Chương 10 thanh chịu lực phức tạp

5 Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu Chương 10 Thanh chịu lực phức tạp 1 GV Lê đức Thanh Chương 10 THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP I KHÁI NIỆM  Định nghĩa Thanh chịu lực phức tạp khi trên các mặt cắt ngang có nhiều[.]

Chương 10

I KHÁI NIỆM

 Định nghĩa: Thanh chịu lực phức tạp khi trên các mặt

cắt ngang có nhiều thành phần nội lực tác dụng như lực dọc

Nz, mômen uốn Mx, My, mômen xoắn Mz (H.10.1)

Khi một thanh chịu lực phức tạp, ảnh hưởng của lực cắt

đến sự chịu lực của thanh rất nhỏ so với các thành phần nội

lực khác nên trong tính toán không xét đến lực cắt

 Cách tính toán thanh chịu lực phức tạp

Áp dụng Nguyên lý cộng tác dụng:

“Một đại lượng do nhiều nguyên nhân đồng thời gây ra

sẽ bằng tổng các đại lượng của từng nguyên nhân riêng lẽ gây ra“(Chương 1)

Thí dụ các dạng sơ đồ chịu lực như sau:

Nhắc lại: Mx là momen xoay quanh trục x,lực tác dụng tác dụng trong mp(yoz)

My là momen xoay quanh trục y lực tác dụng tác dụng trong mp(xoz)

Mz là momen xoay quanh trục z lực tác dụng tác dụng trong mp(xoy)

Chú ý khi vẽ các biểu đố nội lực: Momen uốn luôn vẽ về phía chịu kéo của thanh

II THANH CHỊU UỐN XIÊN

1) Định nghĩa – Nội lực

Thanh chịu uốn xiên khi trên mọi mặt cắt ngang có hai thành

phần nội lực là mômen uốn Mx và mômen uốn My tác dụng trong

các mặt phẳng yoz và xoz (Hình 10.2)

Dấu của M x , M y (hệ trục được mặc định như hình vẽ)

Mx  0 khi căng (kéo) phía dương của trục y

My  0 khi căng (kéo) phía dương của trục x

q

A

L

B P=qL

Theo Cơ học lý thuyết, ta có thể biểu diễn mômen Mx và My bằng các véctơ mômen Mx

và My (nằm trên hai trục theo qui tắc vặn nút chai của bàn

tay phải (H.10.2); Hợp hai véctơ mômen Mx và My nầy có

vectơ mômen tổng Mu.Chuyển vectơ Mu thànhmomen Mu

nằm trong mặt phẳng v chứa trục z, và thẳng góc với

Định nghĩa khác của uốn xiên: Thanh chịu uốn xiên khi trên các mặt cắt ngang chỉ

có một mômen uốn Mu tác dụng trong mặt phẳng chứa trục mà không trùng với mặt

phẳng quán tính chính trung tâm y0z hay x0z

Đặc biệt, đối với thanh tiết diện tròn, mọi đường kính đều là trục chính trung tâm

(trục đối xứng), nên bất kỳ mặt phẳng chứa trục thanh nào cũng là mặt phẳng quán tính

chính trung tâm Do đó, mặt cắt ngang thanh tròn luôn luôn chỉ chịu uốn phẳng

2- Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

Theo nguyên lý cộng tác dụng, tại một điểm C(x,y) bất kỳ trên

tiết diện, ứng suất do hai mơmen Mx , My gây ra tính theo công

thức sau (H10.4)

x

I

M y I

M

y

y x

x

 (10.2)

Trong (10.2), số hạng thứ nhất là ứng suất pháp do Mx gây ra,

số hạng thứ hai là ứng suất pháp do My gây ra

Công thức (10.2) là công thức đại số, vì các mômen uốn Mx,

My và tọa độ điểm C(x,y) có dấu đại số

Trong tính toán thực hành, dùng công thức kỹ thuật như sau:

x

I

M y I

Lấy dấu (+) khi điểm tính ứng suất nằm ở miền chịu kéo

Lấy dấu (–) khi điểm tính ứng suất nằm ở miền chịu nén

H.10.5 biểu diển các miền kéo, nén trên mặt cắt do các mômen

uốn Mx (+) ,(- ) và My

Thí dụ1

Tiết diện chữ nhật bxh =2040cm2 chịu uốn xiên (H.10.6), Tính

ứng suất tại B Cho

Mx = 8kNm và My = 5kNm Chiều hệ trục chọn như vẽ

Ứng suất pháp tại B (xB =+10 cm; yB = - 20 cm)

+ Tính theo (10.2) như sau:

2 3

12

) 20 ( 40

500 )

20 ( 12

) 40 ( 20

800

cm kN

+ Tính theo (10.3) công thức kỹ thuật như sau:

Mx gây kéo những điểm nằm dưới 0y và gây nén những điểm

trên oy;

My gây kéo những điểm bên phải 0x và gây nén những điểm

bên trái 0x

Biểu diễn vùng kéo bằng dấu (+) và vùng nén bằng dấu

(–) trên tiết diện (H.10.4a) ta có thể thấy, tại điểm B; Mx gây

12

) 20 ( 40

500 20

12

) 40 ( 20

800

cm kN



3- Đường trung hòa và biểu đồ ứng suất

Công thức(10.3) là một hàm hai biến, đồ thị là một mặt phẳng trong hệ trục Oxyz Nếu

biểu diễn giá trị ứng suất pháp z

cho ở (10.3) bằng các đoạn thẳng

đại số theo trục z định hướng

dương ra ngoài mặt cắt và ngược

lại.(H.10.7)Ta được một mặt phẳng

chứa đầu mút các véctơ ứng suất

pháp tại mọi điểm trên tiết diện,

gọi là mặt ứng suất

Gọi giao tuyến của mặt ứng suất và

mặt cắt ngang là đường trung hòa,

vì vậy:

Cho biểu thức z = 0, ta được

phương trình đường trung hòa: đường trung hòa là một đường thẳng và là quỹ tích

của những điểm trên mặt cắt ngang có trị số ứng suất pháp bằng không

+ _

+ +

y

y

x 0

H.10.7

x I

I M

M y

x I

M y I

M

y

x x

y y

y x

y I

I M

M

tg  (Mx, My mang dấu đại số)

Nhận xét:

- Đường trung hòa chia tiết diện làm hai miền: miền chịu kéo và miền chịu nén

-Những điểm nằm trên những đường thẳng song song với đường trung hòa có cùng giá trị ứng suất

- Càng xa đường trung hòa, trị số ứng suất của các điểm trên một đường thẳng vuông

góc đường trung hòa tăng theo luật bậc nhất

Dựa trên các tính chất nầy, có thể biểu diễn sự phân bố bằng biểu đồ ứng suất phẳng như sau

Kéo dài đường trung hòa, vẽ đường chuẩn vuông góc với đường trung hòa tại K, ứng suất tại mọi điểm trên đường trung hòa (z = 0) biểu diễn bằng điểm K trên đường

chuẩn.Sử dụng phép chiếu thẳng góc, điểm nào có chân hình chiếu xa K nhất là những

điểm chịu ứng suất pháp lớn nhất

- Điểm xa nhất thuộc miền kéo chịu ứng suất kéo lớn nhất, gọi là max

- Điểm xa nhất thuộc miền nén chịu ứng suất nén lớn nhất, gọi là min

Tính max, min và biểu diễn bằng hai đoạn thẳng về hai phía của đường chuẩn rồi nối lại bằng đường thẳng, đó là biểu đồ ứng suất phẳng, trị số ứng suất tại mọi điểm của tiết diện trên đường thẳng song song với đường trung hòa chính là một tung độ trên biểu đồ

y k

I

M

max max

x x

k y y

k x

x

W

M W

M

x I M

y I

n y

y n

x

x n

y

y n

x

x C

W

M W

M x

I

M y

k y k k y

x k

n y n

y n

x n



Trường hợp thường dùng:

†Đối với thanh có tiết diện chữ nhật bxh (hay nội tiếp trong hình chữ nhật) điểm xa

đường trung hòa nhất luôn luôn là các điểm góc của tiết diện, khi đó:

h W W W

b W W

y

y x

x

W

M W

x

W

M W

;62/

2 2

hb b

I W

bh h

I

† Đối với thanh có tiết diện tròn, khi tiết diện chịu tác dụng của hai mômen uốn

M x , M y trong hai mặt phẳng vuông góc yOz, xOz, mômen tổng là M u tác dụng trong mặt

phẳng vOz cũng là mặt phẳng quán tính chính trung tâm , Như vậy tiết diện tròn: chỉ

chịu uốn phẳng, do đó:

3

3 2

2 min

32

u u



 Điều kiện bền: trên mặt cắt ngang của thanh chịu uốn xiên chỉ có ứng suất pháp,

không có ứng suất tiếp, đó là trạng thái ứng suất đơn, hai điểm nguy hiểm là hai điểm

chịu max, min, tiết diện bền khi hai điểm nguy hiểm thỏa điều kiện bền:

Đối với vật liệu dòn: [ ]k # [ ]n

n min

k max  [  ] ;   [  ]



Đối với vật liệu dẻo: [ ]k = [ ]n = [ ], điều kiện bền được thỏa khi:

max max, min  [  ]

Thí dụ2

Một dầm tiết diện chữ nhật (12x20) cm chịu lực như trên H.10.8.a

a) Vẽ biểu đồ nội lực,

b) Vẽ hình chỉ rõ nội lực tại mặt cắt ngàm

c) Xác định đường trung hòa và tính ứng suất max, min tại tiết diện ngàm

Cho: P =5,0kN(tác dụng trong mp(xoy) , L= 2m ,  =300

Giải

Phân tích lực P thành 2 thành phần trên hai trục x :mp(xoz) và y:mp(yoz), (chọn như

hình vẽ)và tính mômen đối với ngàm ta được:

Xét thanh chịu lực trong từng mặt phẳng riêng lẻ

Trong mặt phẳng (yOz), thanh chịu lực P y , biểu đồ mômen M x ; Tương tự, trong

mặt phẳng (xOz), thanh chịu lực P x ,biểu đồ mômen M y ; Biểu đồ mômen uốn vẽ chung

trên H.10.8.b

Phương trình đường trung hòa: x

I

I M

M y

y

x x

y .



Tại tiết diện ngàm: Mx  = 8,66 kNm ; My= 5,0kNm

Chiều Mx và My biểu diễn ở H.10.8.b, nếu chọn chiều dương của trục x và y như trên

12 / 20 12 866

Đường trung hòa vẽ trên H10.9.c

Điểm chịu kéo lớn nhất là điểm A(x A=6cm,y A=10cm), điểm chịu nén nhiều nhất

là điểm B đối xứng với A qua trọng tâm mặt cắt

Áp dụng công thức (10.6), ta có:

H.10.9

x

y z

+

+ -

- -

-+ +

y

+ -

- -

-+ +

kN ,342 0 6

12 20 500 6

20 12

2 3

2 2 3 min

10 32 32

1

cm kN M

M d W

M

y x u

Cho dầm có gối tựa đơn bằng gỗ, tiết diện tròn đường kính D =16cm, chịu lưc như

hình vẽ Xác định trị số [P] theo điều kiện bền

Cho L = 50cm, [ ] =1,2kN/cm2

Giải

M u

67 , 5 2

, 1 32

7 , 1

3 min

x x

P

D x

P

2 P

-Chọn tiết diện tròn, hay vành khăn

Giải

Phân tích lực theo hai phương và biểu đồ momen như hình bên

M u B  M x2 M y2  0 , 925PL, M u c  M x2 M y2  1 , 525PL

Trường hợp nầy có thể làm như sau:

Nếu xoay hệ trục theo phương lực

tác dụng thì không cần phân tích lực

và biểu đồ như hình bên dưới (uốn

thuần túy)

PL M

M

M u B  x2  y2  0 , 925

PL M

m

Vẽ Mx, My ,Tìm b Cho q=2kN/m, L=1m, [ ]=10kN/cm2

III THANH CHỊU UỐN CỘNG KÉO ( HAY NÉN )

1- Định nghĩa

Thanh chịu uốn cộng kéo (hay nén) đồng thời khi trên

các mặt cắt ngang có các thành phần nội lực là mômen

uốn M u và lực dọc N z

Mu là mômen uốn tác dụng trong mặt phẳng chứa trục z,

luôn luôn có thể phân thành hai mômen uốn M x và M y trong

mặt phẳng đối xứng yOz và xOz (H.10.13)

Dấu Mx và My qui ước giống uốn xiên

Nz > 0 gây kéo (hướng ra ngoài mặt cắt)

Nz < 0 gây nén (hướng vào mặt cắt)

2- Công thức ứng suất pháp

Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng, ta thấy bài tóan đang

xét là tổ hợp của thanh chịu uốn xiên và kéo (hay nén) đúng

tâm Do đó, tại một điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang có tọa độ

(x,y) chịu tác dụng của ứng suất pháp

I

M y I

M A

N

y

y x

x z

Các số hạng trong công thức (10.7) là số đại số, ứng suất do N z

lấy (+) khi lực dọc là kéo và ngược lại lực nén lấy dấu (-)

Ứng suất do Mx, My lấy dấu như trong công thức (10.1) của

uốn xiên,

Khi tính toán thực hành, ta cũng có công thức kỹ thuật:

x I

M y I

M A

N

y

y x

x z

a) Vẽ hình chỉ rõ nội lực tại chân cột

Để áp dụng công thức (10.12), có thể biểu diễn tác

dụng gây kéo, nén của các thnh phần nội lực như ở

M A

N

y

y x

x z



2

3 3

kN/cm 73

, 9 13 , 2 8

4

,

0

) 5 , 7 ( 12

15 20

1600 )

10 ( 12

20 15

8000 15

kN/cm 53

, 10 13 , 2 8 4 , 0

) 5 , 7 ( 12

15 20

1600 )

10 ( 12

20 15

8000 15

20 120

kN/cm 27

, 6 13 , 2 8 4 , 0

) 5 , 7 ( 12

15 20

1600 )

10 ( 12

20 15

8000 40

20 120

3- Đường trung hòa và biểu đồ ứng suất pháp

Tương tự như trong uốn xiên, có thể thấy rằng phương trình (10.7) là một hàm hai

biến z = f(x,y), nếu biểu diễn trong hệ trục Oxyz, với O là tâm mặt cắt ngang và  z định

hướng dương ra ngòai mặt cắt, thì hàm (10.11) biểu diễn một mặt phẳng, gọi là mặt ứng

Mx

x y

+

+ _

+ x

suất, giao tuyến của nó với mặt cắt ngang là đường trung hòa Dễ thấy rằng, đường trung hòa là một đường thẳng chứa tất cả những điểm trên mặt cắt ngang có ứng suất pháp bằng không Từ đó, cho z = 0, ta có phương trình đường trung hòa:

x

x z y

x x

y

M

I A

N x I

I M

M

Phương trình (10.13) có dạng y = ax + b, đó là một đường thẳng không qua gốc

tọa độ, cắt trục y tại tung độ

x

x z M A

I N b

.

.





Mặt khác, do tính chất mặt phẳng ứng suất, những điểm nằm trên những đường song

song đường trung hòa có cùng giá trị ứng suất, những điểm xa đường trung hòa nhất có

giá trị ứng suất lớn nhất, ứng suất trên một đường vuông góc với đường trung hòa thay đổi theo quy luật bậc nhất

- Đường trung hòa chia

tiết diện thành hai miền,

miền chịu ứng suất kéo và

miền chịu ứng suất

nén.Nhờ các tính chất

nầy, có thể biểu diễn sự

phân bố của ứng suất

pháp trên mặt cắt ngang

bằng biểu đồ ứng suất

phẳng như sau

-Kéo dài đường trung hòa

ra ngòai tiết diện, vẽ

đường chuẩn vuông góc

với đường kéo dài tại

điểm O, đó cũng là điểm biểu diễn giá trị ứng suất pháp tại mọi điểm trên đường trung hòa Sử dụng phép chiếu thẳng góc, chiếu mọi điểm trên những đường song song

đường trung hòa lên đường chuẩn, điểm có chân hình chiếu xa O nhất chịu ứng suất

pháp lớn nhất

-Điểm xa nhất về miền kéo chịu ứng suất kéo lớn nhất, gọi là max,

-Điểm xa nhất về miền nén chịu ứng suất nén lớn nhất, gọi là min

Biểu diễn giá trị max, min bằng các tung độ về hai phía đường chuẩn rồi nối chúng lại

bằng đường thẳng, ta được biểu đồ ứng suất phẳng (H.10.14)

4 Ứng suất pháp cực trị và điều kiện bền

ymaxlà điểm chịu nén xa đường trung hòa nhất

Theo (10.14), ta nhận xét, khi ứng suất có lực dọc trái dấu với ứng suất do M x , M y

y

và trị số lực dọc lớn hơn tổng trị số tuyệt đối các ứng suất do M x , M y, lúc đó đường trung hồ nằm ngoài mặt cắt, trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất một dấu (chỉ chịu kéo hoặc chỉ chịu nén)

- Với thanh có tiết diện chữ nhật, các điểm nguy hiểm C,B luôn luôn là các điểm

góc của tiết diện:

y y x

x z

B

y y x

x z

c

W

M W

M A N

W

M W

M A N

h W W W

b W W

W x k  x n  x  y k  y n  y 

- Thanh có tiết diện tròn, mômen tổng của M x , M y là M u gây uốn thuần túy phẳng,

khi đó ta có công thức tính ứng suất pháp cực trị:

u

u z

B

u

u z

c

W

M A

N

W

M A

y x

W u  x 

Áp dụng thí dụ trên 10.10

2 min

2 max

/ 53 , 10 750

1600 1000

8000 20

15 120

/ 73 , 9 750

1600 1000

8000 20

15 120

cm kN x

W

M W

M A N

cm kN x

W

M W

M A N

y y x

x z

B

y y x

x z

Thanh chịu uốn cộng kéo hay nén đồng thời chỉ gây ra ứng suất pháp trên mặt cắt

ngang, tại điểm nguy hiểm, phân tố ở trạng thái ứng suất đơn, do đó điều kiện bền của

thanh là:

Vật liệu dòn : max  [  ] k ;  min  [  ] n

Vật liệu dẻo: max max,min  []

Chú ý :Nếu lực dọc chịu kéo thì max, là lớn nhất

Nếu lực dọc chịu nén thì min, là lớn nhất

Cho thanh gãy khúc ABC tiết diện tròn và chịu lực như hình vẽ

a Vẽ các biển đồ Mx,My,Nz

b Tính ứng suất max, min tại ngàm A

Cho q=2kN/m, a=2m

2 3

2 2 2

2 2

min

2 3

2 2 2

2 2

max

/ 28 , 18

32 10

) ( ) 2 (

4 10 (

/ 18 , 18

32 10

) ( ) 2 (

4 10

cm kN qL

qL qa

W

M A

N

cm kN qL

qL qa

W

M A

N

u

u z

u

u z

5- Thanh chịu kéo hay nén lệch tâm

Thanh chịu kéo hay nén lệch tâm khi trên mặt cắt ngang chỉ có một lực P song

song trục thanh và không trùng với trục thanh (H.10.14.a)

Trong thực tế, bài toán nén lệch tâm rất thường gặp trong tính toán cột, móng nhà công

nghiệp hay dân dụng, trong tính toán trụ, móng cẩu tháp

Áp dụng nguyên lý dời lực, đưa lực kéo hay nén lệch tâm về tâm tiết diện, ta có

thể chứng minh trường hợp nầy thực chất là bài toán uốn cộng kéo hay nén đồng thời

Trên H.10.14.a, gọi K(x K , y K ) là tọa độ điểm đặt lực lệch tâm P, dời về tâm O, ta có:

N zP ,lấy (+) khi P là lực kéo, ngược lại, lấy (–)

Nz

H.10.14b

H.10.14a

b

Chiều của mômen lấy theo nguyên lý dời lực

Do đó, tất cả công thức đã được thiết lập cho bài toán uốn cộng kéo hay nén đồng thời đều áp dụng được cho bài toán kéo hay nén lệch tâm

Đối với thanh chịu kéo hay nén lệch tâm, phương trình đường trung hòa có thể viết ở dạng khác Cho biểu thức z trong (10.9) bằng không, ta được phương trình đường trung hòa

   x 0

I

M y I

M A

N

y y x

x z

z

 Thay: M x N z y K;M y  N z x K

0

y N

A

N

y

K z x

K z

0

1

;

0 ]

1 [

K

y y x x

y K x

K z

i

x x i

y y

A

I i A

I i

x I

A x y I

A y A N

Đặt:

K

x K

y

y

i b

x

(10.12)

Từ (10.12) ta thấy đường trung hòa có các tính chất sau:

- Đường trung hòa cắt trục x tại a và trục y tại b

- Đường trung hòa không bao giờ qua phần tư chứa điểm đặt lực K vì a và b luôn trái dấu với x K , y K

- Điểm đặt lực tiến gần tâm O của tiết diện thì đường trung hòa rời xa tâm vì x K , y K giảm thì a, b tăng

-Điểm đặt lực K nằm trên một trục đường trung hòa song song với trục kia

- Khi đường trung hòa nằm ngòai tiết diện, trên tiết diện chỉ chịu ứng suất một dấu: kéo