tan

3

x

y 

Câu hỏi 2 Tính đạo hàm của hàm số y3cosxcot 2x

Câu hỏi 3. Tính đạo hàm của hàm số ytan 5xcot 4x

Câu hỏi 4. Tính đạo hàm của hàm số y cotx tại điểm 1

2

x 



Câu hỏi 5 Tính đạo hàm của hàm số 3

tan cot 2

y x x tại điểm

4

x

Lời giải

Câu hỏi 1. Tính đạo hàm của hàm số tan

3

x

y 

Ta có:

'

2

1 ' tan

3

x y

x

Câu hỏi 2. Tính đạo hàm của hàm số y3cosxcot 2x

2

2

sin 2

x

Câu hỏi 3. Tính đạo hàm của hàm số ytan 5xcot 4x

' tan 5 cot 4

cos 5 sin 4

Câu hỏi 4. Tính đạo hàm của hàm số f x  cotx tại 1

2

x

'

2

2 cot 1 2sin cot 1

x



Suy ra

2

'

2sin cot 1

f 

 

Câu hỏi 5. Tính đạo hàm của hàm số   3

tan cot 2

f x  x x tại điểm

4

x

 

Bài tập rèn luyện:

Câu hỏi 1 Tính đạo hàm của hàm số f x  tanxcotx tại điểm

4

x

Câu hỏi 2. Tính đạo hàm của hàm số  2 

y x  x

Câu hỏi 3. Tính đạo hàm của hàm số 1 3 1 5

y x x x

Câu hỏi 4. Tính đạo hàm của hàm số ytan(2x 1) xcos2x

Câu hỏi 5. Tính đạo hàm của hàm số y2 tan2x5 cotx2

Lời giải

Câu hỏi 1 Tính đạo hàm của hàm số f x  tanxcotx tại điểm

4

x

Ta có:

(tan cot ) cos sin ( )

2 tan cot 2 tan co

'

t

f x



2sin cos tan cot sin 2 tan cot

Suy ra

2

2 cos 2

4

f







 

 

 

Câu hỏi 2. Tính đạo hàm của hàm số  2 

y x  x

2

2 2

1 2

x

x x x





Câu hỏi 3. Tính đạo hàm của hàm số tan 1tan3 1tan5

y x x x

Ta có: y' 1 tan  6 x

Câu hỏi 4. Tính đạo hàm của hàm số ytan(2x 1) xcos2x

Ta có:

2

2 2

2

cos (2 1)

2

cos sin 2 cos (2 1)

x

x





Câu hỏi 5. Tính đạo hàm của hàm số y2 tan2x5 cotx2

Ta có: ' 2 sin3 52 2

y

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức lượng giác có yếu tố đạo hàm

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Cho ytanx Chứng minh rằng ' 2  

1 0

y y   

Lời giải

2

1

cos

x

  2 2

1 tan x tan x 1 0

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2: Cho ycot 2x Chứng minh rằng: ' 2  

Lời giải

cot 2 2 1 cot 2

y  x    x

2 1 cot 2x 2cot 2x 2 0

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 3. Cho hàm số sin cos

tan



y

x Chứng minh rằng:

3 '

2

cos tan

sin

y y x

x

Lời giải

Ta tiến hành rút gọn trước khi tính đạo hàm:

'

sin cos cos

cos 1 sin





Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 4: Cho hàm số y xsinx Chứng minh rằng:  '   

xy y  x x xy 

Ta có: '  '

sin sin cos

y  x x  xx x

2

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 5: Cho hàm số  2 

y x  Chứng minh rằng: '  4

2 y y x 1y  0 Lời giải

Ta có:

   

'

y

11 | BỘ TÀI LIỆU TUYỆT PHẨM “5000 IN ONE” – LIÊN HỆ MUA FILE WORD -

2 2

2

x



Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 6: Cho hàm số   2 

f x  x Chứng minh rằng: f' x    8, x

Lời giải

Ta có:

' '

16sin 4 1 cos 4 1 8sin 8 2 8sin 8 2 8 sin 8 2 8

Dấu " " xảy ra khi:

1

1

k

k k











Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Cho hàm số sin cos

x x x y

x x x





y xx x x y 

Bài tập 2: Cho hàm số ycot x2 Chứng minh rằng: 1 ' 2 2

y x   x x y 

Bài tập 3: Cho hàm số f x cosx Chứng minh rằng:

 

f x f x  f  f  x 

Bài tập 4: Cho hàm số  4 4   6 6 

3 sin cos 2 sin cos

y x x  x x Chứng minh rằng: y'  0 x

Bài tập 5: Cho hàm số

3

sin

1 cos

x y

x

  Chứng minh rằng:

'

y x y

Lời giải

Bài tập 1: Cho hàm số sin cos

x x x y

x x x





y xx x x y 

Ta có: sin cos

x x x y

x x x







      

'

2

cos sin

y



sinxxcosx cosxx cosxx cosx xsinx

cosxxsinx  sinxx sinxx sinx xcosx

2 '

y

Ta có:

2 2

2

sin cos

cos sin cos sin





Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài tập 2: Cho hàm số ycot x2 Chứng minh rằng: 1 ' 2 2

y x   x x y 

Ta có: ycot x2 1

'

1

Ta có:

1

x

x





Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài tập 3: Cho hàm số ycosx Chứng minh rằng: ' ' ' 

f x  f x  f  f  x 

Ta có: '   '

f x  x   x

 

'

2

Vậy ta có điều phải chứng minh

13 | BỘ TÀI LIỆU TUYỆT PHẨM “5000 IN ONE” – LIÊN HỆ MUA FILE WORD -

Bài tập 4: Cho hàm số  4 4   6 6 

3 sin cos 2 sin cos

y x x  x x Chứng minh rằng: y'  0 x

Ta tiến hành làm gọn biểu thức trước khi tiến hành lấy đạo hàm

Ta có:y3 sin 4xcos4x 2 sin6xcos6x

Mà:

1

2

3

4

'

0,

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài tập 5: Cho hàm số

3

sin

1 cos

x y

x

  Chứng minh rằng:

'

y x y

Ta có:

3

sin

1 cos

x y

x

'

'

2

'

3

3

y

x

Mà

y

Ta có:

3 2

'

3

1 cos

1 cos

x x





Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài tập rèn luyện:

Bài tập 1: Cho hàm số 3 

y x  y x 

Bài tập 2: Cho hàm số 2 1

cos

1

x y

x

  



  Chứng minh rằng:

 4

1

x

x



Bài tập 3: Cho hàm số 4  2  4  2 

y x x  x x Chứng minh rằng '

y không phụ thuộc vào x

Lời giải

Bài tập 1: Cho hàm số 3 

y x  y x 

Ta có: 3 

y x

Ta có:

sin 2 1 6 cos 2 1 6sin 2 1 cos 2 1 sin 2 1 6sin 2 1 cos 2 1 0

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài tập 2: Cho hàm số 2 1

cos

1

x y

x

  



  Chứng minh rằng:  4

1

x

x



cos

1

x y

x

  



'

'

'

y

x

Mà

y

1

in 2

1

x x

Ta có:

4 4

2

1 sin

cos

1

x

x





Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài tập 3: Cho hàm số 4  2  4  2 

y x x  x x Chứng minh rằng '

y không phụ thuộc vào x

Ta tiến hành làm gọn biểu thức trước khi tiến hành lấy đạo hàm

15 | BỘ TÀI LIỆU TUYỆT PHẨM “5000 IN ONE” – LIÊN HỆ MUA FILE WORD -

2 cos 3cos 2sin 3sin

3 sin cos 2 sin cos

1



'

0

y

Vậy y' không phụ thuộc vào x

Dạng 3: Giải phương trình lượng giác có liên quan đến đạo hàm

Ví dụ 1 Cho hàm số cos 2 2

3

y    x

  Khi đó hãy giải phương trình y 0

Lời giải

TXĐ : D 

Ta có: 2.sin 2 2

3

y      x

Theo giả thiết 0 sin 2 2 0

3

y     x

k

Ví dụ 2 Cho hàm số sin

3 2

x

y   

  Khi đó hãy tìm nghiệm của phương trình y ' 0

Lời giải

TXĐ : D 

Ta có: 1cos

x

y     

  nên

y           k    x  k  k

Ví dụ 3. Cho hàm số ytanxx , giải phương trình y 0

Lời giải

2

D  k k 

cos

x

y  tan x tanx  x k k

Ví dụ 4 Cho hàm số ysin2x.cosx , giải phương trình y 2sinx

Lời giải

TXĐ : D  , ta có

sin cos sin cos 2sin cos sin

Vậy y 2sinx2sin cosx 2xsin3x2sinx2sinx2sin cosx 2xsin3x0

2sinx 1 cos x sin x 0 3sin x 0 sinx 0 x k k

Ví dụ 5 Cho hàm số y2 sin2xcos 2xx , giải phương trình y  3

Lời giải

TXĐ : D 

Ta có: y 4sin cosx x2sin 2x 1 2sin 2x2sin 2x 1 4sin 2x1

y    x    x   x   k     x  k k

Ví dụ 6 Cho hàm số y 1 sinx1 cos x , giải phương trình y 2(cosxsin )x

Lời giải

TXĐ : D 

cos 1 cos sin 1 sin cos sin cos sin

y  x  x  x  x  x x x x , nên

y  x x  x x x x x x

(cosx sin )(cosx x sin ) (cosx x sin )x 0 (cosx sin )(cosx x sinx 1) 0

4

sin

2

2

x

x





  

Bài tập áp dụng :

Bài tập 1 Tính đạo hàm của hàm số sin 2

2

y   x

  và giải phương trình y 0

Bài tập 2. Cho hàm số cot2

4

x

y  Khi đó nghiệm của phương trình y ' 0

Bài tập 3 Cho hàm số f x 2sin 2xcos 2x , giả phương trình y 2sin 2x

Bài tập 4 Tính đạo hàm của hàm số sau: 3 

sin 2 1

y x và giải phương trình y 0

Bài tập 5 Tính đạo hàm của hàm số sau:  3

sin cos

y x x và giải phương trình y  3 3sin 2x

Bài tập 6 Tính đạo hàm của hàm số sau: sin 2 cos 2

2sin 2 cos 2

y





 , giải phương trình y  6

17 | BỘ TÀI LIỆU TUYỆT PHẨM “5000 IN ONE” – LIÊN HỆ MUA FILE WORD -

Lời giải

Bài tập 1 Tính đạo hàm của hàm số sin 2

2

  và giải phương trình y 0

Lời giải

TXĐ : D 

2

y   x x  y x

2

y   x  x k k

Bài tập 2. Cho hàm số cot2

4

x

y  Khi đó nghiệm của phương trình y ' 0

Lời giải

TXĐ : D \k4 , k 

2

sin 4

y

x

y       k  x  k  k

Bài tập 3 Cho hàm số f x 2sin 2xcos 2x , giải phương trình y 2sin 2x

Lời giải

TXĐ : D 

Ta có : y 4cos 2x2sin 2x

2sin 2 4 cos 2 2sin 2 2sin 2 sin 2 cos 2

Bài tập 4 Tính đạo hàm của hàm số sau: 3 

sin 2 1

y x và giải phương trình y 6cos 2 x1

Lời giải

TXĐ : D 

6sin 2 1 cos 2 1

y  x x Vậy y 6cos 2 x 1

6sin 2x 1 cos 2x 1 6cos 2x 1 cos 2x 1 1 sin 2x 1  0

Bài tập 5 Tính đạo hàm của hàm số sau:  3

sin cos

y x x và giải phương trình y  3 3sin 2x

Lời giải

TXĐ : D 

y  x x x x , suy ra

3 sinx cosx cosx sinx 3(sinx cos )x (sinx cos )x cosx sinx 1 0

4

2 1

sin

2

4

x x

 

 





 

   





Bài tập 6 Tính đạo hàm của hàm số sau: sin 2 cos 2

2sin 2 cos 2

y





 , giải phương trình y  6

Lời giải

ĐK : 2sin 2xcos 2x0

Ta có

2 cos 2 2 sin 2 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 4 cos 2 2 sin 2

2 sin 2 cos 2

y

 



6 2sin 2 cos 2

y



 



2 2

6

2sin 2 cos 2





x



19 | BỘ TÀI LIỆU TUYỆT PHẨM “5000 IN ONE” – LIÊN HỆ MUA FILE WORD -

2

k

 



   

  



   

  





với

sin ; cos

   

(Thỏa mãn ĐK)

Bài tập tự luyện:

Bài 1 Cho hàm số ysin2x, giải phương trình y  3

Bài 2 Cho hàm số ycos 2x5sinx , giải phương trình y 0

Bài 3 Cho hàm số y 3 sinxcosx2x , giải phương trình y 0

Bài 4 Cho hàm số ysin 22 xcos2x, giải phương trình y 2

Bài 5 Tìm m để phương trình y 0 có nghiệm biết rằng ymcosx2sinx3x5

Bài giải Bài 1 Cho hàm số ysin2x, giải phương trình y  3

Lời giải

TXĐ : D 

2

Bài 2. Cho hàm sốycos 2x5sinx, giải phương trình y 0

Lời giải

TXĐ : D 

Ta có : y  2sin 2x5cosx Nên y   0 2sin 2x5cosx  0 4sin cosx x5cosx0

2

Bài 3 Cho hàm số y 3 sinxcosx2x , giải phương trình y 0