giáo án - bài giảng hàm số nhiếu biến

bài giảng hàm nhiều biến

C3 HÀM NHIỀU BIẾN

ξ1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Định nghĩa: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký

hiện (x1, x2,… xn) (xi ∈ R, i = 1, n) được gọi là một điểm n - chiều Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là R n

R n = {x = (x1, x2,… xn): xi ∈ R, i = 1, n}

Trong đó xi là toạ độ thứ i của điểm x

Định nghĩa: Khoảng các giữa 2 điểm x = (x1,x2,… xn),

y = (y1,y2,… yn) ∈ R n:

= n (xi yi)2 )

y , x

(

d

C3 HÀM NHIỀU BIẾN

Một số tính chất của d:

a) d(x,y) ≥ 0; d(x,y) = 0  xi = yi, ∀I  x = y b) d(x,y) = d(y,x)

c) d(x,y) ≤ d(x,z) + d (z,y)

Điểm biên, tập đóng: Điểm x0 ∈ R n được gọi là điểm biên của

D ⊂ R n nếu mọi lân cận của x0 đều chứa ít nhất các điểm x, y:

Lân cận: Cho x0∈R n và số r > 0 Tập S(x0, r) = {x ∈ R n: d(x,x0)

< r} được gọi là một lân cận của x0

Điểm trong: Điểm x0∈R n được gọi là điểm trong của D ⊂ R n

nếu D chứa một lân cận của x0

C3 HÀM NHIỀU BIẾN

Điểm giới hạn: Điểm x0∈R n được gọi là điểm giới hạn của D ⊂

R n nếu mọi lân cận của x0 chứa ít nhất một điểm x: x∈D, x≠x0 Đặc biệt, nếu điểm x0 ∈ D không phải là điểm giới hạn thì nó

được gọi là điểm cô lập của D

Hàm nhiều: D ⊂ R n Một ánh xạ f: D → R, tức là một qui tắc (x1,

x2,… xn) ∈ D một số thực z được gọi là hàm số n biến Ký hiệu:

) x ,

x , x ( f z )

x ,

x , x ( :

f 1 2 n  = 1 2 n D: miền xác định

f(D) = {z ∈ D | z = f(x1, x2,… xn), ∀(x1, x2,… xn) ∈ D} gọi

C3 HÀM NHIỀU BIẾN

Hàm 2 biến: D ⊂ R 2 Một ánh xạ f: D → R, tức là một qui tắc (x,y) ∈ D một số thực z được gọi là hàm số 2 biến Ký hiệu:

) y , x ( f z )

y , x ( :

D: miền xác định f(D) = {z ∈ D | z = f(x,y), ∀(x,y) ∈ D} gọi là miền giá trị

Ví dụ: Tìm miền xác định:

z = 2x – 3y +5

z = ln(x + y -1)

2

2 y x

1

z = − −

C3 HÀM NHIỀU BIẾN

ξ2 GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

Định nghĩa: Cho hàm số f(x,y) xác định trên D ⊂ R 2 và

M0(x0,y0) là điểm giới hạn của D Số thực L được gọi là giới hạn của f khi M(x,y) tiến dần đến M0(x0,y0), nếu:

∀ε > 0, ∃δ > 0: d(M,M0) < δ => |f(M) – L| < ε

2 0

2 0

0) (x - x ) (y- y ) M

L )

M ( f

lim

0

M

→ lim f (x,y) L

) y , x ( ) y , x

→ lim f (x,y) L

0

0

y

y x

→→

, ,

C3 HÀM NHIỀU BIẾN

• Khái niệm vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến

• Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến

Ví dụ:

2 2

) 0 , 0 ( ) y , x

xy lim

+

→

2 2

2 2

) 0 , 0 ( ) y , x

) y x

sin(

lim

+ +

→

C3 HÀM NHIỀU BIẾN

Định nghĩa: Nếu lim f(x,y) f (x0,y0)

) y , x ( ) y , x

→

Thì f được gọi là liên tục tại (x0,y0)

• Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến

Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trên một tập đóng và bị chặn trên D

⊂ R 2 thì f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên D

C3 HÀM NHIỀU BIẾN

ξ3 ĐẠO HÀM RIÊNG

Định nghĩa: z = f(x,y) là một hàm số xác định trong miền D,

M0(x0,y0) ∈ D Nếu cho y = y0, y0 là hằng số, hàm số một biến f(x,y0) có đạo hàm tại x = x0, thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của f đối với x tại M0 Ký hiệu:

) y , x

( x

z ), y , x

( x

f , ) y , x (

fx' 0 0 0 0 0 0

∂

∂

∂

∂

Đặt ∆xf = f(x0 + ∆x, y0) - f(x0,y0): Số gia riêng của f tại M0

' x

x 0 x 0

x

f lim

) y , x

( x

f

∆

∆

=

∂

∂

→

∆

C3 HÀM NHIỀU BIẾN

Tương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng của f theo biến y

' y

y 0 y 0

y

f lim

) y , x

( y

f

∆

∆

=

∂

∂

→

∆

Tương tự ta cũng có đạo hàm riêng đối với hàm n biến

số (n≥3)

Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng:

4 2

3

4 5x y 2y x

z = − +

y

x

u =

C3 HÀM NHIỀU BIẾN

Đạo hàm riêng cấp cao:

Định nghĩa: Cho hàm số f(x,y) Các đạo hàm riêng f’x, f’y được gọi là những đạo hàm riêng cấp 1 Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 nếu tồn tại được gọi là đạo hàm riêng cấp 2

Ta có 4 đạo hàm riêng:

) y , x (

f x

f x

f x

'' x 2

2

2

=

∂

∂

=













∂

∂

∂

x y

f x

f y

'' yx

2

=

∂

∂

∂

=













∂

∂

∂

∂

) y , x (

f y x

f y

f x

'' xy

2

=

∂

∂

∂

=













∂

∂

∂

y y

f y

f y

'' y

2

2

=

∂

∂

∂

=













∂

∂

∂

∂

C3 HÀM NHIỀU BIẾN

Định lý (Schwarz): Nếu trong lân cận nào đó của M0 hàm số f(x,y) tồn tại các đạo hàm riêng và liên tục tại M0 thì fxy = fyx tại

M0

Định lý này cũng đúng cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn của n biến số (n≥3)

Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu hàm số z = f(u,v) là các hàm

số khả vi của u,v và các hàm số u = u(x,y), v = v(x,y) có các đạo hàm riêng ux, uy, vx, vy thì tồn tại các đạo hàm riêng:

x

v v

f x

u u

f x

z

∂

∂

∂

∂ +

∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

y

v v

f y

u u

f y

z

∂

∂

∂

∂ +

∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

C3 HÀM NHIỀU BIẾN

ξ3 ĐẠO HÀM HÀM ẨN

Định nghĩa hàm số ẩn 1 biến: Cho phương trình

F(x,y) = 0 Nếu tồn tại hàm số y = f(x) sao cho F(x,f(x)) = 0, ∀x ∈ (A,B) thì f được gọi là hàm số ẩn từ phương trình F(x,y) = 0

* Chú ý rằng mọi hàm số ẩn đều biểu diễn được dưới dạng y = f(x)

Ví dụ: xy – ex + ey = 0

C3 HÀM NHIỀU BIẾN

Đạo hàm của hàm số ẩn 1 biến:

y

x

F

F '

y = −

Ví dụ: Tính y’ nếu:

F(x,y) = x3 + y3 – 3axy = 0 F(x,y) = xy – ex + ey = 0

C3 HÀM NHIỀU BIẾN

Định nghĩa hàm số ẩn 2 biến: Cho phương trình F(x,y,z) = 0 Nếu tồn tại hàm số hai biến z = f(x,y) sao cho F(x,y,z) = 0, với mọi x, y thuộc miền xác định của f, thì f được gọi là hàm số ẩn

từ phương trình F(x,y,z) = 0

Đạo hàm của hàm số ẩn 2 biến:

z

x

F

F x

z

−

=

∂

∂

z

y

F

F y

z

−

=

∂

∂

Ví dụ: tính zx, zy nếu xyz = cos(x+y+z)

C3 HÀM NHIỀU BIẾN

ξ4 CỰC TRỊ

Cực trị tự do:

Định nghĩa: Hàm số f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm

M0(x0,y0) nếu tồn tại một lân cận ∆ của M0 sao cho f(M) ≤ f(M0),

∀M ∈ ∆ (f(M) ≥ f(M0), ∀M ∈ ∆) F(M0) gọi chung là cực trị

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2

Điều kiện cần để có cực trị:

Nếu f(x0,y0) là cực trị của f và f có đạo hàm riêng tại (x0,y0) thì: f’x(x0,y0) = 0, f’y(x0,y0) = 0

Ta có khái niệm điểm dừng như trong trường hợp hàm một

C3 HÀM NHIỀU BIẾN

Điều kiện đủ của cực trị: Giả sử M0(x0,y0) là một điểm dừng của hàm số f(x,y) có đạo hàm riêng cấp 2 ở lân cận của M0 Đặt:

r = fxx(M0) , s = fxy(M0) , t = fyy(M0)

1) Nếu s2 – rt < 0: thì f đạt cực trị tại M0 Nếu r > 0 (r < 0) thì f đạt cực tiểu (cực đại)

2) Nếu s2 – rt > 0: f không đạt cực trị tại M0

3) Nếu s2 – rt = 0: Chưa kết luận được (trường hợp nghi ngờ)

Ví dụ: tìm cực trị hàm số z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8,

z = x3 + y3

C3 HÀM NHIỀU BIẾN

Cực trị có điều kiện:

Định nghĩa: Người ta gọi cực trị của hàm số z = f(x,y) trong đó

các biến x,y bị ràng buộc bởi hệ thức g(x,y) = 0 là cực trị có

điều kiện

Điều kiện cần (Phương pháp nhân tử Lagrange):

Nếu f(x,y) đạt cực trị có điều kiện g(x,y) = 0 tại điểm M0 thì tồn tại λ sao cho:







= λ

+

= λ

+

0 )

M ( g )

M ( f

0 )

M ( g )

M ( f

0 y

0 y

0 x

0 x

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2

C3 HÀM NHIỀU BIẾN

Phương pháp nhân tử Lagrange có thể mở rộng cho hàm

số n biến (n≥3):

Giả sử M0(x0,y0,z0) là cực trị có điều kiện của hàm số

u = f(x,y,z) với điều kiện g(x,y,z) = 0 thì:











= λ

+

= λ

+

= λ

+

0 )

M ( g )

M ( f

0 )

M ( g )

M ( f

0 )

M ( g )

M ( f

0 z

0 z

0 y

0 y

0 x

0 x

Ví dụ: Tìm cực trị hàm số u = x – 2y + 2z

với điều kiện x2 + y2 + z2 – 1 = 0