giáo án - bài giảng đạo hàm và vi phân

bài giảng dạo hàm vi phân

C3 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

1 ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN

1.1 Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b)

và x0  (a,b) Nếu tồn tại

0

0 x

) x ( f ) x (

f lim





thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x0 Ký hiệu f’(x0), y’(x0)

Đặt x = x – x0, ta có x = x0 + x và đặt y = f(x0 + x) – f(x0) thì

x

y lim

'

y

0









Ký hiệu dy/dx, df/dx

C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

- Đạo hàm bên phải:

- Đạo hàm bên trái:

x

y lim

'

y

0











x

y lim

'

y

0











- Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó,

- f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi

điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b

Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx

C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

1.2 Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số:

Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì:

1) u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’

2) u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u

'

v

u ' v v

'

u v















1.3 Đạo hàm của hàm số hợp:

Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp fou có đạo hàm theo x

và y’(x) = y’(u).u’(x)

C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

1.4 Đạo hàm của hàm số ngược:

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm

số ngược x = f-1(y) thì hàm số x = f-1(y) có đạo hàm tại y = f(x):

)]

y ( f [' f

1 )

x ( ' f

1 )

y ( )' f









Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx

C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

1.5 Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:

(c)’ = 0 (c: hằng số)

(x)’ = x-1 (  R, x > 0)

(ax)’ = axlna (a > 0, a ≠ 1)

(ex)’ = ex

0) x

1, a

0, (a

a ln x

1 )'

x

0) x

(

x

1 )'

x

(sinx)’ = cosx

(cosx)’ = -sinx

Z) k

, k /2 (x

x cos

1 )'

tgx

Z) k

, k (x

x sin

1 )'

gx

) 1 x

(

x

1

1 )'

x

(arcsin





) 1 x

(

x 1

1 )'

x

(arccos







2

x 1

1 )'

arctgx

(





2

x 1

1 )'

gx cot arc

(







C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

1.6 Đạo hàm cấp cao :

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1 Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2 Ký hiệu: y’’(x), f’’(x)

2

2 2

2

dx

f

d

, dx

y d

Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x)

n

n n

n

dx

f

d

, dx

y d

Ví dụ: Cho y = x (  R, x > 0), y = kex, tìm y(n)

C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

1.7 Công thức Leibniz:

Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n Khi đó ta có:

(u + v)(n) = u(n) + v(n)









n 0 k

k ) k n (

k n

) n

) uv

C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

2 VI PHÂN

2.1 Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy = y’dx (df = f’dx) được gọi là vi phân cấp 1 của hàm số f

x ln 1

Ví dụ: tìm dy với

2.2 Vi phân của tổng, tích, thương:

Từ công thức của đạo hàm ta suy ra:

1) d(u + v) = du + dv 2) d(u.v) = vdu + udv

2

v

udv

vdu v

u











C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

2.3 Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng:

Khi x0, thì f(x0+x) – f(x0) và f’(x0)x là hai VCB tương đương, nên khi x khá nhỏ, ta có công thức gần đúng

f(x0+x)  f(x0) + f’(x0)x

Ví dụ, tìm 4 15,8

2.4 Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(n-1) khả vi, ta ký hiệu

d(n)y = y(n)dxn (d(n)f = f(n)dx) được gọi là vi phân cấp n của hàm

số f

C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

3 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG

2.5 Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi

trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho f’(c) = 0

2.6 Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho

) c ( '

f a

b

) a ( f ) b (

f







Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a)

C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

2.7 Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, x  (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho

) c ( ' g

) c ( '

f )

a ( g ) b ( g

) a ( f ) b (

f







Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy trong trường hợp g(x) = x

C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

QUI TẮC L’HOSPITAL khử dựng vô định khi tìm giới hạn

1 Dạng 0/0, /

Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x  (a,b)

0 )

x ( g lim )

x

(

f

lim

a x a



) x ( ' g

) x ( '

f lim

a



L )

x ( g

) x (

f lim

a



Nhận xét: (1) Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu:

0 )

x ( g lim )

x ( f

lim

x



















) x ( g lim )

x ( f

lim

a x a

x















) x ( g lim )

x ( f

lim

x x

(2) Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần

C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0)

8 x 4 x

27

x

3



x

tgx lim

0





3 0

x sin

x lim 



x 1

arctgx 2

lim

x









ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng /)

gx cot

x

ln lim

0

x

ln lim



n

x lim





C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

2 Dạng 0.,  - : Tìm cách chuyển chúng về dạng 0/0, /.

Ví dụ:

x ln x

lim 5

0

x   lim (4 x2)tg( x / 4)

2



)

tgx x

cos

1 (

lim

2 /





3 Dạng vô định: 0 0 , 1,  0 : Ta xét [f(x)]g(x) = eg(x).ln f(x) (f(x) > 0)

Ví dụ:

2

x 0

xlim x





x 1

2 1

xlim x 



x ln

1 1

xlim(cotgx)



C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

CỰC TRỊ

Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại x0

nếu tồn tại một lân cận của x0 sao cho f(x)  f(x0) (f(x)  f(x0))

Chiều biến thiên của hàm số:

Định lý: Cho f khả vi trong (a,b):

1 Nếu f’(x) > 0 với mọi x  (a,b) thì f tăng trong khoảng đó

2 Nếu f’(x) < 0 với mọi x  (a,b) thì f giảm trong khoảng đó

Điều kiện cần của cực trị:

Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x = x0 và có đạo hàm tại điểm đó thì f’(x0) = 0

C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Ví dụ: Hàm số y = x3, f’(0) = 0 nhưng tại x = 0 hàm số không đạt cực trị

Hàm số y = x đạt cực tiểu tại x = 0 nhưng f’(0) không tồn tại

Định nghĩa: Các điểm thoả một trong các điều kiện sau thì

được gọi chung là điểm tới hạn của f:

a) Không tồn tại f’(x) b) f’(x) = 0

Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = 0 được gọi là

điểm dừng của f

C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Điều kiện đủ của cực trị:

Định lý: Giả sử f khả vi trong khoảng (a,b) chứa điểm x0

a) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại x0

b) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại x0

c) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại x0

Định lý: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục ở lân cận điểm x0

và f’(x) = 0

a) Nếu f”(x0) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu

b) Nếu f”(x0) < 0 thì f(x) đạt cực đại

C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Giá trị lớn nhất bé nhất của hàm số trên một đoạn:

1 Tính giá của f tại các điểm tới hạn và tại điểm hai đầu mút

2 Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị được tính trên là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất cần tìm

Ví dụ: tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số:

f(x) = x3 – 3x2 +1 trên đoạn [-1/2, 4]