KĨ THUẬT NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP

Chuyên đề: SỬ DỤNG PHÉP NHÂN LIÊN HỢP TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHỨA CĂN Th.S.. Đặt vấn đề Trong quá trình giải các bài toán đại số, việc sử dụng quy tắc nhân liên hợp được sử dụng khá p

Chuyên đề: SỬ DỤNG PHÉP NHÂN LIÊN HỢP TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN

CHỨA CĂN

Th.S Đỗ Viết Tuân

A Đặt vấn đề

Trong quá trình giải các bài toán đại số, việc sử dụng quy tắc nhân liên hợp được sử dụng khá phổ biến Chúng ta có thể gặp quy tắc nhân liên hợp trong các bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, trong tính giới hạn, hay tính tích phân…

Trong khuôn khổ bài viết này, tác giả muốn tổng kết lại một số ứng dụng của phép nhân liên hợp trong giải toán qua một số ví dụ cụ thể

B Một số bài toán cụ thể

1 Ứng dụng trong giải phương trình và bất phương trình chứa căn

Mục đích của việc sửa dụng phép nhân liên hợp trong các bài toán này là để làm xuất hiện nhân tử chung của phương trình và bất phương trình nhằm đưa bài toán về dạng đơn giản hơn

Chúng ta có thể tìm hiểu thông qua một số ví dụ chi tiết sau:

1.1 Phương trình chứa căn

Ví dụ 1: Giải phương trình sau

15 3 2 8 (1)

Lời giải:

(1) x 15 x  8 3x2

x

7

3 2 (*)

x

  

(*)

 có nghiệm thì 3x  2 0 x2.

Mặt khác: 2 2

(1) x 15 4 3x 3 x  8 3

3( 1)

x

x

1 0

3 0 (**)

15 4 8 3

x

 







Do 2

3

x  nên x2  15  4  x2   8 3 và x  1 0

(**) 0 (**)

VT

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1

Ví dụ 2: Giải phương trình: 3x 1 6x 3x2 14x 8 0 (2)

Giải

Điều kiện: 1

6,

   khi đó:

2 (2)( 3x 1 4)(1 6 x)3x 14x 5 0

3 1

3 1 0 (*)

x

x







 



Theo điều kiện 3x  1 0 VT(*) 0 (*) vô nghiệm

Do đó phương trình đã cho có nghiệm: x 5

Bài tập luyện tập

Giải các phương trình sau

1 2010 (x x2   1 x ) 1  Đs: x = 0

2 2 x   5 2 x   1 2 x2  13  0 Đs: x = 3

3 5 x   1 3 9  x  2 x2  3 x  1 Đs: x = 1

4 2 x2   x 9  2 x2     x 1 x 4 Đs: x = 0, x = 8/7

1.2 Bất phương trình chứa căn

5

x

Giải

Điều kiện: 1

4

x  

( 1) 1

5



5

x

0 5

3x2 4x1  nên phương trình tương đương với: x    1 0 x  1

Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình là: 1;1

4

S   

Bài tập luyện tập

Giải các bất phương trình sau

1

2 2

2

21

x

x x

 

ĐS: 9 7 ; \ 0  

2 2

S      

2 1  x  1  x  x Đs: [0; 1]

3 2

x

x

45 0;

8

2 Ứng dụng trong bài toán hệ phương trình đại số

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình

2

(4)







Giải:

Điều kiện x y0

Phương trình (4a) tương đương với

  

2

1









Thay vào phương trình (4b), ta có

3

2 3

2

2

2

2

1 0

1

1 0

x

x

x







 



Vậy nghiệm của hệ phương trình là 1

1;

2



Bài tập luyện tập

Giải các hệ phương trình sau





2 1 7 4







ĐS: 3;3







ĐS:  1;1







Đs:  ;  1; 1 ; 3 11; 3 11

x y       

3 Ứng dụng trong các bài toán tính giới hạn

1.3 Giới hạn dãy số

Ví dụ 5: Tính giới hạn sau

3

lim( n  1 n  n 1)

Ví dụ 6: Tính giới hạn  

2

3 lim 2 5 8 3 1 7

2

n n

      

Bài tập luyện tập

Tính các giới hạn sau:

3

1 lim( n 2nn); 2 lim( n 2n n)

2 3 4

1

3 lim n n

 

 

4 lim 4n

2

+ 1 – 2n – 1

n2 + 4n + 1 – n

1.4 Ứng dụng tính giới hạn hàm số

Ví dụ 7: Tính giới hạn sau

4 3

0

lim

2

x

x



  

 

Bài tập luyện tập

1)

3

2 1

lim

1

x

x



 2)

2 x

2 x x 10 lim

3 2









3)

3

2

x 2

8x 11 x 7

lim

x 3x 2



  

  4)

0

1 4 1 6 1 lim

x

x



5)

3 0

1 2 1 4 1 lim

x

x



4 Kỹ thuật nhân liên hợp trong tính tích phân

Ví dụ 8: Tính tích phân

/ 4

/ 4

sin 1

x

x x











Lời giải

Nhân cả tử và mẫu của biểu thức dưới dấu tích phân với ( 2

1 x x) ta có:

2

/4

4

5 5

sin

1

x

x x













+) Tính '

5

I Đặt x = -t, khi đó ta có:





           

sin x cos



4

5

4







Vậy I 5 2

Bài tập luyện tập

Tính các tích phân sau

1)

1

xdx

2

0

xdx

x  2  2 x 



3)

1 2 2 0

( 1 )

1

 

 

