Kĩ thuật nhân chia liên hợp đối với phương trình, hệ phương trình chứa căn thức

Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh pháttriển năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh tư duy biệnchứng, tư duy trừu tượng, tư duy logic… Trong những năm gần đây, các

MỤC LỤC

1 Lời giới thiệu 2

2 Tên sáng kiến 2

3 Tác giả sáng kiến 2

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến 2

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến 2

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 09/2017 3

7 Mô tả bản chất của sáng kiến 3

7.1 Các bước thực hiện sáng kiến 3

7.2 Nội dung sáng kiến 3

7.3 Khả năng áp dụng của sáng kiến 21

8 Những thông tin cần được bảo mật: Không có 21

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: 21

10.2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân 22

11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): 22

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Đất nước ta đang trên đà phát triển và hội nhập Để đáp ứng nhu cầucông nghiệp hoá - hiện đại hoá đất nước, cùng với sự phát triển củakhoa học - công nghệ, giáo dục và đào tạo được xem là quốc sáchhàng đầu nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhântài

Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông, môn toánchiếm vị trí đặc biệt quan trọng trong các môn học, nó là cơ sở củanhiều môn học khác Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh pháttriển năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh tư duy biệnchứng, tư duy trừu tượng, tư duy logic…

Trong những năm gần đây, các bài toán về phương trình, hệphương trình thường xuất hiện nhiều trong các cuộc thi Học sinh giỏi

và Kì thi Trung học phổ thông quốc gia Phương trình, hệ phương trìnhđược đánh giá là bài toán phân loại học sinh đòi hỏi nhiều kĩ thuật.Trong quá trình công tác và giảng dạy tại trường THPT Nguyễn ViếtXuân, tôi đã được ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi và ôn tập kiến thứccho học sinh Ôn luyện Kì thi THPT Quốc gia, nhận thấy rằng kĩ nănggiải phương trình, hệ phương trình của học sinh còn nhiều hạn chế, vì

thế tôi viết sáng kiến kinh nghiệm: “ Kĩ thuật nhân chia liên hợp

đối với phương trình, hệ phương trình chứa căn thức ” với mong

muốn cung cấp cho học sinh một phương pháp hữu hiệu để giảiphương trình, hệ phương trình, đồng thời góp phần tích luỹ những kiếnthức cần thiết cho công tác giảng dạy của bản thân Hy vọng sángkiến kinh nghiệm này sẽ là một tài liệu hữu ích cho giáo viên và họcsinh tham khảo trong việc ôn luyện thi THPT Quốc gia cũng như bồidưỡng học sinh giỏi

2 Tên sáng kiến

“ Kĩ thuật nhân chia liên hợp đối với phương trình, hệ phương

trình chứa căn thức ”

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Hoàng Tuyết Nhung

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Viết Xuân – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc

7 Mô tả bản chất của sáng kiến

7.1 Các bước thực hiện sáng kiến

Bước 1: Xây dựng nội dung sáng kiến

Bước 2: Áp dụng sáng kiến trong hoạt động dạy học

Bước 3: Chỉnh sửa, bổ sung, rút kinh nghiệm

Bước 4: Nhân rộng sáng kiến

7.2 Nội dung sáng kiến

A2−A3√ B+3√B2

7.2.2 Nội dung của phương pháp nhân chia liên hợp

Vận dụng kĩ thuật nhân chia liên hợp cơ bản khi giải phương trình

vô tỉ cho ta kết quả nhanh gọn Mục tiêu của phương pháp này nhưsau:

- Giả sử nhẩm được nghiệm của phương trình là x=a

- Nhân liên hợp một cách hợp lý sao cho xuất hiện nhân tử

Thông thường ta chứng minh được g( x)>0 hoặc g( x)<0 (Với mọi x thuộc K là tập điều kiện xác định của phương trình) Trong trường hợp khó chứng minh phương trình g( x)=0 vô nghiệm, đòi hỏi

khéo léo xử lý phương trình bằng công cụ bất đẳng thức, đạo hàm, …

Khi vận dụng kĩ thuật nhân chia liên hợp giải thành thạo phươngtrình vô tỉ thì kĩ thuật này là công cụ hiệu quả để giải hệ phương trìnhchứa ẩn trong dấu căn cho ta kết quả nhanh gọn

7.2.3 KĨ THUẬT NHÂN CHIA LIÊN HỢP ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU CĂN

Ví dụ 1: Giải phương trình:

3 x  x   8 2  x  15 (1)

Phân tích: Dễ dàng nhẩm được x  là nghiệm của phương trình (1),1

dự đoán có thể giải phương trình bằng phương pháp nhân chia liên hợp

để xuất hiện nhân tử chung x2−1 Tuy nhiên, quan sát các biểu thứcchứa ẩn trong dấu căn, ta không thể nhân chia liên hợp trực tiếp Đểphát hiện được biểu thức nhân chia liên hợp ta thực hiện như sau:

Xét: 3√x2−a=0 , cho x=1 ta được a=1  biểu thức liên hợp

Trước hết, kiểm tra ta thấy được rằng phương trình đã cho có mộtnghiệm x  2

nên ta sẽ cố gắng đưa phương trình trên về phương trình tích xuấthiện nhân tử

Ví dụ 3: Giải phương trình:

2 x  7x10 x x 12x20 (3)

Phân tích:

Cũng bằng cách kiểm tra, ta thấy phương trình (3) nhận x = 1 làm một

nghiệm nên ta có thể đưa phương trình (3) về dạng phương trình tíchxuất hiện nhân tử x  1 Vì biểu thức dưới dấu căn là tam thức bậc hai

nên để xuất hiện nhân tử ( x−1) , ta thực hiện phân tích như sau:

Xét: √ x2−7 x+10−( x+a)=0 , cho x=1 ta được a=1

 biểu thức liên hợp √ x2−7 x+10−( x+1) .

Xét: √ x2−12 x+20−( x+a)=0 , cho x=1 ta được a=2

 biểu thức liên hợp √ x2−12 x+20−( x+2 ) .

Giải:

Đến đây ta có hai hướng giải quyết:

Hướng 1: Bình phương hai vế…(không khả thi).

Hướng 2: Kết hợp với phương trình (3) ta có hệ sau:

3 Nên ta sẽ thêm (bớt) đại lượng phù hợp để

có thể nhân chia liên hợp xuất hiện nhân tử chung (3x−1)

Ta nhận thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình Như vậy phương

trình đã cho có thể phân tích được về dạng x 2  Q x  0

Giải: Phương trình đã cho tương đương với:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.

Ví dụ 6: Giải phương trình

2 3

5x 1  9  x 2x  3x 1

Phân tích: Dễ nhẩm được x = 1 là một nghiệm của phương trình, bằng

cách phân tích đã nêu ở các ví dụ trên ta có thể thực hiện lời giải nhưsau:

Giải: ĐK:

1 5

x 

.Phương trình đã cho tương đương với:

2 3

Ở bài này, khó là ở chỗ ta không thể nhẩm ra ngay được nghiệm củaphương trình để dùng lượng liên hợp Tuy nhiên với sự hỗ trợ đắc lựccủa công nghệ là chiếc máy tính Casio fx570-ES thì mọi chuyện có vẻ

Bây giờ ta sẽ thử tìm xem A và B có mối quan hệ gì với nhau haykhông bằng cách tình A + B và AB, ta thu được kết quả “đẹp” sau:

Phân tích: Dễ dàng nhẩm được x=−1,x=2 là nghiệm của phương trình

nên ta thực hiện nhân chia liên hợp để xuất hiện nhân tử chung(x+1)( x−2)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=−1 và x=2

Nhận xét: Với bài này, việc xuất hiện thêm các đa thức chứa trị tuyệt

đối tưởng chừng như sẽ gây cho ta thêm khó khăn trong việc giảiquyết Nhưng nhờ sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp, bài toán

đã được giải quyết nhanh chóng! Khi ấy, ta chỉ cần chuyển các biểuthức về vị trí phù hợp và sử dụng phương pháp nhân chia liên hợp làđủ

Hướng dẫn: pt 3 x 2 1 2x 6 x 6 3

, nhân chia liên hợp xuất

hiện nhân tử chung x – 3.

3

2 2

x 

Hướng dẫn:

2 2

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

{ √ 2x+y−1− √ x+2y−2+x−y+1=0 (1) ¿¿¿¿

Phân tích: Quan sát phương trình (1) dễ nhận thấy:

(2 x+ y−1 )−(x+2 y−2 )=x− y+1

Do đó, ta thực hiện nhân liên hợp trực tiếp phương trình (1) xuất hiện

nhân tử chung ( x− y+1)

Giải: ĐK: { 2x+y−1≥0 ¿ { x+2y−2≥0 ¿ { 2x+y≥0 ¿¿¿¿

Dễ thấy phương trình (*) vô nghiệm

Với x− y+1=0 ⇔ y=x+1 thay vào (2) ta được phương trình:

√ 3x +1+ √ 5 x+4=3 x2− x+3 (3) ĐK: x≥−

13

Nhận xét: Dễ dàng nhẩm được x=0, x=1 là nghiệm của phương trình

(3) Có thể sử dụng kĩ thuật nhân chia liên hợp để xuất hiện nhân tử

x(x−1) Khi nhân liên hợp nhiều hơn một nghiệm biểu thức có dạng

√ A−B thì B phải có chứa biến.

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

{ √ x2− x−y=3y

√ x−y (1) ¿ ¿¿¿

Phân tích: Quan sát hai phương trình trong hệ, ta gặp khó khăn trong

việc nhân chia liên hợp để xuất hiện nhân tử chung Kĩ thuật sau sẽgiúp ta “mò” được nhân tử chung:

Từ phân tích trên ta phát hiện quy luật: y=x−1

Ta sẽ thêm bớt lượng tử hai vế của (1) để nhân chia liên hợp làm xuất

hiện nhân tử ( x−y−1)

Giải: ĐK: { x 2 − x−y≥0 ¿ { x−y≠0 ¿¿¿¿

√ ( x−y )2+3√ x−y+1 +

( x+y)

√ x2− x−y ( y+ √ x2− x−y ) =0 (3)

[ ¿

Để ý phương trình (1) nếu y<0 , kết hợp điều kiện x≥12 thì x− y>0

do đó vế phải của (1) âm, suy ra (1) vô nghiệm

Ta phải có y≥0 Vì vậy phương trình (3) vô nghiệm.

Với x− y−1=0⇔ y=x−1 thay vào (2) ta được:

Giải: ĐK: x≥2 y≥0,4 x−5 y−3≥0 .

Phương trình (1) tương đương với:

TH1: Nếu y=1 thay vào phương trình (2) của hệ ta được: x=3

TH2: Nếu y=x−1 , khi đó điều kiện trở thành 1≤x≤2 , thay vàophương trình (2) của hệ ta được:

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:

{√ x 2 + y 2 + √ x 2 − y 2 =2y (1) ¿¿¿¿

Giải:

ĐK: { x≥0 ¿¿¿¿

Từ phương trình (1) ta suy ra y≥0 .

Nhận thấy y=0 không thỏa mãn hệ phương trình nên ta chỉ xéty>0 .

Viết lại phương trình (1) như sau:

Cách 2: Ta có thể phân tích (1) về dạng tích như sau:

√ x 2 + y 2 =2y− √ x 2 − y 2 ⇒ x 2 + y 2 = x 2 +3y 2 −4y √ x 2 − y 2

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:

Phân tích: Quan sát phương trình (2) thấy rằng x= y thỏa mãn

phương trình nên có thể phân tích (2) xuất hiện nhân tử chung ( x− y)

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được

Phân tích: Nhiều em học sinh sẽ dự đoán khai thác phương trình số (2),

nhưng ta rất khó khăn phân tích phương trình (2) về dạng phương

trình tích Quan sát phương trình (1) lại thấy ( x+ y)− y=x , nên ta có

thể dùng kĩ thuật nhân chia liên hợp để phân tích (1) xuất hiện nhân tửchung là x

{ x+y≥0 ¿¿¿¿

Với x+ y=1⇔ x=1− y , thay vào (2) ta được:

(1− y )2+ y2+2 (1− y)− y−2=0 ⇔2 y2−5 y+1=0 ⇔ ¿

[ y= 5+ √ 17

2 [ y= 5− √ 17

2 [ ¿

Vậy nghiệm (x; y) của hệ phương trình là: ( 0;2) , ( −1± 4 √ 17 ;

5∓ √ 17

Ví dụ 9: Giải hệ phương trình:

{ √ x+y+ √ 2x+3y=5 (1) ¿¿¿¿

Phân tích: Nhận thấy rằng, rất khó để khai thác từng phương trình

trong hệ, nhưng nếu kết hợp cả hai phương trình trong hệ ta thấy:

(x+ y)−(2 y+2 )=x− y−2

(2x+3 y)−( x+4 y+2)=x− y−2

Vế phải của hai phương trình đều là hằng số 5, nên trừ vế với vế củahai phương trình sẽ xuất hiện biểu thức liên hợp

Giải: ĐK: { x+y≥0 ¿ { 2x+3y≥0 ¿ { y≥−1 ¿¿¿¿

Trừ vế với vế của (1) cho (2) ta được:

√ x+ y− √ 2 y+2+ √ 2x+3 y− √ x+4 y+2=0

Trường hợp 2: { √ x 2 + y+1+ √ 2x+y=1 ¿¿¿¿

Hệ phương trình trên tương đương với:

{ √ x 2 + y+1+ √ 2x+y=1 ¿¿¿¿

Hướng dẫn: (1)⇔ √ x2+ 2x− √ y2−1=x− y+1 , nhân chia liên hợp vế trái

làm xuất hiện nhân tử chung ( x− y+1)

2 { √ x 2 − y+ √ 2x−y−1=x−1 ¿¿¿¿ ĐS: (2;3)

Hướng dẫn: ( 1)⇔ √ x2− y−(x−1)+ √ 2 x− y−1=0 , nhân chia liên hợp làm

xuất hiện nhân tử chung 2x – y - 1.

3 { ( x+1 ) √ y 2 + y+2+ ( y−1 ) √ x 2 + x+1=x+y (1) ¿¿¿¿ ĐS:

Thế vào phương trình (2) ta tìm được x=2

7.3 Khả năng áp dụng của sáng kiến

- Sáng kiến đã được áp dụng thành công cho đối tượng học sinhban nâng cao lớp 10, Trường THPT Nguyễn Viết Xuân, năm học 2017 –

2018 năm học 2018 – 2019

8 Những thông tin cần được bảo mật: Không có

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

- Học sinh ban nâng cao

- HS chuẩn bị: Bút, máy tính cầm tay, nháp

10 Đánh giá lợi ích thu được do áp dụng sáng kiến theo theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu:

10.1 Đánh giá lợi ích dự kiến có thể thu được do áp dụng sángkiến theo ý kiến của tác giả

Đề tài đã trình bày một kĩ năng vận dụng hiệu quả đối vớiphương trình, hệ phương trình vô tỉ chương trình đại số 10, ôn thi họcsinh giỏi, ôn thi THPT Quốc gia

Thông qua những ví dụ được chọn lọc trong đề tài, ta thấy nhiều

nhanh chóng, một số bài toán còn thể hiện được tính độc đáo của kĩthuật nhân chia liên hợp Đặc biệt, ôn thi học sinh giỏi cho học sinhkhối 10, 11 thì nhiều em còn tỏ ra thích thú khi được tiếp nhận một kĩthuật khá mới đối với các em

Tuy nhiên, kĩ thuật nhân chia liên hợp không phải là “chiếc chìakhóa vàng” để mở cửa mọi phương trình, hệ phương trình mà nó chỉthực sự có hiệu quả đối với một số dạng bài toán nhất định cho nênhọc sinh cần phải phối hợp nhuần nhuyễn nhiều phương pháp khácnhau Tôi tin tưởng rằng nếu người học vận dụng tốt phương pháp nàythì việc giải toán phương trình – hệ phương trình sẽ thuận lợi hơn rấtnhiều Với những kết quả đã làm được trong đề tài này, tôi hy vọngrằng đây sẽ là một tài liệu tốt cho giáo viên và học sinh trong việc bồidưỡng học sinh giỏi và luyện thi môn toán kì thi THPT Quốc gia

Đề tài này còn góp phần nâng cao rất đáng kể trong công tácgiảng dạy, ôn thi THPT Quốc Gia Đề tài đã giúp các em tích cực và tựtin hơn trong hoạt động tìm kiếm hướng lời giải cho loại bài tập liênquan phương trình, hệ phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức Từ chỗrất lúng túng, sai lầm thì nay phần lớn các em đã biết vận dụng những

kỹ năng được bồi dưỡng để giải nhanh và thành thạo nhiều bài toánphức tạp Điều đáng mừng là có nhiều em đã biết sáng tạo trong giảiToán, có nhiều cách giải nhanh và thông minh

Đối với bản thân tôi khi thực hiện đề tài này vào trong giảng dạythì tôi nhận thấy các em học sinh trường đã có sự thay đổi lớn về mặtnhận thức đó là ‘‘môn toán là môn học rất là khó’’ và, đặc biệt các em

đã rút ra cho mình kinh nghiệm làm bài thi Mặt khác khi áp dụng đềtài này tôi nhận thấy mình cần phải thay đổi về phương pháp giảngdạy và phương pháp giải các dạng bài tập nhất là phải tìm ra nhữngphương pháp chung nhất, tổng quát nhất giúp các em học sinh có đượcphương pháp giải nhanh nhất nhất, ngắn gọn nhất, dễ hiểu nhất và dễnhớ nhất để ghóp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn toán tạitrường THPT Nguyễn Viết Xuân

10.2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được

do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân

- Việc áp dụng sáng kiến này giúp học sinh có thêm một phươngpháp giải phương trình và hệ phương trình chứa căn

11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có):

Số TT