Untitled B À I T Ậ P N H Ó M M Ô N T O Á N C A O C Ấ P 3 G I Ả N G V I Ê N P H Ạ M V Ă N C H Ữ N G Lớp K224021C NHÓM 6 Lê Thị Hồng Nguyễn Thị Quỳnh Hương Nguyễn Đăng Khuê Nguyễn Đỗ Nhật Phi Đoàn Đức V[.]
Trang 1BÀI TẬP NHÓM
M Ô N : T O Á N C A O C Ấ P 3
G I Ả N G V I Ê N : P H Ạ M V Ă N C H Ữ N G
Lớp: K224021C
NHÓM 6
Lê Thị Hồng Nguyễn Thị Quỳnh Hương
Nguyễn Đăng Khuê Nguyễn Đỗ Nhật Phi Đoàn Đức Vương
Lê Thanh Xuân
Trang 2VI.9 Xét một doanh nghiệp có chi phí cố định (đơn vị: triệu đồng) là 𝐶0 = 400, giá thuê một đơn vị vốn là
𝑤𝐾 = 2 triệu đồng và giá thuê một đơn vị lao động là 𝑤𝐿 = 0,4 triệu đồng Giả sử doanh nghiệp đó có hàm
sản xuất Cobb-Douglas 𝑄 = 120𝐾23𝐿13, giá sản phẩm trên thị trường là p = 1 triệu đồng
a) Xác định các hàm chi phí, doanh thu và lợi nhuận của doanh nghiệp đó
b) Tính chi phí cận biên, doanh thu cận biên và lợi nhuận cận biên theo lượng vốn và theo lượng lao động
tại K = 54, L = 16
c) Tính hệ số co giãn của chi phí, doanh thu và lợi nhuận theo lượng vốn và theo lượng lao đông tại K = 54,
L = 16
Gi ải
a)
• Tổng chi phí 𝑇𝐶 = 𝑤𝐾𝐾 + 𝑤𝐿𝐿 + 𝐶0= 2𝐾 + 0,4𝐿 + 400
• Doanh thu 𝑇𝑅 = 𝑝𝑄 = 120𝐾23𝐿13
• Lợi nhuận 𝜋 = 𝑇𝑅 − 𝑇𝐶 = 120𝐾23𝐿13– 2K – 0,4L – 400
b) Bây giờ ta sẽ xác định chi phí cận biên, doanh thu cận biên và lợi nhuận cận biên theo lượng vốn và theo lượng lao động tại mức K = 54, L = 16
𝑀𝐶𝐾(54,16) = 2 𝑀𝐶𝐿(54,16)= 0,4
𝑀𝑅𝐾(54,16) = 𝑅′𝐾 = 80𝐾−13𝐿13 =160
3 𝑀𝜋𝐾 (54,16)= 1543
𝑀𝑅𝐿 (54,16) = 𝑅′𝐿 = 40. 𝐾23𝐿−23 = 90; 𝑀𝜋𝐿(54,16) = 89,6
Những giá trị này có ý nghĩa như sau tại mức K = 54, L = 16
• Khi tăng K thêm 1 đơn vị từ 54 lên 55 và giữ nguyên L = 16 thì chi phí cận biên tăng sắp xỉ 2 triệu đồng
• Khi tăng K thêm 1 đơn vị từ 54 lên 55 và giữ nguyên L = 16 thì doanh thu tăng sắp xỉ 53,3 triệu đồng
• Khi tăng K thêm 1 đơn vị từ 54 lên 55 và giữ nguyên L = 16 thì lợi nhuận tăng sắp xỉ 51.3 triệu đồng
• Khi giữ nguyên K = 54 và tăng L thêm 1 đơn vị từ 16 lên 17 thì chi phí cận biên tăng sắp xỉ 0,4 triệu đồng
• Khi giữ nguyên K = 54 và tăng L thêm 1 đơn vị từ 16 lên 17 thì doanh thu tăng sắp xỉ 90 triệu đồng
• Khi giữ nguyên K = 54 và tăng L thêm 1 đơn vị từ 16 lên 17 thì lợi nhuận tăng sắp xỉ 89, 6 triệu đồng c)
Tại mức K = 54, L = 16 ta được:
𝜀𝐶𝐾(54,16) = 𝐶′𝐾𝐾𝐶 = 22𝐾+0,4𝐿+400𝐾 = 0,21%
𝜀𝑅𝐾(54,16) = 𝑅′𝐾𝐾𝑅 = 23≈ 0,66%
𝜀𝜋𝐾(54,16) = 𝜋′𝐾𝐾𝜋 = 0,728%
𝜀𝐶𝐿(54,16) = 𝐶′𝐿𝐶𝐿 = 0,464320 = 0,012%
𝜀𝑅𝐿 (54,16)= 𝑅′𝐿𝑅𝐿 = 13≈ 0,33%
𝜀𝜋𝐿(54,16) = 𝜋′𝐿𝜋𝐿 = 0,377%
Những giá trị này có ý nghĩa như sau tại mức K = 54, L = 16
• Khi tăng K thêm 1% từ 54 lên 54+ 54.(1%) và giữ nguyên L =16 thì chi phí tăng sắp xỉ 0,21%
• Khi tăng K thêm 1% từ 54 lên 54+ 54.(1%) và giữ nguyên L =16 thì doanh thu tăng sắp xỉ 0,66%
• Khi tăng K thêm 1% từ 54 lên 54+ 54.(1%) và giữ nguyên L =16 thì lợi nhuận tăng sắp xỉ 0,728%
• Khi giữ nguyên K = 54 và tăng L thêm 1% từ 16 lên 16 + 16.(1%) thì chi phí tăng sắp xỉ 0.012%
• Khi giữ nguyên K = 54 và tăng L thêm 1% từ 16 lên 16 + 16.(1%) thì doanh thu tăng sắp xỉ 0.3333%
• Khi giữ nguyên K = 54 và tăng L thêm 1% từ 16 lên 16 + 16.(1%) thì lợi nhuận tăng sắp xỉ 0,377 %
Trang 3VI.10 Xét một doanh nghiệp có chi phí cố định (đơn vị : triệu đồng) là 𝐶0 = 200, giá thuê một đơn vị vốn
là 𝑤𝐾 = 1 triệu đồng và giá thuê một đơn vị lao động là 𝑤𝐿 = 0,2 triệu đồng Giả sử doanh nghiệp đó có hàm sản xuất 𝑄 = 𝐾(𝐿 + 10) và giá sản phẩm trên thị trường là p = 0,5 triệu đồng
a) Xác định các hàm chi phí, doanh thu và lợi nhuận của doanh nghiệp đó
b) Tính chi phí cận biên, doanh thu cận biên và lợi nhuận cận biên theo lượng vốn và theo lượng lao động
tại K = 100,L = 20
c) Tính hệ số co giãn của chi phí, doanh thu và lợi nhuận theo lượng vốn và theo lượng lao đông tại
K = 100, L = 20
Gi ải
a)
• Chi phí 𝑇𝐶 = 𝐾 + 0,2𝐿 + 200;
• Doanh thu TR = 0,5K(L+10)
• Lợi nhuận 𝜋 = 𝑇𝑅 − 𝑇𝐶 = 0,5𝐾𝐿 + 4𝐾 − 0,2𝐿 − 200
b)
𝑀𝐶𝐾 (100,20)= 1; 𝑀𝐶𝐿(100,20) = 0,2; 𝑀𝑅𝐿 = 0,5𝐾 ; 𝑀𝑅𝐾 = 0,5L + 5
𝑀𝑅𝐿(100,20) = 50 ; 𝑀𝑅𝐾(100,20) = 15 ;
𝑀𝜋𝐿(100,20) = 49,8 ; 𝑀𝜋𝐾(100,20) = 14
Những giá trị này có ý nghĩa như sau tại K = 100 và L = 20
• Khi tăng K lên 1 đơn vị từ 100 lên 101 và giữ nguyên L = 20 thì chi phí tăng 1 triệu đồng
• Khi tăng K lên 1 đơn vị từ 100 lên 101 và giữ nguyên L = 20 thì doanh thu tăng 15 triệu đồng
• Khi tăng K lên 1 đơn vị từ 100 lên 101 và giữ nguyên L = 20 thì lợi nhuận tăng 14 triệu đồng
• Khi giữ nguyên K và tăng L lên 1 đơn vị từ 20 lên 21 thì chi phí tăng 0,2 triệu đồng
• Khi giữ nguyên K và tăng L lên 1 đơn vị từ 20 lên 21 thì doanh thu tăng 50 triệu đồng
• Khi giữ nguyên K và tăng L lên 1 đơn vị từ 20 lên 21 thì lợi nhuận tăng 49,8 triệu đồng
𝑐)
𝜀𝐶𝐿 (100,20)= 𝐶′𝐿𝐶𝐿 =761 ≈ 0,013% ; 𝜀𝐶𝐾 (100,20)= 𝐶′𝐿𝐾𝐾𝐶 = 2576≈ 0,32%
𝜀𝑅𝐿 (100,20)= 𝑅′𝐿𝐿𝑅 = 23 ≈ 0,66% 𝜀𝑅𝐾(100,20) = 𝑅′𝐾𝐾𝑅 = 23 ≈ 1%
𝜀𝜋𝐿 (100,20)= 𝜋′𝐿𝐿𝜋 = 219299≈ 0,83% 𝜀𝜋𝐾(100,20) = 𝜋′𝐾𝐾𝜋 = 350299 ≈ 1,17%
Những giá trị này có ý nghĩa như sau tại K = 100 và L = 20
• Khi tăng K lên 1% từ 100 lên 100 + 100.(1%) thì chi phí tăng sắp xỉ 0,32%
• Khi tăng K lên 1% từ 100 lên 100 + 100.(1%) thì doanh thu tăng sắp xỉ 1%
• Khi tăng K lên 1% từ 100 lên 100 + 100.(1%) thì lợi nhuận tăng sắp xỉ 1,17%
• Khi giữ nguyên K và tăng L lên 1& từ 20 lên 20 + 20 (1%) thì chi phí tăng sắp xỉ 0,013%
• Khi giữ nguyên K và tăng L lên 1& từ 20 lên 20 + 20.(1%) thì doanh thu tăng sắp xỉ 0,66%
• Khi giữ nguyên K và tăng L lên 1& từ 20 lên 20 + 20.(1%) thì lợi nhuận tăng sắp xỉ 0,83%
VI.11. Giả sử một người tiêu dùng mua hai loại hàng hóa X, Y Cho biết hàm hữu dụng của hai loại hàng này là 𝑈(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 2)2(𝑦 + 3)2; trong đó, x, y lần lượt là khối lượng của hai loại hàng hóa đó
a) Tìm hàm hữu dụng biên và hệ số co giãn theo từng loại hàng hóa
b) Tính giá trị hữu dụng biên theo X khi người đó mua mỗi loại hàng 3 đơn vị khối lượng
Gi ải
a) Hàm hữu dụng biên theo từng loại hàng hóa:
𝑀𝑈𝑥= 𝑈𝑥′ = 2(𝑥 + 2)(𝑦 + 3)2
𝑀𝑈𝑦 = 𝑈𝑦′ = 2(𝑥 + 2)2(𝑦 + 3)
Hệ số co giãn theo từng loại hàng hóa:
Trang 4𝜀𝑥= 𝑈𝑥′.𝑈 = 𝑥 2(𝑥 + 2)(𝑦 + 3)(𝑥 + 2)2(𝑦 + 3)22𝑥= 𝑥 + 22𝑥
𝜀𝑦 = 𝑈𝑦′.𝑦
𝑈 =
2(𝑥 + 2)2(𝑦 + 3)𝑦 (𝑥 + 2)2(𝑦 + 3)2 = 2𝑦
𝑦 + 3 b) Mỗi loại hàng 3 đơn vị khối lượng, ta có: x = 3; y=3 (đơn vị khối lượng)
Giá trị hữu dụng biên theo X là: 𝑀𝑈𝑥 = 2(3 + 2)(3 + 3)2 = 360
VI.12 Xét hai loại hàng hóa X, Y trên thị trường với giá của mỗi đơn vị hàng hóa X, Y lần lượt là 50USD và 200USD Giả sử hàm lợi ích được cho bởi 𝑈 = (𝑥 + 30)𝑦; 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 (x,y là lượng hàng hóa X, Y tương ứng) Hãy chọn túi hàng (x, y) để tối ưu hóa lợi ích trong điều kiện ngân sách dành cho tiêu dùng là
1850USD Xác định lượng cầu Marshall tương ứng của X, Y
Gi ải
Mỗi túi hàng (x, y) đều phải thỏa mãn điều kiện ngân sách 50𝑥 + 200𝑦 = 1850 (USD) Do đó, vấn đề tối
ưu hóa lợi ích quy về bài toán tìm cực đại điều kiện của hàm lợi ích: 𝑈 = (𝑥 + 30)𝑦; 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0; với điều
kiện: 50𝑥 + 200𝑦 = 1850 (1)
Điều kiện (1) tương ứng với 50𝑥 + 200𝑦 − 1850 = 0
Đặ𝑡 𝜑(𝑥, 𝑦) = 50𝑥 + 200𝑦 − 1850 và xét hàm Lagrange:
𝐿 = 𝐿 (𝑥, 𝑦) = 𝑈 + 𝜆𝜑(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 30)𝑦 + 𝜆(50𝑥 + 200𝑦 − 1850); 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0
Các đạo hàm riêng của L và 𝜑:
Lập hệ phương trình xác định điểm dừng và giải hệ ta được:
′ = 0
𝐿′𝑦 = 0
𝜑(𝑥, 𝑦) = 0⇔ {
𝑦 + 50𝜆 = 0
𝑥 + 30 + 200𝜆 = 0
{
𝑥 =72
𝑦 = 678
𝜆 = −40067
Ta được điểm dừng duy nhất M (72,678) ứng với nhân tử λ = −40067 Lúc đó, Hessian như sau:
H = |
𝐿′′𝑥𝑥
𝐿′′𝑥𝑦
φ′𝑥
𝐿′′𝑥𝑦
𝐿′′ý𝑦
φ′𝑦
φ′𝑥
φ′𝑦 0
| = |01 10 20050
Như vậy, trong điều kiện (1), hàm lợi ích đạt duy nhất một cực đại điều kiện tại M (72,678) với
𝑈𝑚𝑎𝑥 = (72 + 30)67
8 =
4489
16
Kết luận vấn đề của Kinh tế: Túi hàng (𝑥 = 72, 𝑦 = 678) làm tối ưu hóa lợi ích 𝑈𝑚𝑎𝑥 =448916 trong điều kiện ngân sách (1) Ở đây, lượng cầu Marshall tương ứng chính là: 𝑥̅ = 72; 𝑦̅ =678
VI.13. Xét hai loại hàng hóa X, Y trên thị trường với giá của mỗi đơn vị hàng hóa X, Y lần lượt là 100USD
và 25USD Giả sử hàm lợi ích được cho bởi 𝑈 = 𝑥(𝑦 + 15); 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 (x,y là lượng hàng hóa X, Y tương ứng) Hãy chọn túi hàng (x, y) để tối ưu hóa lợi ích trong điều kiện ngân sách dành cho tiêu dùng là
925USD Xác định lượng cầu Marshall tương ứng của X, Y
Gi ải
Mỗi túi hàng (x, y) đều phải thỏa mãn điều kiện ngân sách 100𝑥 + 25𝑦 = 925 (USD) Do đó, vấn đề tối ưu hóa lợi ích quy về bài toán tìm cực đại điều kiện của hàm lợi ích: 𝑈 = 𝑥(𝑦 + 15); 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0; với điều
kiện: 100𝑥 + 25𝑦 = 925 (1)
Trang 5Điều kiện (1) tương ứng với 100𝑥 + 25𝑦 − 925 = 0
Đặ𝑡 𝜑(𝑥, 𝑦) = 100𝑥 + 25𝑦 − 925 và xét hàm Lagrange:
𝐿 = 𝐿 (𝑥, 𝑦) = 𝑈 + 𝜆𝜑(𝑥, 𝑦) = 𝑥(𝑦 + 15) + 𝜆(100𝑥 + 25𝑦 − 925); 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0
Các đạo hàm riêng của L và 𝜑:
Lập hệ phương trình xác định điểm dừng và giải hệ ta được:
{
𝐿′𝑥= 0
𝐿′𝑦 = 0
𝜑(𝑥, 𝑦) = 0⇔ {
𝑦 + 15 + 100𝜆 = 0
𝑥 + 25𝜆 = 0
𝑥 =132
𝑦 = 11
𝜆 = −1350
Ta được điểm dừng duy nhất M (132 , 11) ứng với nhân tử λ = −1350 Lúc đó, Hessian như sau:
H = |𝐿′′𝐿′′𝑥𝑦𝑥𝑥
φ′𝑥
𝐿′′𝑥𝑦
𝐿′′ý𝑦
φ′𝑦
φ′𝑥 φ′𝑦
0
| = | 01 1 1000 25
Như vậy, trong điều kiện (1), hàm lợi ích đạt duy nhất một cực đại điều kiện tại M (132 , 11) với
𝑈𝑚𝑎𝑥 =132 (11 + 15) = 169.
Kết luận vấn đề của Kinh tế: Túi hàng (𝑥 = 132 , 𝑦 = 11) làm tối ưu hóa lợi ích 𝑈𝑚𝑎𝑥 = 169 trong điều kiện ngân sách (1) Ở đây, lượng cầu Marshall tương ứng chính là: 𝑥̅ = 6,5; 𝑦̅ = 11
VI 14 Xét hai loại hàng hóa X, Y trên thị trường với giá của mỗi đơn vị hàng hóa X, Y lần lượt là 500 và
400 (đơn vị tính: nghìn đồng) Giả sử hàm lợi ích được cho bởi U = (x+4)(y+5); x≥0; y≥0 (x, y là lượng hàng hóa X,Y tương ứng) Hãy chọn túi hàng (x,y) để tối ưu hóa lợi ích trong điều kiện ngân sách dành cho tiêu dùng là 4 (triệu đồng) Xác định lượng cầu Marshall của X,Y
Gi ải:
Gọi x, y lần lượt là hàng hóa X, Y mà người đó cần mua để tối đa hóa lợi ích Khi đó chi phí cần dùng là
m = 500x + 400y Lưu ý rằng, tính theo đơn vị nghìn đồng thì ngân sách tiêu dùng 4 triệu tương đương
với m = 500x + 400y = = 4000
Vấn đề kinh tế đặt ra là xác định x, y (không âm) để tối đa hóa lợi ích
Ta đưa về bài toán cực trị điều kiện sau: Tìm cực đại của: U = (x+4)(y+5) ; x ≥ 0, y ≥ 0
Với điều kiện 500x + 400y = 4000
Ta có 500x + 400y = 4000 5x + 4y = 40 (1)
Do đó, hàm điều kiện là φ = φ(x, y) = 5x + 4y – 40
Rõ ràng U, φ đều khả vi liên tục đến cấp 2 trên miền phẳng xác định bởi x ≥ 0, y ≥ 0 nên ta có thể dùng phương pháp nhân tử Lagrange Ta lập hàm Lagrange :
L = L(x, y) = U +λφ
= (x+4)(y+5) + λ(5x + 4y – 40); x≥0, y≥0 Các đạo hàm riêng cấp 1, 2 của L và đạo hàm riêng cấp 1 của φ như sau
Ta tìm điểm dừng và nhân tử Lagrange
Trang 6𝐿′𝑋 = 0
𝐿′𝑦 = 0
φ(x, y) = 0⇔ {
𝑦 + 5 + 5λ = 0
𝑥 + 4 + 4λ = 0
𝑥 = 4
𝑦 = 5
λ = −2
Ta được điểm dừng duy nhất M (4,5) ứng với nhân tử λ = -3 Lúc đó, Hessian như sau:
H = |
𝐿′′𝑥𝑥
𝐿′′𝑥𝑦
φ′𝑥
𝐿′′𝑥𝑦
𝐿′′ý𝑦
φ′𝑦
φ′𝑥 φ′𝑦 0
| = |0 1 51 0 4
5 4 0| = 40 > 0 Như vậy trong điều kiện (1), hàm lợi ích đạt duy nhất một cực đại điều kiện tại M( 17,5) với Umax = 80 USD
• Kết luận vấn đề kinh tế: Túi hàng ( x= 4; y =5) làm tối ưu hóa lợi ích Umax=80 USD trong điều kiện ngân sách (1) Ở đây lượng cầu Marshall tương ứng chính là 𝑥̅ = 4; 𝑦̅ = 5
VI 15 Giả sử người tiêu dùng có hàm lợi ích U = 12xy + 8x (x ≥ 0; y ≥ 0) trên hai loại hàng hóa X, Y (x, y là lượng hàng hóa X, Y tương ứng) Giá của từng loại hàng hóa là p1= 4 USD, p2 = 9 USD Giả sử người tiêu dùng
muốn thụ hưởng mức lợi ích cố định U0 = 10800 Hãy chọn túi hàng để tối ưu hóa chi phí và xác định lượng
cầu Hick tương ứng
Gi ải:
Gọi x, y lần lượt là lượng hàng hóa X, Y mà người đó cần mua để tối đa hóa lợi ích
Khi đó chi phí cần dùng là 𝐶 = 4𝑥 + 9𝑦 ; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0
Vấn đề kinh tế trở thành bài toán cực tiểu điều kiện sau: tìm (x,y) để 𝐶 = 4𝑥 + 9𝑦 ; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0 cực tiểu
với điều kiện U (x; y) = 12xy + 8x = 10800
Giải bài toán này bằng phương pháp Lagrange, ta có:
Điều kiện 12xy + 8x = 10800 12xy + 8x – 10800 = 0
Hàm điều kiện là: φ (x,y) = 12xy + 8x – 10800
Rõ ràng U, C, ϕ đều khả vi liên tục đến cấp 2 trên miền phẳng xác định bởi x ≥ 0; y ≥ 0 nên ta có thể dùng phương pháp nhân tử Lagrange Ta lập hàm Lagrange
L = L (x,y) = C + λϕ
= 4𝑥 + 9𝑦 + λ ( 12xy + 8x – 10800) x≥0; y≥0
Các đạo hàm riêng của L và φ:
L’x = 4 + 12𝑦λ + 8 λ L’’xx = L’’yy = 0
L’y = 9 + 12𝑥λ L’’xy = 12λ
φ’x = 12y +8 φ’y = 12x
Ta tìm điểm dừng và nhân tử Lagrange:
{
𝐿′𝑋= 0
𝐿′𝑦 = 0
φ(x, y) = 0⇔
{
12y λ + 8 λ + 4 = 0
12𝑥 λ + 9 = 0
{
𝑥 = 45
𝑦 =583
λ = −60 1 Như vậy là chỉ có duy nhất một điểm dừng M(45; 583 ) ứng với nhân tử λ = - 601 duy nhất
Kiểm tra điều kiện cực trị tại điểm M(45; 583 ) và λ = - 601, ta có L’’xx = L’’yy = , L’’xy = -0,2; φ’x =240; φ’y = 540
H = |𝐿′′𝐿′′𝑥𝑦𝑥𝑥
φ′𝑥
𝐿′′𝑥𝑦
𝐿′′ý𝑦
φ′𝑦
φ′𝑥 φ′𝑦
0
| = |−0,20 −0,2 2400 540
Do đó M(45; 583 ) là điểm cực tiểu điều kiện với Cmin = 354 USD
• Kết luận vấn đề kinh tế: Để chi phí tối thiểu, lượng cầu Hick tương ứng là 𝑥̅ = 45; 𝑦̅ =583 Lúc đó chi phí C = 354 USD nhỏ nhất
Trang 7VI 16. Giả sử người tiêu dùng có hàm lợi ích U = xy + 2y; x ≥ 0; y ≥ 0 trên hai loại hàng hóa X, Y (x, y là lượng hàng hóa tương ứng) Giá của từng loại hàng là p1=18 USD, p2= 8 USD Giả sử người tiêu dùng muốn thụ hưởng mức lợi ích cố định U0 = 1800 Hãy chọn túi hàng để tối ưu hóa chi phí và xác định lượng cầu Hick tương ứng
Gi ải:
Gọi x, y lần lượt là hàng hóa X, Y mà người đó cần mua để tối đa hóa lợi ích
Khi đó chi phí cần dùng là C= 18x + 8y ; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0
Vấn đề kinh tế trở thành bài toán cực tiểu điều kiện sau: tìm (x,y) để 𝐶 = 18𝑥 + 8𝑦 ; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0 cực tiểu
với điều kiện U (x; y) = 𝑥𝑦 + 2𝑦 = 1800
Giải bài toán này bằng phương pháp Lagrange, ta có:
Điều kiện 𝑥𝑦 + 2𝑦 = 1800 𝑥𝑦 + 2𝑦 − 1800
Hàm điều kiện là φ ( x,y) = 𝑥𝑦 + 2𝑦 − 1800
Rõ ràng U, φ đều khả vi liên tục đến cấp 2 trên miền phẳng xác định bởi x ≥ 0, y ≥ 0 nên ta có thể dùng phương pháp nhân tử Lagrange Ta lập hàm Lagrange:
L = L(x, y) = C +λϕ
= 18x + 8y = 𝑥𝑦 + 2𝑦 − 1800
Các đạo hàm riêng của L và φ:
L’x = 18y + yλ; L’y = 8 + xλ + 2λ; x≥0, y≥0
L’’xx = L’’yy = 0; L’’xy = λ; x≥0, y≥0
Ta tìm điểm dừng và nhân tử Lagrange
{
𝐿′𝑋= 0
𝐿′𝑦 = 0
φ(x, y) = 0⇔
{
18 + yλ = 0
8 + λ( x + 2) = 0
{
𝑥 = 20√2 − 2
𝑦 = 45√2
λ = −√25 Như vậy là chỉ có duy nhất một điểm dừng M(20√2 − 2; 45√2 ) ứng với nhân tử λ =−√25 duy nhất
Kiểm tra điều kiện cực trị tại điểm M(20√2 − 2; 45√2 ) và λ =−√25 , ta có L’’xx = L’’yy = 0 , L’’xy = −√2
5 ;
φ’x =45√2 ; φ’y = 20√2
H = |
𝐿′′𝑥𝑥
𝐿′′𝑥𝑦
𝜑′𝑥
𝐿′′𝑥𝑦
𝐿′′ý𝑦
𝜑′𝑦
𝜑′𝑥 𝜑′𝑦
0 | = ||
−√2
5 0 20√2
|| = -1018,2 < 0
Do đó M(20√2 − 2; 45√2 ) là điểm cực tiểu điều kiện với Cmin = 982,2 USD
• Kết luận vấn đề kinh tế: Để chi phí tối thiểu, lượng cầu Hick tương ứng là 𝑥̅ = 20√2 − 2; 𝑦̅ = 45√2 Lúc đó chi phí C = 982,2 USD nhỏ nhất
VI.17. Một công ty sản xuất độc quyền hai loại hàng hoá với hàm cầu lần lượt là:
Q1 = 280 −25𝑃1+ 15𝑃2, Q2 = 420 + 15𝑃1− 25𝑃2
Giả sử tổng chi phí xác định bởi: C = 40Q1 + 180Q2 + Q12 + Q1Q2 + Q22
Tìm mức sản lượng của từng loại hàng hoá để tối đa hoá lợi nhuận
Gi ải
Vì ta cần tìm mức sản lượng từng loại hàng hóa để tối đa hoá lợi nhuận nên biểu diễn P theo Q:
Trang 8{𝑄1 = 280 −
2
5𝑃1+ 15𝑃2
𝑄2 = 420 + 15𝑃1 − 25𝑃2 ⟹ {
𝑃1 = −103 𝑄1− 53𝑄2+ 49003
𝑃2 = −53 𝑄1− 103 𝑄2+ 56003 (Q1, Q2≥ 0) Doanh thu R và lợi nhuận π của doanh nghiệp được cho bởi:
R = P1Q1 + P2Q2 = −10
3 Q12 -
10
3Q22 -
10
3Q1Q2 +
4900
3 Q1 +
5600
3 Q2
π = R – C = −133 Q12 - 133Q22 - 133Q1Q2 + 47803 Q1 + 50603 Q2 ; Q1, Q2≥ 0
Vấn đề xác định mức tiêu thụ sản phẩm của doanh nghiệp đó tại mỗi thị trường để tối ưu hoá lợi nhuận quy về bài toán cực trị (tự do) dưới đây Tìm Q1, Q2 không âm làm cực đại hàm:
π = R – C = −133 Q12 - 133Q22 - 133Q1Q2 + 47803 Q1 + 50603 Q2 ; Q1, Q2≥ 0
Ta đặt:
π 1’= π𝑄1’; π2’ = πQ2’; π11’’= πQ1Q1’’; π12’’= πQ1Q2’’; π22’’= πQ2Q2’’
Khi đó, các đạo hàm riêng cấp 1, 2 của π như sau
π1’= −263 Q1 - 13
3Q2 +
4780
3 ; Q1, Q2≥ 0 π11’’= −263 = A π12’’=−133 = B
π2’= −263 Q2 - 13
3Q1 +
5060
3 ; Q1, Q2≥ 0 π22’’= −263 = C
Ta tìm điểm dừng {𝜋𝜋1′ = 0
2′ = 0⟺ {
𝑄1 =150013
𝑄2 = 178013
Ta được điểm dừng duy nhất M(150013 ; 1780
13 ) Tại điểm dừng này ta tính được
∆ = AC – B2 = 169
3 > 0
Do đó π đạt cực đại duy nhất tại M (150013 ; 178013 ) với πmax = 207 394, 8718
VI.18. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm Biết hàm cầu của 2 sản phẩm này và hàm tổng chi phí như dưới đây:
QD1 = Q1 = 1230−5𝑃141+𝑃2; QD2 = Q2 = 1350+𝑃141−3𝑃2; TC = Q12 + Q1Q2 + Q22
Tìm mức sản lượng của từng loại hàng hoá để công ty có lợi nhuận cực đại
Gi ải:
Vì ta cần tìm mức sản lượng từng loại hàng hóa để công ty có lợi nhuận cực đại nên biểu diễn P theo Q: {Q1 =
1230−5P1+P2
14
Q2 = 1350+P1 −3P 2
14
⟹ {𝑃𝑃1 = −3𝑄1− 𝑄2+ 360
2 = −𝑄1− 5𝑄2+ 570 (Q1, Q2≥ 0) Doanh thu R và lợi nhuận π của doanh nghiệp được cho bởi
R = P1Q1 + P2Q2 = -3Q12– 5Q22– 2Q1Q2 + 360Q1 + 570Q2
π = R – TC = -4Q12 - 6Q22 - 3Q1Q2 + 360Q1 + 570Q2 (Q1, Q2≥ 0)
Vấn đề xác định mức tiêu thụ sản phẩm của doanh nghiệp đó tại mỗi thị trường để tối ưu hoá lợi nhuận quy về bài toán cực trị (tự do) dưới đây Tìm Q1, Q2 không âm làm cực đại hàm:
π = R – TC = -4Q12 - 6Q22 - 3Q1Q2 + 360Q1 + 570Q2 (Q1, Q2≥ 0)
Ta đặt:
π 1’= π𝑄1’; π2’ = πQ2’; π11’’= πQ1Q1’’; π12’’= πQ1Q2’’; π22’’= πQ2Q2’’
Khi đó, các đạo hàm riêng cấp 1, 2 của π như sau
π1’= -8Q1 - 3Q2 + 360; Q1, Q2≥ 0 π11’’= -8 = A π12’’= -3 = B
π2’= -12Q2– 3Q1 + 570; Q1, Q2≥ 0 π22’’= -12 = C
Ta tìm điểm dừng {𝜋𝜋1′ = 0
2′ = 0⟺ {𝑄𝑄12 = 30= 40
Trang 9Ta được điểm dừng duy nhất M(30; 40) Tại điểm dừng này ta tính được:
∆ = AC – B2 = 87 > 0
Do đó π đạt cực đại duy nhất tại M(30; 40) với πmax = 16800
VI.19. Cho hàm lợi ích tiêu dùng U = U(Q1, Q2) = Q1Q2 + Q1 + 2Q2 của hai lượng cầu hai loại hàng hóa tiêu dùng Q1, Q2 Hãy xác định lượng cầu của hai loại hàng hóa đó để tối đa hóa lợi ích biết rằng giá bán hai loại hàng hóa đó lần lượt là 2USD, 5USD và thu nhập dành cho tiêu dùng là 51USD
Gi ải:
Mỗi lượng cầu (Q1,Q2) đều phải thỏa mãn điều kiện 2Q1 + 5Q2 = 51 Do đó vấn đề tối đa hóa lợi ích quy về bài toán tìm cực đại điều kiện của hàm lợi ích
U = U(Q1, Q2) = Q1Q2 + Q1 + 2Q2 ; x ≥ 0, y ≥ 0 Đặt hàm điều kiện φ(Q1,Q2) = 2Q1 + 5Q2 − 51
Xét hàm Lagrange : L = Q1Q2 + Q1 + 2Q2 + (2Q1 + 5Q2 − 51)
Các đạo hàm riêng của L và φ :
L’Q1 = Q2 + 1 + 2; L’’Q12= L’’Q22 = 0; φ’Q1 = 2 x ≥ 0, y ≥ 0
L’Q2 = Q1 + 2 + 5; L’’Q1Q2 = 1; φ’Q2 = 5
Ta tìm điểm dừng :
{
𝐿′𝑄1 = 0
𝐿′𝑄2 = 0
𝜑(𝑄1, 𝑄2) = 0
{ 𝑄𝑄12+ 2 + 5 = 0+ 1 + 2 = 0
2𝑄1+ 5𝑄2− 51 = 0 {
𝑄1 = 13
𝑄2 = 5
= −3
Ta được nhân tử duy nhất = −3 và điểm dừng duy nhất tương ứng là M(13,5)
Ta tính Hessian để kiểm tra điểm dừng M và
H = |𝐿
′′𝑄1𝑄1 𝐿′′𝑄1𝑄2 𝜑′𝑄1
𝐿′′𝑄1𝑄2 𝐿′′𝑄2𝑄2 𝜑′𝑄2
0 1 2
1 0 5
2 5 0| = 20 > 0
Do đó U đạt cực đại duy nhất tại M(13,5) với Umax = 88
Kết luận : khi Q1 = 13, Q2 = 5 thì doanh nghiệp đó sẽ tối đa hóa lợi ích với Umax = 88
VI.20. Cho hàm lợi ích tiêu dùng U = U(Q1, Q2) = Q10,6 Q20,25 của hai lượng cầu hai loại hàng hóa tiêu dùng
Q1, Q2 Hãy xác định lượng cầu của hai loại hàng hóa đó để tối đa hóa lợi ích biết rằng giá bán hai loại hàng hóa đó lần lượt là 8USD, 5USD và thu nhập dành cho tiêu dùng là 680USD
Gi ải:
Mỗi lượng cầu (Q1,Q2) đều phải thỏa mãn điều kiện 8Q1 + 5Q2 = 680 Do đó vấn đề tối đa hóa lợi ích quy về bài toán tìm cực đại điều kiện của hàm lợi ích
U = U(Q1, Q2) = Q10,6 Q20,25 ; x ≥ 0, y ≥ 0 Đặt hàm điều kiện φ(Q1,Q2) = 8Q1 + 5Q2 − 680
Xét hàm Lagrange : L = Q10,6 Q20,25 + (8Q1 + 5Q2 − 680)
Các đạo hàm riêng của L và φ :
L’Q1 = 0,6Q1-0,4Q20,25 + 8; L’’Q12 = 0,24Q1-1,4Q20,25 ; φ’Q1 = 8 x ≥ 0, y ≥ 0
L’Q2 = 0,25Q10,6Q20,75 + 5; L’’Q22 = −0,1875Q10,6Q2-1,75 ; φ’Q2 = 5
Ta tìm điểm dừng :
{
𝐿′𝑄1 = 0
𝐿′𝑄2 = 0
𝜑(𝑄1, 𝑄2) = 0
{0,6𝑄1
−0,4𝑄20,25+ 8 = 0 0,25𝑄10,6𝑄20,75+ 5 = 0 8Q1 + 5Q2 − 680 = 0
{ 𝑄𝑄12 = 60= 40
= −0,037
Ta được nhân tử duy nhất = −0,037 và điểm dừng duy nhất tương ứng là M(60,40)
Ta tính Hessian để kiểm tra điểm dừng M và
Trang 10 H = |𝐿
′′𝑄1𝑄1 𝐿′′𝑄1𝑄2 𝜑′𝑄1
𝐿′′𝑄1𝑄2 𝐿′′𝑄2𝑄2 𝜑′𝑄2
𝜑′𝑄1 𝜑′𝑄2 0 | = 0,41556 > 0
Do đó U đạt cực đại duy nhất tại M(60,40) với Umax = 29,33
Vậy khi Q1 = 60, Q2 = 40 thì doanh nghiệp đó sẽ tối đa hóa lợi ích với Umax = 29,33
VI.21. Một công ty sản xuất hai loại hàng tiêu dùng Cho biết lượng cầu đối với hai loại hàng đó lần lượt là
𝑄1 = 65 − 2𝑃1, 𝑄2 = 50 − 𝑃1− 𝑃2; 𝑃𝑖 là giá mỗi đơn vị hàng hóa thứ i (i=1, 2) Hãy xác định mức sản lượng 𝑄1,𝑄2 để tối ưu hóa lợi nhuận cực đại biết rằng hàm chi phí kết hợp C=2Q21+ Q1Q2 + Q22 + 20
Gi ải
Ta có:
𝑄1 = 65 − 2𝑃1⇔ 𝑃1 = 32,5 − 0,5𝑄1
𝑄2 = 50 − 𝑃1 − 𝑃2 ⇔ 𝑃2 = 17,5 + 0,5𝑄1− 𝑄2
Doanh thu R và lợi nhuận π của doanh nghiệp:
R = 𝑃1𝑄1+ 𝑃2𝑄2 = 32,5𝑄1− 0,5𝑄12+ 17,5𝑄2+ 0,5𝑄1𝑄2− 𝑄22
π = R − C = 32,5𝑄1− 2,5𝑄12+ 17,5𝑄2− 0,5𝑄1𝑄2− 2𝑄22− 20
Vấn đề xác định mức sản lượng 𝑄1, 𝑄2để tối ưu hóa lợi nhuận cực đại quy về bài toán cực trị (tự do) dưới đây Tìm 𝑄1,𝑄2 không âm làm cực đại hàm π = R − C = 32,5𝑄1− 2,5𝑄12+ 17,5𝑄2− 0,5𝑄1𝑄2− 2𝑄22− 20
Để tiện ta đặt: 𝜋1′ = 𝜋𝑄1′ , 𝜋2′ = 𝜋𝑄2′ , 𝜋11′′ = 𝜋𝑄1𝑄1′′ , 𝜋12′′ = 𝜋𝑄1𝑄2′′ , 𝜋22′′ = 𝜋𝑄2𝑄2′′
Khi đó các đạo hàm riêng cấp 1, 2 của π như sau
𝜋1′ = −5𝑄1− 0,5𝑄2+ 32,5
𝜋2′ = −0,5𝑄1− 4𝑄2+ 17,5
𝐴 = 𝜋11′′ = −5, 𝐵 = 𝜋12′′ = −0,5, 𝐶 = 𝜋22′′ = −4
Điểm dừng {𝜋𝜋1′ = −5𝑄1− 0,5𝑄2+ 32,5 = 0
2′ = −0,5𝑄1− 4𝑄2 + 17,5 = 0⇔ {
𝑄1 =48579
𝑄2 = 28579
Ta được điểm dừng duy nhất M (48579, 28579) Tại điểm dừng này ta tính được
∆= AC − B2 = 19,75 > 0
Mà A=-5 < 0 nên M(48579, 28579) là điểm cực đại
Do đó π đạt cực đại duy nhất tại M(48579, 285
79) với giá trị cực đại πmax = 111,33
Kết luận: Khi tiêu thụ 𝑄1 =48579 sản phẩm ở thị trường thứ nhất, 𝑄2 = 28579 sản phẩm ở thị trường thứ hai, doanh nghiệp đó sẽ tối ưu hóa lợi nhuận cực đại
VI.22. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q = Q(K, L)cho như dưới đây với α, β là hai hằng số dương cho trước Tùy thuộc vào α, hãy đánh giá hiệu quả của quy mô sản xuất của doanh nghiệp đó
a) Q = 2K3α− 3KαL2α+ 4L3α
b) Q = 4K3α− 2K2αLα+ 3L3α
c) Q = 2KαL2β
d) Q = 3Kα+βL3α
Gi ải
a) Ta có: Q = Q(K, L) = 2K3α− 3KαL2α+ 4L3α, Q xác định với mọi K>0, L>0
Q = Q(tK, tL) = 2(tK)3α− 3(tK)α(tL)2α+ 4(tL)3α = t3αQ(K, L)
Do đó Q = Q(K, L) là hàm thuần (dương) nhất bậc 3α Từ đó suy ra: