TÍCH PHÂN bất ĐỊNH

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH... BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM2 2... Tích phân các phân thức cơ bản... Tích phân các phân thức cơ bảnĐạo hàm của MS lấy hết Ax... Tích phân các phân thức cơ bản... Tích

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

ĐỊNH NGHĨA

F(x) là nguyên hàm của f(x) trong (a, b) F’(x) = f(x)

f(x)dx = F(x) + C : tích phân bất định

BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM

2 2

BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM

2 2

cothx C

sh x

C x

C x

arctan x

dx x



  1 2 arctan x 2 d   arctan x 2  



( ),

n

u P x dv là phần còn lại

u là phần còn lại

dv dx chon v   x



Tích phân các phân thức cơ bản



Tích phân các phân thức cơ bản

Đạo hàm của MS (lấy hết Ax)

Tích phân các phân thức cơ bản

Tích phân các phân thức cơ bản

ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH

2

( ) ( )

Với đa thức ở tử có bậc nhỏ hơn mẫu và tam

thức ở mẫu có  < 0, sẽ được phân tích ở dạng

Tính A: nhân 2 vế với (x-1), sau đó thay x bởi 1

Để tính nhanh, trong biểu thức 2 1

Che (x-1) rồi cho x = 1 ta tìm được A

Tính B: nhân 2 vế với (x+3), sau đó thay x bởi -3

(hoặc che x+3 trong phân thức ban đầu) B = 7/4

Tính B: vế trái che (x-1)2, sau đó thay x bởi 1

Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi -3

2 2

1 / 4 7

2 1 ( )

Tính B: vế trái che (x-1)2, sau đó thay x bởi 1

Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi -3

Tính A: nhân 2 vế với x rồi cho x 

2 2

1 / 4 7

2 1 ( )

Tính B: vế trái che (x-1)2, sau đó thay x bởi 1

Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi -3

Tính A: nhân 2 vế với x rồi cho x 

2 2

2 1 ( )

Tính B: vế trái che (x-1)2, sau đó thay x bởi 1

Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi -3

Tính A: nhân 2 vế với x rồi cho x 

7 16

A

A B C

1 6

3 ( 1)( 1)

dx I

1 1



 



t x

t

2

3 2

6 ( 1)





t dt dx

t

Các trường hợp riêng của tích phân Eurler

2

ax  bx cdx 



2 2

Nguyên tắc chung: đưa về bình phương đúng của

các tam thức dưới căn và áp dụng tp bảng

1 3

arcsin

2 3

Sau khi đưa tam thức bậc 2 về bình phương

đúng, có thể rơi vào các TH sau:

Đặt bx n +a = tk , k là mẫu số của p

VÍ DỤ

2

3 ( 1)

dx I

Ví dụ

4 1 2

dx I



sinm cosn

I   x x dx

* m =2k + 1 I   sin2k x cosn x d (cos ) x

* n =2k + 1 I   sinm x cos2k x d (sin ) x

* m, n chẵn: dùng công thức hạ bậc

1 sin cos sin 2 ,

Thay x bởi –x, biểu thức dưới dấu tp không đổi

Thay x bởi –x, biểu thức dưới dấu tp không đổi

Thay x bởi +x, biểu thức dưới dấu tp không đổi

dx I

3 2

cos cos 2sin

cos

( ) cos 2sin

cos cos 2sin

Đặt x = sint

2 2

cos cos 2sin

cos sin 2

dx I

Một dạng đặc biệt của tp hàm lượng giác

Ví dụ

sin 2cos 3 sin 2cos 3