TÍCH PHÂN

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ðỊNH Trong chương trước chúng ta ñã biết rằng, nếu một hàm số fx khả vi trong khoảng a, b thì có ñạo hàm trong a, b và có thể tính ñược ñạo hàm của nó.. Áp d

Chương III TÍCH PHÂN

Bài 1 TÍCH PHÂN BẤT ðỊNH

1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ðỊNH

Trong chương trước chúng ta ñã biết rằng, nếu một hàm số f(x) khả vi trong khoảng (a, b) thì có ñạo hàm trong (a, b) và có thể tính ñược ñạo hàm của nó Bây giờ ta xét bài toán ngược lại, nếu cho trước một hàm số f(x) xác ñịnh trong khoảng (a, b), hỏi có tồn tại hay không một hàm số F(x) khả vi trong khoảng (a, b) và có ñạo hàm ?

1) F(x) = là nguyên hàm của f(x) = 4x2 - x + 1 trên

2) G(x) = là nguyên hàm của g(x) = 4x2 - x + 1 trên

3) H(x) = là nguyên hàm của h(x) = sin2x trên

MỤC TIÊU

Học xong bài này sinh viên có khả năng:

1 Trình bày ñược ñịnh nghĩa tích phân bất ñịnh, các tính chất của tích phân bất ñịnh

2 Áp dụng ñược các phương pháp tính tích phân bất ñịnh: phương pháp ñổi biến và phương pháp tích phân từng phần ñể tính ñược tích phân

3 Tính ñược tích phân của phân thức hữu tỷ, hàm lượng giác và hàm vô tỷ

−

Ký hiệu: : dấu tích phân;

x : biến lấy tích phân;

f(x) : hàm số dưới dấu tích phân;

f(x)dx : biểu thức dưới dấu tích phân

∫

Một vấn ñề ñặt ra là những hàm nào có nguyên hàm ?

1.5 ðịnh lý về sự tồn tại của nguyên hàm

Mọi hàm số f(x) liên tục trên [a, b] ñều có nguyên hàm hay tích phân bất ñịnh trên ñoạn ñó

Từ ñạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản ta suy ra các tích phân, gọi là tích phân cơ bản

x

5) e dx e C

a6) a dx C (0 a 1)

ln a7) cosxdx sin x C

2 2

8) sin xdx cos x Cdx

cos xdx

cot gx C10) sin x

dx11) arctgx C

1 xdx

Muốn tính tích phân bất ñịnh của một hàm số f(x), ta so sánh tích phân cần tính với các tích phân cơ bản

ñể thực hiện các phép biến ñổi thích hợp, sau ñó ñưa tích phân cần tính ñó về dạng tích phân cơ bản rồi

áp dụng công thức

2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

2.1 Phương pháp ñổi biến số

Trong nhiều trường hợp, khi tính nếu ñể biến tích phân là x thì không thấy ngay ñược tích phân cần tính ñó gắn với dạng tích phân cơ bản nào, nhưng nếu thực hiện một số phép ñổi biến thích hợp ta

có thể ñưa nó về dạng tích phân cơ bản

2.1.1 ðổi biến số dạng 1: x =ϕ (t)

Trong một số trường hợp, thực hiện phép ñổi biến x = ϕ(t), ta ñược:

Giải: Vì muốn khử căn bậc hai ta thực hiện phép ñổi biến x = asint

Ta có:

Vậy

2.12 ðổi biến số dạng 2: t =Ψ (x)

Ta có thể thực hiện phép ñổi biến t = Ψ(x) thì dt = (x)dx và khi ñó tích phân cần tính trở thành:

ở ñây biểu thức có dạng của các tích phân cơ bản ñã biết

ở ñây biểu thức có dạng của các tích phân cơ bản

f (x)dx

∫

f (x)dx= f ( (t)) (t)dtϕ ϕ′ = g(t)dt

g(t)dt

∫

I=∫ a −x dx

a x a

− ≤ ≤

a x a cos t; dx a cos tdt; t arcsin

a

2

sin 2t a sin t a cos t x a x

2

∫

′ Ψ

f (x)dx = g( (x))Ψ Ψ′(x)dx= g(t)dt

g(t)dt

∫

x ln x

=∫

dxx

∫

Giả sử u = f(x) và v = g(x) là hai hàm số khả vi và có ñạo hàm là hai hàm số liên tục Khi ñó, theo quy tắc lấy vi phân của tích ta có: d(uv) = vdu + udv hay udv = d(uv) – vdu Vì nguyên hàm của d(uv) là uv nên ta suy ra:

dxdu

x

dv x dx

v3

Dùng cách cân bằng hệ số, suy ra:

a = 1; b = -2; c = 2

3 TÍCH PHÂN CÁC PHÂN THỨC HỮU TỶ

3.1 Tích phân phân thức ñơn giản

−

=+

Công thức tính Ik (3.1.4) ñược gọi là công thức truy hồi Sở dĩ gọi là công thức truy hồi vì áp dụng công

thức này tính Ik, ta lại ñưa về tính Ik-1 (thấp hơn 1 bậc), tính Ik-1 qua Ik-2, … Do ñó sau (k - 1) lần liên tiếp dùng công thức (3.1.4) sẽ ñi tới tích phân quen thuộc I1 sau:

Như vậy, ta ñã tính ñược tích phân của các phân thức ñơn giản

x

1 x

=+

∫

Giải: Áp dụng công thức (3.1.4) ta ñược:

+

2 2 dt2 2

I(t a )

=+

− Nếu m < n thì ñược gọi là phân thức thực sự

− Nếu m ≥ n thì gọi là phân thức không thực sự

Nếu là phân thức không thực sự thì bằng cách chia tử cho mẫu bao giờ ta cũng có thể biểu diễn nó dưới dạng tổng của một ña thức và một phân thức thực sự

Việc lấy tích phân phân thức hữu tỷ sẽ ñược quy về việc lấy tích phân bốn dạng phân thức ñơn giản ñã xét ở trên nhờ ñịnh lý sau

3.2.2 ðịnh lý

Mọi ña thức bậc n, với hệ số thực Q(x) = a0 + a1x + + anxn, an ≠ 0 ñều có thể phân tích thành tích các thừa số là nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai không có nghiệm thực, trong ñó có thể có những thừa số trùng nhau:

Tóm lại:

3.2 Tích phân các phân thức hữu tỷ

3.2.1 Phân thức thực sự và phân thức ñơn giản

P(x)Q(x)P(x)

Q(x)

Khi ñó phân thức thực sự tương ứng có thể phân tích thành tổng các phân thức tối giản:

trong ñó: là các hằng số ñược xác ñịnh theo phương pháp hệ số bất ñịnh mà chúng ta

sẽ giới thiệu qua các ví dụ dưới ñây

3.2.3 Một số ví dụ về tích phân các phân thức hữu tỷ

β-1 α-1

(x + lx + s) (x + lx + s)

υ-1 υ-1 2

x

x arctgx C3

dxI

Nghiệm của hệ phương trình trên là: A = -1, B = 0, C = , D = - , E =

Ta ñã phân tích hàm dưới dấu tích phân thành tổng của các phân thức ñơn giản

⇔ 1 = (B + C + D)x4 + (A + C - D + E)x3 + (C - E)x2 - Bx - A

ðồng nhất hệ số các ñơn thức ñồng dạng ở hai vế ta có hệ 5 phương trình 5 ẩn:

Vậy:

Ta có:

Ta có thể dùng phương pháp hệ số bất ñịnh ñể tính các hệ số A, B, C trong phân tích trên nhưñã làm ở ví

dụ 2 Tuy nhiên, khi ña thức mẫu tách ra ñược là tích của các ñơn thức bậc nhất thì ta có thể tính A, B, C nhanh, gọn hơn theo cách sau:

Vì phân tích trên là ñồng nhất thức, phân thức ñó ñúng với mọi giá trị của x, nên ñể tính hệ số A chẳng

13

13

1

2 2

+ + = + − − + + +

hạn, ta nhân cả hai vế với x - 1, ñược:

Tương tự, muốn tính B ta nhân cả hai vế của ñồng nhất thức ban ñầu với (x - 2), rồi cho x = 2 ta ñược:

ðể ý rằng, trong ví dụ này nếu làm theo cách của ví dụ 3 thì chỉ tính ñược:

Chú ý: Trong một số trường hợp ñặc biệt ta có thể tìm ñược tích phân các phân thức thực sự bằng các phép

x dxI

4 TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM LƯỢNG GIÁC

Giả sử cần tính tích phân I = trong ñó R(u, v) là một biểu thức hữu tỷ ñối với u, v (u

∫

2 2

1 cos x

=+

∫

2

xd

4.2.1 Một số trường hợp ñặc biệt của R(sinx, cosx)

Trường hợp 1: Nếu R(sinx, cosx) là hàm chẵn ñối với sinx và cosx,

tức là R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx) thì ñặt t = tgx hoặc t = cotgx

Trường hợp 2: Nếu R(sinx, cosx) là hàm lẻ ñối với cosx,

tức là R(sinx, -cosx) = -R(sinx, cosx) thì ñặt t = sinx

Trường hợp 3: Nếu R(sinx, cosx) là hàm lẻ ñối với sinx,

tức là R(-sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) thì ñặt t = cosx

Chú ý: Tích phân trên có thể tính ñược ñơn giản hơn nếu ta chia cả tử số và mẫu số của hàm dưới dấu

tích phân cho cos2x, thật vậy:

1 t

=+

Ta xét ba trường hợp sau:

Trường hợp 1: m lẻ: ñặt t = cosx;

n lẻ: ñặt t = sinx

Trường hợp 2: m, n chẵn và ít nhất một trong hai số ñó âm thì ñặt t = tgx

Trường hợp 3: m, n chẵn và ñều dương thì có thể dùng các công thức sau ñể biến ñổi hàm dưới

2

1sin(ax)sin(bx) cos(a b)x cos(a b)x

2

13) sin(ax)cos(bx) sin(a b)x sin(a b)x

5 TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM VÔ TỶ

Khi tính tích phân các hàm vô tỷ ta thường dùng phép ñổi biến thích hợp ñể ñưa tích phân ñã cho về dạng tích phân hàm hữu tỷ, tức là "hữu tỷ hoá" tích phân ñã cho Ở ñây ta chỉ xét một số dạng ñơn giản

R(u, v, , ω) là hàm hữu tỷ của các ñối số u, v, , ω và m, n, , r, s là những số nguyên dương

ðặt x = tk với k = bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số (n, , s)

b 4ac4a

a cos t tgtcos t atgt a

=+

dxxI

5.3 Một số tích phân dạng vô tỷ có thể dùng phương pháp ñổi biến theo các hàm hypecbol

Từ ñạo hàm của các hàm hypecbol ñã biết ở chương II ta có:

Giải: ðổi biến x = acht ⇒ dx = ashtdt

∫

2

sin x2

2

sin x2

2

sin x2

12sin x 5+

2 2

∫

15(x 2)

−

−

125

x 3

x 2

+

−1

5(x 2)−

125

x 3

x 2

+

−1

5(x 2)

−

−

125

x 2

x 3

−+

+  + − 

1(x 1) ln x 1 13

+  + − 

1(x 1) 3ln x 1 118

+  + − 

Bài 2 TÍCH PHÂN XÁC ðỊNH

1 TÍCH PHÂN XÁC ðỊNH

1.1 Diện tích hình thang cong

Cho hàm số y = f(x), xác ñịnh và liên tục trên ñoạn [a, b], ngoài ra giả sử f(x) không âm trên [a, b] Xét hình thang cong AabB là hình giới hạn bởi ñồ thị của hàm số f(x) trên [a, b]; các ñường thẳng x = a, x =

Nếu ứng với mỗi ñoạn nhỏ [xi-1, xi] ta dựng một hình chữ nhật có kích thước là (xi - xi-1) và f(ξi) thì

MỤC TIÊU

Học xong bài này sinh viên có khả năng:

1 Trình bày ñược ñịnh nghĩa tích phân xác ñịnh bằng cách lập tổng Sn , tính giới hạn và ý nghĩa hình học của tích phân xác ñịnh

2 Áp dụng ñược các phương pháp tính tích phân xác ñịnh: công thức Newton - Leibnitz, phương pháp ñổi biến và phương pháp tích phân từng phần ñể tính tích phân

3 Tính gần ñúng ñược tích phân xác ñịnh bằng phương pháp hình thang và phương pháp Simpson

diện tích của nó là: f(ξi)(xi - xi-1)

diện tích của hình thang cong AabB

Vậy diện tích của hình thang cong AabB là:

1.2 ðịnh nghĩa tích phân xác ñịnh

Cho hàm f(x) xác ñịnh trên [a, b] Chia tuỳ ý ñoạn [a, b] thành n ñoạn nhỏ bởi các ñiểm chia:

ðặt và trên mỗi ñoạn lấy một ñiểm ξi tuỳ ý (i = )

In ñược gọi là tổng tích phân của hàm f(x) trên ñoạn [a, b] Cho số ñiểm chia tăng vô hạn (n → ∞) sao

cho Nếu trong quá trình ñó mà In dần tới một giới hạn xác ñịnh I, không phụ thuộc vào cách chia ñoạn [a, b] và cách lấy ñiểm ξi Khi ñó hàm f(x) ñược gọi là khả tích trên ñoạn [a, b], và I

ựược gọi là tắch phân xác ựịnh của hàm f(x) trên ựoạn [a, b] và ký hiệu là:

Ở ựây: [a,b]: ựoạn lấy tắch phân; a: cận dưới;

b: cận trên; x: biến lấy tắch phân;

f: hàm số lấy tắch phân; f(x)dx: biểu thức dưới dấu tắch phân

Chú ý 1 Tắch phân (nếu có) chỉ phụ thuộc vào hàm f(x) dưới dấu tắch phân và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến tắch phân

Chú ý 2 Khi ựịnh nghĩa tắch phân xác ựịnh, ta giả thiết a ≤ b

Chú ý 3 Nếu f(x) liên tục và không âm với ∀x ∈ [a, b] thì diện tắch hình thang cong xác ựịnh bởi y = f

(x), y = 0, x = a, x = b bằng đó là ý nghĩa hình học của tắch phân xác ựịnh

1.3 Dấu hiệu khả tắch của một số hàm quen thuộc

Sau khi ựịnh nghĩa về tắch phân xác ựịnh, một vấn ựề ựặt ra là: Những hàm nào thì khả tắch trên ựoạn [a, b]? Vấn ựề ựó ựược khẳng ựịnh bởi ựịnh lý sau:

1.3.1 định lý 1

Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì f(x) khả tắch trên [a, b]

Chú ý: định lý trên cho ta một ựiều kiện ựủ ựể hàm f(x) khả tắch trên [a, b] đó không phải là một ựiều

kiện cần Một hàm khả tắch trên [a, b] thì không nhất thiết liên tục trên ựoạn ựó

Người ta cũng chứng minh ựược rằng, nếu f(x) có một ựiểm gián ựoạn loại I

x = c trên [a, b] thì nó khả tắch trên ựoạn ấy và ta có:

i

i i max x 0 i 1

f (x)dx 0.=

∫

b a

f (x)dx

∫

c) Nếu f(x) khả tích trên [a, b] ⇒ khả tích trên [a, b] và

Ý nghĩa hình học của mệnh ñề là diện tích hình thang cong

ứng với hàm f(x) có ñiểm gián ñoạn loại I tại x = c bằng

tổng diện tích các hình thang cong aAC1c và cC2Bb

(hình 3.3)

Mệnh ñề trên vẫn ñúng nếu f(x) có một số hữu hạn ñiểm

gián ñoạn loại I trên [a, b]

∫

Tính chất 4: ðịnh lý về giá trị trung bình

Nếu f(x) liên tục trên ñoạn [a, b] thì trên ñoạn ñó có ít nhất một ñiểm ξ sao cho

Chứng minh: Vì f(x) liên tục trên [a, b] nên ta có m và M là các giá trị bé nhất và lớn nhất của hàm f(x)

Chú ý: Giả sử cung là ñường biểu diễn của f(x) ≥ 0 trên [a, b]

Ý nghĩa hình học của ñịnh lý về giá trị trung bình là: Trên cung

bao giờ cũng có ít nhất một ñiểm C có hoành ñộ x = ξ (a ≤ ξ ≤

b) sao cho diện tích hình chữ nhật aDEb ñúng bằng diện tích hình

thang cong AabB (hình 3.4)

Giá trị f(ξ) = ñược gọi là giá trị trung bình của f

f (x)dx f ( )(b a)= ξ −

∫

b a

m(b a) f (x)dx M(b a)− ∫ ≤ −

Ta có: m(b - a)

≤

b a

1

f (x)dx M

b a

f (x)dx f ( )(b a)= ξ −

∫

ABAB

1 2 0

1

f (x)dx

b a− ∫

của mỗi ñoạn nhỏ, khi ñó ta có:

Xét hàm f(x) = , hàm số này liên tục trên [0, 1], do ñó khả tích trên

[0, 1]; dùng phân ñiểm ñều ∆xi = và các ñiểm chia:

1n

1n

1 0n

chọn ñiểm ξi ≡ xi, có tổng tích phân là In, do ñó:

2 CÔNG THỨC NEWTON – LEIBNITZ

2.1 ðịnh lí cơ bản giữa nguyên hàm và tích phân xác ñịnh

Nếu f(x) khả tích trên [a, b], f(x) cũng khả tích trong [a, x] với x [a, b] Do ñó tích phân là

một hàm của x (hàm của cận trên) Ta ñặt Φ(x) =

ðịnh lý: Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì hàm Φ(x) có ñạo hàm trên ñoạn ñó và

(3.2.2)

Nói khác ñi, Φ(x) = là một nguyên hàm của hàm f(x) trên [a, b]

Chứng minh: Lấy x ∈ (a, b), cho x một số gia ∆x sao cho x + ∆x ∈ (a, b) Khi ñó ta có:

f (t)dt

∫x

a

f (t)dt

∫

x a

d'(x) f (t)dt f (x)dx

f (t)dt

∫

x x a

∆Φ

= ξ

∆

ðiều này chứng tỏ rằng, Φ(x) có ñạo hàm tại x và Φ'(x) = f(x)

Mặt khác, tại các mút x = a, x = b cũng chứng minh tương tự như trên ta ñược:

Φ'(a + 0) = f(a); Φ'(b - 0) = f(b)

Vậy tại mọi ñiểm x ∈ [a, b] ta ñều có: Φ'(x) = f(x)

Từ ñịnh lý trên ta suy ra ngay hệ quả sau

Hệ quả: Mọi hàm liên tục trên [a, b] ñều có nguyên hàm trên ñoạn ñó

2.2 Công thức Newton - Leibnitz

ðịnh lý: Nếu f(x) liên tục trên ñoạn [a, b] và F(x) là một nguyên hàm của nó trong ñoạn ñó thì

ðẳng thức (3.2.3) ñược gọi là công thức Newton - Leibnitz

Chứng minh: Theo giả thiết, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a, b] và theo hệ quả trên thì

cũng là một nguyên hàm c ủa f(x) trên [a, b]

Do ñó F(x) và Φ(x) chỉ khác nhau một hằng số cộng, tức là: Φ(x) = F(x) + C

ðể xác ñịnh hằng số C, cho x = a ta có: Φ(a) = F(a) + C

Cho x = b, trong biểu thức trên ta có

f (x)dx F(b) F(a) = −

x a

(x) f (t)dt F x F a , a x b

b a

Người ta thường ký hiệu F(b) - F(a) bằng , như vậy công thức Newton - Leibnitz ñược viết thành

Giải: Ta có:

Ví dụ 2: Giá trị trung bình của hàm f(x) = sin2(x) trên ñoạn [0, 2π] bằng

3 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ðỊNH

3.1 Phương pháp ñổi biến trong tích phân xác ñịnh

Tương tự tích phân bất ñịnh, trong tích phân xác ñịnh người ta cũng dùng các phép ñổi biến thích hợp ñể tính tích phân

F(x)

b

b a a

β α

′

= ϕ ϕ

2 0

1 x dx.−

∫

b a

f (x)dx

∫

Mặt khác, vì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trong [a, b] nên F[ϕ(t)] sẽ là một nguyên hàm của f[ϕ(t] trong [α, β] và:

β α

′

ϕ ϕ = ϕ β − ϕ α = −

∫

2 2 0

dxI

=+

.4π

Vậy: nếu f(x) lẻ, tức là f(-x) = -f(x) thì

nếu f(x) chẵn, tức là f(-x) = f(x) thì

3.1.2 ðổi biến số dạng 2: t = Ψ(x)

ðịnh lý: Xét tích phân , với f(x) liên tục trong [a,b].

Nếu phép ñổi biến t = Ψ(x) thoả mãn:

1) Ψ(x) biến thiên ñơn ñiệu trên [a, b] và có ñạo hàm liên tục;

2) f(x)dx trở thành g(t)dt, trong ñó g(t) là một hàm số liên tục trong khoảng ñóng [Ψ(a), Ψ(b)] thì:

Chú ý: Khi dùng công thức (3.2.7) cần lưu ý hàm số t = Ψ(x) phải ñơn ñiệu trên [a, b] Nếu không ñơn

ñiệu, có thể xảy ra trường hợp Ψ(a) = Ψ(b) với a ≠ b (chẳng hạn hàm số t = sinx, x ∈ [0, π]) Khi ñó tích phân ở vế phải (3.2.7) bằng không, còn tích phân ở vế trái lại khác không Công thức (3.2.7) không ñúng nữa

Giải: ðổi biến t = cosx, hàm số t = cosx ñơn ñiệu trên [0, ].

Trong tích phân thứ nhất ở vế phải ñổi biến x = -t ta có:

Ψ Ψ

Ψ Ψ Ψ Ψ

f x dx

Khi x = 0 ⇒ t = 1, khi x = ⇒ t = 0; dt = -sinxdx

u(x) v (x)dx′ u(x) v(x) v(x)u (x)dx.′

I=∫x e dx

3x 3x

v2

f (x)dx

∫

b a

f (x)dx

∫

Khi ñó ta phải tính bằng phương pháp tính gần ñúng

Các công thức tính gần ñúng trong phần này ñều dựa vào ý nghĩa hình học của tích phân xác ñịnh

4.1 Công thức hình thang

Giả sử phải tính , trong ñó f(x) ≥ 0 và liên tục trên [a, b] (a < b)

Chia ñoạn [a, b] thành n ñoạn nhỏ bằng nhau bởi các ñiểm chia:

Hình 3.5

Nếu thay mỗi hình thang nhỏ giới hạn bởi cung y = f(x), trục Ox và ñường x = xi-1, x = xi bởi hình thang có chiều cao và hai ñáy là yi-1 = f(xi-1), yi = f(xi) (hình 3.5)

Ta có công thức gần ñúng sau ñây ñược gọi là công thức hình thang:

Gọi biểu thức ở vế phải (3.2.8) là IT có:

Khi f(x) < 0 và liên tục trên [a, b] thì công thức (3.2.9) vẫn ñúng

Người ta ñã chứng minh ñược rằng, nếu f(x) có ñạo hàm cấp 2 bị chặn và nếu dùng công thức (3.2.9) ñể

b a

f (x)dx

∫

b a