Chương 10 thanh chịu lực phức tạp

THANH CHỊU UỐN XIÊN 1 Định nghĩa – Nội lực Thanh chịu uốn xiên khi trên mọi mặt cắt ngang có hai thành phần nội lực là mômen uốn Mx và mômen uốn My tác dụng trong các mặt phẳng yoz và x

Chương 10

THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP

I KHÁI NIỆM

 Định nghĩa: Thanh chịu lực phức tạp khi trên các mặt cắt

ngang có nhiều thành phần nội lực tác dụng như lực dọc Nz,

mômen uốn Mx, My, mômen xoắn Mz (H.10.1)

Khi một thanh chịu lực phức tạp, ảnh hưởng của lực cắt

đến sự chịu lực của thanh rất nhỏ so với các thành phần nội

lực khác nên trong tính toán không xét đến lực cắt.

 Cách tính toán thanh chịu lực phức tạp

Aùp dụng Nguyên lý cộng tác dụng:

“Một đại lượng do nhiều nguyên nhân đồng thời gây ra

sẽ bằng tổng các đại lượng của từng nguyên nhân riêng lẽ gây ra “( Chương 1)

II THANH CHỊU UỐN XIÊN

1) Định nghĩa – Nội lực

Thanh chịu uốn xiên khi trên mọi mặt cắt ngang có hai

thành phần nội lực là mômen uốn Mx và mômen uốn My tác

dụng trong các mặt phẳng yoz và xoz (Hình 10.2)

Dấu của M x , M y (hệ trục mặc định như hình vẽ)

Mx  0 khi căng(kéo)phía dương của trụcY

My  0 khi căng(kéo) phía dương của trục X

q A

L

B P=qL

z y

A l

B

P=ql

C P=ql l

A

P

z y

x

2P 2l

L

B

P=qL C

z

Mx

x 0

MyHinh10.2y

Mx

y y

x x

Mx

z z

Theo Cơ học lý thuyết, ta có thể biểu diễn mômen Mx và My bằng các véctơ mômen

Mx và My (nằm trên hai trục theo qui tắc vặn nút chai của bàn tay phải )(H.10.2);Hợp hai mômen này là mômen tổng Mu Mu nằm trong mặt phẳng v, mặt phẳng này

thẳng góc với mặt cắt ngang (chứa véctơ mômen Mu và trục z của thanh (H.10.3).Mặt phẳng tải trọng là mặt phẳng chứa Mu

Giao tuyến của mặt phẳng tải trọng với mặt cắt ngang là Đường tải trọng

Ký hiệu  : Góc hợp bởi trục x và đường tải trọng;

y x

Định nghĩa khác của uốn xiên: Thanh chịu uốn xiên khi trên các mặt cắt ngang chỉ

có một mômen uốn Mu tác dụng trong mặt phẳng chứa trục mà không trùng với mặt

phẳng quán tính chính trung tâm yOz hay xOz.

Đặc biệt, đối với thanh tiết diện tròn, mọi

đường kính đều là trục chính trung tâm (trục đối

xứng),nên bất kỳ mặt phẳng chứa trục thanh nào

cũng là mặt phẳng quán tính chính trung tâm Do

đó, mặt cắt ngang thanh tròn luôn luôn chỉ chịu

uốn phẳng.

2- Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

Theo nguyên lý cộng tác dụng, tại một điểm C(x,y) bất kỳ

trên tiết diện, ứng suất do hai mômen Mx , My gây ra tính theo

công thức sau (H10.4)

x

I

M y I

M

y

y x

x



Trong (10.3), số hạng thứ nhất là ứng suất pháp do Mx gây ra,

số hạng thứ hai là ứng suất pháp do My gây ra

Công thức (10.3) là công thức đại số, vì các mômen uốn

Mx, My và tọa độ điểm C(x,y) có dấu đại số

Trong tính toán thực hành, dùng công thức kỹ thuật như sau:

x

I

M y I

M

y

y x

x

z   

Lấy dấu (+) khi điểm tính ứng suất nằm ở miền chịu kéo

Lấy dấu (–) khi điểm tính ứng suất nằm ở miền chịu nén.

H.10.5 biểu diển các miền kéo, nén trên mặt cắt do các mômen

_

_

+ +

x

y H.10.5

MUz

x

y

0 v

H.10.3

Đường tải trọng



z

x 0

Mx

My .CH.10.4 y

Thí dụ 1 Tiết diện chữ nhật bxh =2040 cm2 chịu uốn xiên (H.10.6), Tính ứng suất tại B Cho Mx =8kNm và My =5kNm

Chiều hệ trục chọn như vẽ

Ứng suất pháp tại B (xB =+10 cm; yB = - 20 cm)

+ Tính theo (10.3) như sau:

2 3

12

) 20 ( 40

500 )

20 ( 12

) 40 ( 20

800

cm kN



+ Tính theo (10.4) công thức kỹ thuật như sau:

Mx gây kéo những điểm nằm dưới 0y và gây nén những

điểm trên oy;

My gây kéo những điểm bên phải 0x và gây nén những điểm bên trái 0x

Biểu diễn vùng kéo bằng dấu (+) và vùng nén bằng dấu (–) trên tiết diện(H.10.4a) ta có thể thấy, tại điểm B; Mx gây nén; My gây kéo

12

) 20 ( 40

500 20

12

) 40 ( 20

3- Đường trung hòa và biểu đồ ứng suất

Công thức (10.3) là một hàm hai biến, đồ thị là một mặt phẳng trong hệ trục Oxyz.

Nếu biểu diễn giá trị ứng suất pháp z cho ở (10.3) bằng các đoạn thẳng đại số theo

trục z định hướng dương ra ngoài mặt cắt và ngược lại (H.10.7) Ta được một mặt

phẳng chứa đầu mút các véctơ ứng suất pháp tại mọi điểm trên tiết diện, gọi là mặt

ứng suất

Gọi giao tuyến của mặt ứng suất và mặt cắt ngang là đường trung hòa, ta thấy,

Cho biểu thức z = 0, ta được phương trình đường trung hòa: đường trung hòa là

một đường thẳng và là quỹ tích của những điểm trên mặt cắt ngang có trị số ứng suất pháp bằng không.

y z

x 0

Mx

My

B

H.10.6

H.10.7

x

y 0

Mặt phẳng ứng suất

B C

Biểu đồ ứng suất phẳng

x I

I M

M y

x I

M y I

M

y

x x

y y

y x

x

Phương trình (10.5) có dạng y = ax, đường trung hòa là một đường thẳng qua

gốc tọa độ, v à có hệ số góc tính theo công thức:

y

x x

y

I

I M

M

tg  

Nhận xét:

- Đường trung hòa chia tiết diện làm hai miền: miền chịu kéo và miền chịu nén

-Những điểm nằm trên những đường thẳng song song với đường trung hòa có cùnggiá trị ứng suất

- Càng xa đường trung hòa, trị số ứng suất của các điểm trên một đường thẳng

vuông góc đường trung hòa tăng theo luật bậc nhất

Dựa trên các tính chất này, có thể biểu diễn sự phân bố bằng biểu đồ ứng suấtphẳng như sau

Kéo dài đường trung hòa, vẽ đường chuẩn vuông góc với đường trung hoà tại K,ứng suất tại mọi điểm trên đường trung hòa(z = 0) biểu diễn bằng điểm K trên

đường chuẩn Sử dụng phép chiếu thẳng góc, điểm nào có chân hình chiếu xa K nhất

là những điểm chịu ứng suất pháp lớn nhất

- Điểm xa nhất thuộc miền kéo chịu ứng suất kéo lớn nhất, gọi là max

- Điểm xa nhất thuộc miền nén chịu ứng suất nén lớn nhất, gọi là min

Tính max, min rồi biểu diễn bằng hai đoạn thẳng về hai phía của đường chuẩn rồinối lại bằng đường thẳng, đó là biểu đồ ứng suất phẳng, trị số ứng suất tại mọi điểmcủa tiết diện trên đường thẳng song song với đường trung hoà chính là một tung độ

trên biểu đồ ứng suất xác định như ở (H.10.7)

4- Ứng suất pháp cực trị và điều kiện bền

° Ứng suất pháp cực trị:

Gọi B(xk max, y k

max) và C(xn max, y n

max) là hai điểm xa đường trung hoà nhất về phía chịu

kéo và chịu nén, công thức (10.4) cho:

y

y k

I

M

max max

I

M

max max

 

†Đối với thanh có tiết diện chữ nhật (hay nội tiếp trong hình chữ nhật) điểm xa

đường trung hoà nhất luôn luôn là các điểm góc của tiết diện, khi đó:

x B= xB / = b2 ;  y C = yB = 2h

y

y x

x

W

M W

x

W

M W

; /

† Đối với thanh có tiết diện tròn, khi tiết diện chịu tác dụng của hai mômen uốn

M x , M y trong hai mặt phẳng vuông góc yOz, xOz, mômen tổng là M u tác dụng trong

mặt phẳng vOz cũng là mặt phẳng quán tính chính trung tâm , nghĩa là chỉ chịu uốn

° Điều kiện bền: trên mặt cắt ngang của thanh chịu uốn xiên chỉ có ứng suất pháp,

không có ứng suất tiếp, đó là trạng thái ứng suất đơn, hai điểm nguy hiểm là hai

điểm chịu max, min, tiết diện bền khi hai điểm nguy hiểm thỏa điều kiện bền:

Đối với vật liệu dòn: [ ] k # [ ] n

n min

k max  [  ] ;   [  ]



Đối với vật liệu dẻo: [ ] k = [ ] n = [ ], điều kiện bền được thỏa khi:

max max, min  [  ]

Thí dụï 2 Một dầm tiết diện chữ nhật (12x20)cm chịu lực như trên H.10.8.a

a)Vẽ biểu đồ nội lực,

b) vẽ hình chỉ rõ nội lực tại mặt cắt ngàm.

c) xác định đường trung hòa vàø tính ứng suất max, min tại tiết diện ngàm

Xét thanh chịu lực trong từng mặt phẳng riêng lẻ

Trong mặt phẳng (yOz), thanh chịu lực P y , biểu đồ mômen M x ; Tương tự, trong

mặt phẳng (xOz), thanh chịu lực P x , biểu đồ mômen M y ; Biểu đồ mômen uốn vẽchung trên H.10.8.b

Phương trình đường trung hòa: x

I

I M

M y

y

x x



Tại tiết diện ngàm: Mx = 8,66kNm ; My = 5,0 kNm

Chiều Mx và My biểu diễn ở H.10.8.b, nếu chọn chiều dương của trục x và y như trên

H.10.9.a thì trong (a), mômen uốn Mx có dấu - và My có dấu +

12 20 12 866

Đường trung hòa vẽ trên H10.9.c

Điểm chịu kéo lớn nhất là điểm A(x A=6cm,yA=10cm), điểm chịu nén nhiềunhất là điểm B đối xứng với A qua trọng tâm mặt cắt

Áp dụng công thức (10.6), ta có:

2

kN ,342 0 6

12 20 500 6

20 12





 

B

Nếu thay tiết diện chữ nhật bằng hình tròn d= 10cm Tính lại  max, min

H.10.9

x

y z

-

-+ +

y

+ -

- -

-+ +

Thí dụï 3 Cho dầm đơn giản bằng gỗ, tiết diện tròn đường kính D =16cm, chịu lưc

như hình vẽ Xác định trị số [ P ] theo điều kiện bền

Cho L = 50cm, [ ]=1,2kN/cm2

Tại mặt cắt B : Mx = 4PL3 và My = 2PL3  M u  M x2 M y2  1 , 49PL

Tại mặt cắt C: Mx = PL3 và My = 5PL3  M u  M x2 M y2  1 , 7PL

Vậy mặt cắt nguy hiểm tại C

PL W

M u

67 5 2

1 32

7 1

Thí dụï 4 Một dầm tiết diện chữ T chịu lực như hình vẽ

a) Vẽ biểu đồ nội lực,

b) Xác định đường trung hoà và vẽ biểu đồ ứng suất tại tiết diện ngàm,

c) Tính ứng suất max, min

Xét thanh chịu lực trong từng mặt phẳng riêng lẻ

Trong mặt phẳng (yOz), hệ chịu lực phân bố q và lực tập trung Py, biểu đồ nàylà Mx Tương tự, trong mặt phẳng (xOz), lực tập trung Px, biểu đồ là My

5 cm

9 cm

kNm

P= qL A

q

B L=2m

Phương trình đường trung hòa: x

I

I M

M y

y

x x

2 2

129 798 2

3 1

Dựa trên biểu đồ ứng suất ta có thể tìm thấy điểm chịu kéo lớn nhất là điểm A(xA= 4,5cm,yA=5 cm ), điểm chịu nén lớn nhất là điểm B(xB=1cm,

max



min

B

A

) , ( , ) (

5 129

200 5

798

4 564

) ( , )

(

5 129

200 9

798

4 564

Thí dụ 6 : Kiểm tra bền Cho [ ]=16kN/cm2

Thí dụ 7: Vẽ Mx,My ,Tìm b Cho q=2kN/m, L=1m, [ ]=10kN/cm2

III THANH CHỊU UỐN CỘNG KÉO ( HAY NÉN )

1- Định nghĩa

Thanh chịu uốn cộng kéo (hay nén) đồng thời khi trên

x

y z

các mặt cắt ngang có các thành phần nội lực là mômen uốn M u và lực dọc N z

Mu là mômen uốn tác dụng trong mặt phẳng chứa trục z, luôn luôn có thể phân thành hai mômen uốn M x và M y trong mặt phẳng đối xứng yOz và xOz (H.10.13).

Dấu Mx và My qui ước giống uốn xiên

Nz > 0 gây kéo (hướng ra ngoài mặt cắt)

Nz < 0 gây nén (hướng vào mặt cắt)

2- Công thức ứùng suất pháp

Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng, ta thấy bài toán đang xét là tổ hợp của thanh chịu uốn xiên và kéo (hay nén) đúng tâm Do đó, tại một điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang có tọa độ (x,y) chịu tác dụng của ứng suất pháp

tính theo công thức sau: x

I

M y I

M A

N

y

y x

x z

Các số hạng trong công thức (10.11) là số đại số, ứng suất

do Nz lấy (+) khi lực dọc là kéo và ngược lại lực nén lấy

dấu (-) Ứùng suất do Mx, My lấy dấu như trong công thức

(10.1) của uốn xiên,

Khi tính toán thực hành, ta cũng có công thức kỹ thuật:

x I

M y I

M A

N

y

y x

x z

Trong công thức (10.12), ứng với mỗi số hạng Mx, My

ta lấy dấu (+) nếu đại lượng đó gây kéo và ngược lại Còn

Nz > 0 (+) khi kéo, Nz< 0 (-) khi nén

Thí dụ 7: Cho cột chịu lực như hình vẽ(Lực P thuộc mp yoz)

a) Vẽ hình chỉ rõ nội lực tại chân cột

b) Tính ứng suất tại K,B,C

(Bỏ qua trọng lượng bản thân cột)

Giải

Phân tích lực P ra hai thanh phần

Py = Psin =100.0,5 =50 kN ( gây uốn)

Nz = Pcos = 100 23 = 86,6 kN (gây nén)

+

-

- +

H.10.4

Do My +, - Do Mx

+

z

+

+ + +

z P

=100k N

+ _ _

_

+ x y

_

M A

N

y

y x

x z



2

3 3

844 21 133 2 0 20 289

0

5 7 12

15 20

1600 10

12

20 15

20000 15

20

6

86

kN/cm ,

, , ,

) , ( )

(

kN/cm 442

, 22 133

, 2 0 , 20 289

,

0

) 5 , 7 ( 12

15 20

1600 )

10 ( 12

20 15

20000 15

kN/cm 156

, 18 133

, 2 0 , 20 289 , 0

) 5 , 7 ( 12

15 20

1600 )

10 ( 12

20 15

20000 40

20

6 , 86

3- Đường trung hòa và biểu đồ ứng suất pháp

Tương tự như trong uốn xiên, có thể thấy rằng phương trình (10.11 ) là một hàm

hai biến z = f(x,y), nếu biểu diễn trong hệ trục Oxyz, với O là tâm mặt cắt ngang và

z định hướng dương ra ngoài mặt cắt, thì hàm (10.11 ) biểu diễn một mặt phẳng, gọilà mặt ứng suất, giao tuyến của nó với mặt cắt ngang là đường trung hòa Dễ thấyrằng, đường trung hoà là một đường thẳng chứa tất cả những điểm trên mặt cắtngang có ứng suất pháp bằng không Từ đó, cho z = 0, ta có phương trình đườngtrung hòa:

x

x z y

x x

y

M

I A

N x I

I M

M

Phương trình (10.13) có dạng y = ax + b, đó là một đường thẳng không qua gốc

tọa độ, cắt trục y tại tung độ

x

x z

M A

I N b

.

.



Mặt khác, do tính chất mặt phẳng ứng suất, những điểm nằm trên những đường

song song đường trung hòa có cùng giá trị ứng suất, những điểm xa đường trung hòa

nhất có giá trị ứng suất lớn nhất, ứng suất trên một đường vuông góc với đườngtrung hòa thay đổi theo quy luật bậc nhất

- Đường trung hòa chia tiết diện thành hai miền, miền chịu ứng suất kéo và miền

chịu ứng suất nén Nhờ các tính chất này, có thể biểu diễn sự phân bố của ứng suất

pháp trên mặt cắt ngang bằng biểu đồ ứng suất phẳng như sau.

-Kéo dài đường trung hòa ra ngoài tiết diện, vẽ đường chuẩn vuông góc với đườngkéo dài tại điểm O, đó cũng là điểm biểu diễn giá trị ứng suất pháp tại mọi điểmtrên đường trung hòa Sử dụng phép chiếu thẳng góc, chiếu mọi điểm trên những

đường song song đường trung hòa lên đường chuẩn, điểm có chân hình chiếu xa O

nhất chịu ứng suất pháp lớn nhất

-Điểm xa nhất về miền kéo chịu ứng suất kéo lớn nhất, gọi là max,

-Điểm xa nhất về miền nén chịu ứng suất nén lớn nhất, gọi là min

Biểu diễn giá trị max, min bằng các tung độ về hai phía đường chuẩn rồi nối chúnglại bằng đường thẳng, ta được biểu đồ ứng suất phẳng (H.10.14)

A N

4 Ứng suất pháp cực trị và điều kiện bền

GọixmaxK ,và ymaxK là điểm chịu kéo xa đường trung hoà nhất

Và xmaxN và ymaxN là điểm chịu nén xa đường trung hoà nhất

N y

y N

x

x z

B

K y

y K

x

x z

c

x I

M y

I

M A N

x I

M y

I

M A N

max max

min

max max

Theo (10.14), ta nhận xét, khi ứng suất có lực dọc trái dấu với ứng suất do M x , M y và

trị số lực dọc lớn hơn tổng trị số tuyệt đối các ứng suất do M x , M y, lúc đó đườngtrung hoà nằm ngoài mặt cắt, trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất một dấu (chỉ chịukéo hoặc chỉ chịu nén)

Đường trung hoà

x 0

z

y Mặt phẳng ứng suất

0 y

+ _

Biểu đồ ứng suất phẳng

C B

H.10.14

- Với thanh có tiết diện chữ nhật, các điểm nguy hiểm C,B luôn luôn là các

điểm góc của tiết diện:

Lúc đó : xC=xB= b/2; yC=yB= h/2

y y x

x z

B

y y x

x z

c

W

M W

M A N

W

M W

M A N

- Thanh có tiết diện tròn, mômen tổng của M x , M y là M u gây uốn thuần túy

phẳng, khi đó ta có công thức tính ứng suất pháp cực trị:

u

u z

B

u

u z

c

W

M A N W

M A N

y x

u M M

M   , W u W x 32D3

Thanh chịu uốn cộng kéo hay nén đồng thời chỉ gây ra ứng suất pháp trên mặt

cắt ngang, tại điểm nguy hiểm, phân tố ở trạng thái ứng suất đơn, do đó điều kiện

bền của thanh là:  max  [  ] k ;  min  [  ] n

5- Thanh chịu kéo hay nén lệch tâm

Thanh chịu kéo hay nén lệch tâm khi trên mặt cắt ngang chỉ có một lực P song

song trục thanh và không trùng với trục thanh (H.10.14.a).

Trong thực tế, bài toán nén lệch tâm rất thường gặp trong tính toán cột, móng nhà

công nghiệp hay dân dụng, trong tính toán trụ, móng cẩu tháp

Áp dụng nguyên lý dời lực, đưa lực kéo hay nén lệch tâm về tâm tiết diện, ta có

thể chứng minh trường hợp này thực chất là bài toán uốn cộng kéo hay nén đồng

thời Trên H.10.14.a, gọi K(x K , y K ) là điểm đặt lực lệch tâm P, dời về tâm O, ta có:

N z  P , lấy (+) khi P là lực kéo, ngược lại, lấy (–)

Mx = P.yK

My = P.xK

Chiều của mômen lấy theo nguyên lý dời lực

Do đó, tất cả công thức đã được thiết lập cho bài toán uốn cộng kéo hay nén đồngthời đều áp dụng được cho bài toán kéo hay nén lệch tâm

x

y z

k P

x y

Đối với thanh chịu kéo hay nén lêïch tâm, phương trình đường trung hoà có thểviết ở dạng khác Cho biểu thức z trong (10.9) bằng không, ta được phương trìnhđường trung hoà

x N y I

y N A N

x N M y

N M

x I

M y I

M A N

y

K z x

K z z

K z y K z x

y

y x

x z z

;

: Thay



K

x K

y

y

i b

0 1

K

y y

x x

y

K x

K z

i

x x i

y y

A

I i A

I i

x I

A x y I

A y A

N

.

;

: Đặt

]

[

Ta thu được dạng khác của phương trình đường trung hòa :

a  b y  1

x

Từ (10.20) ta thấy đường trung hoà có các tính chất sau:

- Đường trung hoà cắt trục x tại a và trục tung tại b.

- Đường trung hoà không bao giờ qua phần tư chứa điểm đặt lực K vì a và b luôn trái dấu với x K , y K

- Điểm đặt lực tiến gần tâm O của tiết diện thì đường trung hòa rời xa tâm vì x K , y K

giảm thì a, b tăng.

-Điểm đặt lực K nằm trên một trục đường trung hoà song song với trục kia

- Khi đường trung hòa nằm ngoài tiết diện, trên tiết diện chỉ chịu ứng suất một dấu:kéo hoặc nén

Gọi lõi tiết diện là một miền kín bao quanh tâm của tiết diêïn và thoả mãn tính chất:

-Nếu lực lệch tâm đặt trong miền kín đó thì đường trung hoà hoàn toàn nằm ngoàitiết diện

-Nếu lực lệch tâm đặt trên chu vi của miền kín thì đường trung hoà tiếp tuyến vớichu vi của tiết diện Trong thực tế có nhiều loại vật liệu chỉ chịu nén tốt như gạch,

b1

b3

a2

a3