Bước tới: menu, tìm kiếm Tích phân xác định được định nghĩa như diện tích S được giới hạn bởi đường cong y=f(x) và trục hoành, với x chạy từ a đến b Tích phân (Integral (Anh), 積分 (Trung)) là một khái niệm toán học,và cùng với nghịch đảo của nó vi phân (differentiation) đóng vai trò là 2 phép tính cơ bản và chủ chốt trong lĩnh vực giải tích (calculus). Có thể hiểu đơn giản tích phân như là diện tích hoặc diện tích tổng quát hóa. Giả sử cần tính diện tích một hình phẳng được bao bởi...
Trang 24- TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
5- T PHÂ ĐỊNH Đ M T PHÂN THEO CẬN TRÊN
6- TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1 & LOẠI 2
7- TIÊU CHUẨN SO SÁNH 1, 2 HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI
Trang 3C
x x
dx
+
=+
a x
dx
+
=+
∫ 2 2 1 arctg
C
x x
a
dx
arcsin
2 2
C x
C
x x
(')
()
Trang 4Ø Kỹ năng : Đổi biến 1 – 2 ∫ f (u(x)u'(x)dx = ∫ f (u)du
Ø Đổi biến 2: Phát hiện x(t) ∫ f (x)dx = ∫ f (x(t))x'(t)dt
++
x
D Cx
x
B x
B x
A dx
2 1
1 1
α
Trang 5Phân thức hữu tỷ: P(x)/Q(x), P và Q: đa thức Phân thức hữu tỷ thực sự: Bậc P(x) < Bậc Q(x).
Bậc P(x) Bậc Q(x): Chia P(x) cho Q(x) đa thức thương
x r x
Q x h Q
( )x dx r Q Q
x
r dx
x
x x
++
−+
23
2 3
2
Trang 6VD: Tính / ∫ 3 + 5
x x
x x
)1
(
1
2 3
4 4
∫
x
x dx
x
x
2 3
2
11
=+
−+
+
−
x x
x x
x I
b
)13
)(
15
(
)1
+
dx x
x
D Cx
x x
B Ax
13
++
u x
x
x x
x
8
11
3
32
15
52
x x
++
1
3ln
8
1
2 2
Phân tích a thức mẫu số Q thành tích (bậc 1 hoặc bậc 2) 2/ Phân tích P/Q tổng (thêm bớt, hoặc hệ số bất định)
Đại số: Mọi đa thức hệ số thực bậc n luôn phân tích được thành tích các nhị thức bậc 1 và tam thức bậc 2 có < 0
2 PHÂN THỨC HỮU TỶ NGUYÊN TẮC TỔNG QUÁT
Trang 7Giải Q(x) = 0 ⇒ Đưa Q(x) về tích bậc 1 & bậc 2 ( < 0)
2 2
2
0 4
1 1
2 2
1
2
2 2
2
1
2 1
1 2
++
−
−
=
q p
n
q p
n m
m
q x
p x
q x
p x
x x
a x
4 34
4 21
K4
4444
44444
1
++
++
B q
x p x
C x
B x
A x
A x
A
x g m
m
m
2 1
2 2
1 1
2
1 1
1
2 1
2 1
1
1 1
1 1
số thừa
αα
α
3/ Quy đồng mẫu số; Đồng nhất 2 vế; Giải hệ p/trình tìm A k …
1/ Tích ở mẫu số chứa bao nhiêu thừa số Tổng chứa bấy nhiêu 2/ Mẫu bậc 1→ Tử: hằng số Mẫu bậc 2 (lũy thừa k) Tử bậc 1
Trang 8B c 2, m u số vô nghiệm: Thêm bớt t o dạng u’/u
c bx
ax a
mb n
c bx
ax
b ax
a
m c
bx ax
n
mx
++
+
+
⋅
=+
+
+
2 2
2
12
22
B c 1 / (Bậc 2) n : Thêm bớt tạo u’/u n & a về C/(x 2 + α 2 ) n
x a
a
mb n
c bx
ax
b ax
a
m c
bx ax
n mx
2 2
2 2
11
+
+
⋅
=+
++
n
a x
dx I
)( 2 2
a n
n a
x
x na
2
12
)(
2
1
⋅
−+
+
=
+
Lượng giác hóa: x = atgt ⇒ I n → ∫ cos2n−2 t dt
2 TÍCH PHÂN CÁC PHÂN THỨC CƠ BẢN
Trang 9a các tích phân sau về phân thức hữu tỷ cơ bản
2
1
21
2
x x
x dx
x x
x a
B x
x x x
x x
−
+
+
x x
E Dx
x
C x
B x
A
11
2 3
++
⇒+
+
∫
x x
x x
32
1
11
1
a t
x x
Trang 103 TÍCH PHÂN HÀM VÔ T - CĂN PHÂN THỨC BẬC 1
b
ax t
dx d
cx
b
ax x
b
ax dx
d cx
b ax
d cx
b
ax x
+
11
x
( )3 2
2 3
3 3
1
61
11
t
t x x
x t
Giải: Đổi biến
Trang 113 TÍCH PHÂN HÀM VÔ T – CĂN CỦA TAM THỨC
-Tích phân chứa căn bậc ng căn chứa tam thức
bậc hai → Đưa về bình phương đúng k x 2 & Sử dụng
k x
dx = + + ++
k k
x x dx
k
22
1
C a
x x
C a
x
a x
a x dx
x
22
2 2
Trang 12+
=+
dx c
bx ax
x Q
dx c bx
++
+
−
x x
x x
22
++
++
+
22
2
2
2
2 2
x x
dx x
x c
bx ax
∫
++
x
dx I
t
t
dt I
t x
Trang 133 TÍCH PHÂN HÀM VÔ T – CĂN CỦA TAM THỨC
-VD: = ∫ + dx
x
x I
t
x t
⇒
=
=+
⇒
=+
∫
t a
x a
t a
x
t a
x a
t a
x dx
x a
x
R
coshsinh
cos
tg:
,
2 2
2 2
2 2
a x
t a
x
t a x
a t
a
x dx
a x
x
R
sinhcosh
tg
cos:
,
2 2
2 2
2 2
dt I
t t
sincos
2
,2,
tg
Trang 143 TÍCH PHÂN HÀM VÔ T – PHÉP THẾ EULER
-x a t
c bx
ax
:0
( − )( − ) + + = ( − )
=+
=
1
2
x x
x
dx I
12
11
2 2
−
t
t x x
t x
x
VD: = ∫ +
k x
dx I
2
Tính ∫ R(x, ax2 + bx + c)dx (Giới thiệu ý t ng Minh ho )
Trang 154 HÀM LƯỢNG GIÁC – PHÂN THỨC HỮU TỶ
cos
cos
sin,
sin1
tg,
cos2
sin,
cossin
1
1
x
x x
x
x x
x x
x
++
++
+
( ) ( ) ( ) ( )
2
12
11
cos
12
sin2
tg:
cos,
sin
t dt
dx
t t
x
t t
x x
t dx x x
R
x x
dx
cossin
cos
Trang 164 LƯỢNG GIÁC – BẬ ẬC 1 – KHAI THÁC u’ u
-Tr ng h p riêng:
v
u C
x B
x A
C x
B x
++
+
+
'cos
'sin
'
cossin
Tách thành t ng:
v v
v v
u v
x x
R x
x R
x t
x x
R x
x R
tg)
cos,
(sincos
,sin
sin)
cos,
(sincos
,sin
cos)
cos,
(sincos
,sin
Trang 17Bài toán th c tế: Diện tích hình thang cong: y = f(x), x = a …
Diện tích hình thang cong ≈
1 0
k
k
)(lim
1 0
1 0
y =
Trang 18)()
(t dt f x
f dx
−
=
+
→ D
x
n
k
k k
k
k k
)(lim
lim
1
0 0 max
1 0
1 0
max
Lặp lại quy trình với nhiều bài toán: Thể tích vật thể tròn
x độ dài dây cung, công của lực biến thiên … Khái niệm tích phân xác định, định nghĩa bởi tổng man của hàm f(x) trên đoạn [a, b]:
Trang 19n k
k k
lim
1 0
1 0
Định lý: Hàm liên tục trên 1 đo n thì khả tích ( eman)
n
n k
k k
k k
x x
x
a = 0 < 1 <K < = ; , +1 ; = max +1 −
Hàm f(x) xác định, bị chặn trên đoạn [a, b] Phân hoạch:
Trang 20dx x g dx
x f b
a x
x g x
Hay sử dụng:
b a x
M x
f
m
b a
−
−
,)
dx x
f a b
f a
b f
dx x
f b
Trang 215 ĐẠO HÀM TÍCH PHÂN THEO CẬN TRÊN
-Tích phân theo c n trên: S(x) f (t)dt S'(x) f (x)
x a
x G dt
t f x
G
x v
x u
')
(')
(')
()
(
) (
) (
2 0
coslim
/
1
arctglim
/
2 0
b
x
x
Trang 22dx x f
f: hàm tuần hoàn (f(x+ T) = f(x) x) a+∫T = a∫
a
dx x f dx
x
f
0
)()
(
VD: Tính tích phân = ∫ ( + )
2006 0
sin2006
sin
α α
α
dx x x
x I
Tích phân liên hợp ∫ ( ) = ∫ ( )
2 0
2 0
Trang 236 TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1
a b →
Giới hạn tồn tại và hữu hạn ⇔ Tích phân suy rộng hội tụ
Tích phân suy rộng loại 1: ∫ = → b∫
a
b a
dx x
f dx
x
f ( ) lim ( ) Điểm suy
rộng:
f(x) xác định trên [a, ), khả tích trên mọi [a, b] [a, )
VD: Tphân suy rộng cos :
0
∫ x dx Phân kỳ!
Khảo sát & tính tph : Tính tphân XĐ & qua giới hạn
Trang 246 TÍCH PHÂN SUY RỘNG TẠI , RÊN R
-TP suy rộng trên , b]
a a
b
x F dx
x f dx
a b
c a
a c
c
f f
f f
dx x
Trang 251 0
c a
b c
c a
b a
f f
f f
b a
x F dx
x f dx
Trang 267 KHẢO SÁT S HỘI TỤ CỦA TP SUY RỘNG
dx x
dx x
b
dx x
dx
α α
Trang 27f g
a
b a
g f
( = ∫
x
a
dt t f x
Trang 287 TIÊU CHUẨN SO SÁNH 2
x g
x f
b x b
)(
)
(lim
g dx
:
Trang 297 HÀM DẤU BẤT KỲ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI
-Hội tụ tuyệt đối: TPSR c a f hội tụ ⇒ TPSR c a f hội tụ
∫ | dx phân kỳ ( hội tụ tuyệt đối) & f( dx hội tụ Bán hội tụ
VD: ∫
1 3 2
cos
dx x
x
tụ hội:
sinsin
1
2 1
dx x
x x
tuyệt trị
Trang 30C x
f b x
R b
x
C x
f x
b
~,
:
~,
:
Hàm d i d u t hân ĐỔI DẤU: L y trị tuyệt đối & đánh giá