Đề cương bài giảng toán kinh tế

Giúp cho người học cảm thấy thích thú, quan tâm tìm kiếm, phân tích các mô hình kinhtoán tế nhằm phản ánh mối quan hệ giữa các biến số trong nền kinh tế.. Mối liên hệ giữa các biến số Đó

UBND TỈNH PHÚ THỌ TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

ThS Đặng Văn Thanh ThS Phạm Thái Thủy

Phú Thọ, năm 2012

ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

MỤC LỤC

MỤC LỤC i

Chương 1: 1

GIỚI THIỆU MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ 1

B Nội dung 1

1.1 Các khái niệm 1

1.1.1 Khái niệm mô hình 1

1.1.2 Mô hình kinh tế 1

1.1.3 Mô hình toán kinh tế 1

1.2 Cấu trúc của mô hình 2

1.2.1 Các biến số, các tham số 2

1.2.2 Mối liên hệ giữa các biến số 2

1.2.3 Phân loại mô hình 2

1.3 Các bước xây dựng mô hình toán kinh tế 3

1.3.1 Lựa chọn vấn đề nghiên cứu 3

1.3.2 Lựa chọn cơ sở lý luận 3

1.3.3 Lựa chọn và phân tích mô hình 3

1.3.4 Mô phỏng thực tiễn và hiệu chỉnh mô hình 3

1.4 Một số phương pháp phân tích mô hình 3

1.4.1 Đo lường sự thay đổi của biến nội sinh theo sự thay đổi của biến ngoại sinh 3

1.4.2 Tính hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng) 6

1.4.3 Tính tỷ suất thay thế biên 7

1.4.4 Vấn đề quy mô và hiệu quả (Return to Scale) 7

Chương 2 10

PHÂN TÍCH CÂN BẰNG TĨNH 10

B Nội dung 10

2.1 Mô hình thị trường - Mô hình tuyến tính 10

2.1.1 Xây dựng mô hình một loại hàng hoá 10

2.1.2 Thị trường hàng hoá có liên quan 10

2.2 Cân bằng trong phân tích thu nhập quốc dân (sinh viên tự nghiên cứu) 11

2.3 Phân tích vào ra 11

2.3.1 Khái niệm 11

2.3.2 Ngành thuần tuý 11

2.3.3 Các giả thuyết cơ bản 12

2.3.4 Phân tích mô hình cân đối liên ngành 12

Chương 3 16

PHÂN TÍCH SO SÁNH - ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 16

TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ 16

B Nội dung 16

3.1 Ứng dụng phép tính đạo hàm và vi phân 16

3.1.1 Đạo hàm 16

3.1.2 Mối quan hệ giữa hàm doanh thu biên và doanh thu bình quân 17

ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

3.1.3 Mối quan hệ giữa hàm chi phí cận biên và hàm chi phí trung bình 17

3.1.4 Ứng dụng của đạo hàm riêng trong phân tích kinh tế 17

3.2 Ứng dụng của vi phân trong phân tích kinh tế 18

3.2.1 Vi phân và hệ số co giãn điểm 18

3.2.4 Ứng dụng của đạo hàm và vi phân toàn phần trong phân tích mô hình kinh tế 19

Chương 4 23

BÀI TOÁN TỐI ƯU HÓA SẢN XUẤT VÀ TIÊU DÙNG 23

B Nội dung 23

4.1 Các bài toán 23

4.1.1 Bài toán tối ưu hoá sản xuất 23

4.1.2 Bài toán tiêu dùng 24

4.2.1 Đối với bài toán chỉ một biến số (sinh viên tự nghiên cứu) 25

4.2.2 Đối với bài toán có 2 biến số 25

4.2.3 Đối với bài toán có 3 biến số 25

4.2.5 Ứng dụng trong phân tích kinh tế 27

4.2.5.1 Tìm lợi nhuận tối đa trong doanh nghiệp sản xuất nhiều loại hàng hoá ở thị trường cạnh tranh hoàn hảo 27

4.2.5.2 Tối đa hoá lợi nhuận trong doanh nghiệp sản xuất 2 loại hàng hoá ở thị trường độc quyền 27

4.2.5.3 Tìm lợi nhuận tối đa trong doanh nghiệp sản xuất 1 loại sản phẩm đem bán ở 3 thị trường riêng biệt 28

4.3 Tối ưu hoá với các ràng buộc đẳng thức 29

4.3.1 Ảnh hưởng của ràng buộc và liên hệ cực trị tự do 29

4.3.2 Phương pháp nhân tử Lagrange để giải bài toán cực trị có điều kiện của hàm số 29

4.3.3 Ứng dụng trong phân tích kinh tế 31

4.3.3.1 Tối ưu hoá lợi ích và nhu cầu của người tiêu dùng 31

4.3.3.2 Sản xuất với sản lượng tối đa 32

4.3.3.3 Sản xuất với chi phí tối thiểu các đầu vào 33

4.3.3.4 Tối đa hoá lợi nhuận của hãng độc quyền 34

Chương 5 38

BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 38

B Nội dung 38

5.1 Các ví dụ về bài toán Quy hoạch tuyến tính 38

5.1.1 Bài toán tìm lợi nhuận tối đa 38

5.1.2 Bài toán tìm chi phí tối thiểu 39

5.2 Mô hình bài toán Quy hoạch tuyến tính 40

5.2.1 Bài toán Quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát 40

5.2.2 Các dạng đặc biệt của bài toán QHTT 41

5.2.2.1 Bài toán dạng chính tắc 41

5.2.2.2 Bài toán QHTT dạng chuẩn tắc 42

5.3 Các tính chất chung của bài toán Quy hoạch tuyến tính 43

5.3.1 Tính chất 1: Sự tồn tại phương án cực biên của bài toán 43

5.3.2 Tính chất 2: Sự tồn tại phương án tối ưu của bài toán 43

5.3.3 Tính chất 3: Điều kiện tồn tại phương án cực biên tối ưu (PACBTƯ) 43

ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

5.3.4 Tính chất 4: Tính hữu hạn của số phương án cực biên của bài toán .44

5.4 Phương pháp đơn hình giải bài toán quy hoạch tuyến tính 44

5.4.1 Nội dung của phương pháp 44

5.4.2 Đặc điểm của phương án cực biên của bài toán dạng chính tắc 44

5.4.3 Cơ sở của phương án cực biên 44

5.4.4 Các định lý cơ bản của phương pháp đơn hình 45

5.4.5 Thuật toán của phương pháp đơn hình 45

5.4.5.1 Bảng đơn hình 45

5.4.5.2 Các bước thực hiện thuật toán 46

5.4.5.3 Các chú ý khi áp dụng thuật toán 47

5.4.6 Kỹ thuật biến giả 48

5.5 Phân tích quan hệ trong cặp bài toán đối ngẫu 49

5.5.1 Cách thành lập bài toán đối ngẫu 49

5.5.1.1 Cặp bài toán đối ngẫu không đối xứng 49

5.5.1.2 Cặp bài toán đối ngẫu đối xứng 50

5.5.1.3 Cặp bài toán đối ngẫu tổng quát 50

5.5.2 Các tính chất và định lý đối ngẫu 51

5.5.2.1 Các tính chất 51

5.5.2.2 Các định lý 51

Chương 6 54

BÀI TOÁN VẬN TẢI 54

B Nội dung 54

6.1 Đặt bài toán 54

6.2 Mô tả bài toán dưới dạng bảng 55

6.3 Vòng và các tính chất của vòng 55

6.4 Phương án cực biên 56

6.5 Tập ô cơ sở của phương án cực biên 56

6.6 Xây dựng phương án cực biên 56

6.6.1 Nguyên tắc phân phối tối đa 56

6.6.2 Các phương pháp xây dựng phương án cực biên 57

6.6.2.1 Phương pháp góc Tây - Bắc 57

6.6.2.2 Phương pháp Chi phí nhỏ nhất (đường gần nhất) 57

6.7 Phương pháp thế vị giải bài toán vận tải 57

6.7.1 Tiêu chuẩn tối ưu 57

6.7.2 Thuật toán của phương pháp thế vị 58

ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

Chương 1 GIỚI THIỆU MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ

Số tiết: 7 (Lý thuyết: 5 tiết; bài tập, thảo luận: 2 tiết)

A Mục tiêu

Chương này nhằm trang bị cho người học chuyên ngành kinh tế, kế toán, tài chính ngânhàng, quản trị kinh doanh những kiến thức cơ bản về mô hình và mô hình toán kinh tế Hiểu đượccác bước xây dựng mô hình toán kinh tế và có thể vận dụng vào thực tế để xây dựng được mô hìnhtoán kinh tế đồng thời đo lường được sự tác động của các biến số trong mô hình

Người học có thể ứng dụng các công cụ phân tích của toán kinh tế nhằm phân tích, hiểu

và vận dụng được vào phân tích và đo lường sự thay đổi của biến ngoại sinh đến sự biến độngcủa biến nội sinh Có các kỹ năng tư duy logic, phân tích và ra quyết định, kỹ năng phát hiện vàgiải quyết vấn đề Có kỹ năng tìm kiếm, lựa chọn thông tin và kiến thức để dùng vào những mụcđích riêng biệt

Giúp cho người học cảm thấy thích thú, quan tâm tìm kiếm, phân tích các mô hình kinhtoán tế nhằm phản ánh mối quan hệ giữa các biến số trong nền kinh tế

B Nội dung

1.1 Các khái niệm

1.1.1 Khái niệm mô hình

Mô hình là sự phản ánh hay mô tả một đối tượng hay một thực thể nào đó bằng ngônngữ, đường nét, hình ảnh, hình khối, mầu sắc, lời văn,

Như vậy, việc mô tả đối tượng cần nghiên cứu bằng mô hình liên quan đến:

- Trình độ nhận thức, tầm hiểu biết của người nghiên cứu về đối tượng

- Phương pháp diễn đạt sự nhận thức về đối tượng

1.1.3 Mô hình toán kinh tế

Mô hình toán kinh tế là mô hình kinh tế được trình bày bằng ngôn ngữ toán học Việc sửdụng ngôn ngữ toán học tạo khả năng áp dụng các phương pháp suy luận toán học và kế thừa cácthành tựu trong lĩnh vực này Đối với các vấn đề phức tạp có nhiều mối liên hệ đan xen, thậm chítiềm ẩn mà chúng ta cần nghiên cứu thì phương pháp truyền thống, phân tích giản đơn không đủhiệu lực để giải quyết, chúng ta cần đến phương pháp suy luận toán học

ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

1.2 Cấu trúc của mô hình

1.2.1 Các biến số, các tham số

- Các biến ngoại sinh (biến giải thích): Là các biến có một mức độ độc lập nhất định với

mô hình và được xem là tồn tại bên ngoài mô hình

- Các biến nội sinh (biến được giải thích): Đó là các biến tồn tại trong bản thân mô hình,

chúng phụ thuộc khăng khít với nhau và chịu tác động của các biến ngoại sinh

- Các tham số (thông số): Đó là các biến số thể hiện các đặc trưng tương đối ổn định của

hiện tượng trong vấn đề chúng ta nghiên cứu

1.2.2 Mối liên hệ giữa các biến số

Đó là các mối quan hệ kinh tế nảy sinh trong quá trình hoạt động kinh tế giữa các chủthể, giữa chủ thể với Nhà nước, giữa các khu vực, bộ phận của nền kinh tế của các quốc gia.Chúng ta có thể phân quan hệ kinh tế theo các quy luật, quy tắc hình thành chúng Các quan hệchủ yếu gồm:

- Quan hệ hành vi: Là mối quan hệ nảy sinh khi chủ thể thực hiện hành vi kinh tế

- Mối quan hệ định nghĩa (quan hệ đồng nhất): Đơn thuần là các quan hệ được định

nghĩa, được gán cho các yếu tố

- Mối quan hệ kỹ thuật: Phản ánh mối quan hệ mang tính kỹ thuật giữa các yếu tố

- Mối quan hệ thể chế: Các quan hệ hình thành do quy định của pháp luật, các văn bản

pháp quy hoặc do các quy định, quy ước, thoả thuận giữa các đối tác

- Một số quan hệ khác như: Quan hệ cầm cố, quan hệ chuyển nhượng,

1.2.3 Phân loại mô hình

Chúng ta có thể phân loại mô hình theo các căn cứ khác nhau phụ thuộc vào nội dung,hình thức, quy mô, phạm vi, công cụ hay mục đích…

- Theo trạng thái biểu hiện của các chỉ tiêu: Mô hình dạng hiện vật và mô hình dạng giá trị.

- Theo thời hạn: Mô hình ngắn hạn và mô hình dài hạn.

- Theo sự biến động của các yếu tố thời gian:

+ Mô hình tĩnh: Mô tả hiện tượng kinh tế tồn tại ở một thời điểm hay một khoảng thờigian đã xác định

+ Mô hình động: Mô tả hiện tượng kinh tế mà trong đó có các yếu tố biến động theo thờigian gọi là mô hình động

- Theo phạm vi nghiên cứu:

+ Mô hình kinh tế vĩ mô: Mô tả các hiện tượng kinh tế liên quan đến một nền kinh tế,một khu vực kinh tế gồm một số nước, ở mức gộp lợi

+ Mô hình kinh tế vi mô: Mô tả một thực thể kinh tế nhỏ hoặc những hiện tượng kinh tếvới các yếu tố ảnh hưởng trong phạm vi hẹp và ở mức độ chi tiết

ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

1.3 Các bước xây dựng mô hình toán kinh tế

1.3.1 Lựa chọn vấn đề nghiên cứu

Đó là mục tiêu người nghiên cứu, có thể là mục tiêu nhận thức, phân tích hoặc là dự đoán

1.3.2 Lựa chọn cơ sở lý luận

Đó là mục tiêu người nghiên cứu, có thể là mục tiêu nhận thức, phân tích hoặc là dự đoán

1.3.3 Lựa chọn và phân tích mô hình

Dựa vào cơ sở lý luận, mối quan hệ giữa các biến để quyết định lựa chọn các biến số vàcác phương trình của mô hình

Sử dụng các công cụ toán học để phân tích kỹ lưỡng hơn các quan hệ giữa các biến số kể

cả các quan hệ tiềm ẩn

Xác lập mối liên hệ trực tiếp giữa các biến nội sinh với các biến ngoại sinh và các tham số

1.3.4 Mô phỏng thực tiễn và hiệu chỉnh mô hình

Trên cơ sở quan hệ giữa các biến được biểu thị thông qua các biểu thức toán học, có thể

mô phỏng giả định các tình huống biến động của một số biến số để xem xét phản ứng của cácbiến số liên quan

1.4 Một số phương pháp phân tích mô hình

1.4.1 Đo lường sự thay đổi của biến nội sinh theo sự thay đổi của biến ngoại sinh

- Xét hàm Y = F(X1, X2, , Xn), tại X = X0, gọi sự thay đổi của Y là Yi khi chỉ có Xi

thay đổi một lượng nhỏXi, tức là:

- Trường hợp tất cả các biến ngoại sinh đều thay đổi với các lượng khá nhỏ ký hiệu là

X 1 , X 2 , , X n Để tính sự thay đổi của biến nội sinh y ta dùng công thức xấp xỉ:





dXn(1.3)

Xi thay đổi 1 đơn vị

Y, X2, X3 là biến nội sinh, X1 là biến ngoại sinh

Sơ đồ kênh liên hệ:

Ví dụ 1.2: Cho hàm sản lượng Q phụ thuộc vào giá cả một số loại hàng hoá.

1 1 3 3 1 2 2

Q P

P P

Q P

P P

Q dP

* Đo lường sự thay đổi tương đối

Để đo tỉ lệ thay đổi tương đối (tức thời) của biến nội sinh với sự thay đổi tương đối củamột biến ngoại sinh, người ta dùng hệ số co giãn (hệ số co giãn riêng) Hệ số co giãn (độ cogiãn) của biến Y theo biến Xi tại X = X0, ký hiệu là Y X

X F



 ( 0)

)( 0

0

X F

Nếu muốn đo lường sự thay đổi tương đối của Y khi tất cả các biến ngoại sinh đều thayđổi (tương đối) theo cùng một tỉ lệ ta dùng hệ số co giãn chung (toàn phần) được tính theo côngthức sau đây:

E (X0) là hệ số co giãn của Y theo Xi tính tại X0 E cho chúng ta biết tại X = Y

X0, tỉ lệ % thay đổi của Y khi tất cả các biến Xi cùng thay đổi 1% Xu hướng thay đổi của Y phụthuộc vào dấu và độ lớn của các hệ số co giãn

Nói chung hệ số co giãn của Y phụ thuộc vào điểm chúng ta tính, tức là phụ thuộc vàocác biến ngoại sinh Tuy nhiên, nếu quan hệ giữa Y và các biến ngoại sinh có dạng

Y = 0





n

i i

1

Ví dụ 1.3:

Với Q là mức sản lượng, K là vốn và L là khối lượng lao động được sử dụng người ta có

mô hình quen thuộc (mô hình hàm sản xuất), giả sử có dạng: Q = akL

- Sử dụng quy tắc tính đạo hàm, ta có thể chứng minh các công thức sau:

1.4.2 Tính hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng)

Nếu trong trường hợp mô hình có biến ngoại sinh là biến thời gian, khi này sự biến độngcủa biến nội sinh theo thời gian được đo bằng hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng) Hệ số tăngtrưởng của một biến đo tỉ lệ biến động của biến theo đơn vị thời gian

Giả sử Y = F(X1, X2, , Xn, t) với t là biến thời gian Hệ số tăng trưởng của Y – ký hiệu là

ry- được định nghĩa theo công thức: ry =

Y t

Y





(1.7)Thông thường ry được tính theo tỉ lệ %

Ví dụ: Với công thức tính lãi kép liên tục, ta có lượng tiền thu được tại thời điểm t (Vt) tínhtheo công thức: Vt = V0er tTrong đó: V0 là vốn gốc, r là lãi suất, t là thời gian

Hệ số tăng trưởng của Vtlà: rv =

t

t

V t

V





Nếu thời gian t không quá dài hoặc lãi suất r tính theo từng chu kỳ thì công thức trên có dạng:

Vt= V0(1 + r)t và do đó hệ số tăng trưởng của Vt là Ln(1+r)

Từ công thức định nghĩa hệ số tăng trưởng và các quy tắc tính đạo hàm, ta có thể chứngminh các công thức sau:

Cho U = G(t), V = H(t)

Nếu Y = UV thì rY = rU + rV Nếu Y = U/V thì rY = rU– rV

Nếu Y = U + V thì rY =

V U

U

 rU +

V U

U

 rV

Nếu Y = U – V thì rY =

V U

U

 rU

-V U

r

Trong đó, E là hệ số co giãn của Y theo X Y Xi i và rXi là hệ số tăng trưởng của Xi

ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

1.4.3 Tính tỷ suất thay thế biên

Trong nhiều mô hình ta thấy một biến nội sinh có thể phụ thuộc nhiều biến ngoại sinh vàcác biến ngoại sinh có thể thay thế lẫn nhau Ta có thể tính tỷ suất thay thế của các biến cho nhaunhư sau:

Giả sử: Y = F(x1, x2, , xn) là hàm khả vi theo tất cả các biến:





(1.11)

Đó chính là tỷ suất thay thế của x2 cho x1 nó cho biết khi giảm x2 một đơn vị cần tăng x1

bao nhiêu đơn vị để kết quả y không đổi Một cách tổng quát ta tính được tỷ suất thay thế giữabiến xj và biến xinhờ công thức:

MRSxi/xj =

j

i dx

1.4.4 Vấn đề quy mô và hiệu quả (Return to Scale)

Về mặt dài hạn, doanh nghiệp có khả năng thay đổi tất cả các yếu tố và tình huống đượcquan tâm là khi tất cả các yếu tố đều thay đổi theo cùng một tỷ lệ (tương đối, tuyệt đối) thì tácđộng này ảnh hưởng như thế nào tới sản lượng Khi này chúng ta đề cập tới vấn đề tăng quy mô

và hiệu quả

ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

Cho hàm sản xuất: Q = F(X1, X2, , Xn), vớiX = (X1, X2, ,Xn), ta nói quy mô sảnxuất tăng với hệ số ( > 1).

Nếu:

- F(X) >F(X) ta có thể nói rằng tăng quy mô có hiệu quả (hiệu quả tăng theo quy mô)

- F(X) <F(X) ta nói rằng tăng quy mô không có hiệu quả (hiệu quả giảm theo quy mô)

- F(X) =F(X) ta có thể nói rằng tăng quy mô không làm thay đổi hiệu quả (hiệu quảkhông thay đổi theo quy mô)

* Chú ý: Hiệu quả ở trên chỉ phản ánh hiệu quả kỹ thuật của sản xuất không hề đồng nhất

khái niệm này với hiệu quả kinh tế

Kết luận: Tăng quy mô không làm thay đổi hiệu quả

* Nhận xét: Đối với hàm sản xuất dạng Cobb – Douglas với 2 yếu tố vốn (K) và lao động

(L): Q = aKL

+ Khi + > 1 thì hiệu quả tăng theo quy mô

+ Khi + < 1 thì hiệu quả giảm theo quy mô

+ Khi + = 1 thì hiệu quả không đổi theo quy mô

C Tài liệu học tập

1 Nguyễn Quang Dong (2006), Giáo trình mô hình toán kinh tế, NXB Thống kê, Hà Nội.

2 Lê Đình Thuý (2008), Toán cao cấp cho các nhà kinh tế (Phần I: Đại số tuyến tính), NXB Đại học Kinh tế quốc dân, Hà Nội.

D Câu hỏi ôn tập & bài tập

1 Khái niệm mô hình toán kinh tế? Lấy ví dụ minh hoạ cụ thể?

2 Trình bày cấu trúc của mô hình toán kinh tế?

3 Trình bày các bước để xây dựng mô hình toán kinh tế?

Bài 1:

Một doanh nghiệp có hàm tổng doanh thu TR = 58Q – 0,5Q2 và hàm tổng chi phí TC = 1/3Q3–8,5Q2 + 97Q + FC Trong đó: Q là sản lượng và FC là chi phí cố định

a, Với FC = 4, hãy xác định mức sản lượng để tối đa hoá lợi nhuận

b, Hãy phân tích tác động của chi phí cố định FC tới mức sản lượng tối đa hoá lợi nhuận

và mức lợi nhuận tối đa

ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

Bài 2:

Cho hàm tổng chi phí: TC = Q3– 5Q2+ 14Q + 144; (Q > 0)

a, Khảo sát sự thay đổi tuyệt đối của TC theo Q từ đó cho nhận xét mở rộng sản xuất

b, Tính hệ số co giãn của TC theo Q tại Q = 2

c, Cho giá sản phẩm là P = 70, với mức thuế doanh thu 20%, tính lợi nhuận khi Q = 3.Bài 3:

Cho hàm tổng chi phí TC = 4000 + 10Q + 0,1Q2 (Q: là sản lượng) Giá cả P được xácđịnh bởi phương trình: Q = 800 – 2,5P

a, Tìm hàm chi phí cận biên MC

b, Tìm hàm chi phí trung bình AC, khảo sát sự thay đổi của nó

c, Tìm hệ số co giãn của TC tại P = 80

ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

Chương 2 PHÂN TÍCH CÂN BẰNG TĨNH

Số tiết: 8 (Lý thuyết: 4 tiết; bài tập, thảo luận: 4 tiết)

A Mục tiêu

Chương này nhằm cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản về mô hình thị trường, xâydưng mô hình thị trường và phân tích cân bằng tĩnh Hiểu được các bước xây dựng mô hình toánkinh tế và có thể vận dụng vào thực tế để xây dựng được mô hình thị trường đồng thời đo lườngđược sự tác động của các biến số kinh tế đến cân bằng thị trường

Người học có thể ứng dụng các công cụ phân tích của toán kinh tế nhằm phân tích, hiểu

và vận dụng được vào phân tích và đo lường sự thay đổi của các biến trong mô hình thì trường

Có các kỹ năng tư duy logic, phân tích và ra quyết định, kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề

Có kỹ năng tìm kiếm, lựa chọn thông tin và kiến thức để dùng vào những mục đích riêng biệt

Giúp cho người học cảm thấy thích thú với bài toán cân bằng thị trường, qua đó phân tíchđược sự biến động của giá cả thị trường và các vấn đề kinh tế khác trong nền kinh tế

B Nội dung

2.1 Mô hình thị trường - Mô hình tuyến tính

2.1.1 Xây dựng mô hình một loại hàng hoá

Thị trường 1 loại hàng hóa:

Hàm cung : Qs = -a0 + a1P

Hàm cầu : Qd = b0- b1P

Trong đó: ai,bi≥ 0, P giá hàng hóa

Mô hình cân bằng thị trường:

Qs = Qd=> (a1+b1)P = (a0+b0)

Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có các thông tin:

Hàm cung : Qs = -1 + P

Hàm cầu : Qd = 3 – P

Hãy tìm mức sản lượng và giá cân bằng của thị trường?

2.1.2 Thị trường hàng hoá có liên quan

- Thị trường 2 loại hàng hóa:

Hàng hóa 1có hàm cung và cầu như sau:

2 12 1 11 10 1

1

P b P b b Q

P a P a a Q d s

Hàm cung cầu của hàng hóa 2:

ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

















2 22 1 21 20

2 22 1 21 20 2

2

P b P b b Q

P a P a a Q d s

Mô hình cân bằng:











 2 2

1 1

d s

d s Q Q

Q Q

(2.1)

Hệ phương trình cân bằng:































) (

) (

) (

) (

) (

) (

20 20 2

22 22 1 21 21

10 10 2

12 12 1 11 11

b a P b a P b a

b a P b a P b a



















20 2 22 1 21

10 2 12 1 11

c P c P c

c P c P c

- Thị trường n loại hàng hóa:

Giả sử sản phẩm thứ i có hàm cung và cầu như sau:





























n in i

i i d

n in i

i i s

P b P

b P b b Q

P a P

a P a a Q

i

i

2 2 1 1 0 2 2 1 1 0 Nếu đặt: cij = (aij– bij) Khi đó, hệ phương trình cân bằng:                       0 2 2 1 1 20 2 2 22 1 21 10 1 2 12 1 11

n n nn n

n

n n

n n

c P c P

c P c

c P c P

c P c

c P c P

c P c

(2.2)

2.2 Cân bằng trong phân tích thu nhập quốc dân

2.3 Phân tích vào ra

2.3.1 Khái niệm

Bảng I/O (Input – Output Tables) lần đầu tiên được Wassily Leotief đưa ra vào năm

1927 Thực chất của bảng này là phương pháp sổ kép ghi lại phân phối sản phẩm của các ngành trong nền kinh tế quốc dân và quá trình hình thành sản phẩm của mỗi ngành

2.3.2 Ngành thuần tuý

Mô hình I/O (Input – Output Models) coi nền kinh tế quốc dân là một thể thống nhất gồm

n ngành sản xuất thuần túy có quan hệ mật thiết với nhau

Có tương ứng một – một giữa ngành thuần túy và sản phẩm Về nguyên tắc với mỗi sản phẩm ta có một ngành thuần túy

Một số nhận xét:

- Mỗi quốc gia có thể có nhiều ngành thuần túy và ngành thuần túy có thể nằm trong nhiều ngành kinh tế khác nhau

ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

- Khi nhóm gộp các sản phẩm cần tuân thủ những quy tắc, các tiêu chuẩn nhất định.

2.3.3 Các giả thuyết cơ bản

- Đồng nhất về mặt công nghệ

- Đồng nhất về mặt sản phẩm

- Công nghệ tuyến tính, cố định

- Hiệu quả dây truyền

2.3.4 Phân tích mô hình cân đối liên ngành

Năm 1941, Wassily Leontief lần đầu trình bày mô hình cân đối liên ngành (còn gọi là môhình I/O) trong công trình “Cấu trúc của nền kinh tế Hoa Kỳ” Ngày nay, mô hình I/O và các ứngdụng cụ thể trong phân tích và dự báo về cấu trúc kinh tế của một đất nước hoặc một vùng trên

cơ sở xem xét các mối quan hệ liên ngành trong nền kinh tế đã và đang được ứng dụng rộng rãi ởnhiều nước trên thế giới

Từ năm 1990, Việt Nam đã bắt đầu nghiên cứu chuyển đổi hệ thống thống kê theo hệthống tài khoản quốc gia (SNA) Trên cơ đó, được sự hỗ trợ chuyên môn, kỹ thuật của cácchuyên gia Thống kê Liên Hợp quốc, Tổng Cục thống kê đã xây dựng bảng cân đối liên ngànhđầu tiên cho Việt Nam - Bảng năm 1989 Đến nay tại Việt Nam, đã có 4 bảng I/O quốc gia đượcTổng Cục Thống kê lập và công bố chính thức (1989, 1996, 2000 và 2007) Đây là những nguồntài liệu rất quan trọng, là cơ sở để vận dụng mô hình I/O trong phân tích và dự báo nền kinh tếViệt Nam

Việc xây dựng bảng I/O cho nền kinh tế đòi hỏi phải tiêu tốn rất nhiều thời gian và nguồnlực, tuy nhiên, việc vận dụng các bảng này cho nghiên cứu phát triển của Việt Nam vẫn chưađược chú trọng đúng mức Một trong những nguyên nhân của tình trạng trên là ở Việt Nam hiện

có rất ít tài liệu trình bày một cách cụ thể và dễ hiểu cấu trúc cơ bản của mô hình I/O cũng nhưcác bước tính toán và phân tích số liệu Mục tiêu của bài viết này là giới thiệu các ứng dụng cơbản mô hình I/O trong phân tích và dự báo kinh tế của quốc gia cho những người mới bắt đầutiếp cận mô hình này

- Cấu trúc cơ bản của mô hình cân đối liên ngành

Mô hình I/O mô phỏng mối quan hệ giữa các ngành trong nền kinh tế trong quá trìnhsản xuất và sử dụng sản phẩm của một nước theo hệ thống hàm tuyến tính Cấu trúc của bảngcân đối liên ngành được thể hiện như sau:

ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

Tiêu dùng trung gian Tiêu dùng trung gian

Tiêu dùng cuối cùng Tiêu dùng cuối cùng

GO GO

…

Ci Gi Ii Xi - Mi

Cn Gn In Xn - Mn

X1 X2

… Xi

… Xn

ÔI:: Thể hiện chi phí trung gian của các ngành; Phần tử X ij của ma trận X thể hiện ngành

j sử dụng sản phẩm i làm chi phí trung gian trong quá trình sản xuất sản phẩm j Tổng theo cột

của ÔI thể hiện tổng chi phí trung gian của từng ngành (intermediate input)

ÔI: Những sản phẩm của các ngành được sử dụng cho nhu cầu sử dụng cuối cùng, bao:

tiêu dùng cuối cùng của hộ gia đình (C), tiêu dùng của chính phủ (G), tích luỹ tài sản (I), xuấtkhẩu ròng: xuất khẩu (X) - nhập khẩu (M)

ÔI I:: Thể hiện giá trị gia tăng của các ngành bao gồm thu nhập của người lao động (L),khấu hao tài sản cố định (K), thặng dư sản xuất (P) và thuế gián thu đánh vào sản phẩm (T)

Xét theo cột của bảng I/O, có thể nhận thấy để thực hiện quá trình sản xuất mỗi ngànhphải sử dụng các yếu tố đầu vào từ các ngành khác trong nền kinh tế và kết hợp các yếu tố đầu

vào với giá trị gia tăng để tạo ra giá trị sản xuất cho từng ngành (X i) Như vậy, giá trị sản xuất

của mỗi ngành được xác định bằng tổng đầu vào trung gian được mua từ các ngành khác và giátrị gia tăng được tạo ra bởi chính ngành đó Mặt khác, mỗi hàng trên bảng I/O cho thể hiện trịsản xuất của từng ngành được sử dụng cho tiêu dùng trung gian của các ngành trong nền kinh tế

và cho tiêu dùng cuối cùng Ký hiệu Bi là giá trị tiêu dùng cuối cùng của ngành thứ i, ta có thể

biểu diễn mối quan hệ tuyến tính giữa giá trị sản xuất, tiêu dùng trung gian và tiêu dùng cuốicùng của các ngành trong nền kinh tế bằng hệ phương trình sau:

ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

vào tăng cao của một số ngành khác Đến lượt mình, các ngành khác lại có điều kiện mở rộng sản xuất, tạo ra nhu cầu đầu vào từ các ngành khác nữa và sự lan tỏa này diễn ra trong toàn bộ nền kinh tế qua rất nhiều vòng

Để phân tích tác động trực tiếp của một ngành đến các ngành đầu vào của nó, người ta sử

dụng hệ số chi phí trung gian trực tiếp Hệ số này cho biết để tạo ra được một đồng giá trị sản xuất

của một ngành nào đó, cần phải yêu cầu bao nhiêu giá trị đầu vào mua từ trực tiếp từ các ngành

khác Hệ số chi phí trung gian trực tiếp aij cho biết để sản xuất được 1 đồng giá trị sản xuất của ngành j cần yêu cầu bao nhiêu giá trị trung gian mua từ ngành i, được tính theo công thức sau:

j

ij ij

X

X

a 

Hay Xij = aijXj













































n n nn n

n

n

n n

n n

B X a X

a X

a

X

B X a X

a X

a

X

B X a X

a X

a

X

2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 2 1 1 2 12 1 11 1 Hay:                        n n nn n n n n n n B X a X a X a B X a X a X a B X a X a X a ) 1 .(

) 1 (

) 1 ( 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 Đặt              

 nn a m a n a n a a a n a a a A

2 1

2

22 21 1

12 11

2 1              n B B B B

2 1

B X A

Trong đó:

A: ma trận hệ số kỹ thuật hay ma trận chi phí trực tiếp

aij: hệ số chi phí cho nhập lượng hay hệ số kỹ thuật

Dòng i: giá trị sản phẩm ngành i bán cho mỗi ngành

Cột j: giá trị sản phẩm ngành j mua mỗi ngành để sử dụng

[I-A] là ma trận Leontief

ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

Công thức (2.4) có thể biến đổi để biểu diễn quan hệ cơ bản nhất của mô hình I/O, chophép đo lường sự thay đổi của giá trị sản xuất của từng ngành cũng như tổng giá trị sản xuất của

cả nền kinh tế dưới tác động của sự thay đổi về tiêu dùng cuối cùng về sản phẩm của từng ngành:

B A

X   

)1

Ma trận 1

)1( A  là ma trận hệ số chi phí toàn phần, hay thường gọi là ma trận nghịch đảoLeontief, ký hiệu là ma trận Ma trận này cho biết chi phí toàn phần để sản xuất ra một đơn vị sửdụng cuối cùng của một ngành nào đó

- Mô hình I/O mở rộng

Mô hình trên chỉ cho phép nghiên cứu mối quan hệ tác động qua lại giữa các ngànhsản xuất, theo đó sự tăng (hoặc giảm) tiêu dùng cuối cùng về sản phẩm của một ngành trướchết sẽ tác động đến sản lượng sản xuất của chính ngành đó và từ đó sẽ kích thích sản xuấtcủa các ngành khác thông qua các mối quan hệ đầu vào đầu ra giữa các ngành Trên thực tế,

sự tăng trưởng về qui mô sản xuất của các ngành còn đặt ra yêu cầu tăng thêm về lao động

và do đó tạo ra được việc làm và thu nhập tăng thêm cho người lao động Các khoản thunhập tăng thêm này sẽ được sử dụng cho tiêu dùng của các hộ gia đình và sự tiêu dùng tăngthêm này đến lượt nó lại kích thích phát triển sản xuất

Chính vì vậy, trong phân tích mô hình I/O, người ta thường sử dụng mô hình "mởrộng", theo đó đưa vào trong mô hình thêm một dòng và một cột

C Tài liệu học tập

1 Nguyễn Quang Dong (2006) Giáo trình mô hình toán kinh tế, NXB Thống kê, Hà Nội.

2 Lê Đình Thuý (2008) Toán cao cấp cho các nhà kinh tế (Phần I: Đại số tuyến tính), NXB Đại học Kinh tế quốc dân, Hà Nội.

3 Bài giảng Toán kinh tế, Trường Đại học nông nghiệp Hà Nội, 2009

4 Mankiw, Gregory (2003), Nguyên lý kinh tế học tập 2, Đại học KTQD, NXB Thống kê.

5 Leontief.,1998, “The Economic Structure: Empricial Result of input output Computable” In:W.Leontief, ed, Input-Output Economics, Oxford University Press, New York

D Câu hỏi ôn tập và thảo luận

1 Khái niệm phân tích vào ra ? Cho ví dụ ?

2 Ngành thuần túy là gì? Cho ví dụ ?

3 Phân tích mô hình cân đối liên ngành?

4 So sánh phân tích vào ra của Mỹ và Việt Nam?

5 Thu nhập quốc dân? Những yếu tố nào ảnh hưởng đến thu nhập quốc dân?

6 So sánh sản phẩm và hàng hóa?

ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

Chương 3 PHÂN TÍCH SO SÁNH - ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ

Số tiết: 9 (Lý thuyết: 3 tiết; bài tập, thảo luận: 6 tiết)

Giúp cho người học cảm thấy thích thú với các ứng dụng của toán học và cách thức sửdụng công cụ này trong phân tích kinh tế

- Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó

- f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạohàm phải tại a và đạo hàm trái tại b

Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx

Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số:

Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì:

ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

(u + v) cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’

(u.v) cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u

(u/v) cũng có đạo hàm tại x\V(x)0 và 2

'

''

v

u v v u v

3.1.2 Mối quan hệ giữa hàm doanh thu biên và doanh thu bình quân

Doanh thu biên MR: (Marginal Revenue)

Hàm doanh thu: TR = PQ suy ra:MR = TR’Q

Nếu: Q do thị trường quyết định, giá do doanh nghiệp quyết định thì MR là đại lượng đolường sự thay đổi của doanh thu khi sản lượng tăng thêm 1 đơn vị

Nếu: Q do doanh nghiệp quyết định, giá do thị trường quyết định thì MR là đại lượng đolường sự thay đổi của doanh thu khi giá tăng thêm 1 đơn vị

Ví dụ 3.1.: Cho hàm doanh thu trung bình AR(Q) = 15 - Q

Doanh thu bình quân: MR = TR’(Q)

Chênh lệch MR – AR = -Q

3.1.3 Mối quan hệ giữa hàm chi phí cận biên và hàm chi phí trung bình

Chi phí biên MC: (Marginal Cost)

Hàm chi phí: TC = TC(Q) suy ra: MC = TC’Q

MC là đại lượng đo lường sự thay đổi của chi phí khi sản lượng tăng lên một đơn vị

Ví dụ 3.2: Tìm MC và MC là bao nhiêu khi Q = 50 và cho nhận xét

TC = 0,0001Q3– 0,02Q2 + 5Q + 100

Chi phí bình quân: AC

3.1.4 Ứng dụng của đạo hàm riêng trong phân tích kinh tế

Định nghĩa: cho hàm z = f(x,y) xác định trong miền D, M0(x0,y0) D Nếu cho y = y0 làhằng số, hàm số một biến f(x,y0) có đạo hàm tại x = x0, được gọi là đạo hàm riêng của f đối với xtại M0 Ký hiệu:

),(

z),,(

f,),

'

y x x y x x y x

ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

f y

),(

'' 2

2

y x f x

f x

'' 2

y x f x y

f x

'' 2

y x f y x

f y

'' 2

y x f y y

f y

Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng cấp 3,…

Định lý (Schwarz): Nếu trong lân cận nào đó của M0 hàm số f(x,y) tồn tại các đạo hàmriêng và liên tục tại M0 thì fxy = fyx tại M0

Định lý này cũng đúng cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn của n biến số (n3)

Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm z = f(u,v) là các hàm số khả vi của u,v và các hàm số

u = u(x,y), v = v(x,y) có các đạo hàm riêng ux, uy, vx, vy thì tồn tại các đạo hàm riêng:

x

v v

f x

u u

f x

f y

u u

f y

Ví dụ: Tính z = eucosv, u = xy, v = x/y

3.2 Ứng dụng của vi phân trong phân tích kinh tế

3.2.1 Vi phân và hệ số co giãn điểm

Khái niệm vi phân:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 Gọi Δx là số gia của biến số tại x0 Tích f'(x0).Δxđược gọi là vi phân của hàm số f tại x0ứng với số gia Δx (vi phân của f tại x0)

Ký hiệu: df(x0) = f'(x0).Δx Nếu lấy f(x) = x thì df = dx = (x)'.Δx = Δx Do đó ta thay

Δx = dx và có: df(x0) = f(x0)dx

ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

Cho hàm số y = f(x) và f( khả vi, ta ký hiệu d y = y dx (d f = f dx) được gọi là viphân cấp n của hàm số f.

Vi phân của tổng, tích, thương:

(),(x0 y0 f x0 x y0 y f x0 y0

f    

theo các số giax,y của các biến x, y tại (x0, y0) có thể được viết dưới dạng

y x y B x A y x

g

dg h dh g g

f t

f dt

f t

3.2.4 Ứng dụng của đạo hàm và vi phân toàn phần trong phân tích mô hình kinh tế

Định nghĩa: Hàm số f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm M0(x0,y0) nếu tồn tại một lân cận

 của M0 sao cho f(M) f(M0),M  (f(M) f(M0),M ) F(M0) gọi chung là cực trị

ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

0 0 ' y

0 0 ' x

(3.20)

- Điều kiện đủ của cực trị

Cho hàm số z = f(x,y) Tại những điểm thỏa mãn zx = zy = 0

Ta gọi định thức Hessian:

yy yx

xy xx z z

z z

Đặt:

yy yx

xy xx

z z H z

|

0

|H

|

0

|H

|

2

1

thi z đạt cực đại

Ví dụ: tìm cực trị hàm số: z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8, với điều kiện z = x3 + y3

- Cực trị của hàm nhiều biến

0'

0'

2 1

xn

x x

y

y y

(3.22)

+ Điều kiện đủ của cực trị

Tại những điểm thỏa fx1 = fx1 = … fx1 = 0, giả sử tại đó tồn tại các đạo hàm riêng cấp 2

Ta có định thức Hessian:

nn n

n

n n

n

f f

f

f f

f

f f

f H

2 22

21

1 12

11

Đặt:

nn n

n

n n

n

f f

f

f f

f

f f

f

H f

f

f f H f H

2 1

2 22

21

1 12

11

22 21

12 11 2 11

Khi đó:

ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

Nếu |H1|>0, |H2|>0,…, |Hn|>0: z đạt cực tiểu

Nếu |H1|<0, |H2|>0,… (-1)n|Hn|>0: z đạt cực đại

Ví dụ 3.3: Tìm cực trị hàm số y = x3 + y2 + 2z2-3x - 2y – 4z

* Cực trị có điều kiện

- Cực trị của hàm hai biến

Cho hàm số z = f(x,y) với điều kiện g(x,y) = c gọi là cực trị có điều kiện

Định lý: Nếu M0(x0,y0) là cực trị có điều kiện trên

Đặt hàm Lagrange: L(x,y,) = f(x,y) +(c-g(x,y)) với g’x,g’y không đồng thời bằng 0 thì:

y x g c L

g f L

g f L

y y y

x x x







(3.24)

 là nhân tử Lagrange, điểm M0(x0,y0) của hệ trên gọi là điểm dừng

Ví dụ: Tìm điểm dừng của z(x,y), với điều kiện x + y = 1

2 2

1 x y

z  

+ Điều kiện đủ để có cực trị có điều kiện:

Định lý: Nếu f, g có đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại điểm dừng M0, xét định thứcHessian đóng:

yy yx y

xy xx x

y x

L L g

L L g

g g H

0

Nếu |H|>0: f đạt cực đại có điều kiện

Nếu |H|<0: f đạt cực đại có điều kiện

n n

n n n

L L

L g

L L

L g

L L

L g

g g

2 22

21 2

1 12

11 1

2 1

Nếu |H2|<0, |H3|<0,… |Hn|<0: z đạt cực tiểu

Nếu |H2|>0, |H3|<0,… (-1)n|Hn|>0: z đạt cực đại

ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

C Tài liệu học tập

1 Nguyễn Quang Dong (2006), Giáo trình mô hình toán kinh tế, NXB Thống kê, Hà Nội.

2 Lê Đình Thuý (2008), Toán cao cấp cho các nhà kinh tế (Phần I: Đại số tuyến tính), NXB Đại

học Kinh tế quốc dân, Hà Nội

D Câu hỏi ôn tập và bài tập

1 Khái niệm đạo hàm và đạo hàm riêng? Cho ví dụ ?

2 Nêu các ứng dụng của hệ số co giãn trong kinh tế?

C Cực trị có rằng buộc:

23 Tìm cực trị hàm số u = x – 2y + 2z với điều kiện x2 + y2 + z2 = 1

24 Tìm cực trị có điều kiện của hàm số: f = 6 – 4x – 3y với điều kiện x2 + y2 = 1

25 Tìm cực trị có điều kiện của hàm số: g = 6 – 4x2– 3y với điều kiện x2 + y2– 3xy = 1

ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

Chương 4 BÀI TOÁN TỐI ƯU HÓA SẢN XUẤT VÀ TIÊU DÙNG

Số tiết: 12 (Lý thuyết: 6 tiết; bài tập, thảo luận: 5 tiết; kiểm tra: 1)

A Mục tiêu

Chương này nhằm giúp cho người học củng có lại kiến thức về đạo hàm, hàm số, vi phân vàcực trị trong toán học Hiểu được mối quan hệ giữa doanh thu và lợi nhuận của doanh nghiệp, lợi ích

và nhu cầu của người tiêu dùng trong những điều kiện giới hạn (hay có những rằng buộc)

Người học có thể ứng dụng bài toán tối ưu hóa trong sản xuất và tiêu dùng để có thể hiểuhơn về các hoạt động của doanh nghiệp và có cách lựa chọn thông minh nhằm đạt được lợi íchtối ưu và chi phí tiêu tối thiểu, qua đó nâng cao hiệu quả sản xuất và hiệu quả trong tiêu dùng

Giúp cho người học cảm thấy thích thú, quan tâm và tự mình trả lời được những vấn đềliên quan đến sự lựa chọn trong điều kiện nguồn lực có hạn Đồng thời, người học sẽ thấy thêmcác ứng dụng rộng lớn của toán học trong phân tích kinh tế, gắn với các hoạt động thực tiễn

B Nội dung

4.1 Các bài toán

4.1.1 Bài toán tối ưu hoá sản xuất

Giả sử xét một doanh nghiệp sản xuất ra sản phẩm hàng hoá Để sản xuất ra sản phẩm đó,doanh nghiệp cần sử dụng n yếu tố đầu vào khác nhau Khi biết được chi phí cho một đơn vị yếu

tố đầu vào, lúc đó doanh nghiệp có thể gặp phải 2 tình huống sau:

Tình huống 1: Với số kinh phí đầu tư ấn định trước, doanh nghiệp muốn lựa chọn tổ

hợp sử dụng các yếu tố sao cho mức sản lượng là cao nhất – tối đa hoá sản lượng

Tình huống 2: Với mức sản lượng dự kiến sản xuất, doanh nghiệp phải tiêu tốn một

khoản chi phí để thực hiện, đương nhiên là doanh nghiệp muốn lựa chọn tổ hợp sử dụng các yếu

tố sao cho mức chi phí là thấp nhất – cực tiểu hoá chi phí

* Mô hình hoá bài toán

Gọi x1, x2, , xn lần lượt là số lượng các yếu tố đầu vào được sử dụng để sản xuất ra sảnphẩm hàng hoá cho doanh nghiệp (xj 0)

Gọi P1, P2, , Pn lần lượt là giá (chi phí) cho mỗi đơn vị yếu tố đầu vào

Gọi Q là số đơn vị sản phẩm được sản xuất ra, giữa Q và số lượng các yếu tố đầu vào xj cómột mối quan hệ, mối quan hệ đó được phản ánh thông qua hàm số sau:

Q = F(x1, x2, , xn) hay có thể viết Q = F(X)Trong đó X = (x1, x2, , xn) và Q được gọi là hàm sản xuất của doanh nghiệp Vì doanhnghiệp có thể lựa chọn mục tiêu tối đa hoá sản lượng hoặc cự tiểu hoá chi phí nên chúng ta phân

ra hai trường hợp:

ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

Trường hợp 1: Tối đa sản lượng

Gọi K là kinh phí doanh nghiệp dự kiến đầu tư mua các yếu tố với mức x1, , xn để sảnxuất Do biết được giá của mỗi đơn vị yếu tố đầu vào, ta có thể viết được hàm tổng chi phí sau:

Trường hợp 2: Cực tiểu chi phí

Ta gọi Q0 là mức sản lượng doanh nghiệp dự kiến sản xuất Khi đó bài toán trở thành:Xác định xj 0 (j = 1, , n) để cho hàm số:





n

j 1

PjxjMin (chi phí sản xuất nhỏ nhất) (4.3)

Nhưng với điều kiện ràng buộc về số đơn vị sản phẩm cần sản xuất:

Q = F(x1, x2, , xn) = Q0 (4.4)

4.1.2 Bài toán tiêu dùng

Tác nhân hoạt đông trên lĩnh vực tiêu thụ hàng hoá gọi là người tiêu dùng Trong trườnghợp hàng hoá được tiêu thụ là sản phẩm cuối cùng thì người tiêu dùng được gọi là hộ gia đình

Hộ gia đình quyết định chọn loại hàng nào, mua với khối lượng bao nhiêu phụ thuộc vào:

Trường hợp 2:

Giả sử lợi ích cần đạt được là ấn định, do đó yêu cầu xác định cơ cấu tiêu dùng hợp lý đểngười tiêu dùng đáp ứng được lợi ích đã được đặt ra đó với chi phí dành cho tiêu dùng là nhỏnhất

ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

4.2 Phương pháp tìm cực trị tự do của hàm số

4.2.1 Đối với bài toán chỉ một biến số (sinh viên tự nghiên cứu)

4.2.2 Đối với bài toán có 2 biến số

Cho hàm số y = f(x) Điều kiện cần để hàm số có cực trị là dy = 0 (vi phân cấp 1):

dy = f ‘(x).dx dy = 0 f‘(x) = 0

- Điều kiện đủ để hàm số có cực đại: d2y < 0

- Điều kiện đủ để hàm số có cực tiểu: d2y > 0

22 11

f.ff

0f

;0f

22 11

f.ff

0f

;0f

2

x x

4.2.3 Đối với bài toán có 3 biến số

Giả sử ta có hàm số gồm 3 biến x1, x2, x3; y= f(x1, x2, x3) Để tìm điều kiện cực trị củahàm số trên chúng ta xét vi phân toàn phần cấp 2 d2y:

d2y = d(dy) =

1

)(

1 2

23 22 21

13 12 11

f f f

f f f

f f f

- Theo tính chất của Young (fxy = fyx) f12 = f21 ; f13 = f31; f23 = f32

Từ định thức H ta lập nên các định thức Hk được tạo từ k dòng đầu và k cột đầu của địnhthức H

* Vì vậy d2y được gọi là xác định dương khi:

3 2 1

H H

3 2 1

H H

n

n n

f f

f

f f

f

f f

f H

2 22

21

1 12

11

Chúng ta lần lượt lập các định thức Hktừ k dòng đầu và k cột đầu của H

* d2y được gọi là xác định dương khi

02

01

Hn

H H

(4.12)

ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

* d2y được gọi là xác định âm khi:

H H

)1(

02

01

(4.12)

4.2.5 Ứng dụng trong phân tích kinh tế

4.2.5.1 Tìm lợi nhuận tối đa trong doanh nghiệp sản xuất nhiều loại hàng hoá ở thị trường cạnh tranh hoàn hảo

Thị trường cạnh tranh hoàn hảo là thị trường trong đó có vô số người bán, vô số ngườimua mà quyết định mua bán của họ không ảnh hưởng gì tới giá cả thị trường

Ví dụ 4.2 Ta hãy nghiên cứu một doanh nghiệp có 2 mặt hàng bán ra thị trường vớilượng là Q1 và Q2 Với giá của mặt hàng thứ nhất là P1, với giá của mặt hàng thứ 2 là P2

- Ta có được hàm doanh thu là TR = P1Q1 + P2Q2

- Giả sử ta có được hàm chi phí TC = 2Q1 + Q1Q2+ 2Q2

- Lợi nhuận khi bán hàng π = TR – TC

Để tìm lợi nhuận tối đa của doanh nghiệp với các biến Q1, Q2 trước tiên ta tính đạo hàmriêng của π theo Q1, Q2:

Giả sử cho P1 = 12 và P2 = 18 thay vào hệ trên sau đó giải

4.2.5.2 Tối đa hoá lợi nhuận trong doanh nghiệp sản xuất 2 loại hàng hoá ở thị trường độc quyền

Ví dụ 4.3:

Giả sử doanh nghiệp độc quyền có hàm chi phí là TC = Q12 + Q1Q2 + Q22

Qua điều tra thị trường doanh nghiệp xác định hàm cầu về sản phẩm Q1,Q2 như sau:

Q1 = 14 – P1 + P2 Tương đương P1 = 52 – 2Q1– Q2

Q2 = 24 + P1– 2P2 P2= 38 – Q1– Q2

Yêu cầu xác định Q1, Q2, P1, P2 để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối ưu

Doanh thu của doanh nghiệp độc quyền (TR)

TR = P1Q1 + P2Q2

Ta có:

π = TR – TC = -3 Q12- 3 Q1 Q2 + 52 Q1 + 38 Q2- 2 Q22

ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

+ Điều kiện cần để πMax dπ = 0π’Q1 = π’Q2 = 0

Giải hệ phương trình trên ta được Q1 = 94/25, Q2 = 72/15

+ Kiểm tra điều kiện đủ:

f11= -6 < 0

f11f22= 24 > 9Vậy hàm số đạt cực đại tại Q1 = 94/25 (đơn vị), Q2 = 72/15 (đơn vị)

4.2.5.3 Tìm lợi nhuận tối đa trong doanh nghiệp sản xuất 1 loại sản phẩm đem bán ở 3 thị trường riêng biệt

Chúng ta có hàm tổng thu doanh thu và chi phí:

TR = TR1(Q1) + TR2(Q2) + TR3(Q3)

TC = TC(Q) ở đây Q = Q1+ Q2 + Q3

- Hàm lợi nhuận của doanh nghiệp là:

π = TR –TC = TR1(Q1) + TR2(Q2) + TR3(Q3) - TC(Q)Với đạo hàm riêng πi =π/Qi (i = 1,2,3) ta có được

π1 = TR’1(Q1) – TC’(Q1)

π2 = TR’2(Q2) – TC’(Q2)

π3 = TR’3(Q3) – TC’(Q3)

Để lợi nhuận đạt cực trị (cực đại)π1 = π2= π3 = 0

Ta có: TC’(Q1) = TR’1(Q1) = TR’2(Q2) = TR’3(Q3) điều này có nghĩa là:

4.3 Tối ưu hoá với các ràng buộc đẳng thức

4.3.1 Ảnh hưởng của ràng buộc và liên hệ cực trị tự do

* Ảnh hưởng của ràng buộc

Từ trước chúng ta mới nghiên cứu về tính cực trị W = f(x1, x2, , xn) với các biến lựa chọn

x1, x2, , xn độc lập với nhau, tức là giá trị của biến số này không ảnh hưởng đến các biến sốkhác Trên thực tế, nhiều khi ta phải chọn phương án tối ưu trong bối cảnh các biến chọn chiphối lẫn nhau bởi những điều kiện ràng buộc nhất định Chẳng hạn người tiêu dùng phải ra quyếtđịnh mua sắm hai loại hàng hoá và giả sử hàm lợi ích của người đó đối với 2 loại hàng hoá đó là

U = U(x,y)Trong đó biến số U chỉ mức độ thoả dụng của người đó khi có x đơn vị hàng hoá thứ nhất

và y đơn vị hàng hoá thứ hai Tâm lý chung của mọi người là nhiều hơn ít, tức là khi x và y cànglớn thì U càng lớn Tuy nhiên do túi tiền có hạn nên muốn mua được nhiều thứ này thì phải giảmbớt mua thứ khác Giả sử P1, P2 lần lượt là giá của mặt hàng muốn mua Khi đó để tối đa mứcthoả dụng trong khuân khổ ngân sách có hạn thì:

P1x + P2y = b = G(x,y) (4.14)

* Liên hệ cực trị tự do

Với sự có mặt của phương trình ràng buộc miền biến thiên của hàm số f(x,y) bị thu hẹplại, khái niệm cực trị có điều kiện được hiểu theo nghĩa địa phương giống như định nghĩa cực trị

tự do, chỉ khác ở chỗ tất cả các bộ giá trị của biến chọn phải thoả mãn điều kiện rằng buộc

Hệ thức (4.14) áp đặt sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các biến lựa chọn dưới dạng hàm ẩn.Nếu từ (4.14) ta biểu diễn cho y dưới dạng hàm hiện y =(x) thì bài toán cực trị có điều kiện nêutrên quy về bài toán cực trị tự do của hàm số 1 biến số

Dễ dàng thấy (***) đạt cực đại khi x = 8, khi đó y = 30 - 16 = 14

4.3.2 Phương pháp nhân tử Lagrange để giải bài toán cực trị có điều kiện của hàm số

* Xét bài toán có 2 biến số và 1 phương trình ràng buộc

- Theo cách trên, ta giải quyết vấn đề bằng phương pháp thế để giảm bớt ẩn số, nhưngthực tế biểu thức rằng buộc rất phức tạp, do vậy phương pháp thế sẽ không còn hiệu quả Nhàtoán học Lagrange đưa ra một phương pháp mới cho phép đưa bài toán cực trị có điều kiện vềbài toán cực trị tự do mà vẫn giữ vai trò bình đẳng của các biến lựa chọn

Xuất phát từ hàm mục tiêu và điều kiện ràng buộc ta lập hàm số L, gọi là hàm Lagrange

L = L(,x,y) = f(x,y) +[b – g(x,y)] (4.16)

ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG