luận văn thạc sỹ toán: Phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh khá giỏi ở trường THPT qua chủ đề giải toán bằng phương pháp vectơ và toạ độ trong hình học phẳng

lý luận về tư duy sáng tạo, năng lực học toán của hoc sinh thpt, năng lực sáng tạo trong học toán, đưa ra các biện pháp sư phạm nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học hình học phẳng. phương pháp tọa đọ trong mặt phẳng, phương pháp véc tơ trong giải toán hình học phẳng.

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay ở Việt Nam, cũng như ở nhiều nước trên thế giới, giáo dụcđược coi là quốc sách hàng đầu, là động lực để phát triển kinh tế xã hội Vớinhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là đào tạo ra những con người pháttriển toàn diện về mọi mặt, không những có kiến thức tốt mà còn vận dụngđược kiến thức trong tình huống công việc Với nhiệm vụ đó, việc rèn luyện

và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh ở các trường phổ thông của nhữngngười làm công tác giáo dục là hết sức quan trọng

"Mục tiêu của giáo dục phổ thông là đào tạo con người Việt Nam pháttriển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khoẻ, thẩm mỹ và nghề nghiệp, trungthành với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; hình thành và bồidưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng nhu cầu xâydựng và bảo vệ Tổ quốc" (Luật giáo dục 1998, Chương I, điều 2)

Chúng ta đang trong giai đoạn đổi mới sách giáo khoa và phương phápgiảng dạy chương trình phổ thông, nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy và họctập của học sinh, để học sinh đáp ứng được yêu cầu của xã hội, đặc biệt làtrong xu thế hội nhập toàn cầu, cũng là nhằm đáp ứng được yêu cầu đó

Theo điều 28 Luật Giáo dục: " Phương pháp giáo dục phổ thông phảiphát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp vớiđặc điểm tâm lý của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học,rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm,đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh"

Để làm được điều này, với lượng kiến thức và thời gian được phân phốicho môn toán bậc THPT, mỗi giáo viên phải có một phương pháp giảng dạyphù hợp thì mới có thể truyền tải được tối đa kiến thức cho học sinh, mới pháthuy được tư duy sáng tạo của học sinh, không những đáp ứng cho môn học

mà còn áp dụng được kiến thức đã học vào các khoa học khác và chuyển tiếp

Véctơ là một trong những khái niệm nền tảng của toán học Việc sửdụng rộng rãi khái niệm véctơ và toạ độ trong các lĩnh vực khác nhau củatoán học, cơ học cũng như kỹ thuật đã làm cho khái niệm này ngày càng pháttriển Cuối thế kỷ XIX đầu thế kỷ XX, phép tính vectơ đã được phát triển vàứng dụng rộng rãi.

Vectơ có nhiều ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật, do đó công cụ vectơ tạođiều kiện thực hiện mối liên hệ liên môn ở trường phổ thông

Phương pháp vectơ và toạ độ cho phép học sinh tiếp cận những kiếnthức hình học phổ thông một cách gọn gàng, sáng sủa và có hiệu quả mộtcách nhanh chóng, tổng quát, đôi khi không cần đến hình vẽ Nó có tác dụngtích cực trong việc phát triển tư duy sáng tạo, trừu tượng, năng lực phân tích,tổng hợp

Khái niệm vectơ có thể xây dựng một cách chặt chẽ phương pháp toạ

độ theo tinh thần toán học hiện đại, có thể xây dựng lý thuyết hình học vàcung cấp công cụ giải toán, cho phép đại số hoá hình học

Việc nghiên cứu vectơ góp phần mởi rộng nhãn quan toán học cho họcsinh, chẳng hạn như tạo cho học sinh khả năng làm quen với những phép toántrên những đối tượng không phải là số, nhưng lại có tính chất tương tự Điều

đó dẫn đến sự hiểu biết về tính thống nhất của toán học, về phép toán đại số,cấu trúc đại số, đặc biệt là nhóm và không gian vectơ - hai khái niệm trong

số những khái niệm quan trọng của Toán học hiện đại

Trong chương trình hình học ở bậc trung học phổ thông, học sinh đượchọc về vectơ, các phép toán về vectơ và dùng vectơ làm phương tiện trunggian để chuyển những khái niệm hình học cùng những mối quan hệ giữanhững đối tượng hình học sang những khái niệm đại số và quan hệ đại số

Với ý nghĩa như vậy, có thể coi phương pháp vectơ và toạ độ là phươngpháp toán học cơ bản được kết hợp cùng phương pháp tổng hợp để giải toánhình học trong mặt phẳng và trong không gian ở bậc THPT

Thực tế giảng dạy áp dụng vectơ và toạ độ để giải toán ở phổ thônghiện nay đa số còn rất sơ sài, chưa có hệ thống các bài toán áp dụng Sáchgiáo khoa, với lý do sư phạm cũng chỉ dừng lại ở mức độ cơ bản, do vậy họcsinh cũng chưa thực sự nắm được nhiều ứng dụng của phương pháp này.

Dạng bài tập ứng dụng vectơ và toạ độ ở THPT đòi hỏi học sinh phải

có năng lực nhất nhất định, phải có khả năng tư duy trừu tượng và khái quáttốt mới có thể giải toán linh hoạt và sáng tạo Do đó, dạy học chủ đề này cótác dụng lớn trong việc bồi dưỡng, phát triển năng lực trí tuệ cho học sinhthông qua các thao tác tư duy, đồng thời giúp học sinh linh hoạt, hệ thống hoáđược kiến thức hình học cơ bản, tăng cường năng lực giải toán

Với các lý do nêu trên, để góp phần bồi dưỡng học sinh khá giỏi bậc

THPT, đề tài được chọn là: "Phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh khá giỏi ở trường THPT qua chủ đề giải toán bằng phương pháp vectơ

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy sáng tạo, quá trình rèn luyện vàphát triển loại hình tư duy này ở bậc THPT

- Nghiên cứu các phẩm chất, năng lực tiêu biểu của học sinh khá, giỏi toán

- Đưa ra hệ thống các bài tập ứng dụng, hướng dẫn học sinh khai thác

và phát triển các bài toán đó theo hướng sáng tạo

- Đưa ra một số biện pháp sư phạm nhằm thực hiện mục đích nghiên cứu

- Qua thực nghiệm, kiểm tra đánh giá, rút ra các bài học thực tế, tínhkhả thi để áp dụng vào giảng dạy.

4 Giả thuyết khoa học

Với nội dung toán học được lựa chọn và các biện pháp sư phạm đã đềxuất trong luận văn, qua kiểm nghiệm bước đầu trong thực tiễn, có thể tin rằng

đề tài góp phần nâng cao trình độ nhận thức của học sinh, khơi dậy hứng thúhọc tập, phát huy khả năng tư duy sáng tạo toán học, tính tích cực học tập củahọc sinh, đặc biệt là học sinh khá giỏi bậc THPT Trang bị cho học sinh THPTmột phương pháp giải toán hình học hiệu quả bên cạnh các phương pháp khác

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu khai thác các tài liệu về tư duy biện chứng thông qua việcgiảng dạy môn Toán ở trường phổ thông, đặc biệt ở khía cạnh tư duy sángtạo

- Nghiên cứu khai thác các tài liệu liên quan đến hứng thú học tập,động cơ học tập, phát huy tính tích cực học tập của học sinh qua môn Toán

- Nghiên cứu chương trình và nội dung đổi mới sách giáo khoa vàphương pháp giảng dạy bậc THPT, đặc biệt là hình học lớp 10 bậc THPT

5.2 Phương pháp quan sát điều tra

- Điều tra thực trạng giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinhtrước và sau thử nghiệm

- Quan sát việc học tập của học sinh, khảo sát mức độ tích cực học tập,

tư duy sáng tạo trong giờ học để phát hiện nguyên nhân cần khắc phục và lựachọn nội dung thích hợp cho luận văn

- Thu thập kết quả thực tế của học sinh làm cơ sở thực tiễn để đưa hệthống bài tập phù hợp có tính khả thi dưới dạng chuyên đề

- Đánh giá kết quả thực nghiệm

5.3 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

- Thống kê số liệu trước và sau thực nghiệm, giữa lớp thực nghiệm vàlớp đối chứng.

- Lấy ý kiến đánh giá tham khảo của giáo viên trực tiếp giảng dạy để điềuchỉnh luận văn cho phù hợp thực tiễn dạy và học vectơ, toạ độ ở bậc THPT

5.4 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

- Thực nghiệm ở một số cơ sở rồi đối chứng với giả thuyết khoa học đã

đề ra để điều chỉnh mức độ khả thi của luận văn

6 Đối tượng, khách thể và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Trên cơ sở lý luận của tư duy sáng tạo, ápdụng vào dạy nội dung toán hình học vectơ và toạ độ ở lớp 10 THPT Từ đóphân loại và phát triển hệ thống bài tập có thể dùng phương pháp vectơ, toạ

độ phẳng để giải ở THPT, đặc biệt đối với học sinh khá giỏi

Đi sâu vào ứng dụng cơ sở lý luận phát triển tư duy sáng tạo toán học,gợi động cơ hứng thú học tập cho học sinh qua nội dung luận văn

- Khách thể và phạm vi nghiên cứu: Học sinh và giáo viên dạy toánTHPT thuộc các trường : THPT Chuyên Tuyên Quang

- Kiểm nghiệm và đối chứng 6 lớp

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn gồm 3 chương:

Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương II: Phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh giỏi ở THPTqua chủ đề giải toán bằng phương pháp vectơ và toạ độ trong hình học phẳng

Chương III: Biện pháp sư phạm và thực nghiệm sư phạm

* Kết luận

* Tài liệu tham khảo

* Phụ lục

Chương I

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Tư duy và tư duy sáng tạo

1.1.1 Tư duy, các hình thức cơ bản của tư duy, các thao tác tư duy

a Khái niệm tư duy và một số yếu tố cơ bản của tư duy

Trong cuốn " Rèn luyện tư duy trong dạy học toán" , PGS.TS Trần

Thúc Trình có định nghĩa: " Tư duy là một quá nhận thức, phản ánh nhữngthuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiệntượng mà trước đó chủ thể chưa biết".[13,tr1]

Theo Pap-lôp: Tư duy là " sản vật cao cấp của một vật chất hữu cơ đặcbiệt, tức là óc, qua quá trình hoạt động của sự phản ánh hiện thực khách quanbằng biểu tượng, khái niệm, phán đoán Tư duy bao giờ cũng liên hệ với mộthình thức nhất định của sự vận động của vật chất- với sự hoạt động củaóc Khoa học hiện đại đã chứng minh rằng tư duy là đặc tính của vật chất"

Pap-lôp đã chứng minh một cách không thể chối cãi rằng bộ óc là cơcấu vật chất của hoạt động tâm lý Ông viết: " Hoạt động tâm lý là kết quảcủa hoạt động sinh lý của một bộ phận nhất định của óc " [16,tr873]

Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, thường bắt đầu từnhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh tình huống cóvấn đề Dù cho tư duy có khái quát và trừu tượng đến đâu thì trong nội dungcủa tư duy cũng vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính

Con người chủ yếu dùng ngôn ngữ để nhận thức vấn đề, để tiến hànhcác thao tác trí tuệ và để biểu đạt kết quả của tư duy Ngôn ngữ được xem làphương tiện của tư duy

Sản phẩm của tư duy là những khái niệm, phán đoán, suy luận đượcbiểu đạt bằng những từ, ngữ, câu , ký hiệu, công thức, mô hình

Tư duy mang tính khái quát, tính gián tiếp và tính trừu tượng

Cả nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính đều nảy sinh từ thực tiễn vàlấy thực tiễn làm tiêu chuẩn kiểm tra tính đúng đắn của nhận thức.

Tư duy có tác dụng to lớn trong đời sống xã hội Người ta dựa vào tưduy để nhận thức những quy luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụngnhững quy luật đó trong hoạt động thực tiễn của mình

b) Quá trình tư duy

Tư duy là hoạt động trí tuệ với một quá trình bao gồm 4 bước cơ bản:

- Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy Nói cáchkhác là tìm được câu hỏi cần giải đáp

- Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thiết

về cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi

- Xác minh giả thiết trong thực tiễn Nếu giải thiết không đúng thì quabước sau, nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thiết mới

- Quyết định đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng

c) Các hình thức cơ bản của tư duy

- Khái niệm: Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng

và do đó nó có thể được xem xét theo hai phương diện: Ngoại diên và nộihàm Bản thân lớp đối tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diên, còntoàn bộ các thuộc tính chung của lớp đối tượng này được gọi là nội hàm củalớp đối tượng đó Giữa nội hàm và ngoại diên có mối liên hệ mang tính quyluật: Nội hàm càng mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại

Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thìkhái niệm A được gọi là một khái niệm chủng của B, còn khái niệm Bđược gọi là một khái niệm loại của A

Ví dụ: Ta định nghĩa phép vị tự từ phép biến hình: " Cho điểm O và một số k

0, phép biến hình biến điểm M bất kỳ thành điểm M' sao cho

gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k" Như vậy ta được khái niệm phép vị tự là mộtphép biến hình đặc biệt, là tập con thực sự của phép biến hình,

- Phán đoán: Phán đoán là hình thức tư duy, trong đó khẳng định một dấu

hiệu thuộc hay không thuộc một đối tượng Phán đoán có tính chất hoặc đúnghoặc sai và nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trường hợp đó mà thôi

Trong tư duy, phán đoán được hình thành bởi hai phương thức chủ yếu:trực tiếp và gián tiếp Trong trường hợp thứ nhất, phán đoán diễn đạt kết quảnghiên cứu của qua trình tri giác một đối tượng, còn trong trường hợp thứ haiphán đoán được hình thành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suyluận Cũng như các khoa học khác, toán học thực chất là một hệ thống cácphán đoán về những đối tượng của nó, với nhiệm vụ xác định tính đúng saicủa các luận điểm

Ví dụ 1: Xét mệnh đề : "  thì " là một phán đoán và là phán

đoán sai, vì điều này chỉ đúng khi không tù, do bình phương 2 vế bất đẳng

- Suy luận: Suy luận là một quá trình tư duy có quy luật, quy tắc nhất định (gọi

là các quy luật, quy tắc suy luận) Muốn suy luận đúng cần phải tuân theo nhữngquy luật, quy tắc ấy Có hai hình thức suy luận là suy diễn và quy nạp Suy diễn

đi từ cái tổng quát đến cái riêng, còn quy nạp đi từ cái riêng đến cái chung

Trong dạy học toán, suy diễn và quy nạp không thể tách rời nhau Quynạp để đi đến các luận đề chung làm cơ sở cho quá trình suy diễn, ngược lạisuy diễn để kiểm chứng kết quả của quy nạp

Ví dụ: Định lý côsin ở lớp 10: " Trong mọi tam giác ta có bình phương một cạnh tam giác bằng tổng bình phương hai cạnh kia trừ hai lần tích của chúng với côsin góc xen giữa"

Ta có thể suy luận qua một số trường hợp đặc biệt để kiểm chứng điều

đó, chẳng hạn hệ thức: a2=b2+c2-2bccosA

- Nếu ABC vuông tại A thì cosA=0  a2=b2+c2 đúng (Định lý Pitago)

- Nếu ABC đều thì a=b=c, cosA=1/2  Đẳng thức đúng

Vậy có thể kết luận là đẳng thức đúng cho ABC Đó là phép quynạp không hoàn toàn Bằng suy luận, ta chứng minh như sau:

Với hai đẳng thức còn lại tương tự Ta có điều phải chứng minh

d) Các thao tác tư duy

+ Phân tích-tổng hợp: Phân tích là thao tác tư duy để phân chia đối tượng

nhận thức thành các bộ phận, các mặt, các thành phần khác nhau Còn tổnghợp là các thao tác tư duy để hợp nhất các bộ phận, các mặt, các thành phần

đã tách rời nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể

Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết không thể tách rời, chúng làhai mặt đối lập của một quá trình thống nhất Phân tích tiến hành theo hướngtổng hợp, tổng hợp được thực hiện theo kết quả phân tích Trong học tập môntoán, phân tích-tổng hợp có mặt ở mọi hoạt động trí tuệ, là thao tác tư duyquan trọng nhất để giải quyết vấn đề

+ So sánh-tương tự: So sánh là thao tác tư duy nhằm xác định sự giống nhau

hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay khôngbằng nhau giữa các đối tượng nhận thức So sánh liên quan chặt chẽ với phântích-tổng hợp và đối với các hình thức tư duy đó có thể ở mức độ đơn giản hơnnhưng vẫn có thể nhận thức được những yếu tố bản chất của sự vật, hiện tượng

Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một sốdấu hiệu, rút ra kết luận hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác

Như vậy, tương tự là sự giống nhau giữa hai hay nhiều đối tượng ở mộtmức độ nào đó, trong một quan hệ nào đó

Ví dụ: Trong ABC vuông tại A, ta có : a2=b2+c2, ,

Trong tam diện vuông SABC, SA=a, SB=b, SC=c, đường cao mặt huyền

là h ta cũng có: S2(ABC)=S2(SAB)+S2(SBC)+S2(SCA), ,

+ Khái quát hoá- đặc biệt hoá: Khái quát hoá là thao tác tư duy nhằm hợp

nhất nhiều đối trượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộctính, những liên hệ hay quan hệ chung giống nhau và những thuộc tính chungbản chất

Theo G.S Nguyễn Bá Kim: " Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợpđối tượng sang một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằngcách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát".[6,tr51]

Như vậy có thể hiểu khái quát hoá là quá trình đi từ cái riêng, cái đặcbiệt đến cái chung, cái tổng quát, hoặc từ một tổng quát đến một tổng quáthơn Trong toán học, người ta thường khái quát một yếu tố hoặc nhiều yếu tốcủa khái niệm, định lý, bài toán thành những kết quả tổng quát

Đặc biệt hoá là thao tác tư duy ngược lại với khái quát hoá

Ví dụ: Xét các bài toán sau:

Bài 1: Cho 2 điểm A,B phân biệt và 2 số thực ,  thoả mãn +0 thì: Tồn

tại duy nhất một điểm I sao cho: và với M ta có:

+ Trừu tượng hoá: Trừu tượng hoá là thao tác tư duy nhằm gạt bỏ những mặt,

những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữlại các yếu tố cần thiết cho tư duy Sự phân biệt bản chất hay không bản chất

ở đây chỉ mang nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động

Ví dụ: Trừu tượng hoá khái niệm tập số được khái niệm tập hợp với phần tử là

những đối tượng nào đó, trừu tượng hoá khái niệm hàm số được khái niệmánh xạ

1.1.2 Sáng tạo, quá trình sáng tạo

a) Khái niệm sáng tạo

Lecne cho rằng: " Sự sáng tạo là quá trình con người xây dựng cái mới vềchất bằng hành động trí tuệ đặc biệt mà không thể xem như là hệ thống các thaotác hoặc hành động được mô tả thật chính xác và được điều hành nghiêm ngặt"

Solso R.L quan niệm: " Sáng tạo là một hoạt động nhận thức mà nóđem lại một cách nhìn nhận hay cách giải quyết mới mẻ đối với một vấn đềhay tình huống"

GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn có nói: " Người có óc sáng tạo là người

có kinh nghiệm phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề đã đặt ra"

Có hai mức độ sáng tạo:

- Mức độ 1: Cách mạng trong một lĩnh vực nào đó, làm thay đổi tậngốc các quan niệm của một hệ thống, tri thức và sự vận dụng Như sự pháthiện ra hình học phi Ơclit của Lôbasepxki, lí thuyết nhóm của Galoa

- Mức độ 2: Phát triển liên tục cái đã biết, mở rộng lĩnh vực ứng dụng.Như sự phát triển của máy tính, của lazer

Đối với người học toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu

họ tự đương đầu với những vấn đề mới đối với họ và họ tự mình tìm tòi độclập những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng biết

Như vậy một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếucác thao tác giải nó không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối, tức là ngườigiải chưa biết thuật toán để giải và phải tiến hành tìm kiếm với những bước đichưa biết trước

b) Quá trình sáng tạo

Như J.Adama đã "Nghiên cứu về tâm lí học sáng tạo trong lĩnh vựctoán học" đã chỉ ra quá trình lao động sáng tạo ấy trải qua bốn giai đoạn:

+ Giai đoạn chuẩn bị: Là giai đoạn đặt nhiệm vụ nghiên cứu, thu thập tài liệuliên quan.

+ Giai đoạn ấp ủ: Quá trình tư duy ít bị sự kiểm soát hơn của ý thức, tiềmthức lại chiếm ưu thế, các hoạt động bổ sung cho vấn đề được quan tâm.+ Giai đoạn bừng sáng: Đột nhiên tìm được lời giải đáp, đó là các bước nhảyvọt về chất trong tri thức, xuất hiện đột ngột và kéo theo là sự sáng tạo

+ Giai đoạn kiểm chứng: Xem xét, khái quát kết quả Ý thức lại được thamgia tích cực Kiểm tra trực giác, triển khai các luận chứng lôgic để có thểchứng tỏ tính chất đúng đắn của cách thức giải quyết vấn đề, khi đó sáng tạomới được khẳng định

Đặc điểm của quá trình sáng tạo:

+ Là tiền đề chuyển tri thức và kỹ năng vào hoàn cảnh mới

+ Nhận ra vấn đề mới trong những điều kiện quen thuộc

+ Nhìn ra các chức năng mới ở những đối tượng quen thuộc

+ Nhận ra cấu trúc của đối tượng đang nghiên cứu

+ Lựa chọn cách giải quyết tốt nhất trong từng hoàn cảnh nhờ khả năng tìmđược nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và hoàn cảnh khác nhau

+ Năng lực tìm kiếm và quyết định phương pháp giải quyết độc đáo trong khi

đã biết được nhiều phương pháp giải quyết truyền thống

Trong quá trình sáng tạo toán học, thường xuất hiện những trạng tháihay tình huống một tư tưởng nào đó đột nhiên bừng sáng trong đầu óc conngười hoặc đặt con người trong trạng thái " hứng khởi" cao độ, khi đó các tưtưởng hình như cứ theo nhau kéo đến một cách dồn dập, giúp họ đi đến nhữngkết quả mới

1.1.3 Khái niệm tư duy sáng tạo, thành phần của tư duy sáng tạo

a)Tư duy sáng tạo

Trong cuốn sách " Khuyến khích một số hoạt động trí tuệ của học sinhqua môn toán ở trường THCS" của Nguyễn Bá Kim - Vương Dương Minh -Tôn Thân , các tác giả cho rằng: " Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc

lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao Ý tưởngmới thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quảmới Tính độc đáo của ý tưởng mới thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quenthuộc hoặc duy nhất" [28,tr72].

Theo nhà tâm lý học G.Mehlhorn: " Tư duy sáng tạo là hạt nhân của sựsáng tạo cá nhân đồng thời là hạt nhân cơ bản của giáo dục"

Khi xem xét tư duy sáng tạo trên bình diện như một năng lực của mộtcon người thì J.Danton quan niệm: " Tư duy sáng tạo, đó là năng lực tìm thấynhững ý nghĩa mới, tìm thấy những mối liên hệ mới, là một chức năng củakiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá "

Tuỳ vào mức độ tư duy, người ta chia nó thành: tư duy tích cực, tư duyđộc lập, tư duy sáng tạo Mỗi mức độ tư duy đi trước là tiền đề tạo nên mức

độ tư duy đi sau Đối với chủ thể nhận thức, tư duy tích cực được đặc trưngbởi sự khát vọng, sự cố gắng trí tuệ và nghị lực Còn tư duy độc lập thể hiện ởkhả năng tự phát hiện và giải quyết vấn đề, tự kiểm tra và hoàn thiện kết quảđạt được Không thể có tư duy sáng tạo nếu không có tư duy tích cực và tưduy độc lập

Mặt khác, có ý kiến cho rằng: " Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phêphán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm vềnhững mặt khác nhau của tư duy sáng tạo" [27,tr33]

Mối quan hệ các loại hình tư duy có thể biểu thị mối liên hệ bởi sơ đồ sau:

Tư duy tích cực

Tư duy độc lập

Tư duy sáng tạo

Ví dụ về các loại hình tư duy:

- Tư duy tích cực: Học sinh chăm chú nghe giáo viên giảng cách chứngminh định lý và cố gắng hiểu bài

- Tư duy độc lập: Học sinh nghiên cứu tài liệu, tự mình tìm hiểu cáchchứng minh định lý

- Tư duy sáng tạo: Học sinh tự khám phá định lý, tự chứng minh định lýđó

Tư duy sáng tạo có tính chất tương đối vì cùng một chủ thể giải quyếtvấn đề trong điều kiện này có thể mang tính sáng tạo trong điều kiện khác,hoặc cùng một vấn đề được giải quyết có thể mang tính sáng tạo đối vớingười này nhưng không mang tính sáng tạo đối với người khác

b) Thành phần của tư duy sáng tạo

Mang đặc thù của một quá trình sáng tạo, có thể nói tư duy sáng tạo là

sự kết hợp ở đỉnh cao của tư duy độc lập và tư duy tích cực, tư duy sáng tạogồm các thành phần sau:

+ Tính mềm dẻo: Là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ

thống tri thức, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác,định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có sẵn và xây dựngphương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong mối quan hệ mới hoặcchuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất của sự vật và điều phán đoán Tínhmềm dẻo gạt bỏ sự sơ cứng trong tư duy, mở rộng sự nhìn nhận vấn đề từnhiều khía cạnh khác nhau của chủ thể nhận thức

+ Tính nhuần nhuyễn: Là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp

giữa các yếu tố riêng lẻ của tình huống hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ýtưởng mới Tính nhuần nhuyễn của tư duy sáng tạo được đặc trưng bởi khảnăng tạo ra số các ý tưởng mới khi nhận thức vấn đề

+ Tính độc đáo: Là năng lực độc lập tư duy trong quá trình xác định mục đích

cũng như giải pháp, biểu hiện trong những giải pháp lạ, hiếm, tính hợp lý, tínhtối ưu của giải pháp

+ Tính hoàn thiện: Là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành

động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng

+ Tính nhạy cảm vấn đề: Là năng lực nhanh chóng phát hiện vấn đề, sự mâu

thuẫn, sai lầm, thiếu lôgic, chưa tối ưu và từ đó đề xuất hướng giải quyết, tạo

ra cái mới

Ngoài ra tư duy sáng tạo còn có một số yếu tố quan khác như: Tínhchính xác, năng lực định giá, năng lực định nghĩa lại, khả năng phán đoán

Sau đây là ví dụ minh hoạ sự thể hiện các thành phần của tư duy sáng tạo:

Bài toán: Trong mặt phẳng (Oxy) cho điểm A=(0,4) và hai đường tròn (I), (J)

đi qua A, với I=(-2,0), J=(4,0) Viết phương trình đường thẳng () qua A, cắt(I) tại M, cắt (J) tại N sao cho AM=AN

Đây là một bài toán trong hình học lớp 10 Thông thường nếu xétđường thẳng () qua A, cho cắt (I) và (J) tại M, N rồi cho AM=AN thì bàitoán trở lên rất khó khăn và phức tạp Vì như vậy ta phải xét trường hợpđường thẳng () trong 2 trường hợp có hệ số góc và không có hệ số góc, rồi tìmgiao điểm M, N với (I) và (J) rất phức tạp Tuy vậy, nhờ mềm dẻo trong trongduy, ta có thể giải quyết gọn gàng hơn nhiều, nhờ tính chất của đường tròn

Sau đây là một số lời giải thể hiện được các thành phần của tư duy sángtạo:

Cách 1: Gọi P và Q là trung điểm của AM và AN, theo tính chất của dây cung

 IPAM và JQAN và A cũng là trung điểm của PQ

Ta có hình thang vuông IPQJ, đường trung bình của hình thang này qua

A và cắt IJ tại trung điểm T=(1,0)

Vậy () là đường thẳng qua A và có

vectơ pháp tuyến =(1,-4)

Vậy phương trình () là:

1.(x-0)- 4.(y-4)= 0, hay: x- 4y+16=0

Cách giải này, kết hợp được tính chất của dây cung trong đường tròn,

Cách 2: Nếu học sinh chú ý đến tính chất A là trung điểm MN, thì gợi nhớ đến

phép đối xứng tâm Đối xứng đường tròn (I) qua A được đường tròn (I') DoM(I) nên N(I') Do đó, () chính là trục đẳng phương của (J) và (I') Cụ thể:

Phương trình (I): (x+2)2+y2=IA2=20;

Phương trình (J): (x-4)2+y2=JA2=32;

 (I'): (x-2)2+(y-8)2=20 Lấy (J) trừ (I') có phương trình trục đẳngphương () của chúng là: (): x-4y+16=0

Như vậy dựa vào tính chất đối xứng, ta dùng kiến thức trục đẳngphương của hai đường tròn, thể hiện tính chất nhuần nhuyễn của tư duy

Cách 3: Nếu gọi M=(xM,yM)(I) thì ta có: (xM+2)2+y =20 (1)

Do A trung điểm MN nên

Vì N(J) nên: (-xM-4)2+(8-yM)2=32 (2)

Lấy (1)-(2) ta có: xM-4yM+16=0 Vậy phương trình () là: x-4y+16=0.Cách này chỉ dùng đến công thức trung điểm của đoạn thẳng, thể hiệnđược tính độc đáo của tư duy

Qua cách giải bài toán trên ta thấy, nếu sử dụng thành thạo các kiếnthức về vectơ và toạ độ trong chương trình có thể giải quyết được nhiều bàitoán hay và độc đáo Với lối suy nghĩ như vậy, ta có thể giải quyết nhiều bàitoán vectơ và toạ độ bằng cách kết hợp chúng với tính chất của hình học.Những bài toán như vậy, ta sẽ gặp trong những phần sau

1.2 Dạy học giải bài tập ở trường phổ thông

1.2.1 Vai trò của việc giải bài tập toán

- Theo nghĩa rộng, bài tập (bài toán) đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếmmột cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõràng nhưng không thể đạt được ngay Giải toán tức là tìm ra phương tiện đó

- Tuy nhiên cũng cần có sự phân biệt giữa bài tập và bài toán Để giảibài tập, chỉ yêu cầu áp dụng máy móc các kiến thức, quy tắc hay thuật toán đãhọc Nhưng đối với bài toán, để giải được phải tìm tòi, giữa các kiến thức cóthể sử dụng và việc áp dụng để xử lý tình huống còn có khoảng cách, vì cáckiến thức đó không dẫn trực tiếp đến phương tiện xử lý thích hợp Muốn sửdụng được những điều đã biết, cần phải kết hợp, biến đổi chúng, làm chochúng thích hợp với tình huống.

- Hiện nay trong sách giáo khoa toán trên thế giới, sau mỗi bài học đều

có ba loại bài thực hành, bài tập và bài toán, trình bày tách biệt với nhau,trong đó những bài toán thực tiễn chiếm một tỉ lệ cao

- Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong quá trình học tập môntoán ở nhà trường phổ thông Giải bài tập toán là hình thức chủ yếu của hoạtđộng toán học Thông qua việc giải bài tập, học sinh phải thực hiện nhiều hoạtđộng như: Nhận dạng, thể hiện các khái niệm, định nghĩa, định lý, quy tắc-phương pháp, những hoạt động phức hợp, những hoạt động trí tuệ chung,những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học

- Vị trí bài tập toán: Giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toánhọc, giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng kỹxảo và ứng dụng toán học vào thực tiễn

- Chức năng của bài tập toán là: Dạy học, giáo dục, phát triển và kiểm tra

- Vai trò của bài tập toán thể hiện ở cả ba bình diện: Mục đích, nộidung và phương pháp của quá trình dạy học Cụ thể:

+ Về mặt mục đích dạy học, bài tập toán thể hiện những chức năng khác nhauhướng đến việc thực hiện mục đích dạy học môn toán như:

Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kỹ năng ứng dụng toánhọc ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

Phát triển năng lực trí tuệ chung: Rèn luyện các thao tác tư duy, hìnhthành các phẩm chất trí tuệ

Hình thành, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng nhưnhững phẩm chất đạo đức của người lao động mới.

+ Về mặt nội dung dạy học: Bài tập toán là một phương tiện để cài đặt nộidung dưới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức đãhọc ở phần lý thuyết

+ Về mặt phương pháp dạy học: Bài tập toán là giá mang những hoạt động đểhọc sinh kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện cácmục đích dạy học khác Khai thác tốt bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức tốtcho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủđộng sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khácnhau Về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làmviệc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra Đặc biệt về mặt kiểm tra, bàitập là phương tiện không thể thay thế để đánh giá mức độ tiếp thu tri thức,khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển tư duy của học sinh, cũngnhư hiệu quả giảng dạy của giáo viên

1.2.2 Phương pháp giải bài tập toán

Theo G.Pôlya, phương pháp chung giải một bài toán gồm 4 bước: Tìmhiểu nội dung của bài toán, xây dựng chương trình giải, thực hiện chươngtrình giải, kiểm tra và nghiên cứu lời giải Cụ thể:

+ Bước 1: Hiểu rõ bài toán

- Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Có thể thoả mãn được điều kiện haykhông? Điều kiện có đủ để xác định được ẩn hay không, hay chưa đủ, haythừa, hay có mâu thuẫn?

được khâu này thì việc giải bài toán đã có thể rất thuận lợi để tìm được lờigiải đúng.

+ Bước 2: Xây dựng một chương trình giải

- Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở mộtdạng hơi khác?

- Bạn có biết một bài toán nào liên quan không? Một định lý có thểdùng được không?

- Xét kỹ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc cócùng ẩn hay ẩn tương tự

- Đây là một bài toán liên quan mà bạn đã có lần giải rồi Có thể sử dụng

nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hãy sử dụng phương pháp?

Có cần phải dựa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được nó không?

- Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? Một cách khác nữa?Quay về định nghĩa

- Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra, thì hãy thử giải một bàitoán có liên quan Bạn có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan và dễ hơnkhông? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toántương tự? Bạn có thể giải được một phần bài toán không? Hãy giữ lại mộtphần điều kiện, bỏ qua phần kia Khi đó ẩn được xác định đến một chừng mựcnào đó, nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể từ các dữ kiện rút ra một yếu tố

có ích không? Có thể thay đổi ẩn hay khác dữ kiện, hay cả hai nếu cần thiết,sao cho ẩn và các dữ kiện mới được gần nhau hơn không?

- Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chưa? Đã sử dụng toàn bộ điều kiệnhay chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?

Qua các phần dẫn dắt của bước 2, ta thấy rằng tư duy sáng tạo đã đượcthể hiện ở mức độ cao hơn Chẳng hạn việc giải thử một bài toán có liên quan,hay tổng quát hơn chính là sự thể hiện tư duy sáng tạo

+ Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Hãy kiểm tra lại từng bước Bạn đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúngchưa? Bạn có thể chứng minh là nó đúng không?

Qua bước này ta thấy việc thực hiện được chương trình giải và chứngminh được là đúng, tức là đã hoàn thành bài toán, các yếu tố của tư duy sángtạo đã được thể hiện đầy đủ

+ Bước 4: Trở lại cách giải (Nghiên cứu cách giải đã tìm ra)

- Bạn có kiểm tra lại kết quả? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trìnhgiải bài toán không?

- Có tìm ra được kết quả một cách khác không? Có thể thấy ngay trựctiếp kết quả không?

- Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho mọi bài toán nàokhác không?

Trong quá trình giải toán rất nên làm cho học sinh biết các nội dung củalôgic hình thức một cách có ý thức, xem như vốn thường trực quan trọng đểlàm việc với toán học cũng như để sử dụng trong quá trình học tập liên tục,thường xuyên Để thực hiện điều này, sau khi giải xong mỗi bài toán cần cóphần nhìn lại phương pháp đã sử dụng để giải Dần dần những hiểu biết vềlôgic sẽ thâm nhập vào ý thức của học sinh

Rất nên hệ thống hoá các bài toán có liên quan với một chủ đề hay môhình nào đấy để học sinh thấy được những tính chất đa dạng thông qua cácchủ đề và mô hình đó (rất thích hợp khi tổng kết chương), cũng là cơ sở quantrọng để phát triển tư duy sáng tạo trong quá trình học tập và nghiên cứu

1 Tìm hiểu nội dung bài tập:

Đây là một bài toán chứng minh đẳng thức vectơ, hay phân tích mộtvectơ theo 2 vectơ không cùng phương Với giả thiết điểm M tuỳ ý trên BC.Phải có các tỉ số MC:BC và MB:BC Đó là một số chú ý trong đề bài toán

B C

A

N

M

Ta cần tìm mối liên hệ giữa các vectơ: với điểm M

Từ các tỉ số gợi ta dùng định lý Talet: Kẻ MN//AC, NAB, thì ta có:

Và đến đây ta đã có một lời giải

3.Thực hiện chương trình giải:

Ta có: Kẻ MN//AC, dùng phân tích vectơ và định lýTalet ta được: Cộng lại có điều phải chứng minh

4 Kiểm tra tính dúng đắn và nghiên cứu sâu lời giải:

+ Kiểm tra: Qua cách giải như trên ta thấy cách phân tích vectơ theo quy tắctam giác, đưa một vectơ về vectơ cùng phương với nó, sử dụng định lý Taletđều chính xác Có thể kiểm tra lại điều này khi cho M là trung điểm BC, Mchia BC theo tỉ số k bất kỳ

+ Nghiên cứu sâu lời giải:

- Cách giải khác:

Cộng lại có:

- Sử dụng các thao tác tư duy:

a) Bài toán tương tự: Cho tứ giác ABCD Các điểm M,N lần lượt thuộc các

đoạn AD, BC sao cho: MA:MD=NB:NC=m:n

Chứng minh: Khi cho A≡D, được bài toán trên

b) Đặc biệt hoá bài toán:

- Khi M là trung điểm BC, có bài toán quen thuộc:

- Khi cho M chia BC theo tỉ số k: Ta có bài toán:

, k1 Với k1 tuỳ ý, thì M có thể ở ngoài đoạn BC Như vậy với k tuỳ ý ta có nhiều bài toán dạng tương tự

c) Nghiên cứu tiếp ứng dụng của bài toán:

Bây giờ ta lấy 3 điểm trên 3 cạnh tam giác: Cho ABC, lấy M, N, P

Từ (1) và (2)  Vậy M,N,P thẳng hàng

d) Nghiên cứu tiếp bài toán: Qua bài toán trên ta thấy có thể tổng quát hơn

việc phân tích vetơ vào bài toán sau:

Cho ABC, 3 điểm M,N,P trên 3 cạnh BC, CA, AB chia 3 đoạn đótheo tỉ lệ , ,  Tìm điều kiện của , ,  để M, N, P thẳng hàng

Theo giả thiết ta có:

e) Nghiên cứu bài toán khi thay đổi giả thiết: Ta đã chứng minh được bài toán

tổng quát trong trường hợp tam giác Có thể thay đổi giả thiết cho tứ giác,hoặc thay đổi một số giả thiết thích hợp ta có nhiều bài toán khác khá hay, đặcbiệt đối với hình không gian sau này

1.3 Phát hiện và bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở trường phổ thông

1.3.1 Mục tiêu của việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán

Hiện nay ở nước ta, những học sinh giỏi toán ở trường THPT thườngđược tập hợp thành những lớp đặc biệt ở những lớp chuyên hay khối chuyên,trường chuyên Mục tiêu của những lớp này là phát hiện những học sinh cónăng lực toán học, bồi dưỡng các em phát triển tốt về mặt này trên cơ sở giáodục toàn diện, góp phần đào tạo đội ngũ cán bộ khoa học kỹ thuật giỏi, trong

số đó một số có thể trở thành nhân tài của đất nước

1.3.2.Những biểu hiện của học sinh giỏi toán

Qua thực tế giảng dạy, tôi thấy học sinh giỏi toán thường có những biểu hiện sau:

- Rất yêu thích và say mê học toán

- Có khả năng tiếp thu và vận dụng kiến thức nhanh

- Linh hoạt trong quá trình tư duy, tìm tòi lời giải: Dễ dàng chuyển từhoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, không bị gò ép bởi nhữngsuy nghĩ rập khuôn có sẵn Có khả năng nhìn nhận vấn đề theo nhiều khía

O MA

B

một cách sáng tạo Biết nhìn nhận những khía cạnh khác biệt của vấn đề, lựachọn phương tiện thích hợp, cách thức tốt nhất để giải quyết vấn đề Lý luậnchặt chẽ hợp lôgic, có thao tác tư duy nhanh

- Biểu hiện ở cách ghi nhớ kiến thức toán học cô đọng, nhanh, chínhxác và bền vững Đó cũng là một yếu tố quan trọng để học sinh giỏi toán nhớđược nhiều kiến thức, không tốn nhiều sức lực trí tuệ khi giải toán

Ví dụ: Cho đường tròn (C): x2+y2=1 và điểm M=(3,5), tiếp tuyến qua M tiếpxúc với (C) tại A và B Viết phương trình đường thẳng AB

- Đối với học sinh chỉ nắm vững kiến thức cơ bản, thường là viết tiếptuyến qua M, giải hệ với đường tròn tìm A, B, sau đó viết phương trình AB.Cách làm này sẽ gặp khó khăn vì phải xét các trường hợp tiếp tuyến, thứ hai

sẽ phải giải các hệ phức tạp và nghiệm thường rất lẻ

- Còn đối với học sinh khá giỏi, khi vấp phải khó khăn như vậy họ sẽrất linh hoạt tìm phương án khác, sau đây là một cách giải mà họ đã làm:

Đường tròn (C) có tâm O=(0,0), bán kính R=1 Gọi A=(x1,y1),B=(x2,y2) thì ta có phương trình đường tròn là:

Từ hệ





Vậy phương trình AB là: -3x-5y+1= 0 hay: 3x+5y-1=0

Nhờ tư duy linh hoạt, ứng dụng được các kết quả toán sâu sắc nên rõràng học sinh khá giỏi có cách giải ngắn gọn và hay, tiết kiệm được nhiều thờigian Cách giải này không cần tìm toạ độ A và B

1.3.3 Năng khiếu toán học

Năng khiếu, theo định nghĩa của từ điển tiếng Việt là năng lực trội,năng lực đặc biệt của con người xuất hiện từ khi còn nhỏ Như vậy năngkhiếu toán học có thể coi như một tổ hợp những năng lực toán học, mà ở lứatuổi học sinh thể hiện rõ nhất ở năng lực học toán.

Nhà tâm lý học V.A.Kơrutecxki cho rằng: " Năng lực học tập toán học

là những đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là các đặc điểm hoạt động trítuệ), đáp ứng yêu cầu hoạt động học toán và giúp cho việc nắm giáo trìnhtoán một cách tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và kỹxảo toán học" [51,tr13]

Viện sĩ toán học A.N.Kônmôgôrôp viết trong cuốn sách "Về nghề nghiệp của nhà toán học": Để nắm vững toán học một cách có kết quả ở mức

độ cao thì đòi hỏi cần có những năng lực toán học được phát triển, năng lựcnày mang ý nghĩa sáng tạo khoa học Theo ông, thành phần cơ bản của nănglực toán học gồm có:

- Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm

ra con đường giải phương trình không theo quy tắc chuẩn, năng lực tính toán

- Trí tưởng tượng hình học hay là trực giác hình học

- Nghệ thuật suy luận lôgic theo các bước đã được phân chia một cáchđúng đắn kế tiếp nhau, nguyên tắc quy nạp toán học là tiêu chuẩn tốt cho sựtrưởng thành lôgic hoàn toàn cần thiết đối với nhà toán học

Theo quan điểm tâm lý học, trong mỗi con người đều tiềm tàng mộtnăng khiếu, một tài năng, tất nhiên ở mức độ khác nhau Đó là một kết luậnquan trọng Trong quá trình dạy học toán, người thầy cần có những biện phápphát hiện những năng khiếu toán học ở học trò, từ đó có thể tạo ra môi trường

và tổ chức các hoạt động thích hợp giúp các em phát triển năng lực đó

1.3.4 Phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh ở trường phổ thông

Toán học có thể xem xét theo hai phương diện Nếu chỉ trình bày lạinhững kết quả toán học đã đạt được thì nó là một khoa học suy diễn và tính

triển, trong quá trình tìm tòi và phát minh, thì trong phương pháp của nó vẫn

có tìm tòi, dự đoán, vẫn có thực nghiệm và quy nạp Như vậy sự thống nhấtgiữa suy đoán và suy diễn là một đặc điểm của tư duy toán học

Ngày nay, khi khoa học và công nghệ có những bước phát triển mạnh

mẽ, trở thành lực lượng sản xuất trực tiếp trong nền kinh tế tri thức, thì mụctiêu giáo dục nói chung và nhiệm vụ phát triển tư duy sáng tạo cho thế hệ trẻnói riêng có vai trò đặc biệt quan trọng Sứ mệnh của nhà trường hiện đại làphát triển tối ưu nhân cách của học sinh, trong đó năng lực sáng tạo cần đượcbồi dưỡng để thúc đẩy mọi tài năng

Môn toán với vị trí của nó trong nhà trường phổ thông, có khả năng tolớn giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện tưduy chính xác, hợp lôgic, phương pháp khoa học trong suy nghĩ, lập luận,trong học tập và giải quyết các vấn đề: Biết quan sát, thí nghiệm, mò mẫm, dựđoán, dùng tương tự, quy nạp, chứng minh và qua đó có tác dụng lớn rènluyện cho học sinh trí thông minh sáng tạo Phát triển tư duy sáng tạo toánhọc nằm trong việc phát triển năng lực trí tuệ chung, một nội dung quan trọngcủa mục đích dạy học môn toán Mục đích đó cần được thực hiện có ý thức,

có hệ thống, có kế hoạch chứ không phải tự phát Về phía người giáo viên,trọng hoạt động dạy học toán cần vạch ra những biện pháp cụ thể và thực hiệnđầy đủ một số mặt sau đây:

- Rèn luyện tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác

- Phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng

- Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản, các thao tác tư duy như: Phântích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, trừu tượng hoá

- Hình thành, rèn luyện những phẩm chất trí tuệ như: Tính linh hoạt,tính độc lập, tính sáng tạo trong tư duy

KẾT LUẬN CHƯƠNG I

Qua những nội dung đã đề cập trong chương, dựa trên cơ sở lý luận về

tư duy và tư duy sáng tạo, chúng ta thấy: Nếu vận dụng tốt các lý luận nàyvào giảng dạy, không những phát huy được sự độc lập suy nghĩ của học sinh,

mà còn kích thích được tư duy sáng tạo trong quá trình học tập, nó còn giúphọc sinh có thể phát triển năng lực toán học, một thành tố cơ bản của học sinhkhá giỏi toán.

Bên cạnh đó, người giáo viên phải áp dụng những phương pháp dạyhọc tích cực, khoa học và hợp lý, mang lại cho học sinh sự say mê môn toán,tìm thấy trong toán niềm vui lớn khi được học tập, qua đó giáo dục các emnhững phẩm chất đạo đức tốt đẹp khác

Một điều quan trọng nữa, có thể nói trong dạy học sáng tạo, vai trò củangười thầy hết sức quan trọng Để trở thành một giáo viên dạy giỏi, ngoài lòngtâm huyết, ngoài sự nỗ lực học tập không ngừng, thì người thầy giáo cần có vàcần biết dạy cho học trò cách tư duy sáng tạo Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn nóitrong một quyển sách về cách dạy học: Không ai có thể đi dạy cho người kháccái mà bản thân mình chưa có, người thầy không những luôn tự nghiên cứukhoa học mà còn phải là người thiết kế và thi công được óc thông minh sángtạo ở học trò, do đó người thầy giáo phải là một nhà khoa học chân chính

Luật giáo dục, chương II, mục 2, điều 23: " Giáo dục trung học phổthông nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dụctrung học cơ sở, hoàn thiện học vấn phổ thông và những hiểu biết thôngthường về kỹ thuật và hướng nghiệp để tiếp tục học Đại học, Cao đẳng, Trunghọc chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động" Dù đi theohướng nào cũng luôn cần đến tư duy sáng tạo

Chương II

PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO TOÁN HỌC CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI Ở TRƯỜNG THPT QUA CHỦ ĐỀ GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ VÀ TOẠ ĐỘ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG 2.1 Các định hướng phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh khá giỏi ở trường THPT qua nội dung giải bài tập bằng vectơ và toạ độ trong hình học phẳng

Ở phần trước ta đã nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của vấn đề tưduy và tư duy sáng tạo Việc trang bị kiến thức, kỹ năng cơ bản cho học sinhđại trà, đặc biệt bồi dưỡng tư duy nói chung, tư duy sáng tạo nói riêng chohọc sinh là một quá trình liên tục, trải qua nhiều giai đoạn với những mức độkhác nhau Điều quan trọng nhất trong dạy học sáng tạo là giải phóng hoạtđộng tư duy của học sinh bằng cách hướng hoạt động cho các em, các em tựhoạt động, tự khám phá tìm tòi, phải kết hợp tốt giữa hoạt động học tập vàhoạt động nhận thức Bên cạnh việc nâng dần tính tích cực theo mức độ từthấp đến cao: Tính tích cực động não, độc lập suy nghĩ đến tích cực sáng tạo,người thầy cần rèn luyện học trò nâng dần các hoạt động từ dễ đến khó: Theodõi cách chứng minh, đến hoạt động mò mẫm dự đoán kết quả và cuối cùng

tự lực chứng minh Việc dự đoán, mò mẫm kết quả không chỉ tập cho họcsinh phong cách nghiên cứu khoa học, tập các thao tác tư duy tiền lôgic cầnthiết, mà còn là biện pháp quan trọng nhằm nâng cao tính tích cực của họcsinh Khi tự đưa ra dự đoán, học sinh sẽ hào hứng và có trách nhiệm hơntrong quá trình tìm tòi lời giải cho kết quả dự đoán của mình

Để bồi dưỡng, phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh, có thểtiến hành theo các phương hướng sau:

2.1.1 Rèn luyện năng lực giải toán theo các thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo

+ Tính mềm dẻo: Tính mềm dẻo của tư duy có các đặc trưng nổi bật sau:

- Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác,vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượnghoá, khái quát hoá, cụ thể hoá và các phương pháp suy luận như: Quy nạp,suy diễn, tương tự; dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác; điềuchỉnh kịp thời hướng suy nghĩ nếu gặp trở ngại.

- Suy nghĩ không dập khuôn, không áp dụng một cách máy móc nhữngkinh nghiệm, kiến thức, kỹ năng đã có vào trong hoàn cảnh mới, điều kiện mới,trong đó có những yếu tố đã thay đổi; có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãmcủa những kinh nghiệm, những phương pháp, những suy nghĩ đã có từ trước

- Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năngmới của đối tượng quen biết

Qua cơ sở lý luận tính mềm dẻo trong tư duy, ta thấy để giải một bàitập cụ thể có vướng mắc, hoặc thấy cách giải còn chưa hay, thì gợi mở chohọc sinh theo các hướng trên thì hiệu quả đạt được sẽ tốt hơn

Ví dụ: Cho ABC, biết A=(1,3) và hai trung tuyến có phương trình (d1): x-y+1=0

Từ giả thiết A(d1), A(d2), gọi (d1) là trung tuyến qua đỉnh B, (d2)

là trung tuyến qua đỉnh C

Gọi G là trọng tâm ABC

thì toạ độ G là nghiệm của hệ:

 G=(0,1) Nếu M trung điểm của BC thì:

+ Tính nhuần nhuyễn: Được thể hiện rõ nét ở hai đặc trưng sau:

- Tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán: Khả năng tìm đượcnhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau: Đứng trước mộtvấn đề khi giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đềxuất nhiều phương án khác nhau và từ đó đưa ra được phương án tối ưu

- Khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có mộtcách nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ khôngphải cái nhìn bất biến, phiếm diện, cứng nhắc

Khi thực hành giải toán, để thực hiện được điều này, ta cần phân tíchcho học sinh thấy rõ các bước để giải một bài toán (đã nêu ở phần trên), tìm

sự quan hệ gần gũi giữa bài toán đã cho với các bài toán đã biết Qua đó thểhiện dược tính nhuần nhuyễn của tư duy, tính độc lập trong suy nghĩ

Ví dụ: Cho ABC đều tâm O, điểm M trong tam giác Kẻ MD, ME, MF lần

lượt vuông góc với BC, CA, AB Chứng minh:

Bài toán này nếu suy nghĩ theo đẳng thức vectơ thông thường sẽ rất khókhăn Sử dụng các lý luận trên ta thấy: Khi M≡O, ta được đẳng thức cơ bản vềtrọng tâm trong tam giác Hơn nữa, nếu nhận xét được tam giác đều thì việc

kẻ đường phụ đưa về bài toán cơ bản sẽ dễ dàng hơn

E

D F

Giải: Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh  ABC, các đường

thẳng này lần lượt cắt tại các điểm như hình vẽ Dễ thấy ta có các tam giácđều MD1D2, ME1E2, MF1F2 và các hình bình

hành MF1AE2, ME1CD2, MD1BF2 Ta có:

Cộng từng vế 3 đẳng thức và nhóm ta được:

.Trong cách giải trên thể hiện được rõ nét tính nhuần nhuyễn của tư duynhư đã nêu ở trên Việc nghĩ ra kẻ các đường phụ như vậy do đã có những suynghĩ thấu đáo, nhờ tính chất của tam giác đều, và sự liên tưởng đến tính chấtvectơ của trung điểm đoạn thẳng, của trọng tâm tam giác

Ngoài ra, đối học sinh khá giỏi, đã biết tính chất tâm tỉ cự trong tamgiác có thể suy nghĩ theo hướng dùng đường cao, cũng thể hiện tính nhuầnnhuyễn của tư duy: Gọi AA', BB', CC' là các đường cao của ABC

Đặt S(MBC)=Sa, S(MCA)=Sb, S(MAB)=Sc, S(ABC)=S

O

M

N y

x A'

+ Tính độc đáo: Tính độc đáo của tư duy được đặc trưng bởi các khả năng:

- Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới

- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoàitưởng như không có liên hệ với nhau

- Khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những phương pháp khác

Ví dụ: Cho M, N là 2 điểm trên một tiếp tuyến (d) bất kỳ của (E):

sao cho mỗi tiêu điểm F1, F2 của (E) nhìn đoạn MN dưới một góc vuông Xácđịnh vị trí M,N

Nếu theo suy nghĩ thông thường, viết phương trình tiếp tuyến (d) tại(x0,y0), rồi cho F1M  F1N, F2M F2N (các sách hướng dẫn đều giải theo cáchnày), rất dài và khó Nhờ cơ sở lý luận tư duy sáng tạo ta có một cách giảiđộc đáo sau đây, dựa vào ý F1, F2 cùng nhìn MN dưới 1 góc vuông, gợi cho tatính chất của tứ giác nội tiếp (chỉ cần xét trường hợp a > b):

Giải: Nếu F1=(-c,0) và F2=(c,0) nhìn đoạn MN dưới một góc vuông thì ta có

tứ giác MF1F2N nội tiếp đường kính MN, tâm I là trung điểm MN và bán kính

là IF1=IF2, do đó tâm IOy Vậy I=(0,n),

c2+n2, đường tròn (I) có phương trình (I):

x2+(y-n)2=c2+n2 Dễ thấy tiếp tuyến (d) có hệ

số góc k và qua I=(0,n), nên (d) có phương

trình: y=kx+n  kx-y+n=0

Vì (d) tiếp xúc (E) nên: a2k2+b2=n2

Dùng điều kiện tiếp xúc ở trên và giải hệ, dễ dàng có nghiệm là: x=-a và x=a

Vậy M, N là các điểm trên 2 tiếp tuyến với (E) tại 2 đỉnh thuộc trục lớn của(E) là A'=(-a,0) và A=(a,0).

Các yếu tố cơ bản nói trên không tách rời nhau mà trái lại, chúng quan hệmật thiết với nhau, hỗ trợ, bổ sung cho nhau Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạtđộng trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện choviệc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tínhnhuần nhuyễn) và nhờ đề xuất nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm đượcnhững phương án lạ, đặc sắc (tính độc đáo) Các yếu tố cơ bản này lại có quan

hệ khăng khít với các yếu tố khác như: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạycảm vấn đề Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư duysáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người

Hoạt động giải toán là một hoạt động chủ yếu giúp rèn luyện tư duysáng tạo toán học cho học sinh, mỗi dạng bài tập đều có tác dụng nhất địnhđối với từng thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo

Có thể biểu diễn sơ đồ đó như sau:

Tính nhạy cảm Tính hoàn thiệnTính chính xác

2.1.2 Hướng vào rèn luyện các hoạt động trí tuệ của học sinh qua giải các bài tập toán

Các hoạt động trí tuệ trong môn toán có thể kể đến như: Dự đoán, bác

bỏ, lật ngược vấn đề, các thao tác tư duy toán học Rèn luyện cho học sinhnhững hoạt động đó là khâu quan trọng nhất trong dạy học sáng tạo

Xét một số bài toán sau đây, rèn luyện khả năng khái quát hoá và tương

tự của học sinh:

BT1: Cho 2 điểm A, B phân biệt

a) Chứng minh tồn tại duy nhất một điểm G sao cho:

Đẳng thức này chứng tỏ G tồn tại duy nhất, chính là trung điểm AB.b) M, ta có:

Qua cách giải bài toán trên, ta gặp lại kết quả quen thuộc đã biết, nhưngcách chứng minh hoàn toàn khác vì cách hỏi khác Việc giải theo cách trêndựa vào phương pháp chứng minh đẳng thức vetơ mà ta đã biết

Vấn đề đặt ra là, theo phép suy luận tương tự, ta có những bài toán nàokhác không?

b) M ta có:

BT3: Cho tứ giác ABCD.

a) Chứng minh tồn tại duy nhất điểm G sao cho:

b) M:

Giải: Đối với cách giải bài này, mỗi một cách nhóm khác nhau ta được một

điều thú vị là một định lý trong tứ giác Sau đây ta nghiên cứu một số cáchnhóm sau:

Cách 1: Dùng kết quả BT1, ta có:

, với I trung điểm AB

, với J trung điểm CD

Cộng lại ta có:

Vậy M≡G là trung điểm IJ, chính là trọng tâm tứ giác ABCD

Cách 2: Dùng kết quả BT1, ta có:

, với P trung điểm AD

, với Q trung điểm BC

Vậy M≡G là trung điểm RS, chính là trọng tâm tứ giác ABCD

Như vậy, mỗi một cách nhóm khác nhau ta đều có kết quả G là trọngtâm tứ giác ABCD, và cũng từ đó ta có :

Định lý: Trong một tứ giác, 2 đường nối trung điểm 2 cặp cạnh đối diện và

đường nối trung điểm hai đường chéo đồng quy tại trung điểm mỗi đường(trọng tâm G của tứ giác)

b) Chèn điểm G như trên

BT4: Ta có bài toán tổng quát sau: Cho n điểm A1, A2, ,An, n > 2, G là trọng

Tổng quát hơn nữa ta có khái niệm tâm tỉ cự cho hệ điểm, ứng dụngcủa nó sẽ xét trong phần sau

BT5: Cho 2 điểm phân biệt A, B và hai số thực ,  thoả mãn +0, thì:

a) Tồn tại duy nhất điểm I sao cho:

b) M:

Điểm I gọi là tâm tỉ cự của hệ 2 điểm A, B theo bộ số (,)

BT6: Cho ABC và 3 số thực , ,  thoả mãn: ++0, thì:

a) Tồn tại duy nhất điểm I sao cho:

Điểm I gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm A, B, C theo bộ số (,,)

BT7: (Tổng quát) Cho n điểm A1, A2, ,An, n > 2 và n số thực 1, 2, ,n

thoả mãn: 1+2+ +n0, thì:

a) Tồn tại duy nhất điểm I sao cho:

b) M:

Khi 1= 2= = n ta có khái niệm trọng tâm như trên

Trong quá trình dạy toán ở trường phổ thông, các thao tác tư duy nhưtrên trở thành một phương pháp tư duy cơ bản trong sáng tạo toán học, là yếu

tố quan trọng giúp học sinh hình thành, nắm vững các khái niệm và tri thức lýthuyết, vận dụng để giải toán, mò mẫm, dự đoán kết quả, tìm ra phương

hướng và phương pháp hay cho lời giải bài toán Mặt khác các thao tác tư duycòn giúp học sinh đào sâu, mở rộng và hệ thống hoá kiến thức, giúp các emlàm quen dần với nghiên cứu, sáng tạo toán học Và như vậy, các thao tác tưduy toán học đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành, bồi dưỡng nhữngphẩm chất trí tuệ cho học sinh.

2.1.3 Khuyến khích tìm nhiều lời giải cho một bài toán

Sau khi giải được bài toán, bước quan trọng tiếp theo là tìm thêmnhững lời giải khác, điều đó giúp học sinh bồi dưỡng năng lực tìm hiểu nhiềugiải pháp cho một vấn đề, nhìn nhận vấn đề dưới nhiều góc cạnh khác nhau,điều này giúp học sinh phát triển năng lực giải toán ở những phương diện sau:

- Rèn luyện khả năng phân tích bài toán

- Rèn luyện khả năng định hướng và xác định đường lối giải

- Rèn luyện kỹ năng chọn lựa phương pháp và công cụ giải

- Rèn luyện khả năng kiểm tra lời giải

- Rèn luyện khả năng tìm các bài toán, các kiến thức liên quan

Cụ thể, các phương diện này được áp dụng trong ví dụ sau:

Ví dụ 1: Cho M=(x,y) là điểm trên (E): Tìm giá trị lớn nhất vànhỏ nhất của biểu thức P=2x-y+5

Đây là một bài toán thường gặp trong các kỳ thi tuyển sinh đại học Rấtnhiều học sinh lúng túng khi gặp loại toán này Nhưng đây lại là bài toán kháphong phú về tư duy phương pháp Sau đây là một số cách làm:

Xét và Áp dụng bất đẳng thức trên có:

MinP= khi ( 

* Trong cách trên đã thể hiện được khả năng phân tích bài toán theophương diện vectơ và toạ độ, nhờ tính chất của tích vô hướng

Cách 2: Sau khi đã có cách giải trên, loại bài toán là cho quan hệ các biến bậc

hai, Biểu thức P có biến bậc nhất hoặc ngược lại, là một dạng tiêu biểu củabất đẳng thức Bunhiacôpski Áp dụng ta có:

1=

Vậy: MinP=5- khi

và MaxP= khi

Cách 3: Dùng phương pháp miền giá trị

P=2x-y+5  y=2x+5-P, thay vào phương trình (E), phải có nghiệm:

' = -9(P2-10P-15) > 0  5-2 < P < 5+2

MinP=5-2 khi x=

MaxP=5+2 khi x=

* Phương pháp miền giá trị học sinh đã được làm quen trong chươngtrình THCS, đây cũng là một cách để rèn luyện khả năng lựa chọn phươngpháp và công cụ giải.

Cách 4: Trong giả thiết bài toán có tổng hai bình phương bằng 1, gợi cho học

sinh đẳng thức lượng giác quen thuộc: sin2x+cos2x=1, xR Do vậy họcsinh có thể rèn kỹ năng tìm kiếm các kiến thức liên quan:

Vì , nên có góc  [0,2 ] sao cho: x =3sin, y =2cos

Trước hết ta xét các tiếp tuyến có phương (d) là y =2x+n  2x-y+n=0

Vì đường thẳng này tiếp xúc (E), nên: 9.22+4.(1-)2=n2, hay n2=40 Vậy có 2tiếp tuyến với (E) có phương (d) là: y =2x

Vậy MinP=5- khi

* Vì phương trình biểu diễn một Elip, nên việc lựa chọncông cụ giải là hình học cũng là dễ thấy Nhưng qua đó, bài toán được thểhiện tường minh hơn bằng trực quan, đó cũng là lợi thế của phương pháp này.

Chắc chắn sẽ còn nhiều lời giải khác, nếu ta tiếp tục suy nghĩ (nhưdùng hàm số, bất đẳng thức khác) Điều đó cho thấy, sau khi đã giải được bàitoán bằng một cách nào đó, nên nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ vàphương diện khác nhau, có thể được nhiều lời giải khác nhau

Các phương pháp trên đều sử dụng các kiến thức cơ bản trong chươngtrình, ở nhiều lĩnh vực khác nhau, nhờ sự tìm tòi, sáng tạo trong tư duy khigiải toán

2.1.4 Vấn đề sáng tạo bài toán mới

Trong tác phẩm: " Giải bài toán như thế nào", G.Polya đã viết:" Cách

giải này đúng thật, nhưng làm thế nào để nghĩ ra một cách giải khác? Sự kiệnnày đã được kiểm nghiệm, nhưng làm thế nào để phát hiện ra những sự kiệnnhư vậy? và làm thế nào để tự mình phát hiện ra được?"

Quan điểm này của G.Polya muốn nhấn mạnh ý nghĩa của việc dạy chohọc sinh biết tự tìm tòi lời giải, tự phát hiện những kết quả mới

Sáng tạo bài toán mới là một bước quan trọng của quá trình giải toán,một phương thức rèn luyện tư duy sáng tạo toán học, một trong các mục tiêuchính của học tập sáng tạo Để xây dựng các bài toán mới, có thể hướng dẫnhọc sinh theo các con đường sau đây:

a) Xuất phát từ các khái niệm, định nghĩa, tiên đề về những đối tượng toánhọc được đặt trong mối quan hệ toán học nào đó

Ví dụ: Từ khái niệm hai vectơ cùng phương, ta có thể xây dựng hệ thống bài tập:

BT1: Chứng minh 3 điểm A,B,C thẳng hàng  M ta có:

, với ++= 0

BT2: Chứng minh AB//CD 