BÀI GIẢNG TOÁN KINH TẾ. Th.S. NGUYỄN HOÀNG ANH KHOA

TỔNG QUAN VỀ TOÁN KINH TẾ 1.1 Đối tượng nghiên cứu của môn học 1.1.1 Khái quát về tối ưu hóa Trong hoạt động thực tiễn, nhất là trong quá trình quản lý, điều hành hệ thống kinh tế - xã

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP HUẾ

  

BÀI GIẢNG TOÁN KINH TẾ

Th.S NGUYỄN HOÀNG ANH KHOA

Huế, tháng 08 năm 2015

MỤC LỤC

Chương 1: Tổng quan về toán kinh tế

1.1 Đối tượng nghiên cứu của môn học 2

1.2 Cơ sở giải tích lồi 2

Chương 2: Quy hoạch tuyến tính 2.1 Mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính 4

2.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát 5

2.3 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc 6

2.4 Phương pháp đơn hình 7

Bài tập chương 2 10

Chương 3 Bài toán vận tải 3.1 Các khái niệm 11

3.2 Phương pháp tìm phương án cực biên ban đầu 12

3.3 Phương pháp thế vị giải bài toán vận tải 13

3.4 Một số dạng của bài toán vận tải 13

Bài tập chương 3 14

Chương 4 Mô hình bài toán tối ưu trên mạng 4.1 Một số khái niệm cơ bản 15

4.2 Mạng liên thông ngắn nhất 15

4.3 Bài toán đường đi ngắn nhất 16

4.4 Phương pháp sơ đồ lưới (Mạng Pert) 17

Bài tập chương 4 20

Tài liệu tham khảo 21

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ TOÁN KINH TẾ 1.1 Đối tượng nghiên cứu của môn học

1.1.1 Khái quát về tối ưu hóa

Trong hoạt động thực tiễn, nhất là trong quá trình quản lý, điều hành hệ thống kinh tế - xã hội … chúng ta luôn mong muốn đạt được những kết quả tốt nhất theo các tiêu chuẩn nhất định nào đó Mỗi vấn đề khác nhau của thực tế dẫn đến các bài toán tối ưu khác nhau Để giải quyết các bài toán đó, một loạt các lý thuyết toán học ra đời để dặt cơ sở lý luận, đề ra các phương pháp tìm lời giải, tính khả thi của các bài toán thực tế … Từ đó hình thành một lớp các phương pháp toán học giúp ta tìm lời giải tốt nhất choa các bài toán thực tế, gọi là các phương pháp tối ưu Lớp các phương pháp tối ưu bao gồm nhiều lý thuyết toán học khác nhau, tiêu biểu là: Quy hoạch toán học, lý thuyết đồ thị, lý thuyết trò chơi …

Trong quy hoạch toán học, tiêu biểu có Quy hoạch tuyến tính, Quy hoạch phi tuyến, Quy hoạch nguyên …

Trong lý thuyết đồ thị, tiêu biểu có Bài toán tối ưu trên mạng, sơ đồ Pert, các bài toán luồng …

Trong lý thuyết trò chơi, tiêu biểu có Lý thuyết lựa chọn quyết định, Bài toán trò chơi chiến lược …

1.1.2 Nội dung nghiên cứu của môn học

Chương trình học phần “Toán kinh tế” với 2 tín chỉ ta nghiên cứu các nội dung:

- Quy hoạch tuyến

- Bài toán vận tải

- Bài toán tối ưu trên mạng Sơ đồ Pert

1.2 Cơ sở giải tích lồi

Tích vô hướng <x,y> = x1y2 + x2y2 +…+ xnyn

1.2.2 Đường thẳng, đoạn thẳng, siêu phẳng

a) Đường thẳng, đoạn thẳng trong R n

Cho a, b  Rn Ta gọi đường thẳng qua a, b là tập các điểm x  Rn

có dạng:

x = (1 – k) a + k.b với k  R Đoạn a, b kí hiệu [a,b] là tập các điểm x  Rn

có dạng:

x = (1 – k) a + k.b với k  [0;1]

b) Siêu phẳng trong R n

Siêu phẳng là tập các x = (x1; x2; ;xn) thỏa mãn phương trình bậc nhất dạng:

a1x1 + a2x2 +…+ anxn = c

1.2.3 Tập lồi, đa diện lồi

Tập D  Rn được gọi là tập lồi nếu với mọi a, b  Rn ta đều có [a,b]  D

Ví dụ: a) Chứng minh giao của 2 tập lồi là tập lồi

a) Biểu diễn D trong mặt phẳng Oxy

b) Chứng minh D là đa diện lồi, xác định các điểm cực biên của D

CHƯƠNG 2 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 2.1 Một số tình huống trong kinh tế và mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính 2.1.1 Bài toán sản xuất: Một xí nghiệp có thể sản xuất n loại sản phẩm, ký hiệu

S1, S2,…, Sn từ m loại nguyên liệu khác nhau, ký hiệu N1, N2…Nm Biết aij, là khối lượng nguyên liệu loại Ni tiêu hao bởi một đơn vị sản phẩm loại Sj; bi là khối lượng nguyên liệu loại Ni mà xí nghiệp có thể huy động được ; cj là lợi nhuận thu được khi sản xuất và bán một đơn vị sản phẩm loại Sj, i = 1,…,m ; j = 1,2,…,n Giả

sử xí nghiệp có thể sản xuất và tiêu thụ sản phẩm không hạn chế Hãy tìm số đơn

vị sản phẩm mỗi loại mà trong phạm vi số nguyên liệu huy động được, xí nghiệp

có lợi nhuận tối đa

Lập mô hình : Đặt xj là số đơn vị sản phẩm loại Sj mà xí nghiệp sản xuất j=,2, ,n

Ta có mô hình bài toán:

n

j j

j 1 n

ij j i

j 1 j

2.1.2 Bài toán lập kế hoạch vốn đầu tư cho sản xuất

Cần đầu tư vốn vào m xí nghiệp để sản xuất ra n loại sản phẩm Qua phân tích, người ta biết rằng khi đầu tư một đơn vị tiền vào xí ngiệp i (i =1,2, ,m) trong một năm sẽ sản xuất ra được bij đơn vị sản phẩm loại j (j =1,2, ,n ) Tống số nguyên liệu và giờ công hằng năm có thể cung cấp là A và C Hãy lập một kế hoạch sản xuất sao cho sản xuất được ít nhất Bj đơn vị sản phẩm loại j mà vốn đàu tư ít nhất Biết các mức hao phí về nguyên liệu và lao động (giờ công) khi sản xuất ra một đơn vị sản phẩm j ở xí nghiệp i là bij và cij

Lập mô hình: Đặt xi là đơn vị tiền đầu tư vào xí nghiệp i (i = 1,2, ,n)

Ta có mô hình bài toán:

n j

j 1 n

2.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát

2.2.1 Bài toán

Tìm min (max) của

Z =n

trong đó cj, aij, bi là những số thực cho trước

2.2.2 Các ký hiệu và khái niệm

 Hàm Z gọi là hàm mục tiêu

 Một vectơ x thoả mãn các ràng buộc gọi là một phương án

 Tập hợp X gồm các phương án gọi là tập phương án

 Phương án x*  X tại đó hàm mục tiêu Z đạt giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) gọi là

một phương án tối ưu

2.2.3 Giải bài toán QHTT hai biến bằng phương pháp hình học

Bài toán:

Z = c1x1 + c2x2  min(max) với các ràng buộc

ci1x1 + ci2x2 (≤; ≥) bi , i=1,2, ,m

x1,2 (≤; ≥) 0

Phương pháp:

Bước 1: Biểu diễn tập phương án X trên mặt phẳng tọa độ

Bước 2: Biểu diễn hàm mục tiêu trên mặt phẳng tọa độ với Z là số thực nào đó Bước 3: Cho Z biến thiên trong khoảng có phần chung với X, từ đó xác định

Ví dụ: Giải bài toán Z = x1 + x2  min

1 2

1 2

x 2x 92x x 6

2.2.4 Một số tính chất của bài toán QHTT

Tính chất 1: Tập các phương án của bài toán QHTT là tập lồi

Tính chất 2: Nếu bài toán QHTT có phương án tối ưu thì nó có ít nhất một

phương án tối ưu là điểm cực biên của tập phương án (gọi tắc là phương án cực biên)

2.3 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc

2.3.1 Bài toán QHTT dạng chính tắc

Là bài toán dạng: Tìm min (max) của

Z =n

mk

aaA

Hệ {Ak | xk > 0} gọi là hệ liên kết của phương án x

Định lí: Giả sử x = (x1 ; x2 ;…; xn) là một phương án khác không của bài toán QHTT dạng chính tắc Khi đó, x là phương án cực biên khi và chỉ khi hệ liên kết của x độc lập tuyến tính

Định lý 1:(Dấu hiệu tối ưu)

Nếu j ≤ 0, j thì x0 là phương án tối ưu, và ngược lại

Xét cơ sở mới bằng cách thay Asbởi Ak Khi đó, phương án X ứng với cơ sở mới

là phương án tốt hơn phương án X0

Chứng minh x = (6;0;8;0) là phương án cực biên nhưng không là phương án tối ưu

Áp dụng định lí 3 tìm phương án tốt hơn, kiểm xem phương án mới có phải là phương án tối ưu không?

2.4.2 Bài toán QHTT dạng chính tắc có sẵn ma trận đơn vị

Trong đó, b > 0 và A có sẵn một ma trận đơn vị cấp m Không mất tính tổng quát

có thể giả sử đó là m cột đầu A1, A2, ,Am Lúc đó, phương án cực biên x trong bước lặp đầu tiên là: x0 = (b1,b2, ,bm, 0, ,0) hệ liên kết là A1, A2, ,Am

bm

1

0 :

0

0

1 :

1

a1m+1

a2m+1 :

a1n

a2n :

amn

Áp dụng định lí 1,2,3 ta có thuật toán đơn hình

Bước 1: Tính j , j = 1,2, ,n

Nếu j ≤ 0 với j = 1,2, ,n thì x0 là phương án tối ưu

Nếu tồn tại j > 0 và xkj ≤ 0 với k =1,2, ,m, thì bài toán không có phương án tối ưu

Bước 2: Xác định k,s sao cho

Vậy phương án tối ưu là: x1 = 0; x2 = 2; x3 = 0; x4 = 2; x5 =1; x6 = 0 và fmin = – 9

2.4.3 Bài toán QHTT dạng chính tắc không có sẵn ma trận đơn vị

Xét bai toán

( ) , min

(*)0

BÀI TẬP CHƯƠNG 2

Câu 1 Một xí nghiệp có 2 máy A, B dùng để sản xuất ra 3 loại sản phẩm Định

mức thời gian (đơn vị: giờ) cho mỗi đơn vị sản phẩm đối với từng máy và quỹ thời gian (đơn vị: giờ) của từng máy được cho trong bảng sau:

SP

MÁY

Định mức thời gian cho mỗi đơn vị sản phầm

Quỹ thời gian

Câu 2 Hai địa phương Ninh Bình và Hưng Yên cung cấp Khoai với khối lượng

200 tấn và 300 tấn cho 3 địa phương tiêu thụ Khoai là Hải Phòng, Nghệ An và Nam Định với yêu cầu tương ứng là 170 tấn, 200 tấn và 130 tấn cước phí vận chuyển (nghìn/ tấn) cho trong bảng sau:

Chương 3 BÀI TOÁN VẬN TẢI 3.1 Các khái niệm

3.1.1 Bài toán vận tải

a Bài toán

Có m địa điểm A1,A2, ,Am cùng sản xuất một loại hàng với lượng hàng là a1,a2, ,an

Có n địa điểm B1,B2, ,Bn cùng tiêu thụ loại hàng đó với lượng hàng là b1,b2, ,bn Hàng một đơn vị hàng được vận chuyển từ Ai đến Bj với cước phí là cij Gọi xij là lượng hàng vận chuyển từ Ai đến Bj Xác định xij , i=1,2,…,m ; j =1,2, ,n để tổng cước phí vận chuyển nhỏ nhất (hàng được vận chuyển cho đến khi hết hàng hoặc nhu cầu)

b Mô hình bài toán vận tải

ij i j

m

ij j i

Bài toán vận tải là bài toán QHTT gồm m+n ràng buộc và mn biến số Một ma

trận X gồm các số thực xij không âm thỏa mãn m+n ràng buộc được gọi là một

phương án vận tải Một phương án vận tải cho tổng chi phí vận tải thấp nhất được

gọi là phương án vận tải tối ưu (hay nói gọn là phương án tối ưu)

c Dạng bảng của bài toán vận tải

Thu Phát

12

3.1.2 Bài toán cân bằng thu phát

Bài toán vận tải cân bằng thu phát là bài toán vận tải có tổng lượng hàng thu bằng tổng lượng hàng phát

ij i j

m

ij j i

Định lí: Bài toán vận tải cân bằng thu phát luôn có phương án tối ưu

3.2 Phương pháp tìm phương án cực biên ban đầu

Trong mục này ta chỉ xét bài toán vận tải cân bằng thu phát

+ Ta gọi một đường đi là tập hợp các ô của bảng sao cho cứ hai ô liên tiếp thì nằm trên cùng một dòng hay một cột Một đường đi khép kín được gọi là chu trình

+ Giả sử x = (x11,x12, ,x1n, x21,x22, ,x2n, , xm1,xm2, ,xmn) là một phương án của bài toán vận tải, nếu xịj > 0 thì ô (i,j) gọi là ô chọn

Định lí: Phương án x là một phương án cực biên của bài toán vận tải và chỉ khi tập

các ô chọn tương ứng với nó không chứa chu trình

3.2.1 Phương pháp góc Tây-Bắc

Chúng ta ưu tiên phân phối lượng hàng nhiều nhất vào ô ở góc Tây Bắc

Nếu nơi nào đủ hàng thì ta xóa cột chứa nơi nhận đó; nếu nơi phát nào hết hàng thì

ta xóa dòng chứa nơi phát đó

X

X

X X

3.2.2 Phương pháp cước phí cực tiểu

Chọn ô ci có giá trị nhỏ nhất trong bảng chi phí vận chuyển Tính và điền vào ô có giá trị xi = min (ai,bj).Sau đó, ta không xét hàng hoặc cột có dự trữ đã hết hay nhu cầu đã thoả mãn Nếu ai = bj thì không xét đồng thời cả cột Bj lẫn hàng Ai

Từ phần còn lại của bảng ta lại chọn ô có giá trị nhỏ nhất và quá trình phân phối

t ếp tục cho đến khi thoả mãn nhu cầu ở c c điểm têu thụ

Ví dụ: Tìm phương án cực biên của bài toán vận tải cho bởi bảng

- Nếu  ij  0 với mọi (i,j) thì x là phương án tối ưu

- Ngược lại,

+ Giả sử  ij là ô có giá trị lớn nhất, đặt E:=E U (i,j)

+ Gọi G là chu trình đi qua ô (i,j), tiến hành đánh dấu “+”, “-“ liên tiếp bắt đầu từ ô (i,j) được đánh dấu “+” Kí hiệu G+ là tập các ô có dấu “+”

và G- là ô có dấu “-“

+ Giả sử min{xij |(i,j)G

-} = xst và

( , )( , )( , )

Khi đó, phương án x’ = (x’ij) là phương án cực biên mới tốt hơn phương án x

Các bước giải bài toán vận tải

Bước 1: Thành lập một phương án cực biên ban đầu, số ô chọn là m+n-1, cũng có

thể có ô chọn không

Bước 2: Xác định ui và vj

Tính  ij Nếu  ij  0 với mọi (i,j) thì x là phương án tối ưu

Ngược lại, chuyển sang bước 3

Bước 3: Xây dựng phương án mới như định lí Quay về bước 2

3.4 Một số dạng của bài toán vận tải

+ Với bài toán vận tải có ô cấm, ta xem ô cấm như ô bình thường nhưng cước phí

là M rất lớn rồi giải bình thường

+ Với bài toán vận tải không cần bằng thu phát, ta thêm vào trạm thu hoặc trạm phát giả với cước phí bằng 0 rồi giải bình thường

BÀI TẬP CHƯƠNG 3

Câu 1: Giải bài toán vận tải sau:

Thu Phát

Chương 4 BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN MẠNG 4.1 Một số khái niệm cơ bản

4.1.1 Đồ thị, đồ thị có hướng

Đồ thị: (Graph) là một cặp tập hợp, ký hiệu G = (X,A), trong đó X = {x1;x2;…;xn}

là tập các điểm (đỉnh, nút), A là tập các nhánh (cạnh, cung) nối tất cả hoặc một

phần các điểm của đồ thị lại với nhau Nhánh nối liền đỉnh i và j, ký hiệu là (i;j)

Nhánh định hướng: Một nhánh được định hướng (ký hiệu mũi tên) gọi là cung

Đồ thị có hướng: Đồ thị G = (X,A) trong đó A là tập hợp các cung gọi là đồ thị

định hướng (có hướng)

4.1.2 Biễu diễn đồ thị dưới dạng ma trận

Xét đồ thị G = (X,A) Ma trận liên hệ trực tiếp của đồ thị được ký hiệu là A = [aij]

và được xác định như sau:

ij

1, G có cung (i, j)a

0,G không có cung (i, j)

Cho đồ thị vô hướng G = (X,A) trên mỗi cạnh đồ thị có gắn một số không âm, gọi

là độ dài của cạnh đó (độ dài cạnh (i,j) ký hiệu cij) Hãy tìm một cây (đường nối tất

cả các đỉnh) của đồ thị sao cho tổng độ dài các cạnh là nhỏ nhất

4.2.2 Ý nghĩa bài toán

Nếu coi các đỉnh của đồ thị là các trạm thông tin, trạm xăng … thì nên đặt đường

dây, hệ thống cáp, ống dẫn xăng dầu … như thế nào để tiết kiệm chi phí nhất?

4.2.3 Thuật toán Prim

Ký hiệu T là tập các đỉnh và cạnh của cây (cần xác định T)

Bước 1: Giải sử ckl = min{cij| (i,j)  A} T:= {(k,l)}

Bước 2: Kiểm tra T là mạng liên thông Kết luận T Ngược lại, sang bước 3

Bước 3: Tìm cst = min {cij với xi  T và xj T} T:=T{(s,t)} Quay về Bước 2

Ví dụ : Tìm mạng liên thông ngắn nhất và tính độ dài của sơ đồ mạng

4.3.2 Ý nghĩa bài toán

Trong thực tê, việc di chuyển từ A đến B thông qua mạng lưới giao thông có sẵn là chuyện thường gặp (các cung tương ứng đường 1 chiều) Vần đề đặt ra là chọn đường đi ngắn nhất để đảm bảo việc tiết kiệm nhiên liệu, thời gian …

4.3.3 Thuật toán Difkatra

Bước 1:

L(xi) := +∞ (khi i ≠ s) (nhãn tạm thời)

L(xs) := 0+ (xs gán nhãn cố định 0+)

xp:=xs

Bước 2: Kiểm tra xp = xt kết luận L(xt) = L(xp)

Ngược lại sang bước 3

Bước 3:

Thay đổi nhãn tạm thời của các đỉnh xi G(xp) (các đỉnh có gốc xp)

L(xi) := min{L(xi); L(xp) + cpi} Tìm xj sao cho L(xj) = min{L(xi) với L(xi) là nhãn tạm thời}

L(xj):= L(xj)+ (gán nhãn cố định cho xj)

xp:=xj

Quay về bước 2

ự kiện được biểu thị bằng một đỉnh, tại đỉnh có sự kết thúc một số công

việc và sự bắt đầu một số công việc

Trình tự lập sơ đồ mạng

 Liệt kê tất cả công việc: các công việc phải được liệt kê theo đúng quy trình

công nghệ, theo thứ tự thời gian trước sau Nên lập theo bảng

 Xác định thời gian thực hiện các công việc

 Quy tắc 2 các công việc chỉ có thể đi ra khỏi một sự kiện khi các công việc đi

vào đó đều hoàn thành

 Quy tắc 3 sơ đồ mạng thường không theo tỉ lệ

 Quy tắc 4 tên các sự kiện không được trùng lắp

 Quy tắc 5 trên sơ đồ không được có vòng kín

 Quy tắc 6 trên sơ đồ không được có đường cụt

Các đỉnh

Đỉnh xuất phát (khởi công) đánh số 1, các đỉnh còn lại được đánh số nguyên liên

tiếp , những đỉnh nào chỉ có cạnh ra mà không có cạnh vào thì đánh trước

Các cung

4.4.2 Đường găng (gant)

Sơ đồ Pert cho ta đánh giá được những thông tin:

a) Thời gian sớm nhất để hoàn thành công việc

Là thời gian sớm nhất để hoàn thành công việc mà không ảnh hưởng đến yêu cầu

tij thời gian hoàn thành công việc giữa hai đỉnh i và j

b) Thời gian muộn nhất để hoàn thành công việc

Là thời gian muộn nhất để hoàn thành công việc mà không ảnh hưởng đến tiến độ

của công trình (kéo dài thời gian hoàn thành công trình)

Thời gian muộn nhất để hoàn thành công việc tại đỉnh j được ký hiệu là ti

<Tên công việc><thời gian thực hiên>

Thời gian dự trữ của công việc