(SKKN mới NHẤT) vận DỤNG hàm số và BẢNG BIẾN THIÊN của hàm số để GIẢI một số bài TOÁN LIÊN QUAN đến hàm số và GIẢI một số bài TOÁN THỰC tế

Nếu là kiến thức lớp 10 và một phần kiến thứclớp 11 học sinh có thể dùng bảng biến thiên của hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai;đến khi học sinh được trang bị đến nội dung ứng dụng của đạo

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

đủ tự tin Sau một thời gian công tác trong nhà trường THPT Tôi nhận thấy họcsinh cũng có thể vận dụng được kết quả từ bảng biến thiên của hàm số, để giải cácbài toán ở nhiều mức độ khác nhau Nếu là kiến thức lớp 10 và một phần kiến thứclớp 11 học sinh có thể dùng bảng biến thiên của hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai;đến khi học sinh được trang bị đến nội dung ứng dụng của đạo hàm ở lớp 12 thìkhả năng vận dụng bảng biến thiên để giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn, khi

đó các bài toán trở nên quen thuộc, trực quan hơn khi đọc kết quả từ bảng biếnthiên của một hàm số liên quan đến bài toán đó

Hiện nay với chủ trương đối mới phương pháp dạy và học, đổi mới kiểm tra,đánh giá học sinh, đổi mới trong các kỳ thi Quốc gia Vì vậy, đòi hỏi học sinh cần

có một lượng kiến thức tổng quát, đọc được kết quả bài toán nhanh hơn nhờ cáccông cụ toán học mà học sinh được trang bị đầy đủ Phương pháp sử dụng bảngbiến thiên của hàm số, dấu của đạo hàm để giải quyết, cũng được sử dụng khánhiều trong các câu trắc nghiệm của đề thi

Để giải quyết đa số các bài toán nói trên khi học sinh học ở lớp 12 có phầnứng dụng đạo hàm gồm các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số, giá trị lớnnhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ; với tính năng ưu việt của việc ứng dụng tínhđơn điệu của hàm số đề có thể giải quyết được rất nhiều dạng toán như khảo sátnghiệm phương trình và bất phương trình, bài toán hình học, bài toán thực tế, bàitoán tích hợp kiến thức liên môn…

Sau một số năm qua tham khảo các đề thi Đại học, cao đẳng, các đề thiQuốc gia do các cấp tổ chức, đặc biệt là học sinh lớp 12, chuẩn bị thi tốt nghiệpTHPT Tôi nhận thấy, đa số học sinh đang thiếu tư duy độc lập, sáng tạo về sự vậndụng kiến thức, nhất là khả năng “quy lạ về quen” hay vận dụng những kiến thức

đã có vào từng dạng toán cụ thể; ngoài các bài toán liên quan trực tiếp đến hàm số,

có những bài toán mà học sinh thường phải vận dụng tư duy hàm số như là mộtcông cụ hữu hiệu để giải toán, các em thường bị động, lúng túng không biết phảidùng loại kiến thức nào để giải; để học sinh làm được điều đó, trong các giờ dạycủa giáo viên, việc bồi dưỡng năng lực tư duy toán học, ứng dụng bảng biến thiên

từ lớp 10 và đến khi học sinh được trang bị các kiến thức về đạo hàm, dấu của đạohàm, kiến thức lớp 12 của hàm số thông qua các bài toán là một điều rất cần thiết

Muốn làm tốt được điều đó giáo viên cần tạo cho học sinh môi trường họctập thân thiện, tích cực, có phương pháp giảng dạy phù hợp từng đối tượng họcsinh; chuẩn bị một lượng bài toán phù hợp với từng đối tượng học sinh; tạo chohọc sinh có sự đam mê hứng thú và tự tin trong học môn toán THPT nói riêng vàvận dụng kiến thức trong đời sống thực tế nói chung

Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư duy về môn toán tôi tập trungkhai thác giải quyết một số dạng bài toán như phương trình, bất phương trình, bàitoán hình học, bài toán thực tế… khi đọc kết quả bài toán bằng cách dùng hàm số

và bảng biến thiên trở nên trực quan và tự tin hơn Vì thế, những bài toán nói trên

sẽ được giải quyết một cách rất tự nhiên, thuần túy, ngắn gọn và đơn giản Đó là lí

do để tôi chọn đề tài : “Ứng dụng hàm số và bảng biến thiên của hàm số để giải một số bài toán liên quan đến hàm số và giải một số bài toán thực tế”.

3 Mô tả các giải pháp cũ thường làm

Khi học sinh học kiến thức toán, vật lý ở lớp 10, lớp 11 để vận dụng khi giảicác bài toán liên quan đến hàm số, đa số học sinh dùng phương pháp đánh giá, bấtđẳng thức để giải như bài toán về phương trình, bất phương trình, các bài toán cóchứa tham số, bài toán về hàm số lượng giác hoặc một số bài toán liên quan đếnquãng đường, vận tốc, gia tốc… bài toán thực tế; khi đó cần một lượng kiến thứcliên môn, kiến thức toán phải đủ và vững mới giải tốt Nếu vậy, học sinh gặp khókhăn hoặc không giải được hoặc có cách giải phức tạp và các em không đủ tự tin

để đọc kết quả; hiện nay đổi mới cách thi môn toán đòi hỏi học sinh cần có cácphương pháp giải tốt hơn, nhanh hơn, cho kết quả chính xác nhất.

Toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, bài toán tìm tham số thỏa điều kiệncho trước, toác về phương trình, bất phương trình; các bài toán thực tế…, bài toántích hợp kiến thức liên môn có lượng kiến thức rộng và trải đều cả cấp học, nênhọc sinh khó khăn khi tiếp cận để giải quyết vấn đề của bài toán nêu ra

Một bộ phận học sinh chưa nắm vững các kiến thức ở các lớp dưới, kiếnthức về đạo hàm, xét dấu nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai, kiến thức về vật lý…cách tiệp cận các dạng bài toán tích hợp kiến thức liên môn, đối với học sinh còntương đối lạ

Nhược điểm của phương pháp đánh giá, bất đẳng thức… để giải sẽ làm chobài toán khó khăn hơn, phức tạp hơn, tốn nhiều thời gian hơn, tính hiệu quả thấp.Hiện nay các cách giải đó để áp dụng cho bài toán trắc nghiệm với số lượng câuhỏi nhiều sẽ không có đủ thời gian để giải Học sinh sẽ rất khó khăn để giải các bàitoán tích hợp kiến thức liên môn, bài toán thực tế…

4 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử

Một là: Trang bị, củng cố cho học sinh kiến thức rộng, tổng quá và đủ lớn,

rèn kỹ năng thực hành, đọc kết quả tạo cho học sinh môi trường học tập thânthiện, tích cực chủ động;

Hai là: Từ việc giải các bài toán đơn giải, hướng đến giải các bài toán ứng

dụng, giải bài toán trong thực tế, tích hợp kiến thức liên môn Khi đó kiến thức vềhàm số bảng biến thiên của hàm số là một công cụ giải toán hiệu quả;

Ba là: Chủ trương dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động của

học sinh, lấy học sinh làm trung tâm; đổi mới kiểm tra, đánh giá và thi mà Bộ Giáodục và đào tạo đã đề ra;

Bốn là: Các vấn đề tôi trình bày trong bài viết của mình đã hỗ trợ cho các em

học sinh của cấp học THPT có cách nhìn toàn diện hơn về cách tiếp cận và giảitoán theo phương pháp đề ra;

5.1.2 Phương pháp

Trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản về lí thuyết hàm số, bảng biếnthiên của hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai, đến kiến thức đạo hàm, xét dấu củahàm số, tính đơn điệu của hàm số… Thông qua những ví dụ cụ thể có nêu cáchgiải để học sinh thấy được những thế mạnh của việc sử dụng phương pháp, đồngthời có những lời nhận xét trước và sau các bài giải để học sinh hiểu và biết vậndụng Phương pháp được sử dụng nhiều ở đây là: Phân tích – Dẫn giải – Tổng hợp

Vì những hạn chế của học sinh như đã trình bày trong phần lý do chọn đề tài

và phần khảo sát thực tiễn Nên trong quá trình dạy học lớp 12, bắt đầu là phần ứngdụng đạo hàm để khảo sát hàm số, với các tiết học chủ đề tự chọn, tôi đã lồng ghépcác bài tập như phương trình, bất phương trình, các bài toán thực tế, tích hợp kiếnthức liên môn Nhưng vì thời gian còn hạn chế, hơn nữa để học sinh chủ độngchiếm lĩnh kiến thức nên ứng với mỗi phần tôi nêu ra một số ví dụ minh họa cụ thể

và một số bài tập để các em tự rèn và thực hành Sau đó phân tích lời giải để họcsinh vận đụng được

Đề tài ứng dụng " Ứng dụng hàm số và bảng biến thiên của hàm số để giải một số bài toán liên quan đến hàm số và giải một số bài toán thực tế" Tôi đã ứng

dụng vào giảng dạy ở một số lớp, trong nhiều năm Trong những năm học đó, quatheo dõi quá trình học tập của học sinh , tôi nhận thấy phương pháp này đa số họcsinh dễ vận dụng ở nhiều Qua đó, cho thấy học sinh tự tin, định hướng phươngpháp học toán hiệu quả hơn

5.1.3 Minh họa về một số kiến thức cần áp dụng

Ôn tập các kiến thức và rèn luyện các kỹ năng về lập và đọc bảng biến thiêncủa hàm số trên tập xác định, trên khoảng, đoạn và nửa khoảng

Đối với học sinh lớp 10, lớp 11, khi chưa có công cụ là đạo hàm của hàm sốthì học sinh chủ yếu vận dụng bảng biến thiên của hàm số bậc nhất và hàm số bậchai để giải một số bài toán đơn giản

* Bảng biến thiên của hàm số bậc nhất y ax b a  (  0)

+ Trường hợp a > 0 Hàm số đồng biến trên R.

x – +

y +

–

 Bảng biến thiên của hàm số bậc hai y ax 2 bx c a (  0)

+ Trường hợp a >0 Hàm số nghịch biến trên khoảng ;

2

b a

  

  và đồng biến trên khoảng ;

2

b a

Sau đây là một số minh họa cụ thể qua thời gian công tác tại nhà trườngTHPT tôi rút ra được

5.1.4 Các ví dụ minh họa

Phương án chung: Từ bài toán đã cho phân tích, tìm cách đặt theo một hàm

số và sử dụng kiến thức về về hàm số và bảng biến thiên để giải quyết

a Các bài toán đọc kết quả trực tiếp từ bảng biến thiên

Ví dụ 1 Tìm giá trị lớn nhất (Max) và giá trị nhỏ nhất(min) của hàm số

2

1 sin( ) 1

Giải

Cách 1: (Dùng miền giá trị của hàm số lượng giác)

Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi biểuthức 1 sin( )  x2 đạt Max và min tương ứng

Ta có   1 sin x2   1 2 1 sin    x2   0 2 1   y 1 Vậy Max y( )  2 1 &  Min y( )  1

Cách 2: Giải bài toán theo cách dùng bảng biến thiên (BBT) của hàm số.

Đặt t sin x2 ; Xét hàm số f t      t 1, t  1;1Bảng biến thiên của hàm số f(t)

t –   1  1 +  f(t)

y f t( ) 1  

+ 

2

0 – 

Từ bảng biến thiên, suy ra Max y( )  2 1 ,  Min y( )  1

(*) Nhận xét :

+ Đối với bài toán này, khi dùng miền giá trị của hàm số lượng giác, nếu đềtoán yêu cầu hàm số đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại đâu thì học sình thườngmắc sai lầm vì quên đổi chiều bất đẳng thức khi nhân số âm

+ Ưu điểm của cách dùng bảng biến thiên vẫn là trực quan và không mắc saisót khi tìm vị trí đạt được Max, min

Ví dụ 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2sin 3

Vậy Maxy 5 , Miny 1

Cách 2 Giải theo bảng biến thiên của hàm số.

8

t x 

 ; xét hàm số f t   2t 3,   t  1;1 ( a = 2 > 0)Lập bảng biến thiên của hàm số f(t)

T –  1  1 +

y = f(t) +

5 1

–

Từ bảng biến thiên, suy ra Max y( ) 5 ;  Min y( ) 1 

Nhận xét: Ưu điểm của phương pháp dùng bảng biến thiên của hàm số là

trực quan, học sinh dễ hiểu và đọc được đáp số bài toán một cách rất thực tế

1 -1– –

Giải

Cách giải 1 Theo phương pháp đánh giá.

+ Có học sinh giải như sau:

sin 4sin 4 9 (sin 2) 9 9

+ Chọn đáp án đúng là B.

Nhận xét: Lựa chọn của học sinh là Sai, nguyên nhân là học sinh chỉ đánh

giá y 9 và kết luận min(y)= 9 Học sinh quên rằng:

2

9 (sin 2) 0 sin 2,

y  x   x (vô nghiệm)

Dó đó, theo định nghĩa về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, số  9

không phải là giá trị nhỏ nhất của hàm số Đến đây, khi được chỉ ra điều vô lí, họcsinh đều lúng túng không tìm ra cách giải đúng Để khắc phục được điều này,

chúng ta giải bài toán theo phương pháp dùng dấu của đạo hàm và bảng biến thiên của hàm số để đọc kết quả một cách chính xác

Cách giải 2.

+ Đặt t = sinx, xét hàm số f t  t2 4t 5,   t  1;1 + Ta có : f’(t) = 2t – 4 ; f’(t) = 0 tìm được t = 2

+ Lập bảng biến thiên

t – -1 1 2 +

f’(t) - - - 0 +

f(t) + +

0

- 8

–9

+ Từ bảng biến thiên, suy ra Min y ( ) 8 Chọn đáp án A Nhận xét: Qua bài toán này, cho ta thấy ưu điểm khi giải bài toán bằng hàm số, dấu của đạo hàm và bảng biến thiên vừa trực quan, đọc kết quả từ bảng biến thiên, tránh sai lầm trong giải toán Ví dụ 5 Cho hàm số yf x  liên tục trên  3; 2 và có bảng biến thiên như sau Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số yf x  trên đoạn  1; 2 Tính M m A 3 B 2 C 1 D 4 G iải

Từ bảng biến thiên học sinh đọc được kết quả trên đoạn  1; 2

Vậy M = 3 ; m = 0 nên M + m = 3 Chọn đáp án A.

Ví dụ 6. Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A  2;0 B 2;  C 0; 2 D 0;  Dựa vào kiến thức đã học từ bảng biến thiên chọn trực tiếp đáp án C

Ví dụ 7 Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình 2f x  3 0  là

Bảng biến thiên của hàm số f(x)

Dựa vào bảng biến thiên ta có f x =x2  2x m ,  x 0 khi và chỉ khi m 1

Chọn đáp án C

Nhận xét: Qua ví dụ này cho thấy nếu giáo viên hướng dẫn học sinh áp

dụng thành thạo bảng biến thiên của hàm số bậc hai thì các em giải quyết bài toán

và đọc kết quả tự tin hơn từ bảng biến thiên

Ví dụ 9 Cho bất phương trình m 2x2  2 4 3  m x  10m 11 0 1    Gọi S làtập hợp các số nguyên dương m để bất phương trình đúng với mọi   x 4 Khi đó

số phần tử của S là

      không thỏa mãn đề bài.

Trường hợp 2: Với m 2 0   m 2, khi đó ta có

* Nếu m 6 thì f x  0   x không thỏa mãn đề bài

* Nếu m 1 thì f x  0   x thỏa mãn đề bài

* Nếu 2 m 6 thì f x   0 có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2 x1 x2

Ta có bảng xét dấu f x 

Khi đó f x  0  x x x1 , 2 không thỏa mãn đề bài

* Nếu 1 m 2 thì f x   0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x1 x2 

Nhận xét: Qua 2 cách giải cho thấy nếu học sinh phân tích bài toán và biết

áp dụng kiến thức tổng hợp về đạo hàm, dấu của đạo hàm và bảng biến thiên đểgiải quyết vấn đề thì bài toán trở nên gọn hơn, đọc kết quả nhanh hơn, cho thấycách 2 phù hợp với làm toán trắc nghiệm

Ví dụ 10 Tìm giá trị lớn nhất (Max), giá trị nhỏ nhất(min) của hàm số

f x  x   x  x  x

Giải Điều kiện : x   3;6

4 Cho hàm số yf x( ) liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn  1;3 như

hình vẽ Khẳng định nào sau đây đúng?

9

3 2

2



Số điểm cực trị của hàm số yf x 2  2x là

A 9. B 3. C 7. D 5.

b Ứng dụng giải một số ví dụ về phương trình, bất phương trình, một

số bài toán có tham số…

Ví dụ 11 Tìm m để hàm số  y x3 3x2 mx4m2  4 nghịch biến trênkhoảng (1;1)

Từ bảng biến thiên, ta suy ra m  9.

 - 5 2

 

Theo yêu cầu bài toán từ bảng biến thiên trả lời các ý như sau:

Ý 1 Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lớnhơn  1 khi  10    2  2

Ý 2 Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt, trong đó có đúng

Ví dụ 15 Cho hàm số y f x  xác định, liên tục trên R và có bảng biến

thiên như hình vẽ Với m (0;3) thì phương trình f x( ) m có bao nhiêu nghiệm ?

- 1

Dựa vào bảng biến thiên, m £ - 1 thỏa yêu cầu bài toán

Ví dụ 17 Cho phương trình x3 x x  1 m x 2  12 Tìm các giá trị thựccủa m để phương trình có nghiệm thực

Phương trình (1) có nghiệm thực khi đường thẳng d có hàm số y m cắt đồthị (C) có hàm số ( ) 43 22

Nhận xét : Từ hai cách giải trên thì phương pháp hàm số có sử dụng dấu của

đạo hàm và tính đơn điệu dễ giải hơn, và học sinh cũng tiếp cận nhanh hơn

Khi đó phương trình (19) trở thành log 3u v u u log 3u v log 3v

Ví dụ 20 Giải bất phương trình 4 15  x 4 2  x  1 (20)

Nhân xét : Đối với bất phương trình này, ta có thể đặt ẩn phụ đưa về hệ

phương trình để giải, còn giải trực tiếp sẽ rất khó khăn

Vì v 0nên ta được 0  v 1 Suy ra 4 2  x  1 x 1

Vì điều kiện  15  x 2, nên bất phương trình (11) có nghiệm là T 1; 2

Cách giải 2 (Dùng tính đơn điệu của hàm số)

Điều kiện:  15  x 2; xét hàm số f x   4 15  x 4 2  x trên  15; 2

f(2) 1

f(-15)

Từ bất phương trình (20), suy ra bất phương trình

4 15 x 4 2  x   1 f x  f 1  x 1Kết hợp điều kiện  15  x 2 bất phương trình (11) có nghiệm là T 1; 2

Nhận xét: Qua các ví dụ về giải phương trình và bất phương trình, nhận

thấy cách giải như phương pháp đã nêu thì cách tiếp cận của học sinh trực quan và

tự tin khi tìm kết quả của lời giải Vì vậy, việc bồi dưỡng cho học sinh năng lực

tư duy, sáng tạo biết vận dụng loại kiến thức phù hợp để giải toán là cần thiết

Ví dụ 21 Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm thực phân biệt thuộc

Dựa vào bảng biến thiên, nhận thấy phương trình

t 1

1 16



Vậy giá trị của m phải tìm là: 47 3

64m2

Ví dụ 22 Tìm m để phương trình x2 2(m 2)x5m 4 0 (12) có hai nghiệm thực phân biệt x1, x2 thoả mãn x1< - 1 < x2

Giải

2

2 5

x x

x

  



(Do 5

2

x  không là nghiệm của phương trình (22 ))

Xét hàm số

( )

2 5

x x

f x

x

  



2 '

2

7

2 10 28

2

2 5

x

f x

x x





Bảng biến thiên của hàm số f(x)

x - -7 5

2  -1 2 +

f x  0 + + + 0

+ +

f x  9

-3

- - 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m < - 3 là giá trị cần tìm

Ví dụ 23 Tìm m để phương trình: x2   x 1 x2  x  1 mcó nghiệm

A m   1;1 B m    1;  C m . D m  1;1.

Giải.

Xét hàm số  f x  x2   x 1 x2  x 1 trên 

f x

f x   x x   x x x  x



 

Mặt khác: f  0   1 0, suy ra f x  0 nên hàm số f(x)đồng biến trên 

x

f x

Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 < m < 1.Chọn đáp án A

Nhận xét : Trong bài toán trên, nếu không thực hiện việc xác định giới hạn

hàm số, rất có thể học sinh nhăm lẫn tập giá trị của hàm số là  và dẫn đến kếtluận sai lầm rằng phương trình có nghiệm với mọi số thực m Do đó, tìm giới hạntrong bài toán khảo sát là rất cần thiết để tìm ra tập giá trị

Ví dụ 24 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực

Suy ra f t( ) là hàm số đồng biến trên đoạn 3;9 

Lập bảng biến thiên của hàm số f(t)

Ví dụ 25 Tìm m để phương trình sau có nghiệm trên nửa khoảng 32;

log22x 2log2x 3 mlog2x 3 ; (25)

Lập được bảng biến thiên của hàm số f(t)

Từ bảng biến thiên suy ra f  1  2mf  2  0 2  m  4 0 m 2

Do đó phương trình (26) có nghiệm khi và chỉ khi 0 m 2 Chọn đáp án D

Ví dụ 27 Tìm tham số m để bất phương trình m.16 t anx  2 4m t anx  2m 2 0 

Vậy m 2 là giá trị cần tìm

1 1

f x

x x

Từ bảng biến thiên, hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x = 0 Chọn đáp án D

Ví dụ 30 Cho hàm số F x  là một nguyên hàm của hàm số

x x x

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số F x  có 1 cực đại và 1 cực tiểu, nghĩa là

có 2 cực trị Chọn đáp án D.

Ví dụ 31 Cho hàm số f x , có bảng xét dấu f x  như sau:

Hỏi hàm số y = f(5 – 2x) đồng biến trên khoảng nào?





   

 Chọn đáp án B.

Ví dụ 32 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng

2 4 : 1 4 ;

và mặt phẳng  P : 2x y  2z  1 0 Biết rằng  song song với  P

và  tạo với d một góc bé nhất, khi đó giá trị của biểu thức m2 n2 bằng

A 4 B 13 C 8 D 25 Giải.

2592 3690 '

f  

  25

205

16 205

Từ bảng biến thiên, ta được f m  đạt giá trị lớn nhất khi m = 0; n = 2

Chọn đáp án A

Ví dụ 33 Thiết diện của hình trụ và mp chứa trục của hình trụ là hình cn có

chu vi là 12cm Giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ là

Lập bảng biến thiên của hàm số f(y)

Từ bảng biến thiên, nhận thấy

0;3    

max f y f 2  4.

Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ bằng 2 4 8 cm    3 Chọn đáp án C

Ví dụ 34 Cho hs F x  là một nguyên hàm của hàm số

x x x

Bảng biến thiên của F x  :

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số F x  có 1 cực đại và 1 cực tiểu, nghĩa là

có 2 cực trị Chọn đáp án C

Ví dụ 35 Cho hs yf x  Hs yf x  có đồ

thị như hình vẽ Biết pt f x  0 có bốn nghiệm phân

biệt a, 0, b, c với a   0 b c.Mệnh đề nào dưới đây

đúng(trích đề thi THPT Quốc gia 2018)

A f a  f c  f b  B f a   f b  f c 

C f c  f a   f b  D f b   f a   f c 

+

+

c b

Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị yf x  , đường thẳng

x a , x 0; S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị yf x , đường thẳng

m m

16 9

m m

11 Cho hàm số yf x  xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên

như hình vẽ Với m (0;3) thì phương trình f x( ) m có bao nhiêu nghiệm ?

Nhận xét: Trong các bài toán về tìm tham số có liên quan đến phương trình,

bất phương trình khi giải toán kết hợp hàm số và bảng biến thiên là một trongnhững phương pháp thông dụng, tối ưu, học sinh tìm điều kiện của tham số là dễvận dụng đưa lớp bài toán lạ về lớp bài toán thường gặp dạng f(x) = g(m) hoặcf(x) > g(m), f(x) < g(m)… Từ đó đi tìm số giao điểm của đồ thị có hàm số

y = f(x) và đường thẳng có hàm số y = g(m) Ở đó học sinh tự tin và làm chủđược kiến thức khi giải và đọc kết quả trực tiếp từ bảng biến thiên Qua đây chothấy cách giải này phù hợp với các bài toán trắc nghiệm dạng vận dụng và vậndụng cao

c Ứng dụng giải một số bài toán thực tế

Như chúng ta đã biết, chủ trương của nhà nước nói chung, của ngành giáodục nó riêng là đào tạo thế hệ học sinh biết cách vận dụng kiến thức học đượctrong nhà trường, biết vận dụng tích hợp kiến thức liên môn để vận dụng giải quyếtcác vấn đề thực tiễn ở nhiều lĩnh vực khác nhau trong cuộc sống Học sinh rất khókhăn để giải được một số dạng bài toán liên quan đến nhiều lĩnh vực kiến thứckhác nhau; từ đó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức ở nhiều môn họckhác nhau để giải quyết vấn đề nêu ra Công cụ toán học, kết hợp với một số kiếnthức liên môn giúp cho học sinh giải toán thực tế được tốt hơn, học sinh dễ tiếpcận Sau đây là một số ví dụ minh họa

Ví dụ 36 Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các

loại Hiện nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe HondaFuture Fi với chi phí mua vào một chiếc là 27 triệu đồng và bán với giá 31 triệuđồng mỗi chiếc Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong mộtnăm là 600 chiếc Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ănkhách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm 1 (triệuđồng) mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 200 chiếc Vậydoanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để sau khi đã thực hiện giảm giá,lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất?

Giải.

Gọi x ( x 0, đơn vị: triệu đồng) là giá bán mới Khi đó:

Số tiền đã giảm là: 31  x. Số lượng xe tăng lên là: 200(31  x).

Vậy tổng số sản phẩm bán được là: 600 200(31   x) 6800 200   x

Doanh thu mà doanh nghiệp sẽ đạt được là:(6800 200 )  x x

Tiền vốn mà doanh nghiệp phải bỏ ra là: (6800 200 ).27  x

Lợi nhuận mà công ty đạt được sẽ là:

Ta có bảng biến thiên hàm số L(x) là

x   30,5 

   

Từ bảng biến thiên kết luận: Lợi nhuật lớn nhất khi x = 30,5

Vậy giá bán mới mỗi chiếc xe là 30,5(triệu đồng)

Ví dụ 37 Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số

  45 2 3

f tt t (kết quả khảo sát được trong một thời điểm cụ thể) Nếu xem f t'  làtốc độ truyền bệnh (người/ ngày) tại thời điểm t Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhấtvào ngày thứ mấy ?

+ Từ bảng biến thiên của g tt    15 là giá trị cần tìm Chọn đáp án A.

Ví dụ 38 Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4 mét được đặt ở độ cao 1,8 mét so

với tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình) Để nhìn rõ nhất phải xác định vịtrí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất Hãy xác định vị trí đó ? (BOC gọi là góc nhìn)

Giải.

Điều này xảy ra khi và chỉ khi tanBOC lớn nhất

1,8

=

2

1

AC AB

OA OA

AC AB OA

x x



= 2

1,4 5,76

x

x 

Xét hàm số f(x) = 2

1,4 5,76

x x

Bảng biến thiên của hàm số f(x)

Từ bảng biến thiên kết luận: Vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhất là cách mànảnh 2,4m

Ví dụ 39 Ông A cần xây một bể nước (không nắp) bằng gạch có dạng hình

hộp có đáy là hình chữ nhật chiều dài d m( )và chiều rộng r m( ) với d  2 r Chiềucao bể nước là h m( ) và thể tích bể nước là V = 2(m3 ). Hỏi h m( ) bằng bao nhiêu

thì chi phí xây dựng là thấp nhất? ( ký hiệu m là mét)

0 0

0 x

f'(x)