BÀI TẬP NHÓM MÔN TOÁN CAO CẤP

a Xác định các hàm chi phí, doanh thu và lợi nhuận của doanh nghiệp đó... a Xác định các hàm chi phí, doanh thu và lợi nhuận của doanh nghiệp đó... Giả sử hàm lợi ích được cho bởi tối ưu

BÀI TẬP NHÓM MÔN TOÁN CAO CẤP

LỚP: K224021C Giảng viên: Thầy Phạm Văn Chững

Nhóm 1

VI.9: Xét một doanh nghiệp có chi phí cố định (đơn vị: triệu đồng) là C o =400 ,giá

0,4 (triệu đồng) Giả sử doanh nghiệp đó có hàm sản xuất Cobb-Douglas Q =

120 K23L13, giá sản phẩm trên thị trường là p = 1( triệu đồng)

a) Xác định các hàm chi phí, doanh thu và lợi nhuận của doanh nghiệp đó

b) Tính chi phí cận biên, doanh thu cận biên và lợi nhuận cận biên theo lượng vốn

và theo lượng lao động tại K = 54, L = 16

c) Tính hệ số co giãn của chi phí, doanh thu và lợi nhuận theo lượn vốn và theo lượng lao động tại k = 54, L = 16

Giả

i

Hàm doanh thu TR = p.Q = 1 120K23 L13

Hàm lợi nhuận π=TR−TC = 120K23L13 –(2K + 0,4L + 400)

Vậy hàm chi phí TC = 2K + 0,4L + 400

hàm doanh thu TR = 1 120K23L13

hàm lợi nhuận π = 120K23L13 –(2K + 0,4L + 400)

b) Chi phí cận biên:

M TC K= T C '

K=2

M TC L= T C '

L=0,4

Doanh thu cận biên:

M TR K= T R '

K =80.K−13 L13; K >0, L >0

M TR L= T R '

L =40.L−23 K23; K >0, L >0 Lợi nhuận cận biên:

M πK= π '

K =80 K−13 L13 −2; K >0, L >0

M πL= π '

L= ¿40 L−23 .K23 – 0,4; K >0, L >0

 Tại mức K = 54, L = 16 ta được:

M TR K (54 ,16)= T R '

K=80.54−13 .1613 = 1603 ≈53,3

M TR L (54,16)= T R '

L=40.16−23 .5423 = 90

M πK (54 ,16)= π '

K=80.54−13 .1613 – 2 = 1543 ≈ 51,3

M πL (54,16)= π '

L= ¿40.16−23 .5423 – 0,4 = 4485 ≈ 89,6 Vậy chi phí cận biên, doanh thu cận biên và lợi nhuận cận biên theo lượng vốn và theo lượng lao động tại K = 54, L = 16 lần lượt là

M TC K= 2

M TC L= 0,4

M TR K (54 ,16) = 1603 ≈ 53,3

M TR L (54 ,16)= 90

M πK (54 ,16)=1543 ≈ 51,3

M πL (54, 16)= 4485 ≈ 89,6

c) Hệ số co giãn của chi phí:

ε TC K =T C '

K TC K =2K +0,4 L+400 2 K ; K >0, L >0

ε TC L =T C '

L TC L =2K +0,4 L+400 0,4 L ; K >0, L >0

Hệ số co giãn của doanh thu:

ε TR K =T R '

K TR K = 80 K−13 .L13.

K

120 K23L13 = 23

ε TR L =T R '

L TR L = 40 L−23 .K23 L

120 K23L13 = 13

Hệ số co giãn của lợi nhuận:

ε π K =π '

K K π = 80 K

−1

120 K

2

3L

1

3–(2K +0,4 L+400); K >0, L >0

ε π L =π ' L π L = 40 L−23 K23.

L

120 K23L13–(2 K +0,4 L+400); K >0, L >0

 Tại mức K = 54, L = 16 ta được:

ε TC K (54,16)=T C '

K TC K =2.54+0,4.16+4002.54 = 135643 ≈ 0,21%

ε TC L (54, 16)=T C ' L TC L =2.54+0,4.16+4000,4.16 = 6438 ≈0,012%

ε π K(54,16)=π '

K K π = 80 54

−1

120 54

2

3 16

1

3–( 2.54+0,4.16+400 )

≈ 1,879%

ε π L (54 ,16)=π '

L π L = 40.16−23 .5423.

16 120.5423 16 31–(2.54+0,4.16+400)

= 17924757 ≈ 0,377%

Vậy hệ số co giãn của chi phí, doanh thu và lợi nhuận theo lượn vốn và theo lượng lao động tại k = 54, L = 16 lần lượt là

ε TC K (54 ,16)= 135643 ≈ 0,21%

ε TC L (54,16)= 6438 ≈0,012%

ε TR K= 23

ε TR L= 13

ε π K (54 ,16)≈ 1,879%

ε π L (54 ,16) = 17924757 ≈ 0,377 %

VI.10 Xét một doanh nghiệp có chi phí cố định (đơn vị: triệu đồng) là C0 = 200,

giá sản phẩm trên thị trường là p = 0,5 (triệu đồng)

a) Xác định các hàm chi phí, doanh thu và lợi nhuận của doanh nghiệp đó

b) Tính chi phí cận biên, doanh thu cận biên và lợi nhận cận biên theo lượng vốn

và theo lượng lao động tại K = 100, L = 20

c) Tính hệ số co giãn của chi phí, doanh thu và lợi nhuận theo lượng vốn và theo lượng lao động tại K = 100, L = 20

Giải

a) Hàm chi phí: TC = K + 0,2L + 200

Hàm doanh thu: TR = 0,5K(L + 10)

Hàm lợi nhuận: π = 0,5KL + 4K – 0,2L – 200

b) Chi phí cận biên theo L: MCL (100, 20) = 0,2

Doanh thu cận biên theo L: MRL = 0,5K → MRL(100, 20) = 50

Lợi nhuận cận biên theo L: MπL = 0,5K – 0,2 → MπL(100, 20) = 49,8

c) Hệ số co giãn của chi phí theo L: εCL = CL’ C L = 0,2.K +0,2L+200 L

→ εCL(100, 20)= 0,2.100+0,2.20+20020 = 761

Hệ số co giãn của chi phí theo K: εCK = CK’ C K = 1.K +0,2 L+200 K

→ εCK(100, 20)= 1.100+0,2.20+200100 = 2576

Hệ số co giãn của doanh thu theo L: εRL = RL’ R L =0,5 K L

0,5 K (L+10)

→ εRL(100, 20)= 0,5.100.0,5.100(20+10)20 = 23

Hệ số co giãn của doanh thu theo K: εRK = RK’ K R =(0,5 L+5). K

0,5 K (L+10)

→ εRK(100,20)=( 0,5.20+5 ). 100

0,5.100(20+10) = 1

Hệ số co giãn của lợi nhuận theo L: επL = πL’ π L

=(0,5 K –0,2). 0,5 KL+4 K – 0,2L– 200 L

→ επL(100, 20)=( 0,5.100−0,2 ).0,5.100 20+4.100−0,2.20−20020 =249299

Hệ số co giãn của lợi nhuận theo K: επK = πK’ K π

=(0,5 L+4). 0,5 KL+4 K – 0,2 L– 200 K

0,5.100 20+4.100−0,2.20−200= 350299

VI.11 Giả sử một người tiêu dùng mua hai loại hàng hóa X, Y Cho biết hàm hữu

dụng của hai loại hàng này làU (x , y)=(x+2)2( y+3)2; trong đó x, y lần lượt là khối lượng hai loại hàng hóa đó

a) Tìm hàm hữu dụng biên và hệ số co giãn theo từng loại hàng hóa

b) Tính giá trị hữu dụng biên theo X khi người đó mua mỗi loại hàng 3 đơn vị khối lượng

Giải:

a)

x=2 (x+2)(y+3) 2;

Hữu dụng biên theo hàng hóa Y:M Uy =U ' y=2 (y+3) (x+2) 2; x>0 , y>0.

Hệ số co giãn theo hàng hóa X:

ε Ux =U ' x x

(x+2) 2 (y+3) 2= 2x

x+2 ; x>0 , y>0.

Hệ số co dãn theo hàng hóa Y:

ε Uy =U ' y y U=2 (y+3)(x+2) 2 y

(x+2) 2 (y+3) 2= 2 y y+3 ; x>0 , y>0.

b) Giá trị hữu dụng biên theo X khi người đó mua mỗi loại hàng 3 đơn vị khối lượng là:

M Ux( 3,3 ) =2 ( 3+2 ) ( 3+3 ) 2=360;

VI.12 Xét hai loại hàng hóa X, Y trên thị trường với giá của mỗi đơn vị hàng hóa

X, Y lần lượt là 50USD và 200USD Giả sử hàm lợi ích được cho bởi

tối ưu hóa lợi ích trong điều kiện ngân sách dành cho tiêu dùng là 1850USD Xác định lượng cầu Marshall tương ứng của X, Y

Giải

Do đó vấn đề tối ưu hóa lợi ích quy về bài toán tìm cực đại điều kiện của hàm lợi ích

U =(x+30)y ; x≥ 0, y≥ 0;

Với điều kiện:

50 x+200 y=1850 ⟺50 x+200 y−1850=0⟺x+4 y−37=0 (*)

 Đặt φ(x , y)=x+4 y−37 và xét hàm:

L=L(x, y)=U + λφ(x , y) = (x+30)y+ λ(x+4 y−37);x ≥ 0, y ≥ 0

L '

X = y+ λ ,L '

y =x+30+4 λ; L ' '

xx =0=L ' '

yy , L ' '

xy =1; x≥ 0, y≥ 0.

φ ' X =1,φ ' y =4, x≥ 0, y≥ 0.

 Lập hệ phương trình xác định điểm dừng và giải hệ ta được

{ L ' x=0

L '

y=0

φ '(x , y)=0

x+30+4 λ=0

x=3,5 y=8,375

8,375)

L ' '

xx =0=L ''

yy , L ''

xy =1vàφ '

X =1,φ '

y=4 nên ta được

H=|L ''

xx L ' '

xy φ ' X

L ''

xy L ''

yy φ ' y

φ '

X φ '

y 0 |=|0 1 1

1 0 4

1 4 0|=8>0.

Như vậy là, trong điều kiện (*), hàm lợi ích đạt duy nhất một cực đại điều kiện tại M( 3,5; 8,375) với U max= ( 3,5+30 )×8,375 ≈ 280,6.

 Kết luận vấn đề của Kinh tế: Túi hàng (x = 3,5, y = 8,375) làm tối ưu hóa lợi

VI.13 Xét hai loại hàng hóa X, Y trên thị trường với giá của mỗi đơn vị hàng hóa

X, Y lần lượt là 100USD và 25USD Giả sử hàm lợi ích được cho bởi U=x(y+15); x≥0, y≥0 (x, y là lượng hàng hóa X, Y tương ứng) Hãy chọn túi hàng (x, y) để tối

ưu hóa lợi ích trong điều kiện ngân sách dành cho tiêu dùng là 925USD Xác định lượng cầu Marshall tương ứng của X, Y

Giải

Mỗi túi hàng (x, y) đều phải thõa mãn điều kiện ngân sách 100x+25y=925 (USD)

Do đó vấn đề tối ưu hóa lợi ích quy về bài toán tìm cực đại điều kiện của hàm lợi ích

U=x(y+15); x≥0, y≥0 (với điều kiện 100x+25y=925) (1)

L = L(x,y)= U +λ φ (x,y)=x(y+15)+ λ (100x+25y-925); x ≥0 , y≥0

 Lập hệ phương trình xác định điểm dừng và giải hệ ta được

{ ¿L' x=0

¿L ' y=0

¿φ(x, y) =0

¿100 x+25 y−925=0

¿y=11

M(6,5,11)

Ta tính Hessian để kiểm tra điểm dừng M và λ Vì L’’xx=0=L’’yy , L’’xy=1 và

φ’x= 100, φ’y=25 (hằng số không phụ thuộc x,y, λ) nên ta được

H=|¿L ' xx L' ' xy φ ' x

¿L' ' xy L' ' yy φ' y

¿φ' x φ' y0 |= ¿5000>0 Như vậy là trong điều kiện (1) hàm lợi ích đạt duy nhất một cực đại tại điều kiện M(6,5,11) với Umax=6,5(11+15)=169

 Kết luận vấn đề của Kinh tế: Túi hàng (x=6,5, y=11) làm tối ưu hóa lợi ích Umax=169trong điều kiện ngân sách (1) ở đây lượng cầu Marshall tương

VI.14 Xét hai loại hàng hóa X, Y trên thị trường với giá của mỗi đơn vị hàng hóa

X, Y lần lượt là 500 và 400 (đơn vị tính: nghìn đồng) Giả sử hàm lợi ích được cho

túi hàng (x, y) để tối ưu hóa lợi ích trong điều kiện ngân sách dành cho tiêu dùng là

4 triệu đồng Xác định lượng cầu Marshall tương ứng của X, Y

Giải:

Mỗi túi hàng (x, y) đều phải thõa mãn điều kiện ngân sách

500x+400y=4.000.000 (USD) Do đó vấn đề tối ưu hóa lợi ích quy về bài toán tìm cực đại điều kiện của hàm lợi ích

L = L(x,y)= U +λ φ (x,y)=(x+4)(y+5)+ λ (5x+4y-40.000); x ≥0 , y≥0

L’x=y+5+5 λL’y=x+4+4 λ

 Lập hệ phương trình xác định điểm dừng và giải hệ ta được

Ta được nhân tử duy nhất và điểm dừng duy nhất tương ứng là M(4000,5000)

Ta tính Hessian để kiểm tra điểm dừng M và λ Vì L’’xx=0=L’’yy , L’’xy=1 và

φ’x= 5, φ’y=4 (hằng số không phụ thuộc x,y, λ) nên ta được

H=|L ''

xx L ' '

xy φ ' X

L ''

xy L ''

yy φ ' y

φ '

X φ '

y 0 |=40>0

Như vậy là trong điều kiện (1) hàm lợi ích đạt duy nhất một cực đại tại điều kiện M(4000,5000) với Umax=(4000+4)(5000+5)=20040020

 Kết luận vấn đề của Kinh tế: Túi hàng (x=4000, y=5000) làm tối ưu hóa lợi ích Umax=20040020 trong điều kiện ngân sách (1) ở đây lượng cầu

VI.15 Giả sử người tiêu dùng có hàm lợi ích U = 12xy + 8x (x≥0, y ≥0) trên hai loại hàng hóa X,Y (x,y là lượng hàng hóa X, Y tương ứng) Đơn giá của từng loại

cầu Hick tương ứng

Giải:

Với mỗi túi hàng (x,y) chi phí tiêu dùng là C = 4x + 9y; x≥0 , y≥0 Vấn đề kinh tế trở thành bài toán cực tiểu điều kiện sau: tìm (x,y) để C = 4x + 9y cực tiểu với điều kiện U(x,y)= 12xy + 8x = 10800; x ≥ 0, y ≥0

Giải bài toán này bằng phương pháp Lagrange, ta có:

L’x = 12 + 12 λy L’y= 9 + 12λx x≥0 , y≥0

 Ta tìm điểm dừng:

{ L’ x=12+12λ y=0

L’ y=9+12 λ x=0

φ (x , y ) =12 xy+8x−10800=0 ⇔{x=45

y=583 λ=−160

60

 Kiểm tra điều kiện cực trị tại điểm M(45,583 ) và λ=−160

L’ ’ xy L’’ y y φ ’ y

−1

5 0 540

240 540 0 | = -51840 ¿ 0

 Do đó M(45,583 ) là điểm cực tiểu với Cmin = 354

 Kết luận vấn đề của kinh tế: Để chi phí tối thiểu lượng cầu Hick tương ứng

^x=¿45, ^y= 583 .Lúc đó chi phí C = 354USD nhỏ nhất

VI.16 Giả sử người tiêu dùng có hàm lợi ích U = xy + 2y; x≥0 , y≥0 trên hai loại hàng hóa X, Y (x, y là lượng hàng hóa X, Y tương ứng) Giá của từng loại hàng là

tương ứng

Giải

Vỡi mỗi túi hàng (x,y) chi phí tiêu dùng là C = 18x + 8y; x≥0 , y≥0 Vấn đề kinh tế trở thành bài toán cực tiểu điều kiện sau: tìm (x,y) để C= 18x + 8y cực tiểu với

Giải bài toán này bằng phương pháp Lagrange, ta có:

L’x= 18 + λy L’y=8+ λx +2 λ x≥0 , y≥0

 Ta tìm điểm dừng

5

Kiểm tra điều kiện cực trị tại điểm M(2(-1+10√2 ¿,45√2) và λ=−√2

5

H=|L ''

xx L ' '

xy φ ' X

L ''

xy L ''

yy φ ' y

φ '

X φ '

y 0|=−1007<0

2(-1+10√2 ¿, ^y=¿45√2 Lúc đó chi phí C=982,23USD nhỏ nhất

VI.17 Một công ty sản xuất độc quyền hai loại hàng hoá với hàm cầu lần lượt là

Q1 = 280 - 25P1+15P2, Q2 = 420 + 15P1− 25P2 Giả sử tổng chi phí xác định bởi

C = 40Q1 + 180Q2 + Q12 + Q1Q2 + Q22 Tìm mức sản lượng của từng loại hàng hóa

để tối đa hóa lợi nhuận

Giải

Từ hàm cầu của hai sản phẩm:

{Q1=280−25P1+ 15P2

Q2 =420+ 15P1 −25P2

Ta suy ra được:

3 Q1 − 5

3Q2 + 4900

3

P2 =−53 Q1 − 103 Q2 + 56003 (Q1, Q2 ≥ 0)

R = P1Q1 + P2Q2 = −103 Q12 - 103 Q22 - 103 Q1Q2 + 49003 Q1 + 56003 Q2

π = R – C = −133 Q12 - 133 Q22 - 133 Q1Q2 + 47803 Q1 + 50603 Q2

 Vấn đề xác định mức sản lượng của từng loại hàng hóa để công ty có lợi

đại hàm:

π = R – C = −133 Q12 - 133 Q22 - 133 Q1Q2 + 47803 Q1 + 50603 Q2

 Ta giải bài toán tương ứng Để tiện, ta đặt:

π1' =π Q ' 1 ; π2' =π Q '2 ; π11' ' =π Q ''1Q1 ; π12' ' =π Q ''1Q2 ; π22' ' =π Q ''2Q2

π1’= −263 Q1 − ¿ 133 Q2 + 47803 ; π2’= −263 Q2 −13

3 Q1 + 50603

{A=π11’ ’=−263

 Ta tìm điểm dừng:

{π1'=0

π2'=0 ⟺{Q1=150013

Q2 =178013

 Ta được điểm dừng duy nhất M(30,40) Tại điểm dừng này, ta tính được:

∆ = AC – B2 = 1693 > 0 ⟹ π đạt cực đại

Do đó π đạt cực đại duy nhất tại M(150013 , 1780

13 ) với giá trị cực đại π max=207 394,8718

Vì π khả vi liên tục đến cấp hai trên miền phẳng lồi: D={(Q1,Q2)/Q1≥ 0, Q2≥ 0}

 Hơn nữa, tại mọi điểm (Q1,Q2) thuộc D ta có:

π11' '=−263 <0; △=|π11' ' π12' '

π12' ' π22' '|=|−26

3 −133

−13

3 −263 |=1693 >0

Vậy M(150013 , 178013 ) còn là điểm cực đại toàn cục của π, nghĩa là giá trị cực đại

π max= ¿207 394, 8718 cũng là giá trị lớn nhất của π

 Kết luận: Khi tiêu thụ Q1= 150013 sản phẩm, Q2= 178013 sản phẩm, công ty đó sẽ đạt lợi nhuận cực đại là π max =207394 ,8718

VI.18 Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm Biết hàm cầu của hai

sản phẩm này và hàm tổng chi phí như dưới đây:

Q D1=Q1=1230−5 P1+P2

14 ; QD2=Q2=1350+P1−3 P2

14 ; TC=Q12+Q1Q2+Q22

Tìm mức sản lượng của từng loại hàng hóa để công ty có lợi nhuận cực đại

Giải:

Từ hàm cầu của hai sản phẩm: Q D1=Q1=1230−5 P1+P2

14 ; Q D2=Q2=1350+P1−3 P2

suy ra được: P1=360−3Q1−Q2 ; P2=570−Q1−5 Q2

TR=P1Q1+P2Q2=360Q1−3Q12+570 Q2−5 Q22−2Q1Q2 ;Q1≥ 0,Q2≥ 0

π=TR−TC=360 Q1+570 Q2−4Q12−6Q22−3Q1Q2 ;Q1≥ 0,Q2≥ 0

 Vấn đề xác định mức sản lượng của từng loại hàng hóa để công ty có lợi

đại hàm:

π=TR−TC=360 Q1+570Q2−4Q12−6Q22−3Q1Q2 ;Q1≥ 0,Q2≥ 0

 Ta giải bài toán tương ứng Để tiện, ta đặt:

π1' =π Q1

' ; π2' =π Q2

' ; π11' ' =π Q1Q1

'' ; π12' ' =π Q1Q2

'' ; π22' ' =π Q2Q2

'

π1' =360−8 Q1−3Q2 ; π2' =570−3Q1−12Q2 ;

π11' '=−8 ; π12' '=−3 ; π22' '=−12; Q1≥ 0 ,Q2≥ 0.

570−3Q1−12Q2=0 ⇔{Q1=30

 Ta được điểm dừng duy nhất M(30,40) Tại điểm dừng này, ta tính được:

Do đó π đạt cực đại duy nhất tại M(30,40) với giá trị cực đại π max=16800.

Vì π khả vi liên tục đến cấp hai trên miền phẳng lồi: D={(Q1,Q2)/Q1≥ 0, Q2≥ 0}

 Hơn nữa, tại mọi điểm (Q1,Q2 ) thuộc D ta có:

π11' ' ≡−8<0; △=|π11' ' π12' '

π12' ' π22' '|≡|−8 −3

−3 −12|=87>0

π max=16800cũng là giá trị lớn nhất của π

Kết luận: Khi tiêu thụ Q1=30 sản phẩm, Q2=40 sản phẩm, công ty đó sẽ đạt lợi nhuận cực đại là π max=16800.

VI.19 Cho hàm lợi ích tiêu dung U= U(Q1,Q2) = Q1Q2 + Q1 + 2Q2 của hai lượng

hóa đó để tối đa hóa lợi ích biết rằng giá bán hai loại hàng hóa đó lần lượt là

2USD, 5USD và thu nhập dành cho tiêu dùng là 51USD

Giải:

 Mỗi loại hàng hóa (Q1,Q2) đều phải thỏa mãn điều kiện thu nhập

2Q1+5 Q2=51(USD).

 Do đó vấn đề tối đa hóa lợi ích quy về bài toán tìm cực đại của hàm lợi ích:

U =Q1Q2+Q1+2Q2 ;Q1≥ 0,Q2≥ 0 với điều kiện 2Q1+5Q2=51(*)

Điều kiện (*)⇔ 2Q1+5Q2−51=0

 Đặt φ(Q1,Q2)=2Q1+5Q2−51 và xét hàm Lagrange với Q1≥ 0,Q2≥ 0:

L=L(Q1,Q2)=U +λ φ(Q1, Q2)=Q1Q2+Q1+2Q2+λ¿)

 Khi đó, các đạo hàm riêng cấp 1,2 của L và φ (với Q1≥ 0,Q2≥ 0) như sau:

L Q ' 1=Q2+1+2 λ ;

L Q ' 2=Q1+2+5 λ

L Q ' '1Q1=0= ¿ L Q ' '2Q2

L Q ' '1Q2=1

φ Q ' 1=2 ; φ Q ' 2=5

 Lập hệ phương trình xác định điểm dừng và giải hệ ta được:

{ L Q ' 1=0

L Q2

' =0

φ(Q1,Q2)=0

⇔ { Q2+1+2 λ=0

Q1+2+5 λ=0 2Q1+5Q2−51=0

Q2=5

λ=−3

H¿|L Q ' '1Q1 L Q ''1Q2 φ Q ' 1

L Q ' '1Q2 L Q ''2Q2 φ Q ' 2

φ Q ' 1 φ Q ' 2 0| ¿|0 1 2

1 0 5

2 5 0|=20>0

Như vậy trong điều kiện (*), hàm lợi ích đạt duy nhất một cực đại điều kiện tại M(13,5) với U max=88

Marshall tương ứng chính là Q1=13, Q2=5

VI.20 Cho hàm lợi ích U =U (Q1,Q2)=Q10,6.Q20,25của hai lượng cầu hai loại hàng hóa

ích biết rằng giá bán hai loại hàng hóa đó lần lượt là 8USD, 5USD và thu nhập dành cho tiêu dùng là 680USD

Giải:

Mỗi loại hàng hóa (Q1,Q2) đều phải thỏa mãn điều kiện thu nhập

8Q1+5Q2=680(USD). Do đó vấn đề tối đa hóa lợi ích quy về bài toán tìm cực đại của hàm lợi ích: U =Q10,6.Q20,25 ;Q1≥ 0,Q2≥ 0 với điều kiện 8Q1+5Q2=680(*)

Điều kiện (*) tương đương với

8Q1+5Q2−680=0

 Đặt φ(Q1,Q2)=8Q1+5Q2−680 và xét hàm Lagrange với Q1≥ 0,Q2≥ 0:

L=L(Q1,Q2)=U +λ φ(Q1,Q2)=Q10,6.Q20,25+λ¿)

 Khi đó, các đạo hàm riêng cấp 1,2 của L và φ (với Q1≥ 0,Q2≥ 0) như sau:

L Q ' 1=0,6Q−0,41 Q20,25+8 λ ; L Q ' 2=0,25Q10,6Q2−0,75+5 λ

L Q ' '1Q1=−0,24 Q−1,41 Q20,25;LQ ' '1Q2=0,15Q1−0,4Q−0,752 ;LQ ' '2Q2=−0,1875 Q10,6Q−1,752

φ Q1

' =8 ; φQ2

' =5

 Lập hệ phương trình xác định điểm dừng và giải hệ ta được: