luận văn thạc sỹ toán:Khai thác mối liên hệ giữa hình học xạ ảnh và hình học sơ cấp nhằm nâng cao hiệu quả dạy học môn hình học ở trường phổ thông”

luận văn trình bày các cơ sở khoa học của hình học nói chung, hình học cao cấp và hình học sơ cấp nói riêng. mối liên hệ giữa hình học cao cấp và hình học sơ cấp, lý luận về tư duy, khả năng học tập của học sinh trong hình học, dùng hình cao cấp soi sáng hình học sơ cấp, đưa ra các biện pháp sư phạm nhằm nâng cao hiệu quả dạy học hình học ở trường thpt

MỞ ĐẦU

1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

1.1.Nhu cầu đổi mới phương pháp dạy học hiện nay.

PPDH là một trong những yếu tố quan trọng của quá trình dạy học Cùngvới sự bùng nổ thông tin, sự phát triển nhanh chóng của khoa học giáo dục-công nghệ đã đặt ra thách thức mới cho ngành giáo dục và đào tạo, vì giáodục và đào tạo cùng với khoa học công nghệ là một trong những nhân tốquyết định tăng trưởng kinh tế và phát triển xã hội

Nghị quyết hội nghị lần thứ tư Ban chấp hành trung ương Đảng cộng sảnViệt Nam khoá VII đã chỉ rõ nhiệm vụ quan trọng của ngành Giáo dục và Đàotạo là : “Phải khuyến khích tự học, phải áp dụng những phương pháp dạy họchiện đại để bồi dưỡng cho sinh viên những năng lực tư duy sáng tạo, năng lựcgiải quyết vấn đề ”

Nghị quyết TW2, khoá VIII tiếp tục khẳng định:” Đổi mới phương phápgiáo dục, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sángtạo của người học Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phươngtiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tựnghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên Cao đẳng Đại học”

Định hướng trên được thể chế hoá tại điều 24.2, luật GD: “Phương phápgiáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạocủa học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡngphương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tácđộng đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

Văn kiện Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ X cũng nêu rõ : “Đổi mới tưduy giáo dục một cách nhất quán, từ mục tiêu, chương trình, nội dung,phương pháp đến cơ cấu và hệ thống tổ chức, cơ chế quản lý để tạo đượcchuyển biến cơ bản và toàn diện của nền giáo dục nước nhà , khắc phục cáchđổi mới chắp vá, thiếu tầm nhìn tổng thể, thiếu kế hoạch đồng bộ ”

Những quy định này phản ánh nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục đểgiải quyết mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người mới với thực trạng dạyhọc ở nước ta hiện nay.

1.2 Vai trò, nhiệm vụ đào tạo của trường ĐHSP.

Yêu cầu về nội dung giáo dục đại học được nêu ở điều 36.Luật giáo dụcnhư sau: “ Đào tạo trình độ đại học phải bảo đảm cho sinh viên có nhữngkiến thức khoa học cơ bản và chuyên ngành tương đối hoàn chỉnh, có phươngpháp làm việc khoa học, có năng lực vận dụng lý thuyết vào công tác chuyênmôn.”

Nội dung đào tạo giáo viên của các trường sư phạm thường có hai mảnglớn, đó là khoa học cơ bản và khoa học giáo dục Hai mảng này hỗ trợ chonhau, hướng vào việc hình thành ở người học trình độ chuyên môn, nghiệpvụ

Thực trạng, đào tạo khoa học cơ bản phần nhiều nhằm mục đích tự nó, chỉ

ra cho người học thấy những kiến thức khoa học cơ bản mà họ được trang bị

sẽ được sử dụng như thế nào trong khi việc đào tạo về khoa học giáo dụcchưa liên hệ được nhiều với nội dung các môn được học trong trường sưphạm với các hoạt động mà họ phải thực hiện trong công việc sau này

Về điều này, GS.TS Trần Bá Hoành nhận xét: “ Trong ngành sư phạm cóthói quen phân biệt đào tạo về chuyên môn với đào tạo về nghiệp vụ Thực ra,phần chuyên môn cũng chính là nghiệp vụ, vì nghiệp vụ chính của giáo viên

là dạy các môn học Phải làm cho việc giảng dạy các bộ môn khoa học thấmnhuần tính nghiệp vụ sư phạm từ mục tiêu đến nội dung, phương pháp

”(xem [1])

Vì vậy, cần tích hợp đào tạo chuyên môn ( khoa học cơ bản) và đào tạonghiệp vụ ( khoa học giáo dục) làm cho hai mảng này làm thành một thểthống nhất : đào tạo chuyên môn phải đảm bảo tính nghiệp vụ , còn đào tạonghiệp vụ phải đồng thời và dựa trên nền của đào tạo chuyên môn

Nhiệm vụ chính của trường ĐHSP là đào tạo giáo viên cho các trườngTHPT nên việc đào tạo sinh viên trong trường ĐHSP đòi hỏi phải định hướngđến nhiệm vụ dạy học ở trường phổ thông sau này , vì vậy việc khai thácnhững yếu tố nghiệp vụ sư phạm trong dạy học các môn khoa học cơ bản ởtrường sư phạm góp phần chuẩn bị nghề cho sinh viên là một trong những vấn

đề cần được quan tâm trong đào tạo ở trường sư phạm Nó không những đượcthể hiện ở hành động của sinh viên trên lớp mà còn cả ở việc biên soạn giáotrình một cách hệ thống, khoa học, mang ý nghĩa sư phạm

Theo giáo sư Đoàn Quỳnh , việc viết giáo trình khoa học cơ bản theo địnhhướng sư phạm là rất quan trọng Điều đó giúp sinh viên hiểu sâu hơn nhữngkiến thức liên quan đến việc giảng dạy của họ ở trường phổ thông cũng như là

cơ hội tốt để mở rộng tầm nhìn toán học cho họ Nhiều vấn đề toán học phổ thông sẽ được hiểu một cách chính xác và đúng bản chất khi nhìn chúng

từ toán học hiện đại.Do đó việc tăng cường định hướng sư phạm thông qua

giảng dạy các môn khoa học cơ bản không những giúp cho sinh viên sư phạmthấy được những kiến thức về toán học cao cấp sẽ là một công cụ hữu hiệutrong việc định hướng tìm lời giải một số bài toán sơ cấp mà còn giúp sinhviên hiểu được sâu sắc hơn kiến thức toán phổ thông trong quá trình học tập,rèn luyện để trở thành người giáo viên toán vững vàng cả về chuyên môn vànghiệp vụ (xem [2])

1.3 Tình hình dạy và học bộ môn hình học xạ ảnh ở trường sư phạm.

Hình học xạ ảnh là một trong những môn học bắt buộc dành cho sinh viênnăm thứ 2 của các trường ĐHSP, chiếm thời lượng 4 đơn vị học trình

Nội dung chương trình hình học xạ ảnh được biên soạn với mục đíchngoài việc truyền đạt kiến thức khoa học cơ bản nhằm nâng cao và phát triển

tư duy toán học cho người học, còn có dụng ý sư phạm mà thông qua việc họctập bộ môn này, người học tìm thấy được mối liên hệ qua lại giữa nội dungkiến thức hình học xạ ảnh với nội dung hình học được giảng dạy ở các trường

phổ thông.

Hiện nay, ở các trường sư phạm, đổi mới phương pháp dạy học đang từngbước được tiến hành để phù hợp với mục tiêu giáo dục đào tạo Các phongtrào như thi đua giảng dạy tốt: sinh viên học tập , rèn luyện vì ngày mai lậpnghiệp; phong trào nói không với bệnh thành tích và tiêu cực trong thi cử đãlàm cho chất lượng giảng dạy và học tập các môn học nói chung; môn hìnhhọc xạ ảnh nói riêng ngày càng thực chất và nâng cao.Bên cạnh đó vẫn tồn tạimột thực tế là:

Do ảnh hưởng của cách dạy truyền thống, một số giảng viên còn chú trọngtới việc truyền đạt kiến thức cơ bản mà xem nhẹ việc rèn luyện kỹ năng vàđào tạo nghề cho sinh viên, chưa thể hiện rõ dược mối liên hệ giữa khoa học

cơ bản và khoa học giáo dục Cùng với đó là quan niệm của một bộ phậnkhông nhỏ các sinh viên là học bộ môn hình học xạ ảnh với quan điểm họcchỉ để thi cho qua

Với cách dạy và học đó đã làm mất đi dụng ý sư phạm- một yêu cầu khôngnhỏ của bộ môn Sinh viên chưa thấy rõ được mối liên hệ giữa hình học

xạ ảnh với công việc chính của họ sau này: giảng dạy Toán ở trường PTTH.Qua trao đổi với các đồng nghiệp là các giáo viên đang giảng dạy toán ởcác trường THPT ở Hà Nam tôi nhận thấy phần lớn họ đã quên kiến thức vềhình học xạ ảnh đã được học trước đó và hệ quả hiển nhiên là giáo viên khôngthể hoặc khó khăn rất nhiều khi vận dụng kiến thức toán cao cấp nói chung

và hình học xạ ảnh nói riêng vào việc dạy hình học ở các trường phổ thông

Đã có những đề tài nghiên cứu về mối liên hệ giữa hình học cao cấp và hìnhhọc sơ cấp song còn rất ít những đề tài nghiên cứu,khai thác mối liên hệ giữahình học xạ ảnh với nội dung hình học được giảng dạy ở các trường PTTH

Từ những lý do phân tích ở trên, chúng tôi lựa chọn đề tài: “Khai thác mối liên hệ giữa hình học xạ ảnh và hình học sơ cấp nhằm nâng cao hiệu quả dạy học môn hình học ở trường phổ thông”.

2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.

Nghiên cứu để thấy được mối liên hệ giữa hình học xạ ảnh và hình học sơcấp đồng thời đề xuất cách khai thác,vận dụng mối liên hệ đó nhằm nâng caohiệu quả dạy học môn hình học ở trường THPT

3.NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.

Nghiên cứu chương trình, nội dung môn hình học xạ ảnh ở trường sưphạm và nội dung hình học ở trường phổ thông nhằm phân tích mối liên hệgiữa chúng

Khai thác ,vận dụng mối liên hệ giữa hình học xạ ảnh và hình học sơ cấp

ở trường phổ thông vào việc học tập môn hình học xạ ảnh ở trường sư phạm(của sinh viên) và vào việc giảng dạy môn hình học ở trường phổ thông (củagiáo viên)

4.GIẢ THUYẾT KHOA HỌC.

Nếu biết cách khai thác và vận dụng mối liên hệ giữa hình học xạ ảnh

và hình học sơ cấp vào việc giảng dạy bộ môn hình học ở trường phổ thông thì sẽ góp phần nâng cao hiệu quả giáo dục

5.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.

Nghiên cứu lí luận: Đọc và nghiên cứu những tài liệu liên quan đến đề tài Phương pháp điều tra: Điều tra, thăm dò,lấy ý kiến sinh viên sư phạm vàcủa các đồng nghiệp

Phương pháp tổng kết kinh nghiệm : Tổng kết kinh nghiệm rút ra từ thực

tế giảng dạy của tác giả và đồng nghiệp

6.CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN.

Ngoài phần mở đầu và kết luận , luận văn gồm 3 chương:

Chương I : Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương II : Nhắc lại một số kiến thức cơ bản của hình học xạ ảnh

Chương III: Các ví dụ minh hoạ

Chương I : CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.

1.1.Nội dung hình học được giảng dạy ở trường phổ thông và nội dung hình học xạ ảnh ở trường Đại Học Sư Phạm.

1.1.1.Nội dung hình học được giảng dạy ở trường phổ thông trung học.

Theo phương pháp dạy học môn toán - phần hai: Dạy học những nội

dung cơ bản (Nguyễn Bá Kim chủ biên: NXBGD - 94) thì nội dung hình học

được giảng dạy ở trường PTTH gồm các nội dung chính sau:

1.1.1.1.Chương trình hình học không gian ở trường PTTH

Trong chương trình hình học ở trường phổ thông trung học, hình họckhông gian được nghiên cứu bằng ba phương pháp: Phương pháp tiên đề (hayphương pháp tổng hợp) (lớp 11) , phương pháp véc tơ và phương pháp toạ độ(lớp 12)

Những kiến thức cơ bản mà học sinh cần nắm vững là:

- Hệ tiên đề của hình học không gian Các cách xác định mặt phẳng Vị trítương đối của hai đường thẳng, của một đường thẳng và một mặt phẳng, củahai mặt phẳng

- Định nghĩa và tính chất của hai đường thẳng song song, hai đường thẳngchéo nhau, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song

- Định nghĩa và tính chất của hai đường thẳng vuông góc, đường thẳngvuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc

- Tính chất của phép chiếu song song và phép chiếu vuông góc

- Các loại khoảng cách: Khoảng các giữa điểm và đường thẳng, giữa haiđường thẳng chéo nhau, giữa điểm và mặt phẳng, giữa đường thẳng và mặtphẳng

- Các loại góc : Góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặtphẳng, giữa hai mặt phẳng:

- Định nghĩa và tính chất của hình chóp, hình lăng trụ, hình đa diện , hìnhnón, hình trụ, hình tròn xoay

- Định nghĩa vectơ, các phép toán trên véctơ, điều kiện để hai vectơ cùngphương, điều kiện để ba vectơ đồng phẳng, góc giữa hai vectơ.

- Hệ toạ độ Đề các vuông góc trong không gian, biểu thức toạ độ của cácphép toán trên các vectơ, phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng,các công thức để tính góc và khoảng cách, phương trình mặt cầu

1.1.1.2 Vectơ và toạ độ trong chương trình phổ thông

Ở trường PTTH hiện nay (trường PTTH phân ban trong các năm tới), họcsinh học vectơ và toạ độ từ lớp 10 đến lớp 12 Theo chương trình hiện hành, ởlớp 10 đề cập đến vectơ và mở đầu về toạ độ trong mặt phẳng Tiếp đó, sửdụng công cụ này và phương pháp vectơ để khảo sát các hệ thức lượng đốivới tam giác, đối với đường tròn và ứng dụng một phần để nghiên cứu một sốphép biến hình (phép đối xứng, phép tịnh tiến, phép vị tự…)

Đến lớp 11, học sinh học hình học không gian bằng phương pháp tổnghợp

Ở lớp 12 học sinh được tiếp tục nghiên cứu hình học phẳng và hình họckhông gian bằng phương pháp toạ độ với các đối tượng như đường thẳng,đường tròn, ba đường cônic (Elip; parabol; hypebol), đường thẳng trongkhông gian, mặt phẳng trong không gian,mặt cầu

Như vậy, trong chương trình hình học ở trường phổ thông hiện nay,phương pháp vectơ và phương pháp toạ độ được xem là những phương pháptoán học cơ bản được kết hợp cùng với phương pháp tổng hợp để nghiên cứunhững đối tượng và quan hệ hình học ở trên mặt phẳng và trong không gian Chương trình hình học của trường PTTH phân ban đang và sẽ triển khaitrong vài năm tới tuy có sắp xếp lại một số nội dung để đảm bảo rõ nét hơntính hệ thống nhưng vẫn thể hiện quan điểm cơ bản nêu trên

1.1.2 Nội dung hình học xạ ảnh ở trường Đại Học Sư Phạm.

Chương trình hình học xạ ảnh được giảng dạy ở khoa Toán, ĐHSP HàNội bao gồm những vấn đề sau:

-Không gian xạ ảnh.

-Ánh xạ xạ ảnh và biến đổi xạ ảnh

-Siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh

Với các nội dung cụ thể như:

Không gian xạ ảnh, toạ độ xạ ảnh và mục tiêu xạ ảnh, phương trình củamặt phẳng, ánh xạ xạ ảnh và biến đổi xạ ảnh, tỷ số kép, mô hình xạ ảnh củakhông gian afin, nguyên tắc đối ngẫu, siêu mặt bậc hai và phân loại xạ ảnhcủa chúng, một số định lý quan trọng trong P2, mô hình xạ ảnh của khônggian Ơclit

Ta nhận thấy nội dung hình học xạ ảnh được học ở trường đại học sưphạm và nội dung hình học được giảng dạy ở trường PTTH có mối liên hệchặt chẽ,thể hiện ở những điểm sau:

1.2.Mối liên hệ giữa hình học xạ ảnh và hình học sơ cấp.

1.2.1.Mối liên hệ thể hiện trong quan điểm biên soạn giáo trình.

Nội dung đào tạo giáo viên của các trường sư phạm thường có hai mảnglớn, đó là khoa học cơ bản và khoa học giáo dục Hai mảng này được lồngghép đan xen và hỗ trợ cho nhau, hướng vào việc hình thành ở người họctrình độ chuyên môn,nghiệp vụ

Nhiệm vụ chính của trường Đại học sư phạm là đào tạo giáo viên giảngdạy ở các trường phổ thông trung học nên việc đào tạo sinh viên trong cáctrường đại học sư phạm đòi hỏi phải định hướng đến nhiệm vụ dạy học ởtrường phổ thông sau này, vì vậy việc khai thác những yếu tố nghiệp vụ sưphạm trong khi dạy học các môn khoa học cơ bản ở trường sư phạm góp phầnchuẩn bị nghề cho sinh viên

Theo giáo sư Đoàn Quỳnh, việc viết giáo trình khoa học cơ bản theo địnhhướng sư phạm là rất quan trọng Nó giúp sinh viên hiểu sâu hơn những kiếnthức liên quan đến việc giảng dạy của họ ở trường phổ thông cũng như mởrộng tầm nhìn về toán học cho họ Giáo trình “ hình học xạ ảnh” là giáo trình

khoa học cơ bản, thể hiện được định hướng sư phạm Bởi vì:

Giáo trình hình học xạ ảnh được học tiếp theo giáo trình hình học afin vàhình học Ơclit- hai môn hình học gần gũi với hình học sơ cấp được trình bày

ở trường phổ thông

Không gian Ơclit hai chiều E2 và ba chiều E3 đã học ở trường PTTH lànhững không gian Aphin theo thứ tự liên kết với các không gian vec tơ (tựdo) hai chiều V2 và ba chiều V3 với định nghĩa vec tơ, phép cộng véc tơ, phépnhân vec tơ với một số thực đã được trình bày trong sách giáo khoa PTTH

Ở đó 0 - phẳng; 1 - phẳng; 2 - phẳng chính là điểm; đường thẳng và mặtphẳng

Đơn hình 0 chiều là một điểm; đơn hình một chiều; hai chiều; ba chiềulần lượt là đoạn thẳng; tam giác; tứ diện

Hình hộp 0 chiều là một điểm; hình hộp 1 chiều là đoạn thẳng; hình hộp2chiều là một hình bình hành; hình hộp 3 chiều là hình hộp theo nghĩa thôngthường

Elip; hypebol; parabol; cặp đường thẳng cắt nhau, song song; trùng nhau

là các đường bậc hai, cặp mặt phẳng cắt nhau; cặp mặt phẳng song song; cặpmặt phẳng trùng nhau là các mặt bậc hai…

Các tính chất thẳng hàng hay không thẳng hàng của hệ điểm; tính chấtsong song, cắt nhau hay chéo nhau của hai đường thẳng; hai mặt phẳng; củađường thẳng và mặt phẳng và tính chất tâm tỉ cự của một hệ điểm gắn với một

họ hệ số là tính chất A fin.(Các tính chất bất biến đối với nhóm A fin)

Không gian Ơclit ba chiều E3 được học trong chương trình toán học ở bậcphổ thông Trong không gian này; mặt phẳng Ơclit là không gian Ơclit haichiều E2

Các không gian E3 và E2 là các không gian vec tơ tự do ba chiều và haichiều Tích vô hướng trong E3 và E2 được định nghĩa a b a b cos a.b Theo định nghĩa, không gian Ơclit cũng là một không gian A phin nên

trong không gian Ơclit vẫn có các khái niệm và các tính chất của không gianAfin Mặt khác trong không gian Ơclit còn có các tính chất và khái niệmkhông có trong không gian Afin như sự vuông góc của hai đường thẳng; haimặt phẳng; của đường thẳng và mặt phẳng, độ dài các đoạn thẳng, độ lớngóc… do được trang bị thêm khái niệm và các tính chất của tích vô hướng Các phép dời hình của E2 và E3 là các phép Afin đặc biệt có tính chấtkhông làm thay đổi khoảng cách giữa hai diểm bất kì.

Hình học Ơclit nghiên cứu những tính chất không thay đổi qua các phépdời hình (tức là những tính chất nếu có ở một hình này thì cũng có ở nhữnghình bằng nó)

Hình học xạ ảnh nghiên cứu những tính chất bất biến qua nhóm các phépbiến đổi xạ ảnh Những tính chất được nghiên cứu trong hình học xạ ảnh đượcgọi là những tính chất xạ ảnh Thí dụ như phép biến đổi xạ ảnh f biến một m-mặt phẳng thành một m- phẳng, tính chất thẳng hàng của ba điểm; tính chấtđồng quy của các đường thẳng…

Hình học xạ ảnh đã ra đời từ việc nghiên cứu các bất biến qua phép chiếuxuyên tâm trong không gian hai chiều và ba chiều thông thường

Trong các giáo trình hình học xạ ảnh, các tác giả đều trình bày mối liên

hệ giữa hình học Afin và hình Ơclit với hình học xạ ảnh

Từ không gian Afin An ta có thể xây dựng mô hình của không gian xạảnh Pn bằng cách thêm vào An những điểm vô tận Ngược lại, từ không gian

xạ ảnh Pn có thể bỏ bớt đi một số điểm nào đó để xây dựng mô hình củakhông gian Afin

Gọi Kn là nhóm các phép biến đổi xạ ảnh của Pn và khi đó hình học xạảnh là hình học của nhóm Kn

Nếu trong Pn ta chọn một siêu phẳng Pn-1 làm siêu phẳng vô tận thì cácphép biến đổi xạ ảnh giữ nguyên Pn-1 làm thành một nhóm con của nhóm Kn,nhóm con này đẳng cấu với nhóm các phép biến đổi Afin An của không gian

Afin An = Pn\ Pn-1.

Nếu xét tập hợp các phép biến đổi xạ ảnh giữ nguyên Pn-1 và giữ nguyêncái tuyệt đối T thì tập hợp đó làm thành một nhóm con đẳng cấu với nhóm cácphép đồng dạng của không gian Ơclit En Tóm lại ta có:

Nhóm xạ ảnh nhóm Afin  nhóm đồng dạng  nhóm dời

Hình học xạ ảnh  hình học Afin  hình học đồng dạng hình học Ơclit Việc nghiên cứu hình học theo quan điểm nhóm giúp chúng ta thấy được

sự liên quan giữa các thứ hình học: xạ ảnh, Afin và Ơclit

Lại do hình học sơ cấp có mối liên hệ gần gũi với hình học Afin và Ơlitnên thông qua việc làm này, chúng ta sẽ hiểu rõ nội dung và cấu trúc củachương trình hình học ở các trường phổ thông hiện nay

Theo [3] ( trang 207) Hiện nay, nhiều phân môn toán ở bậc cao đẳng vàđại học được xây dựng trên cơ sở vec tơ như hình học giải tích, đại số tuyếntính, hình học vi phân, hình học xạ ảnh… Vì thế, nắm vững khái niệm vectơ ởtrường phổ thông sẽ tạo điều kiện thuận lợi để học sinh tiếp tục một cáchkhông đột ngột chương trình toán ở các trường Cao đẳng; Đại học…

Với lí luận trên; ta khẳng định: Giữa hình học xạ ảnh được giảng dạy ở các trường Đại học sư phạm và hình học sơ cấp ở trường PTTH có mối liên hệ với nhau Giáo trình “ hình học xạ ảnh” ở trường Đại học sư phạm được biên soạn ngoài mục đích trang bị kiến thức khoa học cơ bản cho sinh viên còn có dụng ý sư phạm là đào tạo nghiệp vụ sư phạm, định hướng đến nhiệm vụ dạy học ở trường phổ thông sau này.

1.2.2 Mối liên hệ thể hiện trong nội dung và hình thức.

1.2.2.1 Về nguyên tắc xây dựng chương trình:

Hình học cao cấp ở trường Đại học sư phạm nói chung, hình học xạ ảnhnói riêng được trình bày một cách có hệ thống, khoa học theo phương pháptiên đề, với lý luận chặt chẽ theo phương thức suy diễn , logic

Trong khi đó, nội dung hình học ở trường phổ thông được xây dựng tuân

thủ theo những nguyên tắc sau:

+ Coi mục tiêu giáo dục của môn toán ở trường phổ THPT là điểm xuất phát

Nhiệm vụ dạy học môn toán là: [xem 4]

-Trang bị những tri thức (bao gồm cả tri thức phương pháp) cơ bản, cầnthiết cho học sinh

-Rèn luyện kĩ năng vận dụng toán học vào thực tiễn

- Phát triển trí tuệ cho học sinh

- Bồi dưỡng những phẩm chất đạo đức tốt đẹp cho học sinh

-Bảo đảm trình độ phổ thông đồng thời chú trọng bồi dưỡng những họcsinh có năng khiếu về toán

+ Đảm bảo tính hệ thống, chỉnh thể của chương trình môn toán trong nhàtrường phổ thông

+ Không quá coi trọng tính cấu trúc, tính chính xác của hệ thống kiến thứctoán học trong chương trình, hạn chế đưa vào chương trình những kết quả có

ý nghĩa lý thuyết thuần tuý và các phép chứng minh dài dòng, phức tạp khôngphù hợp với đại đa số học sinh Tăng tính thực tiễn và tính sư phạm, tạo điềukiện để học sinh được tăng cường luyện tập, rèn luyện kỹ năng tính toán vàvận dụng các kiến thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác

1.2.2.2 Về hình thức thể hiện nội dung

Do những quan điểm khác biệt trên dẫn đến có sự khác biệt về hình thứcthể hiện nội dung

Như đã biết:Trong mặt phẳng xạ ảnh, hai đường thẳng phân biệt luôn cómột điểm chung.Trong khi ở hình học phổ thông, hai đường thẳng phân biệttrong mặt phẳng có thể cắt nhau hoặc song song

Trong hình học xạ ảnh cũng có các khái niệm đồng quy của các đườngthẳng, sự thẳng hàng của các điểm, khái niệm đường bậc hai nhưng lại không

có các khái niệm song song (dẫn đến không có khái niệm hình bình hành;hình thang), không có khái niệm khoảng cách, vuông góc…(dẫn đến không

có khái niệm về đường tròn; tam giác vuông; tam giác cân; hình lậpphương…) như trong hình học ở trường phổ thông

Trong mặt phẳng xạ ảnh, mục tiêu xạ ảnh được biểu diễn bởi tam giác toạ

độ A1A2A3 và một điểm đơn vị E với A1(1,0,0), A2(0,1,0) , A3(0,0,1) vàE(1,1,1)

Trong khi đó ở hình học phổ thông, mục tiêu toạ độ được biểu diễn bởi hệtoạ độ trực chuẩn Oxy ( trong hình học phẳng) hoặc Oxyz trong không gian…Mối liên hệ giữa hình học xạ ảnh và hình học ở trường phổ thông cònđược thể hiện ở nội dung chương II và chương III của luận văn này

1.3.Tình hình dạy học hình học ở trường phổ thông và hình học xạ ảnh ở trường Đại học sư phạm.

1.3.1 Tình hình dạy học ở trường phổ thông.

Qua trao đổi trực tiếp với các đồng nghiệp – các giáo viên giảng dạy Toán

ở một số trường PTTH ở tỉnh Hà Nam- tôi được biết phần lớn giáo viên cảmthấy rất khó khăn khi vận dụng kiến thức hình học cao cấp đã được học ởtrường Đại học sư phạm vào việc giảng dạy hình học ở phổ thông, nhất làkiến thức về hình học xạ ảnh Mặc dù trong đó, có nhiều giáo viên dạy giỏi,

có kinh nghiệm và có nghiệp vụ sư phạm

Trao đổi kỹ hơn, tôi được biết, nhiều giáo viên đã quên hoặc nhớ không rõ

về kiến thức của hình học xạ ảnh (như nhầm lẫn giữa các khái niệm xạ ảnhvới các khái niệm có trong hình học Afin và hình học Ơclit…) Nhưng phần

lớn thừa nhận: Có mối liên hệ nhất định giữa hình học xạ ảnh với nội dunghình học phổ thông và nếu khai thác, vận dụng tốt mối liên hệ này thì hiệuquả giảng dạy sẽ còn cao hơn nữa.

Chẳng hạn khi giải bài toán sau: “ Cho hình tứ diện ABCD với P,Q lầnlượt là trung điểm của AB và CD Gọi R là điểm nằm trên cạnh BC: BR

=2RC và S là giao điểm của cạnh AD với mp(PQR) CMR : AS = 2SD”

(BT6, trang 27,SGK hình học 11) thì việc kẻ thêm đường phụ như hướng dẫn

giải là không tự nhiên và gây khó khăn cho học sinh, nhưng nếu áp dụng định

lý Menelaus dạng sơ cấp (có thể giới thiệu cho học sinhm, kể cả cách chứngminh sơ cấp) thì việc chứng minh bài toán trên là đơn giản hơn,mà định lýMenelaus đã được trình bày trong hình học xạ ảnh…

Theo chúng tôi thì nguyên nhân của tình trạng trên một phần do thờilượng dành cho phần hình học ở trường phổ thông theo phân phối chươngtrình chỉ đủ để truyền đạt những kiến thức cơ bản mà không đủ thời gian chophép giáo viên mở rộng kiến thức cho học sinh,nó cũng phụ thuộc vào đốitượng học sinh mà giáo viên đang giảng dạy và một nguyên nhân nữa là giáoviên PTTH chưa được trang bị tốt về kiến thức của hình học xạ ảnh, nói cáchkhác, việc “ chuẩn bị nghề ” khi còn là sinh viên sư phạm chưa thực sự tốt

cơ bản ở trường Đại học sư phạm

Hiện nay, việc tổ chức đào tạo khoa học cơ bản và khoa học giáo dục đượcthực hiện theo một trong hai phương thức:

- Đào tạo “kế tiếp” , tức là đào tạo xong về chuyên môn rồi mới đào tạo tiếp

về nghiệp vụ sư phạm , hình thức này thường được thực hiện trong các trường

đại học đa lĩnh vực.

- Đào tạo “đồng thời” là đào tạo song song về chuyên môn và nghiệp vụtrong suốt khoá đào tạo, hình thức này được thực hiện trong các trường đạihọc sư phạm

Một trong những ưu thế của phương thức đào tạo “đồng thời” là thuận lợicho việc tích hợp đào tạo hai mặt chuyên môn và nghiệp vụ, có đủ thời giancho sinh viên tập dượt, nắm vững kĩ năng giáo dục dạy học Mức độ dễ dàngthực hiện nhất là tích hợp, lồng ghép những kiến thức cơ bản trong chươngtrình phổ thông vào phần thích hợp trong nội dung môn khoa học cơ bản,cách này không những không làm ảnh hưởng đến hệ thống kiến thức khoa học

mà còn giúp cho sinh viên nắm vững những kiến thức có liên quan sẽ phảidạy ở trường phổ thông sau này Đó chính là sự “ chuẩn bị nghề” cho sinhviên ngay từ khi sinh viên đang học trong trường sư phạm

Theo giáo sư tiến sĩ Phan Ngọc Liên thì ” Tính nghiệp vụ trong đào tạo ởtrường đại học sư phạm đòi hỏi chúng ta phải nhanh chóng giải quyết mốiquan hệ, sự liên kết giữa các môn khoa học cơ bản và khoa học giáo dục” và

đó chính là sự khác biệt giữa trường sư phạm với các trường đại học khác.(xem [5])

Vậy thực trạng dạy và học hình học xạ ảnh ở trường đại học sư phạm làgì?

Dù biết việc khai thác tính nghiệp vụ trong quá trình dạy học hình học xạảnh là một trong những nhiệm vụ và mục tiêu của bộ môn song thời lượnggiành cho phần hình học cao cấp theo phân phối chương trình còn hạn chế (60tiết),chỉ đủ để truyền đạt những kiến thức cơ bản, không đủ thời gian chophép giảng viên phân tích, khai thác sâu sắc tính nghiệp vụ của môn học Hơn nữa, đặc trưng của giáo dục đại học là dạy “cách tự học”, các giảngviên đã khắc phục vấn đề thời lượng bằng cách lồng ghép kết hợp việc giảngdạy trực tiếp với hướng dẫn sinh viên tự học, tự đọc và nghiên cứu tài liệu…

Với cách giảng dạy này, giảng viên với vai trò cố vấn, điều khiển quá trìnhhọc tập của sinh viên, có tác dụng phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạocủa người học Tuy nhiên kết quả còn phụ thuộc nhiều vào thái độ, ý thức vàphương pháp học tập của mỗi sinh viên.

Qua tìm hiểu, tôi nhận thấy bên cạnh những sinh viên học tập tích cực,chăm chỉ đúng với khẩu hiệu “ Học tập , rèn luyện vì ngày mai lập nghiệp”còn không ít sinh viên chưa hoàn thành nhiệm vụ của mình Còn tồn tại quanđiểm học chỉ để đối phó với các kì thi, có thể quên khi đã thi xong… Nhiềusinh viên sư phạm cho rằng hình học cao cấp chỉ đơn thuần là môn học nhằmnâng cao kiến thức khoa học cơ bản mà chưa thấy được ý nghĩa của việc họchình học cao cấp đối với nghề nghiệp của họ sau này

Điều đó, một phần giải thích cho sự đánh giá từ phía cán bộ giảng dạy hìnhhọc cao cấp về mức độ nhận thức của sinh viên: Phần lớn sinh viên đại học sưphạm chỉ dừng ở mức độ nắm được các khái niệm, tính chất của hình học caocấp mà chưa hiểu thấu đáo nội dung kiến thức này Chỉ có một số ít sinh viênbiết áp dụng một số kiến thức đã được học của hình học cao cấp vào việc soisáng các kiến thức liên quan ở chương trình PTTH…

1.4.Khai thác, vận dụng mối liên hệ giữa hình học xạ ảnh với hình học sơ cấp vào việc giảng dạy nội dung hình học ở trường phổ thông.

Từ một không gian Afin ta có thể xây dựng một mô hình của không gian

xạ ảnh (gọi là mô hình afin) bằng cách thêm vào không gian afin những

“điểm vô tận”

Ngược lại, nếu ta có một không gian xạ ảnh thì bằng cách bỏ đi một siêuphẳng nào đó (xem như một siêu phẳng vô tận ) ta có thể xây dựng phần cònlại thành một mô hình xạ ảnh của không gian afin hoặc mô hình xạ ảnh củakhông gian Ơclit

Như vậy giữa không gian afin, không gian Ơclit và không gian xạ ảnh có

sự liên quan mật thiết.Bởi vậy, giữa hình học afin, hình học Ơclit và hình học

xạ ảnh cũng có những sự liên quan.

Không gian Ơclit hai chiều E2 (mặt phẳng Ơclit) và ba chiều E3 (khônggian ba chiều thông thường) được trình bày ở trường PTTH là những khônggian afin theo thứ tự liên kết với các không gian vectơ Ơclit hai chiều V2 và

ba chiều E3

Bởi vậy, nghiên cứu, khai thác và vận dụng mối liên hệ giữa hình học

xạ ảnh 1 chiều và 2 chiều với hình học afin và hình học Ơclit tương ứng là nghiên cứu, khai thác và vận dụng mối liên hệ giữa hình học xạ ảnh với hình học sơ cấp được giảng dạy ở trường phổ thông.

Khai thác - vận dụng mối liên hệ này có thể theo các phương diện sau:

1.4.1 Từ một kết quả của hình học afin có thể suy ra một kết quả của hình học xạ ảnh.

Giả sử ta có một định lý về các đối tượng nào đó của không gian afin.Bằng cách thêm vào không gian afin đó những điểm vô tận, ta được mộtkhông gian xạ ảnh , những đối tượng của không gian afin trở thành đối tượngcủa không gian xạ ảnh và định lý đã cho trở thành một định lý của hình học

xạ ảnh.Vì ta chỉ có một phương pháp thêm các điểm vô tận nên từ một định lýafin ta sẽ chỉ suy ra được duy nhất một định lý của hình học xạ ảnh

Bằng cách này ta có thể suy ra một kết quả của hình học xạ ảnh nhờ mộtkết quả đã biết của hình học afin

Ví dụ : Ta đã biết định lý sau của hình học sơ cấp:

“ Trong một hình bình hành, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của chúng ”.

Nếu thêm các điểm vô tận vào mặt phẳng afin thì các cạnh song song củahình bình hành đều có điểm chung (là điểm vô tận) và bởi vậy hình bình hànhtrở thành hình bốn cạnh toàn phần của mặt phẳng xạ ảnh Trung điểm của mộtđoạn thẳng sẽ trở thành điểm cùng với điểm vô tận ( trên đường chứa đoạnthẳng đó) liên hiệp điều hoà với hai đầu mút của đoạn thẳng Bởi vậy định lý

nói trên về hình bình hành sẽ trở thành một định lý của hình học xạ ảnh về

hình bốn cạnh toàn phần mà ta đã biết: “Trong một hình bốn cạnh toàn phần,

các đỉnh đối diện nằm trên một đường chéo và cặp giao điểm của đường chéo

đó với hai đường chéo còn lại liên hiệp điều hoà với nhau.”

Cũng bằng cách này , ta có thể đưa việc giải một bài toán của hình học sơcấp bằng việc giải một bài toán tương ứng theo kiến thức của hình học xạ ảnh.Nói cách khác, ta có thể dùng hình học xạ ảnh “ soi sáng” hình học sơ cấp

Ta lấy ví dụ :

Trên một tiếp tuyến t của một đường tròn (O) lấy hai điểm A và B đối xứng qua tiếp điểm T Từ A và B kẻ cát tuyến APQ, BRS cắt đường tròn (O) lần lượt ở P,Q và R,S Gọi M, M’, N, N’ tương ứng là các giao điểm của PR,QS,PS,QR với t.

Chứng minh rằng T là trung điểm chung của các đoạn MM’,NN’.

Một lời giải thông thường của bài toán này là:

P

Dựng cát tuyến AR’S’ đối xứng với BRS qua OT.Nối MS’

Do tính chất của phép đối xứng trục OT ta có SS’//AB (cùng vuông góc vớiOT) và AS =BS’(1)  Tứ giác ABS’S là hình thang cân nên cũng có

' 'AS MBS

M  

Do S'AB  S'SB S'PM nên giác MAPS’ là tứ giác nội tiếp 

A SM SQ

S PQ S

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng có T là trung điểm NN’(đpcm).

Ta có thể đưa ra lời giải của bài toán trên dưới góc độ kiến thức của hìnhhọc xạ ảnh như sau:

Q S

Bốn điểm phân biệt P,Q,R,S là các điểm chung của một chùm đường congbậc hai , nói khác đi chúng xác định một chùm đường cong bậc hai (C).Trongchùm này có một đường cong không suy biến là đường tròn (O) và ba đườngcong suy biến, đó là ba cặp đường thẳng ( PQ, RS); (PR ,QS) và (PS, QR)chứa ba cặp cạnh đối diện của hình tứ điểm { P,Q,R,S}

Theo định lý Đơdac II thì : đường tròn (O) và ba cặp đường thẳng nói trênxác định trên tiếp tuyến t tại T của (O) các cặp điểm tương ứng (T,T), (A,B),(M,M’) và (N,N’) của một phép biến đổi xạ ảnh đối hợp loại hypebolic trênt.Vì (A,B,T,  )   1  (B,A,T,  )do đó ta có:

1 ) , , , ( ) , , , ( ) , , ,

Điều này có nghĩa là T chính là trung điểm chung của các đoạn MM’ vàNN’.Bài toán được chứng minh

1.4.2.Từ một kết quả của hình học xạ ảnh có thể suy ra những kết quả hình học sơ cấp.

*Giả sử có một định lý về đối tượng nào đó trong không gian xạ ảnh Bằngcách bỏ đi một siêu phẳng nào đó ta sẽ được không gian afin và định lý nóitrên sẽ trở thành định lý của hình học afin

Bởi vì có thể bỏ đi bất kỳ một siêu phẳng nào, nên bằng cách nào đó ta có thểthu được nhiều định lý afin khác nhau

Ta lấy một ví dụ :

Xét định lý Briăngsông trong trường hợp tam giác:

“ Nếu tam giác ABC ngoại tiếp một đường conic S thì các đường thẳng nối đỉnh của tam giác với tiếp điểm trên cạnh đối diện sẽ đi qua một điểm.”

Trên hình vẽ ta có các đường thẳng AA’,BB’,CC’đi qua O

- Nếu ta chọn đường thẳng B’C’ là đường thẳng vô tận thì đường conic sẽ trởthành một hypebol với hai đường tiệm cận là AB và AC

Khi đó hai đường thẳng AB và OC song song, AC và OB song song

VậyABOC là hình bình hành với A’ là điểm gặp nhau của hai đường chéo.Dođó B AA C.Vậy ta đi đến kết quả sau của hình học afin:

A

O A’

“ Hai đường tiệm cận của một Hypebol chắn trên một tiếp tuyến bất kỳ một đoạn thẳng nào mà tiếp điểm chính là trung điểm.”

Nếu ta chọn đường thẳng BC làm đường thẳng vô tận thì conic bây giờ lại trởthành một parabol mà AA’ là một đường kính, còn AB’OC’ là một hình bìnhhành

- A

Bởi vậy ta có kết quả sau: “ Nếu từ một điểm A ta vẽ hai tiếp tuyến AB và AC

với một parabol thì đường kính của parabol liên hợp với phương xác định bởi vectơ BC sẽ phải đi qua A.”

* Cũng do từ một bài toán của hình học xạ ảnh có thể suy ra nhiều bài toánafin nên bằng cách chọn siêu phẳng vô tận một cách thích hợp ta có thểchuyển một bài toán xạ ảnh thành một bài toán afin mà cách giải dễ thực hiệnhơn

Theo kết quả của hình học afin ta có điểm chéo D là trung điểm của AA’ vàBB’.

Vì vậy điểm D cùng với điểm E vô tận liên hiệp điều hoà với hai điểm A,A’.Trên đường chéo BB’, điểm D cùng với điểm vô tận F liên hiệp điều hoà vớihai điểm B,B’ Do đó ta có:

(AA’DE) = (DAA’) = -1 và (BB’DF) = (DBB’) = -1 ( đpcm)

* Nắm vững kiến thức hình học xạ ảnh, vận dụng mối quan hệ giữa hìnhhọc xạ ảnh với hình học afin ta có thể định hướng cho lời giải sơ cấp củanhững bài toán afin

Xét bài toán :

Gọi H là trực tâm của tam giác nhọn ABC Qua C dựng các tiếp tuyến CP,

CQ với đường tròn (O), đường kính AB (P, Q là các tiếp điểm) Chứng minh rằng P,Q,H thẳng hàng.

Lời giải 1: (Nhìn theo góc độ của hình học xạ ảnh)





K C

I F

P

Q O



HGọi D= BCAH, E = CA BH, F =DE  AB,I = BECF, K = AD 

CF

Xét tứ giác toàn phần ABDECF có:

[ADHK] =[CFKI] =[BEIH]= -1

Suy ra H liên hợp điều hoà với I và K đối với (O) ,do đó IK là đối cực của H,nên C liên hợp với H đối với (O)

Mặt khác, PQ là đối cực của C, suy ra H thuộc PQ hay P,Q,H thẳng hàng.(đpcm)

Ta thấy, PQ là đường thẳng đối cực của C, mà C liên hợp với H đối với

đường tròn (O), nên H thuộc PQ, suy ra H,P,Q thẳng hàng

Vậy để chứng minh H,P,Q thẳng hàng, ta chứng minh H thuộc đường thẳng

PQ Điều đó gợi ý cho ta thấy H nằm trên trục đẳng phương PQ của haiđường tròn nào đó và ta có thể đưa ra lời giải sơ cấp bài toán trên

Lời giải 2:

Các điểm C,P,F,O,Q nằm trên đường tròn ()đường kính OC, ta có :

P (H) / ( ) = HC HF

P (H) / (O) = HA.HDHB.HE

Mặt khác H là trực tâm tam giác ABC nên HA.HDHB.HE HC.HF

Suy ra P(H)/( ) = P(H)/(O) nên H thuộc trục đẳng phương PQ của () và(O) Vậy P,Q,H thẳng hàng

1.4.3 Sáng tạo các bài toán mới:

Từ một bài toán afin ta có thể suy ra một bài toán xạ ảnh bằng cách bổ

sung thêm vào không gian afin này những điểm vô tận thuộc một siêu phẳng

vô tận

Ngược lại: Từ một bài toán xạ ảnh, bằng cách chọn các siêu phẳng khác nhau

đóng vai trò siêu phẳng vô tận, ta có thể có nhiều bài toán afin khác mà các

kết quả ta có thể suy ra từ những kết quả đã biết trong hình học xạ ảnh

Kết hợp cả hai cách làm này ta có thể từ một bài toán sơ cấp suy ra nhiều

bài toán sơ cấp khác.

Nắm vững kiến thức hình học xạ ảnh, người giáo viên toán PTTH có mộtmảnh đất màu mỡ để sáng tạo các bài toán cho học sinh của mình luyện tập.Như vậy, một giáo viên PTTH với kiến thức về hình học xạ ảnh được trang

bị khi còn là sinh viên ở trường đại học sư phạm có thể dễ dàng đưa một sốbài toán hình học sơ cấp ở trường phổ thông về bài toán của hình học xạ ảnh,

dùng kiến thức hình học xạ ảnh soi sáng, định hướng cho lời giải sơ cấp củabài toán đã cho, hơn thế nữa từ bài toán xạ ảnh tương ứng, giáo viên đó có thểtạo ra được nhiều bài toán sơ cấp có mối liên hệ với bài toán ban đầu theo con

đường :Từ bài toán trong E 2

 A fin ho¸ Các bài toán trong A 2  Trùc   chuÈn ho¸  Các bài toán trong E 2

Đó là sự thể hiện của mối liên hệ chặt chẽ giữa toán học phổ thông với toánhọc cao cấp theo các con đường :

Toán học đại học sư phạm  Toán học phổ thông

hoặc : Toán học phổ thông  Toán học đại học sư phạm  Toán học phổthông

Tất nhiên, những người có thể đi theo con đường này chỉ phù hợp là nhữngsinh viên sư phạm- những người thầy trong tương lai và những giáo viên đangtrực tiếp giảng dạy ở các trường phổ thông Làm được như thế, sinh viên sẽnắm sâu sắc các kiến thức toán cao cấp, thấy được mối liên hệ với toán họcphổ thông, góp phần làm tốt khâu chuẩn bị nghề nghiệp sau này và chắc chắn

sẽ có kết quả tốt trong các kì thi của mình Còn đối với những giáo viên phổthông , đi theo con đường đó là một cách để nâng cao trình độ chuyên mônnghiệp vụ của mình, nâng cao hiệu quả dạy học và tất nhiên những học sinhđược học những người thầy như vậy sẽ có nhiều cơ hội được luyện tập, khắcsâu và được khai thác, mở rộng kiến thức từ một dạng toán đã cho

Từ những lập luận và phân tích trên, ta có thể kết luận:

Giữa hình học xạ ảnh ở trường đại học sư phạm và hình học sơ cấp ởtrường phổ thông có mối quan hệ mật thiết

Và nếu biết cách khai thác, vận dụng linh hoạt mối quan hệ đó vào việcgiảng dạy hình học ở phổ thông thì sẽ góp phần nâng cao hiệu quả dạy - học

Ở chương II,chúng tôi sẽ hệ thống lại một số khái niệm, định lí,tính chất

và các kiến thức cơ bản của hình học xạ ảnh , đặc biệt là các kết quả trong

mặt phẳng xạ ảnh P2 với dụng ý đưa về những kết quả gần gũi và dễ dàng hơntrong việc liên hệ với hình học ở trường phổ thông ,tiện lợi cho việc tra cứucác khái niệm cơ bản của hình học xạ ảnh (đối với giáo viên THPT đã quênnhiều về hình học xạ ảnh) và cả chuẩn bị cho việc trình bày nội dung chươngIII của đề tài này.

ChươngII : NHẮC LẠI MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA HÌNH

HỌC XẠ ẢNH 2.1.Không gian xạ ảnh.

Xét trường số K với đặc số khác 2 và Vn+1 là một không gian vectơ n+1chiều trên K Kí hiệu [Vn+1] là tập hợp tất cả các không gian con một chiềucủa Vn+1

Giả sử P là một tập hợp khác ø và p :V n1 P là một song ánh thì bộ ba

Pn = (P,p,Vn+1) gọi là một không gian xạ ảnh n chiều trên trường số K Ta nói

Pn liên kết với Vn+1 bởi p

Mỗi phần tử của V n 1 là bao tuyến tính x của một vec tơ x 0 thuộc Vn+1

Giả sử p x  = M  Pn thì gọi x là một vec tơ đại diện của điểm M

Một họ hữu hạn điểm M1,…,Mr được gọi là họ điểm độc lập nếu các vectơ

r

x

x , 1  đại diện chúng độc lập tuyến tính.

Tập con  của Pn được gọi là một cái phẳng m chiều , hay vắn tắt là một m

-phẳng, nếu có một không gian vectơ con (m+1)- chiều của Vn+1 sao cho

1, , Vì W1 + …+ Wr  0 nên nó đại diện cho một cái phẳng nào đó của

Pn , ta kí hiệu cái phẳng này là 1 r và gọi là phẳng tổng của 1, , r.Với hai cái phẳng  ,  của Pn

dim

dim        

Một không gian xạ ảnh (P,p,Vn+1) mà P,p,Vn+1 đã được xác định cụ thể thì gọi

là một mô hình của không gian xạ ảnh Pn tổng quát

Giả sử đã có một mô hình (P,p,Vn+1) của Pn Muốn có một mô hình khác ta chỉcần tìm một tập Q , một song ánh q : P  Q, khi đó Q,q p,V n 1 cũng làmột mô hình của Pn

Một hệ k điểm (k2) độc lập khi và chỉ khi chúng không cùng thuộc một 2) - phẳng.

(k-Có duy nhất một (k-1)-phẳng đi qua hệ k điểm độc lập cho trước

Trong không gian xạ ảnh hai chiều P2:

* Hai đường thẳng phân biệt bao giờ cũng cắt nhau tại một điểm

* Ba điểm A,B,C là độc lập khi và chỉ khi chúng không thẳng hàng

* Điều kiện cần và đủ để bất cứ ba trong bốn điểm A,B,C,D độc lập là có thểtìm được các vectơ a,b,c,d lần lượt đại diện cho A,B,C,D sao cho a.b,c

độc lập và dabc.

2.2 Toạ độ xạ ảnh.

Trong Pn = (P,p,Vn+1) một bộ (n+2) điểm (S0,…,Sn;E) sẽ được gọi là mộtmục tiêu (xạ ảnh) nếu mọi (n+1) điểm trong bộ đó đều độc lập Các điểm S0,

…,Sn gọi là các đỉnh, điểm E gọi là điểm đơn vị

Ta biết, bộ (n+2) điểm (S0,…,Sn;E) là một mục tiêu khi và chỉ khi có thể tìmđược các vectơ e0, ,en,e lần lượt đại diện cho các điểm S0,…,Sn , E sao cho

n

e

e

e0   Bộ vectơ e , ,0 en là một cơ sở của Vn+1 , ta gọi cơ sở này là

cơ sở đại diện cho mục tiêu (S0,…,Sn ; E)

Cho điểm M Pn Lấy vectơ x đại diện cho M thì x khai triển được

Giả sử (S0 , ,S n ;E) cũng là một mục tiêu của Pn có cơ sở đại diện là

e0, ,en và

e c

0 0 0

00 0

n

n n

x c

x c

kx

x c

x c

0 0

00 0

với một số k  0nào đó Ta gọi công thức này là công thức đổi toạ độ từ mụctiêu (S0,…,Sn; E) sang mục tiêu (S0  , ,S n ;E ).Công thức trên còn được viếtdưới dạng ma trận:

'

'0

 và C  0.Trong Pn (n  1) cho mục tiêu (S0,S1,…Sn;E).Khi đó :

* Toạ độ của các đỉnh là S0(1:0:0:…),… Sn(0:0:…0:1) và E(1:1:…:1)

* Nếu kí hiệu ilà siêu phẳng đi qua các đỉnh toạ độ trừ đỉnh Si và kí hiệu

   



m n

Phương trình này có thể viết dưới dạng ma trận :

a

a

0

Để tiện lợi trong tính toán , ta đưa vào cách viết hình thức như sau:

+) Cho điểm A đại diện bởi vectơ aa0, ,a n và số k  0 Ta viết kA để nóirằng điểm A đại diện bởi vectơ k.a Với k = 0, ta quy ước kA là bỏ đi điểmA

+) Cho hai điểm A, B đại diện bởi hai vec tơ aa0, ,a n ,bb0, ,b n

Nếu A B thì b 0, khi đó ta viết C = A+ B để nói rằng C là điểm đại diện bởivectơ cab

Như vậy phương trình tham số của  còn có thể viết dưới dạng

M = t1A1 +… + tm + 1Am +1

2.3.2 Phương trình tổng quát của siêu phẳng Toạ độ siêu phẳng.

Trong Pn (n 2) cho mục tiêu (S0, …,Sn; E) và siêu phẳng  đi qua nđiểm độc lập A1(a10:…:a1n), …,An(an0:…:ann) Phương trình của  dưới dạngđịnh thức (điều kiện cần và đủ để điểm M (x0: …: xm) thuộc  ) là :

0

10 0

n

a

a x

.

a

a x

Trong đó u0, …, un không đồng thời bằng 0 Phương trình này gọi là phương

trình tổng quát của  Bộ số (u0,…,un) xác định sai khác một thừa số k  0,

gọi là toạ độ của siêu phẳng  và kí hiệu u0 : :u n hay  u0: :u n

Một họ r siêu phẳng 1u10: :u1n, , ru r0 : :u rn được gọi là họ siêu

phẳng độc lập nếu các vec tơ u1u10, ,u1n, ,ur(u r0, ,u rn)độc lập tuyếntính

2.3.3 Phương trình tổng quát của m - phẳng.

Một m - phẳng  (m  1 ) trong không gian xạ ảnh Pn có thể xem là giao của(n – m) siêu phẳng độc lập Do đó phương trình của m - phẳng  có dạng:

0 0

1 0

10

n rn r

n n

x u

x u

x u

x u

Trong P2 siêu phẳng là đường thẳng

Quy tắc 1 Ba điểm A(a0: a1: a2), B (b0 : b1: b2), C(c0: c1 : c2) thẳng hàngkhi và chỉ khi:

0 0 0

c b

a

1 1 1

c b

a

2 2 2

c b

a

= 0

Quy tắc 2 Ba đường thẳng u (u0: u1:u2), v(v0: v1:v2), w(w0: w1: w2) đồngquy khi và chỉ khi

0 0 0

w v

u

1 1 1

w v

u

2 2 2

w v

u

= 0

Quy tắc 3 Đường thẳng nối hai điểm phân biệt A (a0: a1:a2), B(b0:b1:b2)

có toạ độ AB(u0: u1:u2) xác định bởi

Quy tắc 4 Giao điểm M của hai đường thẳng phân biệt u (u0:u1:u2) ,v(v0:v1:v2) có toạ độ M (x0 :x1 :x2) xác định bởi

Trong P2 trên trường số K cho bốn điểm thẳng hàng A,B,C,D với A B Lấy

a , b,c ,d lần lượt đại diện cho A,B,C,D và khai triển:

b l a k c

1 1

( ,, )

2 2

1 1

K l k

K l k

2 :

l

k l

2 :

l

k l

, ,

1 ,

,

,

C D B A D C A B D

j i j i

j i j i

c

c a a b

b c c

d

d a a b

b d d

2.4.2.Tỉ số kép của bốn siêu phẳng.

Trong Pn trên trường số K cho bốn siêu phẳng  ,  ,  ,  cùng đi qua một (n

- 2) - phẳng  Một đường thẳng l bất kì không cắt , cắt  ,  ,  ,  lần lượttại các điểm A,B,C,D Nếu tồn tại [ABCD] thì tỉ số kép này là một hằng sốkhông phụ thuộc vào vị trí của  Ta gọi tỉ số kép đó là tỉ số kép của bộ bốn siêu phẳng  ,  ,  ,  và kí hiệu  = [ABCD]

Nếu cho  ,  ,  ,  bởi toạ độ

j i j i

j i j i j i j i

w

w u

u

v

v w w

t

t u u v

v t t

hoặc nếu khai triển  k1 l1 ,  k2 l2 thì  

1

1 2

2 :

l

k l

2.4.2 Hình bốn đỉnh toàn phần và tỉ số điều hoà:

Trong P2 cho bốn điểm A,B,C,D mà trong chúng không có ba điểm nàothẳng hàng Tập hợp gồm bốn điểm A,B,C,D và sáu đường thẳngAB,AC,AD,BC,BD,CD gọi là một hình bốn đỉnh toàn phần mà mỗi điểm,mỗi đường thẳng nói trên lần lượt gọi là một đỉnh, một cạnh của nó Các điểm

P = AB  CD, Q = AC BD , R = AD  BC gọi là các điểm chéo Hai cạnh

đi qua một điểm chéo gọi là hai cạnh đối diện Đường thẳng nối hai điểmchéo gọi là một đường chéo

Tính chất: Hai cạnh đối diện chia điều hoà hai đường chéo cùng đi qua một

điểm chéo



A

BC

R

N

PM

Chẳng hạn: PB,PC chia điều hoà PQ,PR, suy ra M,N chia điều hoà Q,R

(M = QR  PB , N = QR PC)

2.5.Nguyên tắc đối ngẫu.

2.5.1 Trong Pn hai cặp khái niệm sau đây được gọi là hai cặp khái niệm đốingẫu nguyên thuỷ:

2.5.2 Giả sử P là một mệnh đề (câu ) nói về những cái phẳng của Pn và quan

hệ liên thuộc giữa chúng Nếu thay trong P mỗi từ m - phẳng bằng từ (n – m-1) - phẳng, từ “ thuộc vào” bằng từ “ chứa”, từ “ chứa” bằng từ “thuộc vào”,còn các từ khác để nguyên thì trở thành một mệnh đề P*, gọi là mệnh đề đốingẫu của P.

2.5.3 Nếu P là định nghĩa của một khái niệm N thì P* là định nghĩa của một khái niệm N* nào đó Khái niệm N* được gọi là khái niệm đối ngẫu của N

2.5.4 Nguyên tắc đối ngẫu: Nếu P là một định lí thì P* là một định lí.

2.5.5.Một số cặp các khái niện đối ngẫu cơ bản.

Bốn điểm thẳng hàng Bốn siêu phẳng đi qua (n-2)-phẳng

Tỷ số kép của bốn điểm thẳng hàng Tỷ số kép của chùm bốn siêu phẳng

Đặc biệt trong P 2 :

Điểm đường thẳng

Ba điểm thẳng hàng Ba đường thẳng đồng quy

Tam giác Tam giác

Tứ giác toàn phần Bốn đỉnh toàn phần

Ví dụ:

Định lí Pappus trong P2: Cho 6 điểm phân biệt và không thẳng hàng

A,B,C,A’,B’,C’ ,trong đó A,B,C thẳng hàng và A’,B’,C’ thẳng hàng.

Gọi: A" BC' B'C. B" AC' A'C.

' '

" AB A B

Khi đó: A”,B”,C” thẳng hàng.

Thì định lí đối ngẫu của định lí này là:

Trong P 2 cho ba đường thẳng phân biệt a,b,c đồng quy tại D và ba đường thẳng phân biệt a’,b’,c’ đồng quy tại D’với D,D’phân biệt và đường thẳng DD’ không trùng với sáu đường thẳng đã cho.Khi đó ba đường thẳng

) ' , ' ( ), ' ' , ' ( ), '

Ánh xạ f : P  P’ được gọi là một ánh xạ xạ ảnh nếu có một ánh xạ tuyến

tính : V  V’ sao cho nếu điểm M P đại diện bởi vectơ x V thì ảnhM’ = f(M) P’ đại diện bởi x'   (x) V’ Ta gọi  đại diện cho f.

Ánh xạ xạ ảnh là một đơn ánh Nếu P và P’ có cùng một số chiều thì ánh

xạ xạ ảnh f : P  P’ là một song ánh và được gọi là một đẳng cấu xạ ảnh giữa

P và P’

Một ánh xạ xạ ảnh f : P  P còn gọi là một biến đổi xạ ảnh của P

Mọi ánh xạ xạ ảnh đều biến m - phẳng thành m - phẳng và bảo toàn tỉ sốkép của bốn điểm thẳng hàng hay 4 siêu phẳng cùng thuộc một chùm Ngượclại, mọi ánh xạ f : Pn  P’n biến đường thẳng thành đường thẳng và bảo toàn

tỉ số kép bốn điểm thẳng hàng đều là ánh xạ xạ ảnh

Trong Pn cho r - phẳng  và (n – r -1) - phẳng  mà      và



 dim

dim  Ta gọi cặp  ,  là một r - cặp Một biến đổi xạ ảnh f : Pn  Pn

mà f(M) = M với mọi M     thì được gọi là một phép thấu xạ (qua) r

-cặp với cơ sở ( ,  ) Nếu f id thì với mọi cặp (M,M’) mà M’ = f(M) M,đường thẳng MM’ cắt  ,  lần lượt tại hai điểm A,B Tỉ số kép [ABMM’] =

k là một hằng số không phụ thuộc vào vị trí của M Số k gọi là tỉ số thấu xạ

của f Một phép thấu xạ qua O - cặp ( ,  ) còn gọi là phép thấu xạ tâm với

tâm ,nền .

Biến đổi xạ ảnh f của Pn sẽ được gọi là một phép thấu xạ đặc biệt (hoặc

thấu xạ đơn ) nếu tập các điểm bất động của f là một siêu phẳng  hoặc toàn

bộ Pn Siêu phẳng  gọi là nền thấu xạ của f khi f khác đồng nhất.Tồn tại một

điểm O (duy nhất) thuộc  sao cho mọi đường thẳng đi qua O đều bất động

Điểm O này gọi là tâm thấu xạ của f.

2.6.3 Điều kiện xác định một biến đổi xạ ảnh.

Trong Pn cho hai bộ (n+ 2) điểm (A1,…,An+2), ( A' 1 , ,A'n 2 ) mà trongmỗi bộ bất cứ n + 1 điểm nào cũng độc lập thì có duy nhất một biến đổi xạ ảnh f : Pn  Pn thoả mãn f (A1) = A' 1 ,…,f(An+2) = A'n 2

2.6.4 Biểu thức toạ độ của biến đổi xạ ảnh.

Cho biến đổi xạ ảnh f : Pn  Pn (n 1) và một mục tiêu (S0,…,Sn; E) của Pn.Giả sử f đại diện bởi : Vn+1  Vn+1, mục tiêu (S0,…,Sn; E) đại diện bởi cơ sở(e , , 0 en) của Vn+1 và cho biết :

n

n n

e a

e a

e

e a

e a

0 0

00 0

n

n n

x a

x a

kx

x a

x a

kx

'

0 0

00 0

'

' '

n j

j i ij

x x F

gọi là ma trận của (G) đối với mục tiêu đã cho

Nếu |A| 0 ta nói (G) không suy biến Nếu |A| = 0 ta nói (G) suy biến hay (G) là một siêu nón.

Phương trình của (G)còn có thể viết dưới dạng ma trận:

Điểm M(x0 : … : xn ) (G) gọi là điểm chính quy hoặc điểm kì dị tuỳtheo Ax 0 hay Ax = 0.

Với n =2 ,(G) gọi là một đường bậc hai.

Với n = 3, (G) gọi là một mặt bậc hai.

Trong Pn bao giờ cững tìm được một mục tiêu để phương trình của (G) códạng

2

2 1

Khái niệm đối ngẫu của khái niệm siêu mặt bậc hai trong Pn được gọi là siêu

mặt lớp hai trong P Cụ thể, siêu mặt lớp hai là tập hợp các siêu phẳng  cótoạ độ ( u0 :  :u n) thoả mãn một phương trình bậc hai dạng:

 

 



n i

n j

j i

ij u u a

0 0

0

j i

ij x x a

0 ,

j i

ij y z a

0 ,

0

hoặc dưới dạng ma trận : y'Az  0

Nếu M và N là hai điểm phân biệt và đường thẳng MN cắt (G) tại hai điểmphân biệtA,B thì M liên hợp với N đối với (G) khi và chỉ khi [ABMN]=-1.Nếu M là một điểm của Pn nhưng không là điểm kì dị của (G) thì tập hợp cácđiểm liên hợp với M (đối với (G)) là một siêu phẳng  có phương trình(dạng ma trận): y t Ax 0

x x

F x

là đạo hàm riêng của F đối với biến xi lấy tại M

Ta gọi  là đối cực của M và gọi M là cực của  Nếu M  (G) là điểmchính quy của (G) thì đối cực  của M gọi là tiếp diện của (G) tại M; mỗi

đường thẳng trên  đi qua M gọi là một tiếp tuyến của (G) tại M; điểm M gọi

là tiếp điểm Khi n = 2 tiếp diện trùng với tiếp tuyến.

Hai siêu phẳng  ,  được gọi là liên hợp với nhau đối với (G) nếu chúng làhai đối cực của hai điểm M,N nào đó và M  ,N 

Nếu (G) không suy biến thì tập hợp (G*) các tiếp diện của (G) là một siêu

phẳng lớp hai (định lí Mac–Laurin) Ta gọi (G*) là hình bao ngoại tiếp của (G) và gọi (G) là hình bao nội tiếp của (G*) Nhờ định lí này khi cho một siêu

mặt lớp hai không suy biến(G*) ta có thể thay bởi việc cho hình bao nội tiếp(G) của nó.

2.8 Những định lí cổ điển về đường bậc hai xạ ảnh trong mặt phẳng xạ ảnh.

2.8.1 Một số khái niệm.

a Hình n đỉnh.

Trong P2 cho n 3 điểm { A1, …, An } mà mọi ba điểm trong chúng đềukhông thẳng hàng Một hoán vị vòng quanh (A1, … ,An) của n điểm đó được

gọi là một hình n - đỉnh, kí hiệu là A1A2 An.Mỗi điểm Ai gọi là một đỉnh,

đường nối hai đỉnh liên tiếp gọi là cạnh (có n đỉnh và n cạnh), đường nối hai

đỉnh mà không phải là cạnh gọi là một đường chéo Hai hình n đỉnh ứng với hai hoán vị vòng quanh ngược chiều của cùng n đỉnh được xem là trùng nhau.

Như thế, ba điểm không thẳng hàng trong P2 xác định một và chỉ một hình ba

đỉnh, còn gọi là một đơn hình của P2

Khi n chẵn, hai đỉnh Ai và Aj, với i < j, gọi là đối diện nếu ji2n , hai cạnh

AiAi+1 và AjAj+1 gọi là đối diện nếu Ai và Aj đối diện

Khi n lẻ, đỉnh Ai gọi là đối diện với cạnh AkAk+1 nếu | i – k| n21

.Khái niệm đối ngẫu với hình n-đỉnh trong P2 gọi là hình n-cạnh.

Thực tế ta chỉ dùng khái niệm hình n-đỉnh và hình n-cạnh với n = 3,4,5,6.Đường trái xoan () trong P2 [V] là một đường bậc hai không rỗng và khôngsuy biến

Đường bậc hai () ngoại tiếp hình n đỉnh A1,A2…An hay hình n đỉnh

A1,A2,…An nội tiếp () là ()đi qua các dỉnh Ai

Đường trái xoan () nội tiếp hình n đỉnh A1,A2…An hay hình n đỉnh

A1,A2,…An ngoại tiếp () nếu () nhận mỗi cạnh AiAi+1 làm tiếp tuyến

b Định nghĩa các dạng cấp một:

b.1 Hàng điểm:

Tập hợp tất cả các điểm cùng thuộc một đường thẳng được gọi là một hàng

điểm Đường thẳng này gọi là giá của hàng điểm.

b.2 Chùm đường thẳng:

Tập hợp tất cả các đường thẳng cùng thuộc một mặt phẳng và cùng đi qua

một điểm gọi là chùm đường thẳng.

Điểm này được gọi là tâm hay giá của chùm Mỗi đường thẳng được gọi là

một tia của chùm

b.3 Chùm mặt phẳng:

Tập hợp tất cả các mặt phẳng trong P3[V] cùng thuộc một đường thẳng dược

gọi là một chùm mặt phẳng.

Đường thẳng này gọi được gọi là trục hay giá của chùm.

Trong P2 một chùm đường thẳng tâm A được kí hiệu là ch{A}, tập hợp các

điểm của một đường thẳng d còn gọi là một hàng điểm giá d và kí hiệu là hg{d} Chùm đường thẳng, hàng điểm được gọi chung là những dạng cấp

một Một ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một được gọi là một phép phối cảnh nếu nó là một trong các phép sau đây : phép chiếu xuyên tâm, phép

chiếu xuyên trục, phép cắt, phép nối

Ở đó:

+Phép chiếu xuyên tâm f là ánh xạ f :s s' biến mỗi điểm Ms thành điểmM’s ' PM với điểm P cho trước không thuộc hai đường thẳng phân biệts,s’ cho trước.P gọi là tâm của phép f

+Trong P2 cho hai chùm đường thẳng phân biệt {S} và {S’} và một đườngthẳng p không thuộc chúng.Ánh xạ xạ ảnh f: {S}  {S’} biến mỗi đườngthẳng m{S} thành đường thẳng m’đi qua S’ và (mp) được gọi là phépchiếu xuyên trục ,p gọi là trục của phép chiếu f

+Trong P2 cho điểm O và chùm đường thẳng B tâm O. là đường thẳngkhông đi qua O.Hai ánh xạ xạ ảnh :

g: B  , m  B  g m  h:  , M h OM