PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN BÁ THƯỚC ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CỤM NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn Toán 7 Đề có 05 câu, gồm 01 trang Thời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4,0 điểm) Tính g[.]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn: Toán 7
Đề có 05 câu, gồm 01 trang
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4,0 điểm) Tính giá trị của các biểu thức sau:
c) C = x3 + x2y - 3x2 - y(x + y) + 4y + x + 2016 với x + y - 3 = 0
Câu 2 (4,5 điểm)
b) Tìm ba phân số tối giản biết tổng của chúng bằng , tử số của chúng tỉ lệ với 3; 5; 7, mẫu số của chúng tỉ lệ với 2; 3; 4
c) Cho hàm số f(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a N* và f(5) - f(4) = 2012 Chứng minh rằng f(7) - f(2) là hợp số
Câu 3 (4,0 điểm)
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = (với x nguyên)
c) Cho p là một số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24
Câu 4 (6,0 điểm) Cho ABC vuông tại A (AB < AC), O là trung điểm của BC Trên
tia đối của tia OA lấy điểm K sao cho OA = OK Vẽ AH BC tại H Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E
a) Chứng minh rằng: ABC = CKA và AO = BC
b) Chứng minh rằng: AB = AE
c) Gọi M là trung điểm của BE Tính số đo góc CHM
Câu 5 (1,5 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thoả mãn
Chứng minh rằng: Trong ba số x, y, z có ít nhất một số không nhỏ hơn 2 và có ít nhất một số không lớn hơn 2
-Hết -Họ và tên thí sinh:: SBD
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN BÁ THƯỚC GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CỤM HƯỚNG DẪN CHẤM
NĂM HỌC 2018-2019
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Môn thi: Toán 7
(Hướng dẫn chấm gồm có 4 trang)
1(4,0 đ)
a) A =
=
=
= -4 + 0 = -4
0,5đ 0,5đ 0,5đ
c) Ta có:
C = x3 + x2y - 3x2 - y(x + y) + 4y + x + 2016
= x2.(x + y - 3) - y(x + y - 3) + x + y - 3 + 2019
= x2.0 - y.0 + 0 + 2019 (vì x + y - 3 = 0)
= 2019
0,5đ 0,25đ 0,25đ
0,25đ 1,0đ
0,25đ b) Gọi ba phân số tối giản cần tìm là x, y, z (x, y, z > 0)
Vì tử số của chúng tỉ lệ với 3; 5 ; 7, mẫu số của chúng tỉ lệ với 2;
x:y:z = 18:20:21 và x + y + z =
Suy ra: x = , y = , z =
0,5đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ
0,25đ c) Ta có :
f(5) - f(4) = a.(53 - 43) + b(52 - 42) + c(5 - 4)
= 61a + 9b + c = 2012
f(7) - f(2) = a.(73 - 23) + b(72 - 22) + c(7 - 2)
= 335a + 45b + 5c
0,5đ 0,25đ
Trang 3= 30a + 5.(61a + 9b + c)
= 30a + 10060 10 (do a N*)
Vậy f(7) - f(2) là hợp số
0,25đ 0,25đ 0,25đ
3(4,0đ)
0,25đ 1,0đ
0,25đ
+ Nếu x > 6 thì < 0
+ Nếu x < 6 thì > 0
Khi đó để có giá trị lớn nhất thì 6 - x là số nguyên dương
nhỏ nhất 6 - x = 1 x = 5
Vậy P đạt giá trị lớn nhất là 5 khi x = 5
0,25đ
0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ c) Vì trong ba số tự nhiên liên tiếp p - 1, p, p + 1 luôn có một số
chia hết cho 3, mà p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên trong hai số p
-1, p + 1 có một số chia hết cho 3 (p - 1)(p + 1) 3 (1)
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ p - 1 và p + 1 là
hai số chẵn liên tiếp (p - 1)(p + 1) 8 (2)
Từ (1) và (2) và (3,8) = 1 nên (p - 1)(p + 1) 3.8 = 24
0,5đ 0,5đ
0,25đ
4(6,0đ)
M O
A
K
E I
a)(2,5đ) Xét AOB và KOC có:
OA = OK (gt)
AOB = KOC (2 góc đối đỉnh)
OB = OC (gt)
Trang 4Suy ra: AOB = KOC (c - g - c)
AB = CK (2 cạnh tương ứng) ABO = KCO (2 góc tương ứng) mà ABO, KCO ở vị trí
so le trong AB//CK ACK = 180 0 - BAC = 180 0 - 90 0 = 90 0
Xét ABC và CKA có:
BAC = ACK = 90 0
AC cạnh chung
AB = CK (cmt)
Suy ra: ABC = CKA (c.g.c)
BC = AK mà AO = AK AO = BC
1,0đ 0,25đ 0,25đ
0,5đ 0,5đ b) (2,0đ) Kẻ EI AH (E AH), nối I với D.
Vì EI AH và AH BC nên: EI//BC
Vì ED BC và AH BC nên: ED//AH
Xét HID và EDH có:
HID = EDI (2 góc so le trong, ED//AH)
DI cạnh chung
HDI = EID (2 góc so le trong, EI//BC)
Suy ra: HID = EDH (g-c-g)
HD = EI (2 cạnh tương ứng) mà HD = AH AH = EI Xét AIE và BHA có:
AIE = BHA = 90 0
AH = EI (cmt)
AEI = ABH (vì cùng phụ với góc ABC)
Suy ra: AIE = BHA (g-c-g)
AB = AE (2 cạnh tương ứng).
0,5đ
0,5đ 0,25đ
0,5đ 0,25đ d) (1,5) Áp dụng kết quả câu a vào tam giác vuông ABE với đường
trung tuyến AM, ta có: AM = BE (1)
Áp dụng kết quả câu a vào tam giác vuông BDE với đường trung tuyến
DM, ta có: DM = BE (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AM = DM
Xét AHM và DHM có:
AH = HD (gt)
HM là cạnh chung
AM = DM (cmt)
Suy ra: AHM = DHM (c-c-c)
AHM = DHM mà AHD = 90 0 DHM = 45 0 hay CHM
= 90 0
0,25đ
0,25đ 0,25đ
0,5đ 0,25đ
5 (1,5đ) Giả sử cả ba số x, y, z đều lớn hơn 2 thì:
1 + x > 3
Trang 51 + y > 3
1 + z > 3
Vậy trong ba số x, y, z có ít nhất một số không lớn hơn 2
0,75đ
Giả sử cả ba số x, y, z đều nhỏ hơn 2 thì:
1 + x < 3
1 + y < 3
1 + z < 3
Vậy trong ba số x, y, z có ít nhất một số không nhỏ hơn 2
0,75đ
* Lưu ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng.
- Bài hình vẽ sai hoặc vẽ sai cơ bản không chấm điểm