PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN BÁ THƯỚC ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CỤM NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn Toán 8 Đề có 05 câu, gồm 01 trang Thời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4,0 điểm) Phân t[.]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn: Toán 8
Đề có 05 câu, gồm 01 trang
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4,0 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 4x2 - 12xy + 5y2;
b) x2 - 2xy + x + 3xz - 2y + 3z;
c) (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) - 24
Câu 2 (4,5 điểm) Cho biểu thức: P =
a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P
b) Tính giá trị của biểu thức P, biết |2x - 5| = 3
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên
Câu 3 (4,0 điểm)
a) Cho các số a, b, c thỏa mãn (a + b + c)(ab + bc + ca) = 2019 và abc = 2019 Tính giá trị của biểu thức: P = (b2c + 2019)(c2a + 2019)(a2b + 2019)
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 5x2 + 2xy + y2 - 4x - 40 = 0
c) Cho 3 số nguyên a, b, c thỏa mãn a + b + c chia hết cho 4 Chứng minh rằng:
A = (a + b)(b + c)(c + a) - abc cũng chia hết cho 4
Câu 4 (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC Đường cao AH Từ H
kẻ HD AB (D AB), HE AC (E AC)
a) Chứng minh tam giác AED đồng dạng với tam giác ABC
b) Gọi M là điểm đối xứng của B qua H Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt cạnh AC tại điểm N Chứng minh rằng: DE//BN
c) Chứng minh rằng:
Câu 5 (1,5 điểm) Cho 2 số dương x, y thỏa mãn x + y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của
-Hết -Họ và tên thí sinh:: SBD
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HUYỆN BÁ THƯỚC GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CỤM
NĂM HỌC 2018-2019 Môn thi: Toán 8
(Hướng dẫn chấm gồm có 3 trang)
1(4,0 đ)
b) x2 - 2xy + x + 3xz - 2y + 3z = x(x + 1) - 2y(x + 1) + 3z(x + 1)
= (x + 1)(x - 2y + 3z)
0,75đ 0,75đ c) (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) – 24
= (x +1)(x+2)(x+3)(x+4) – 24
= (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 24
Đặt x2 + 5x + 5 = t, ta được:
(t - 1)(t + 1) – 24 = t2 – 25 = (t + 5)(t - 5)
Thay t = x2 + 5x + 5, ta được:
(x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) – 24 = (x2 + 5x)(x2 + 5x + 10)
= x(x + 5)(x2 + 5x + 10)
0,5đ 0,5đ
0,5đ
2(4,5) a) (2,0 đ) Tìm được ĐKXĐ : x 1, x
P =
=
=
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ
0,25đ b) (1,0 đ)
Ta có: |2x - 5| = 3
0,5đ 0,5đ
b) (1,5đ) Ta có : P = -1 -
2x - 1 Ư(5) = {-1 ; 1 ; -5 ; 5} Ta có các trường hợp sau : + 2x - 1 = -1 x = 0 (TMĐK)
+ 2x - 1 = 1 x = 1 (loại)
0,25đ
0,25đ
Trang 3+ 2x - 1 = -5 x = -2 (TMĐK)
+ 2x - 1 = 5 x = 3 (TMĐK)
Vậy với x {0; -2; 3} thì P có giá trị nguyên
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
3(4,0đ)
a) (1,5đ)
Ta có: (a + b + c)(ab + bc + ca) = abc
(a + b)(b + c)(c + a) = 0
Suy ra:
P = (b2c + 2019)(c2a + 2019)(a2b + 2019)
= (b2c + abc)(c2a + abc)(a2b + abc)
= a2b2c2(a + b)(b + c)(c + a) = 0
Vậy P = 0
0,5đ
0,75đ
0,25đ b) (1,5đ) Ta có: 5x2 + 2xy + y2 - 4x - 40 = 0
(2x - 1)2 + (x + y)2 = 41 = 25 + 16
Ta có các trường hợp sau:
+
+
+
+
Vậy (x, y) {(3; 1), (3; -7), (-2; 6), (-2; -2)}
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,25đ c) (1,0đ)Ta có: A = (a + b)(b + c)(c + a) - abc
= (a + b + c)(ab + bc + ca) - 2abc
Vì a + b + c 4 nên (a + b + c)(ab + bc + ca) 4 (1)
Vì a + b + c 4 nên trong ba số a, b, c có ít nhất 1 số chẵn (vì nếu
cả 3 số cùng lẻ thì a + b + c không chia hết cho 4) 2abc 4 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: A 4
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
4(6,0đ)
O
A
M
N
H
E
D
a) (2,0đ) Chứng minh được: Tứ giác ADHE là hình chữ nhật
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo OA = OE
0,5đ
Trang 4OAE cân tại O OAE= OEA
mà OAE = ABC (vì cùng phụ với góc BAH)
OEA = ABC hay AED = ABC AED đồng dạng với ABC (g.g)
0,5đ
0,5đ 0,5đ b) (2,0đ)
Chứng minh được CMN đồng dạng với CAB
CMA đồng dạng với CNB
ABM có AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến ứng với cạnh BM nên ABM cân tại A AMB = ABC (2)
0,5đ
Mà AED = ABC (cm a) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: AED = ANB DE//BN
0,5đ
c) (2,0đ) Chứng minh được: HBA đồng dạng với ABC
Chứng minh tương tự, ta được: AC2 = HC.BC, HB2 = BD.AB,
HC2 = CE.AC
0,5đ 0,75đ 0,75đ
5 (1,5đ)
Ta có: P =
khi a = b, ta có:
Suy ra: P 4 + 2014 = 2018 Vậy GTNN của P bằng 2018 khi
x = y =
0,25đ
0,5đ
0,5đ 0,25đ
* Lưu ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Bài hình vẽ sai không chấm điểm