Trần HiếuBài toán Cho bảng giá trị x x0 x1.. Giả sử trong bảng giá trị các mốc nội suy cách đều nhau một khoảng h... Trần HiếuBài toán Cho bảng giá trị x x0 x1.. Giả sử trong bảng giá tr
Trang 1Trần Hiếu
Bài toán
Cho bảng giá trị x x0 x1 xn
y = f (x) y0 y1 yn
Tính gần đúng giá trị f0(x) với x ∈ [x0, xn]
Ý tưởng:
f0(x) ≈ P0(x) trong đó P (x) là Đa thức nội suy sinh ra từ bảng giá trị
Giả sử trong bảng giá trị các mốc nội suy cách đều nhau một khoảng h
P (t) = y0 +
n
X
j=1
∆jy0 j! t (t − 1) (t − j + 1)
Khi đó
dP (x) dx
x=x
= dP (x)
dt .
dt dx
t=t=x−x0h
= 1
hP
0 t
Ví dụ
Cho x 50 55 60
y 3,9120 4,0073 4,0943 Tính f
0(51) Giải:
P (t) = y0 + ∆y0t + ∆
2y0 2! t (t − 1) với t =
x − 50
5 . Có:
50 3,9120 0,0953 -8,3.10−3
55 4,0073 0,0870
60 4,0943
P (t) = 3, 9120 + 0, 0953t − 4, 15.10−3t (t − 1)
f0(51) = 1
5P
0(0, 2) = 1
5 0, 0953 + 4, 15 × 10
−3 − 8, 3.10−3.0, 2 = 0, 019558
1
Trang 2Trần Hiếu
Bài toán
Cho bảng giá trị x x0 x1 xn
y = f (x) y0 y1 yn Tính gần đúng I =
b
R
a
f (x) dx, a = x0, b = xn
2.1 Công thức hình thang
Gọi P (x) là đa thức nội suy sinh ra từ bảng giá trị Khi đó I ≈ I∗ =
b
R
a
P (x) dx Giả sử trong bảng giá trị các mốc nội suy cách đều nhau một khoảng h
Ii =
xi+1
Z
x i
f (x) dx ≈ 1
2(xi+1− xi) (yi+1 + yi) = h
2 (yi+1 + yi)
⇒ I∗ =
xn
Z
x 0
f (x) dx = h
2 [y0 + yn+ 2 (y1 + y2 + + yn−1)]
Sai số:
|I − I∗| ≤ M2
12 (b − a) h
2trong đó M2 = max
[a,b]
|f00(x)|
2.2 Công thức Simpson
Giả sử bảng giá trị có 2n + 1 mốc nội suy x0, x1, , x2n cách nhau một khoảng đều là h Khi đó:
I∗ = h
3 [y0 + y2n + 2 (y2 + y4 + + y2n−2) + 4 (y1 + y3 + y2n−1)]
Sai số:
|I − I∗| ≤ M2
180(b − a) h
4trong đó M4 = max
[a,b]
f(4)(x)
2
... =x − 50
5 . Có:
50 3,9120 0,0 953 -8,3.10−3
55 4,0073 0,0870
60 4,0943
P (t) = 3, 9120 + 0, 0 953 t − 4, 15. 10−3t...
f0 (51 ) = 1
5< sup>P
0(0, 2) = 1
5 0, 0 953 + 4, 15 × 10
−3 − 8, 3.10−3.0, 2 = 0, 01 955 8...
Ví dụ
Cho x 50 55 60
y 3,9120 4,0073 4,0943 Tính f
0 (51 ) Giải:
P (t) = y0 +