Tổng hợp các đề thi và đáp án kì thi học sinh giỏi môn Toán THPT Hoa Kì (từ trước đến 2014)

Tổng hợp các đề thi và đáp án kì thi học sinh giỏi môn Toán THPT Hoa Kì (từ trước đến 2014)Tổng hợp các đề thi và đáp án kì thi học sinh giỏi môn Toán THPT Hoa Kì (từ trước đến 2014)Tổng hợp các đề thi và đáp án kì thi học sinh giỏi môn Toán THPT Hoa Kì (từ trước đến 2014)

THI HỌC SINH

THI HỌC SINH GIỎI TOÁN TRUNG HỌC HOA KỲ (AHSME và AMC)) (American High School Mathematics Examination and American Mathematics Competition)

The American High School Mathematics Examination (AHSME) là kì thi đầu tiên trong loạt kì thi dùng để thử thách các học sinh giỏi toán, khối 12 và thấp hơn, từ đó chọn ra đội tuyển đại diện cho nước Mỹ tham gia kì thi Olympic Toán Quốc tế (International Mathematics Olympiad (IMO))

Kì thi AHSME gồm 30 câu hỏi trắc nghiệm 5 lựa chọn làm trong 75 phút Các câu hỏi có độ khó tăng dần

Mỗi trả lời đúng: 5 điểm Mỗi trả lời sai: - 2 điểm Mỗi câu hỏi không làm: 0 điểm nào

Bắt đầu từ năm 2000, kỳ thi AHSME được thay bằng AMC 12 (American Mathematics Competition) dành cho học sinh học lớp 12

Bài thi AMC 12 có 25 câu hỏi trắc nghiệm nhiều lựa chọn trong thời hạn 75 phút Bắt đầu từ năm 2008 thí sinh không được sử dụng máy tính

Những thí sinh đạt điểm cao sẽ được mời tham gia tiếp vào kỳ thi AIME (American Invitation Mathematics Examination) Những thí sinh đạt điểm cao trong kỳ thi này lại bước vào kỳ thi UMO (USA Mathematical Olympiad) mà những thí sinh được điểm cao nhất được tập hợp thành đội tuyển dự thi vào kỳ thi danh giá nhất trên thế giới, đó là kỳ thi IMO (International Mathematical Olympiad: (Olympic Toán Quốc Tế)

Các bài toán thuộc lãnh vực số học, đại số, hình học, lý thuyết số, tỗ hợp và xác suất và những nội dung khác của chương trình toán phổ thông mà học sinh có thểà giải được mà không cần công cụ giải tích

VIETMATHS.NET

2 Trong tam giác ABC, góc A = 550, góc C =

750, D trên cạnh AB, E trên cạnh BC

Nếu DB = BE, thế thì góc BED =

a) 500 b) 550 c) 600 d) 650 e) 700

3 Tính (không dùng máy) 1530

45 15

5 Năm trước một xe đạp giá 160 $, một mũ

bảo hộ giá 40$ Năm nay giá xe đạp tăng

5 %, giá mũ tăng 10% Vậy giá xe đạp

và mũ kể chung tăng bao nhiêu phần

Ví dụ: R3 = 111, R5 = 11111, Khi lấy R24 chia cho

R4, thương số Q là một số nguyên mà trong cơ hệ

10 được biễu diễn thành một dãy chỉ chứa chữ số 0 và 1 Vậy số chữ số 0 trong Q là:

8 Gọi C1, C2 là các đường tròn bán kính 1 nằm trong cùng một mặt phẳng và tiếp xúc nhau Hỏi có bao nhiêu đường tròn bán kính 3 nằm trong mặt phẳng ấy và tiếp xúc với cả hai đường tròn C1 và C2

9 Xứ A có c % dân số trái đâát và sở hữu d % của

cải thế giới Xứ B có e % dân số trái đâát và sở hữu f

% của cải thế giới Giả sữ mọi công dân của A đều chia xẻ của cải như nhau, công dân xứ B cũng vậy Hãy tìm tỉ số giữa của cải công dân xứ A và công dân xứ B

a) cd/ef b) ce/df c) cf/de d) de/cf e) df/ce

10 Gọi r là số sinh ra khi nhân cả cơ số và số mũ

của ab lên ba lần, a, b > 0 Nếu r bằng tích của ab và

xb với x > 0, thế thì x =a) 3 b) 3a2 c) 27a2 d) 2a3b e) 3a2b

11 Biết log2(log2 (log2 (x))) = 2, thế thì trong cơ hệ

10, biểu diễn của x có bao nhiêu chữ số?

12 Nếu

x x

2 f(x) = a)

VIETMATHS.NET

13 Một hình vuông có chu vi 20 nội tiếp trong hình

vuông có chu vi 28 Tìm khoảng cách lớn nhất giữa

một đỉnh của hình vuông trong với một đỉnh của

15 Có bao nhiêu giá trị của n sao cho các góc trong

của đa giác n-cạnh đều có số đo là số nguyên?

16 Xét dảy số không giãm những số nguyên dương 1,

2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5

trong đó số nguyên dương thứ n xuất hiện n lần

Tìm dư số khi chia số hạng thứ 1993 cho 5

17 An vẽ một tấm bia lên mặt một đồng hồ hình

vuông, dùng các vị trí chỉ giờ làm đường biên (xem

hình) Nếu t là diện tích của một trong 8 miền tam

giác như miền giữa 12 giờ và 1 giờ, và q là diện tích

của một trong bốn tứ giác ở góc như tứ giác giữa 1

giờ và 2 giờ, thế thì q/t =

a) 2 3- 2 b) 3/2 c) ( 5 + 1)/2 d) 3 e) 2

18 An và Bình bắt đầu công việc mới của họ vào

cùng một ngày Lịch làm việc của An là làm 3 ngày rồi nghỉ một ngày Còn lịch của Bình là làm liền 7 ngày rồi nghỉ 3 ngày Hỏi trong số 1000 ngày làm việc hai người có bao nhiêu ngày nghỉ chung?

a) Với mọi số thực dương k, cả hai nghiệm đều là sốthuần ảo

b) Với mọi số thực âm k, cả hai nghiệm đều là sốthuần ảo

c) Với mọi số thuần ảo k, cả hai nghiệm đều thựcvà hữu tỉ

d) Với mọi số thuần ảo k, cả hai nghiệm đều thựcvà vô tỉ

e) Với mọi số phức k, không có nghiệm nào là thực

21 Cho a1, a2, , ak là cấp số cộng với a4 + a5 + + a13 + a14 = 77

Biết ak= 13, thế thì k =

VIETMATHS.NET

22 Hai mươi khối lập phương được sắp xếp như sau

Dưới cùng là lớp thứ nhất gồm 10 khối được xếp

theo hình tam giác, sau đó lớp thứ hai gồm 6 khối

cũng sắp xếp theo hình tam giác đặt chồng lên và

ngay chính giữa lớp dưới, tiếp theo là lớp gồm 3

khối cũng theo hình tam giác đặt chồng lên cũng

ngay chính giữa lớp thứ hai, và cuối cùng là một

khối đặt ở trên cùng ngay chính giữa lớp thứ ba

Các khối ở lớp dưới cùng được đánh số từ 1 tới 10

theo một trật tự nào đó Mỗi khối thuôc lớp 2, 3 và

4 được gán cho một số là tổng của các số đã gán cho

ba khối mà nó nằm lên Hãy tìm con số nhỏ nhất

có thể gán cho khối trên cùng

a) 55 b) 83 c) 114 d) 137 e) 144

23 Các điểm A, B, C và D thuộc đường tròn đường

kính 1, và điểm X trên đường kính AD Biết BX =

CX và 3 góc BAC = góc BXC = 360, thế thì AX =

12 sin 6

12sin6sin o o

24 Một hộp chứa 3 đồng tiền mới và 4 đồng tiền

cũ Từng đồng một được lấy ra một cách ngẫu nhiên khỏi hộp và không được thay thế Nếu a/b (a/b tối giản) là xác suất sao cho phải lấy ra hơn bốn lần thì đồng tiền mới thứ ba mới xuất hiện, thế thì

a + b = a) 11 b) 20 c) 35 d) 58 e) 66

25 Cho góc xOy = 1200, và P là một điểm cố địnhthuộc tia phân giác trong của góc xOy Xét tất cả những tam giác đều phân biệt PQR với Q và R thuộc hai tia Ox và Oy (Điểm Q và R có thể thuộc cùng một tia, và hoán vị hai tên Q và R vẫn được coi là một tam giác) Vậy thì có bao nhiêu tam giác như thế?

a) đúng 2 b) đúng 3 c) đúng 7d) đúng 15 e) nhiều hơn 15

26 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

F(x) = 8xx2  14xx248, xR

VIETMATHS.NET

27 Đô dài các cạnh của tam giác ABC là 6, 8, và 10

Một đường tròn có tâm P và bán kính 1 lăn bên

trong tam giác ABC, luôn luôn tiếp xúc với ít nhất

một cạnh của tam giác Khi P trở lại vị trí đầu tiên

đã xuất phát, P đã đi được một đoạn đường dài bao

nhiêu?

28 Có bao nhiêu tam giác có các đỉnh trong mặt

phẳng tọa độ có tọa độ (x, y) với x, y nguyên thỏa

1 ≤ x ≤ 4 và 1 ≤ y ≤ 4

a) 496 b) 500 c) 512 d) 516 e) 560

29 Tập hợp nào dưới đây KHÔNG thể là đô dài

đường chéo của các mặt một hình hộp chữ nhật

12

12

2

1 1

1 1

n n

n n

x khi x

x khi x

với mọi số nguyên n > 0 Có bao nhiêu x0 sao cho x0

15

30

53

1515

5 (a) Năm trước xe đạp và mũ giá 160 $ + 40 $

= 200 $ Năm nay, giá xe đạp tăng 0, 05.160 $ =

8 $, trong khi giá mũ tăng 0,10 40$ = 4 $

Do đó giá xe và mũ tăng tổng cộng 12 $, tức tăng: 12/200 = 6%

6 (b) 104 1110 33104 22 1110 1230 2220

22

22)

2()2(

)2()2(4

8

48

2)21(2

)12(

12 20 10

12

10 20

1)10(110

1109

9

4

6 4 4

24 4

24 4

R

= 1020 + 1016 + 1012 + 108 + 104 + 1

= 100010001000100010001 Vậy có 15 chữ số 0 trong Q

8 (d) Có tất cả 6 đường tròn như thế Hai đường

tròn tiếp xúc trong với C1 và C2, hai đường tròntiếp xúc ngoài với C1, C2 và hai đường tròn tiếpxúc trong với đường tròn này và ngoài với đường tròn kia

VIETMATHS.NET

Câu hỏi: Nếu đường tròn thứ ba có bán kính là 2

(hay 3/2 hay 1/2) thì kết quả trên thay đổi thế

nào?

9 (d) Gọi P là dân số và W là của cải thế giới,

thế thì Pc / 100 công dân của A sở hữu Wd /

100 đơn vị của cải, vì thế mỗi công dân của A

sở hữu

Pc

Wd Pc

100

/

100

/ đơn vị của cải

Tương tự, mỗi công dân của B sở hữu Wf / Pe

đơn vị của cải

Tỉ số cần tìm là:

cf

de Pe Wf

Pc

/ /

10 (c) Vì r = (3a)3b = ((3a)3)b = (27a3)b, và r = ab

xb = (ax)b, ta suy ra:

(27a3)b = (ax)b <=> 27a3 = ax

<=> x = 27a2

Ghi chú: Có thể chứng tỏ các lựa chọn khác đều

sai bằng cách cho a = b = 1

11 (a) Ta có: log2 (log2 (log2 (x))) = 2

nội tiếp chia cạnh hình

vuông lớn thành hai đoạn

x và y với x ≤ y Ta có:

= 7 + 4

= 65

14 (b) Nối CE, tứ giác ABCE là hình thang cân.

Vẽ AF và BG vuông góc CE Các tam giác AEF và BCG là nửa tam giác đều, cho ta: EF = CG = AE/2 = 1, AF = 3

và FG = AB = 2 => CE = 4 => tam giác CDE đều

Vậy diện tích cần tìm là:

| ABCE | + | CDE |

= 1/2 (2 + 4) 3 + 42

3/4 = 7 3

Ghi chú: Nếu kéo dài DE,

DC cắt AB cắt tại J và K như hình bên, ta có thể tính diện tích ABCDE bằng 7/9 diện tích tam giác đều DJK

15 (d) Vì số đo của một góc trong của đa giác n

– cạnh đều là

n n

180180

)2

Suy ra n phải là ước số của 360

Vì 360 = 23 32 51, nên ước số của nó có dạng:

N = 2a 3b 5c với a = 0, 1, 2 hay 3; b = 0, 1 hay2; và c = 0 hay 1

Do đó có 4 3 2 = 24 ước số của 360

Vì n ≥ 3, ta loại bỏ số 1 và 2, còn lại 22 giá trị cóthể có của n

16 (d) Số nguyên dương thứ n xuất hiện lần

cuối cùng tại vị trí thứ:

1 + 2 + 3 + + n = n(n + 1)/2

Vì 62 63/2 = 1953, 63 64/2 = 2016, suy ra rằng số hạng thứ 1993 là số 63 Số này khi chia cho 5 có dư số là 3

VIETMATHS.NET

17 (a) Gọi O là tâm đồng hồ, tam giác từ 12 giờ

đến 1 giờ là AOB, tứ giác từ 1 giờ đến 2 giờ là

OBCD, và tam giác từ 2 giờ đến 3 giờ là ODE

Đặt AB = 1, ta có góc AOB = góc BOD = góc

DOE = 300 nên OA = 3, suy ra:

|OACE| = 3 và | AOB | = | DOE | = 3 /2

Do đó:

2322/3

33

|

|

|

|2

18 (e) Lịch làm việc của An có chu kì 4 ngày,

của Bình có chu kì 10 ngày Bội số chung của 4

và 10 là 20 Xét chung họ có chu kì 20 ngày, và

có 50 chu kì như thế trong 1000 ngày Nếu đánh

số ngày trong mỗi chu kì là 1, 2, , 20, thì An

nghỉ vào các ngày 4, 8, 12 và 20, còn Bình nghỉ

vào các ngày 8, 9, 10, 18, 19, 20 Như vậy cả hai

cùng nghĩ vào ngày 8 và 20, tức nghỉ chung hai

ngày trong mỗi chu kì Do đó họ có cả thảy 2 x

50 = 100 ngày nghĩ chung trong 1000 ngày đầu

tiên

Cách khác: Ta lập bảng như sau:

A: x x x o x x x o x x x o x x x o x x x o

B: x x x x x x x o o o x x x x x x x o o o

Chú ý cứ 20 ngày bảng lại lập lại như cũ Vì có 50

chu kì trong 1000 ngày, nên có tất cả 2 x 50 =

100 ngày nghỉ chung

19 (d) Vì m và n phải dương, suy ra m > 4 và n

> 2 Mặt khác:

1 2

1

; 5

2 5

=> (c) và (d) sai

• Nếu k = 0 (một số phức): nghiệm là 0 và 3i/10

=> (e) sai

21 (b) Trong một cấp số cộng có số các số hạng

là lẻ thì số hạng chính giữa là trung bình cộng của tất cả các số hạng Vì a4, a7, a10 lập thànhmột cấp số cộng có tổng là 17, do đó: a7 = 17/3

Vì a4, a5, , a14 lập thành cấp số cộng có 11 sốhạng và tổng là 77 nên số hạng giữa a9 = 77/11

22 (c) Theo trực giác, ta thấy rằng khối lập

phương ở trung tâm được đếm nhiều lần nhất, do đó nên được gán số 1 và những khối lập phương

ở góc được xét tới ít lần nhất, do đó nên được gán những số 8, 9 và 10 Ví dụ, để đi đến đáp số

VIETMATHS.NET

Chính xác hơn, ta giải như sau: Giả sử các số

được gán ở lớp dưới là:

Các số ở lớp thứ hai được sắp xếp như sau:

Các số của lớp thứ ba là:

Do đó t = 6c + 3(e1 + e2 + e3 + e4 + e5 + e6) +

(v1 + v2 + v3) là con số được gán cho khối lập

phương trên cùng Số này nhỏ nhất khi c = 1,

Chú ý góc AXB = 1620 và góc ABX = 120

Aùp dụng định lí hàm sin:

o o

o

AX ABX

AX AXB

AB

12sin62

sin

6cossin

12 sin 6 cos



24 (e) Ta tính xác suất sao cho không hơn bốn

lần rút, ta đã được đồng tiền mới thứ ba

Vì có C43 cách chọn ba đồng tiền mới trong bốn lần rút và có tất cả C37 cách chọn được chúng, xác suất được ba đồng tiền mới trong bốn lần rút là:

35

4

7 3

25 (e) Gọi A là điểm trên tia Ox sao cho OA =

OP Tam giác OAP là tam giác đều cố định Gọi

Q là điểm bất kì trên đoạn OA Trên Oy ta lấy điểm R sao cho OR = AQ Hai tam giác ABQ và ORP bằng nhau (c.g.c) => PQ = PR và góc QPR

= góc APO = 600, chứng tỏ tam giác PQR là tamgiác đều

Vì Q bất kì nên có vô số tam giác PQR thỏa điều kiện đề bài

Câu hỏi: Nếu xOy ≠ 120 0 , kết quả còn đúng không?

VIETMATHS.NET

26 (c) Viết lại f(x) = 2 2

7)-(x -14)

(x -

Số hạng đầu tiên là hàm số mà đồ thị là nửa

đường tròn ở phiá trên trục hoành, có tâm (4, 0),

bán kính 4 Số hạng thứ hai là hàm số mà đồ thị

là nửa đường tròn ở phía trên trục hoành, có tâm

(7, 0), bán kính 1

Suy ra f (x) chính là hiệu hai tung độ của hai

điểm trên nưả đường tròn cùng có hoành độ là x

với 6 ≤ x ≤ 8

Căn cứ vào hình vẽ, f(x) lớn nhất khi x = 6

Giá trị lớn nhất là: f(6) = 2 3

Cách khác: Hs f(x) (8 - x)x  (8 - x)(x - 6) xác

định khi 6 ≤ x ≤ 8 Ta có:

6

866

6)

6(

x x

x

x x x

x

x

Tử lớn nhất và mẫu nhỏ nhất cùng lúc khi x = 6,

do đó gtln của f(x) là f(6)

27 (b) Tập hợp các điểm P là tam giác A’ B’ C’

đồng dạng với tam giác ABC, gổm những đoạn

cách AB, BC, CA một khoảng là 1

Gọi D và E là tiếp điểm với AB và BC của

đường tròn (P) khi P trùng với B’ Ta có:

BD = BE = B’DcotgB/2 = cotgB/2

Tương tự khi P trùng với B’ và C’ Như vậy đoạn

đường mà P di được là:

A’B’ + B’C’ + C’A’ = AB + BC + CA –

- 2 cotgA/2 - 2 cọtgB/2 - 2cotgC/2

5 / 3

5 / 4 1 sin

cos

A A

Tương tự, ta tính được: cot C/2 = 2

Còn cot B/2 = cot(45o) = 1

Vậy đoạn đường cần tìm là:

8 + 6 + 10 – 2(3) – 2(1) – 2(2) = 12

Cách khác: Theo cách giải trên AA’ là phân giác trong góc A cũng như của góc A’ Tương tư, BB’ và CC’ là phân giác của góc B, B’ cũng như góc

C C’ Do đó các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng tâm đường tròn nội tiếp Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác A’B’C’ nhỏ hơn của tam giác ABC là 1 Bán kính đường tròn nội tiếp của một tam giác vuông cạnh góc vuông là a và b, cạnh huyền c cho bởi công thức r = S/p với S diện tích và p là nửa chu vi của tam giác Như vậy:

r = ab/(a +b + c) Suy ra bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là (8)(6)/(8 + 6 + 10) = 2, và do đó bán kính đường tròn nội tiếp tam giác A’B’C’ là 2 – 1 = 1

Vì tỷ số hai bán kính bằng tỷ số chu vi, do đó chu

vi tam giác A’B’C’ là: (8 + 6 + 10)/2 = 12

VIETMATHS.NET

28 (d) Có tất cả C163 = 560 tổ hợp ba điểm chọn

trong 16 điểm đã cho Chúng ta phải loại ra các

tổ hợp ba điểm thẳng hàng

Có tất cả 4 đoạn thẳng và 4

đoạn ngang mỗi đoạn chứa 4

điểm

Tám đoan này chứa tất cả: 8

C34 = 32 tổ hợp ba điểm

thẳng hàng

Tương tự, có tất cả: 2 C34 +

4 C33 = 8 + 4 = 12 tổ hợp ba

điểm thẳng hàng trên các

đường xiên 450 (có hệ số góc

1)

Vậy số các tam giác cần tìm là: 560 – 32 – 12 =

516

Thách thức: Tìm số tam giác có các đỉnh là các

mắt lưới có kích thước n x n, hay tổng quát hơn

m x n

29 (b) Gọi a ≤ b ≤ c là đô dài các cạnh hình

hộp, x ≤ y ≤ z là đô dài đường chéo các mặt

Ta có:

x2 = a2 + b2, y2 = a2 + c2, z2 = b2 + c2

Suy ra: z2 = x2 + y2 – 2a2 < x2 + y2 là điều kiện

cần để tập hợp {x, y, z } là đô dài các đường

chéo của hình hộp Chỉ có câu (b) không thỏa

điều kiện này

Đây cũng là điều kiện đủ vì giải hệ trên ta được:

VIETMATHS.NET

VIETMATHS.NET

NĂM 1994

1 44 94 49 99 =

a) 1313 b) 1336 c) 3613 d) 3636 e) 129626

2 Một hình chữ nhật lớn được chia thành bốn

hình chữ nhật nhỏ bằng hai đoạn song song với các

cạnh hình chữ nhật Diện tích ba hình chữ nhật

này được cho trong hình Tìm diện tích hình chữ

4 Trong mặt phẳng Oxy, đoạn nối hai điểm (- 5, 0)

và (25, 0) là đường kính của đường tròn Nếu điểm

(x, 5) thuộc đường tròn đó, thế thì x =

a) 10 b) 12.5 c) 15 d) 17.5 e) 20

5 Pat định nhân một số cho 6 nhưng lại đem chia

cho 6 Sau đó Pat định cộng 14 rồi lại quên lại trừ

cho 14 Sau các lỗi lầm này, kết quả là 16 Nếu Pat

làm đúng như dự định thì kết quả tìm được sẽ là

một số

a) nhỏ hơn 400 b) giữa 400 và 600

c) giữa 600 và 800 d) giữa 800 và 1000

e) lớn hơn 1000

6 Xét dãy số a, b, c, d, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, trong đó

mỗi số hạng bằng tổng hai số hạng đi liền trước nó Tìm a

a) – 3 b) - 1 c) 0 d) 1 e) 3

7 Hai hình vuông ABCD và EFGH bằng nhau, AB

= 10, và G là tâm hình vuông ABCD Diện tích của phần mặt phẳng được hai hình vuông này che phủ là

a) 75 b) 100 c) 125 d) 150 e) 175

8 Trong đa giác cho bởi hình dưới, mỗi cạnh đều

vuông góc với cạnh liên tiếp, và tất cả 28 cạnh đều bằng nhau Chu vi đa giác là 56, tìm diện tích của hình đa giác

a) 84 b) 96 c) 100 d) 112 e) 196

9 Nếu góc A gấp 4 lần góc B, và góc phụ của B

gấp bốn lần góc phục của A, thế thì góc B = a) 10o b) 12o c) 15o d) 18o e) 22.5o

10 Với hai số thực phân biệt x và y, gọi M(x, y) là

số lớn hơn giữa hai số x và y và gọi m(x, y) là số nhỏ hơn giữa hai số x và y Nếu a < b < c < d < e,

VIETMATHS.NET

thế thì M(M(a, m(b, c)),m(d,m(a,e))) =

11 Ba khối lập phương có thể tích 1, 8, và 27 dán

vào nhau tại các mặt của chúng Diện tích nhỏ nhất

có thể có của bề mặt khối đa diện tạo được là

12 Nếu i2 = - 1, thế thì (i - i- 1) - 1 =

a) 0 b) - 2i c) 2 d) - i/2 e) i/2

13 Trong tam giác ABC, AB = AC

Nếu tồn tại điểm P ở giữa A và B sao

cho AP = PC = CB, thế thì góc A =

a) 30o b) 36o c) 48o

d) 60o e) 72o

14 Tìm tổng các số hạng của một

cấp số cộng:

20 + 201/5+ 202/5 + + 40

a) 3000 b) 3030 c) 3150 d) 4100 e) 6000

15 Có bao nhiêu số n thuộc {1, 2, 3, , 100} sao cho

chữ số hàng chục của n2 là số lẻ?

16 Một số bi trong túi là đỏ và phần còn lại là

xanh Nếu bỏ bớt một bi đỏ thì một phần bảy số bi

còn lại là đỏ Nếu bỏ bớt hai bi xanh thay vì bỏ bớt

một bi đỏ thì một phần năm số bi còn lại là đỏ Hỏi

trong túi lúc đầu có bao nhiêu bi?

17 Một hình chữ nhật có kích thước 8 x 2 2 có

tâm trùng với tâm của đường tròn bán kính 2 Diện

tích phần chung của hình chữ nhật và hình tròn là

18 Tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn,

góc B = góc C = 4 góc A Nếu B và C là hai đỉnh liên tiếp của một đa giác đều n cạnh nội tiếp trong đường tròn này, thế thì n =

19 Dán một dĩa với nhãn "1", hai dĩa với nhãn "2",

ba dĩa với nhãn "3", , năm chục dĩa với nhãn "50" Cho tất cả 1 + 2 + 3 + + 50 = 1275 dĩa này vào hộp Rút ngẫu nhiên từng dĩa và không bỏ lại Hỏi số dĩa tối thiểu phải rút ra sao cho phải có ít nhất mười dĩa đều có cùng nhãn?

a) 10 b) 51 c) 415 d) 451 e) 501

20 Giả sử x, y, z là một cấp số nhân có công bội là

r và x ≠ y Nếu x, 2y, 3z là một cấp số cộng, thế thì

r bằng a) 1/4 b) 1/3 c) 1/2 d) 2 e) 4

2 1 Có bao nhiêu số làm phát biểu sau là sai:

"Nếu N là một số nguyên dương lẻ có tổng các chữ số là 4 và không có chữ số nào bằng 0, thế thì N là số nguyên tố"

22 Chín ghế xếp thành hàng trên đó có 6 học

sinh và các thầy Alpha, Beta và Gamma Ba thầy đến trước và chôn ghế ngồi sao cho mỗi thầy ngồi ở giữa hai học sinh Có bao nhiêu cách mà ba thầy có

VIETMATHS.NET

thể lựa chọn ghế ngồi?

a) 12 b) 36 c) 60 d) 84 e) 630

23 Trong mặt phẳng Oxy, xét một hình có dạng

chữ L giới hạn bởi những đoạn nằm ngang hay dọc

với các đỉnh (0, 0), (0, 3), (3, 3), (3, 1), (5, 1) và (5, 0)

Độ dốc của đường thẳng qua gốc toạ độ chia miền

này thành hai phần có diện tích bằng nhau là

a) 2/7 b) 1/3 c) 2/3 d) 3/4 e) 7/9

24 Một mẫu gồm năm dữ kiện số trung bình là 10

và số trung vị là 12 Giá trị nhỏ nhất mà hàng số

(hiệu số giữa dữ kiện lớn nhất và nhỏ nhất) của

mẫu dữ kiện có thể đạt được la:ø

26 Một đa giác đều có

m cạnh được bao bọc

vừa khít (không kẻ hở,

không che lấp) bằng m

đa giác đều có n cạnh

(Hình cho thấy trường

hợp m = 4, n = 8) Nếu

m = 10, tìm giá trị của n

27 Một bao bắp rang chứa 2/3 bắp trắng và 1/3

bắp vàng Chỉ có 1/2 bắp trắng sẽ nổ, trong khi 2/3 bắp vàng sẽ nổ Một hạt bắp được chọn một cách ngẫu nhiên từ bao và nổ dòn khi cho vào lò Tìm xác suất để hôït bắp ấy màu trắng

a) 1/2 b) 5/9 c) 4/7 d) 3/5 e) 2/3

28 Trong mặt phẳng Oxy, có bao nhiêu đường

thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương và nguyên tố và cắt trục tung tai điểm có tung độ dương và đi qua điểm (4, 3)

29 Các điểm A, B, C trên đường tròn bán kính r

sao cho AB = AC, AB > r, và độ dài của cung nhỏ

BC là r Nếu đo góc bằng đơn vị radian, thế thì AB/BC =

a) 1/2csc(1/4) b) 2cos(1/4) c) 4sin(1/4)d) csc(1/2) e) 2sec(1/4)

Ghi chú: csc(a) = 1/sina, sec(a) = 1/cosa

30 Khi ném n hột xúc sắc 6 mặt, xác suất để được

tổng số các mặt hiện lên bằng 1994 là một số lớn hơn 0 và cũng bằng với xác suất để được một tổng số S Giá trị nhỏ nhất có thể có của S là

a) 333 b) 335 c) 337 d) 339 e) 341

VIETMATHS.NET

BÀI GIẢI

1 (c) 44 94 49 99 = (4 9)4 (4 9)9

= 36 4 369

= 3613

2 (b) Hai hình chữ nhật có cùng chiều cao thì

diện tích tỉ lệ với cạnh đáy a

và b

Do đó:

35

? 14

=> diện tích cần tìm là 15

3 (b) Chỉ có 2xx là bằng xx + xx với mọi x > 0

Cho x = 2 hay x = 3 sẽ loại bỏ các lựa chọn khác

4 (a) Bán kính đường tròn là

1/2AB = 1/2 (25 – (– 5)) = 15,

và tâm là trung điểm của AB, có tọa độ (10, 0)

Vậy phương trình đường tròn là:

Giải hệ này, ta được a = - 3

7 (e) Mỗi hình vuông có diện tích là 100 Phần

trùng nhau, tam giác ABG, có diện tích bằng

¼ diện tích hình vuông là 25

Vậy diện tích cần tìm là:

100 + 100 – 25 = 175

8 (c) Đặt đa giác trên một lưới 7 x 7 ô vuông.

Gọi đô dài cạnh đa giác là s

Chu vi đa giác là 28 s = 56 => s = 2

Miền giới hạn bởi đa giác chiếm

1 + 3 + 5 + 7 + 5 + 3 + 1 = 25 ô vuông,

do đó diện tích đa giác là 25 s2 = 100

Cách khác: Cắt các ô vuông của đa giác ở xa tâm nhất (đánh số 1, 2, 3, 4 rồi dán vào các ô a, b, c,

d, ta được hình vuông cạnh dài 5s Suy ra diện tích là

11 (d) Tổng diện tích các mặt ba khối lập

phương là 6 + 24 + 54 = 84

Ta có thể gắn mỗi khối vào hai khối kia sao cho

mỗi gắn kết làm giảm diện tích toàn phần đi hai

lần diện tích một mặt của khối lập phương nhỏ

hơn Diện tích của tổ hợp ba khối là:

84 – 2(1) – 2(1) – 2(4) = 72

12 (d)

1 1

i i

i

2 2

i i

Vì PC = CB, ta được:

góc B = 2x

=> góc ACB = 2x vi AB = AC

Do đó: x + 2x + 2x = 180

Suy ra: A = x = 36 (độ)

14 (b) Ta có: u1 = 20, un = 40 và công sai d =

1/5 Vậy số các số hạng là:

15 (b) Trong tập hợp {1, 2, 3, , 10}, chỉ có hai

số nguyên mà bình phương của nó có chữ số hàng chục là lẻ, đó là: 42 = 16 và 62 = 36

Vì (n + 10)2 = n2 + (20n + 100) và chữ số hàngchục của số 20n + 100 là chẵn nên chữ số hàng chục của(n + 10)2 là lẻ khi và chỉ khi chữ sốhàng chục của n2 là lẻ

Từ đó suy ra trong tập hợp {1, 2, 3, , 100}, chỉ có những số tận cùng là 4 hay 6 thì bình phương của nó mới có chữ số lẻ

Như vậy có tất cả 10 x 2 = 20 số như thế

Cách khác: Vì 0 2 và 100 2 không có chữ số hàng chục là lẻ, nên ta có thể xét tập hợp {0, 1, 2, , 99} Số n thuộc tập hợp này có dạng:

n = 10m + d với d = 0,1, 2, , 9 và m = 0, 1, 2, , 9.

Vì n 2 = 10 (10m 2 + 2md) + d 2 và 10m 2 + 2md chẵn, suy ra chữ số hàng chục của n 2 lẻ khi và chỉ khi chữ số hàng chục của d 2 là lẻ <=> d = 4 hay d = 6

Có 10 cách chọn m để cặp với hai cách chọn d,

do đó có tất cả: 10 x 2 = 20 số cần tìm

16 (b) Gọi d là số bi đỏ và n là tổng số bi lúc

đầu Thế thì:

7

1 1

<=> 7d – 7 = n – 1 và 5d = n – 2 Giải hệ này, ta được: n = 22

17 (d) Gọi O là tâm đường tròn và hình chữ

nhật, A, B, C, D là giao điểm của của chúng

Vì AO = OB = 2 và AB = 2 2 nên AOB là tam

VIETMATHS.NET

giác vuông cân Suy ra các góc tại O đều vuông

Tổng diện tích các hình quạt AOB và COD là:

Ghi chú: Tổng quát nếu B = C = k A thì n = 2k+1

19 (c) Số diã tối đa lấy ra mà không có được 10

dĩa có cùng nhãn là 414: chẳng hạn lấy tất cả

những dĩa có nhãn từ “ 1 “ đến “ 9 “, số dĩa là: 1

+ 2 + + 9 = 45 dĩa Sau đó với 41 số nhãn còn

lại từ 10 đến 50, mỗi loại ta lấy 9 dĩa: có tất cả 9

x 41 = 369

Như vậy tổng cộng có 45 + 369 = 414 dĩa

Dĩa thứ 415 sẽ cho ta 10 dĩa có cùng nhãn Do

đó 415 là số dĩa tối thiểu phải lấy ra để bảo đãm

trong đó có ít nhất mười dĩa có cùng nhãn

20 (b) Từ giả thiết, ta có:

21 (c) Ta kiểm tra tất cả số nguyên dương có

chữ số khác 0, tổng các chữ số là 4:

13, 31, 121, 211, 1111

Ta thấy rằng: 121 = 112, 1111 = 11 101 là haiphản ví dụ cần tìm

22 (c) Tưởng tượng sáu sinh viên đứng thành

một hàng Giữa họ có tất cả 5 chổ trống Với 5 chổ trống này ta có thể xếp 3 vị giáo sư thỏa yêu cầu

Mỗi cách xếp các giáo sư là một chỉnh hợp 5 chập 3, do đó có tất cả A35 = 5 4 3 = 60 cách sắp xếp

23 (e) Diện tích của hình chữ L OABCDE là:

32 + 2 1 = 11

Diện tích hình thang OABC là:

1/2 1 (2 + 5) = 7/2 < 11/2 Diện tích tam giác ODE là:

1/2 32 = 9/2 < 11/2

Do đó đường thẳng cần tìm y = mx phải cắt đoạn

CD tại điểm F có tọa độ (3, 3m) với 1 < 3m < 3

Diện tích hình thang ở phía trên đường thẳng y =

mx là:

1/2 DE (OE + DF) = 1/2 3 [3 + (3 - 3m)]

VIETMATHS.NET

Ta phải có: 1/2 (18 - 9m) = 11/2 <=> m = 7/9

24 (c) Vì số trung bình là 10, tổng số các dữ kiện

phải bằng 50

Số trung vị là 12 nên có một dữ kiện là 12, hai dữ

kiện không nhỏ hơn 12 và hai dữ kiện còn lại

không lớn hơn 12

Nếu một dữ kiện lớn tăng thêm x thì dữ kiện nhỏ

phải giảm đi x để số trung bình vẫn là 10 Nhưng

khi đó hàng số tăng lên

Do đó để hàng số nhỏ nhất thì phải có ba dữ kiện

đều bằng 12 và hai dữ kiện còn lại phải có tổng

là:

50 – 3 12 = 14

Vậy mẫu thống kê 7, 7, 12, 12, 12 sẽ làm hàng

số nhỏ nhất, và giá trị nhỏ nhất mà hàng số có

thể đạt được là 12 – 7 = 5

25 (a) Xét x > 0: Ta có hệ

x + y = 3 và y + x2 = 0

Khử y giữa hai phương trình, ta được:

x2 – x + 3 = 0

Phương trình này không có nghiệm thực

Xét x < 0: Ta có hệ

Trong bài này, mỗi đỉnh của m – giác đều được

bao quanh bởi một góc của m – giác đều và hai

góc của n – giác đều Do đó:

Thế m = 10, ta được n = 5

Ghi chú: Phương trình (1) <=> (m – 2)(n – 4) = 8 Các nghiệm nguyên dương duy nhất là:

(m, n) = (3, 12), (4, 8), (10, 5)

27 (d) Gọi 3n là tổng số hạt bắp trong túi trong

đó có 2n hạt trắng và n hạt vàng Vậy số hạt bắp nở bung là:

n n

28 (c) Phương trình của đường thẳng theo đoạn

x , trong đó p nguyên tố và b nguyên dương

Thế x = 4 và y = 3, ta được:

4

1234

31

34

p b b

p

Chỉ có hai số nguyên tố p = 5 và p = 7 cho ta b nguyên dương Do đó có hai đường thẳng cần tìm có phương trình:

1 7 7 , 1 15

5 x  y  x  y 

29 (a) Gọi AD là đường kính, O là tâm đường

tròn Nối BC cắt AD tại E Tính theo radian:

VIETMATHS.NET

góc BOC = r / r = 1, suy ra:

góc BAC = 1/2 và góc BAE = 1/4

Vì BE  EA, ta có:

)4/1sin(

2

1sin

2

1

AB

BC

AB

30 (c) Khi ném n hột xúc sắc, ta được một tổng

số có thể là bất cứ số nào từ n tới 6n Số khả

năng để được tổng số là n + k cũng nhiều bằng

như được tổng số là 6n – k, và số khả năng này

tăng khi k tăng từ 0 tới 5n/2

Tổng S = n + k sẽ nhỏ nhất khi ta chọn n và k

nhỏ như có thể thỏa: 6n – k = 1994

Vì bội số nhỏ nhất của 6 lớn hơn hay bằng 1994

là 1998 = 6 333, nên S nhỏ nhất khi n = 333 và

k = 1998 – 1994 = 4

Và giá trị nhỏ nhất của S là n + k = 333 + 4 =

337

Cách khác: Trong hột xúc sắc tiêu chuẫn, mặt 6

và 1, mặt 5 và 2, mặt 4 và 3 đối diện nhau Để

được một tổng số là 1994 với nhiều mặt 6 nhất, ta

phải có 332 mặt 6 và một mặt 2 hiện lên Khi đó

332 mặt 1 và 1 mặt 5 ở bên dưới ứng với tổng số

332 + 5 = 337, là giá trị nhỏ nhất của S cần tìm

VIETMATHS.NET

NĂM 1995

1 Kim đạt được 87, 83 và 88 điểm trong ba kì

thi toán đầu tiên Nếu Kim được 90 điểm trong

kì thi thứ tư, thế thì điểm số trung bình của

Kim sẽ

a) vẫn như cũ b) tăng lên 1 c) tăng lên 2

d) tăng lên 3 e) tăng lên 4

2 Nếu 2 x 2, thế thì x =

a) 1 b) 7 c) 7 d) 49 e) 121

3 Giá bán trong siêu thị của một món hàng

điện là 99$ 99 Một hảng quảng cáo bán trên

truyền hình cũng thiết bị ấy theo phương thức

trả làm 3 lần, mỗi lần 29$ 98, cộng phí chuyên

chở đến tận nhà là 9$ 98 Hỏi mua hàng trên

truyền hình được lợi bao nhiêu?

a) 6 xu b) 7 xu c) 8 xu d) 9 xu e) 10 xu

Ghi chú: Mỗi 1$ bằng 100 xu

4 Nếu M bằng 30% của Q, Q bằng 20% của

P và N bằng 50% của P, thế thì M/N =

a) 3/250 b) 3/25 c) 1 d) 6/5 e) 4/3

5 Một khu vườn hình chữ nhật rộng 300 foot

và dài 400 foot Bằng phương pháp thống kê ta

tính được trung bình có 3 con kiến trên mỗi

inch vuông của khu vườn [12 inch = 1 foot]

Trong những số dưới đây, số nào gần nhất với

số kiến trong khu vườn?

a) 500 ngàn b) 5 triệu c) 50 triệu

d) 500 triệu e) 5 tỉ

6 Hình bên khi gấp lại có thể tạo thành khối

lập phương Trong khối lập phương này, mặt mang mẫu tự nào đối diện với mặt có dấu

x

a) A b) B c) C d) D e) E

7 Bán kính trái đất tại đường xích đạo xấp xỉ

4000 dặm Giả sử một máy bay phản lực bay một vòng quanh trái đất phía trên đường xích đạo với vận tốc 500 dặm một giờ đối với trái đất Nếu đường bay cách đường xích đạo một khoảng không đáng kể, thế thì số giờ bay gần nhất với số nào dưới đây?

9 Cho hình vuông với các đường chéo và các

đoạn nối trung điểm các cạnh đối Hỏi trong hình có tất cả bao nhiêu tam giác lớn nhỏ? a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

VIETMATHS.NET

10 Diện tích của tam giác giới hạn bởi các

đường thẳng y = x , y = - x và y = 6 là:

a) 12 b) 12 2 c) 24 d) 24 2 e) 36

11 Trong cơ hệ 10, có bao nhiêu số gồm 4 chữ

số N = abcd thỏa mãn ba điều kiện sau:

(i) 4.000 ≤ N < 6000 (ii) N là bội số của 5

13 Bài toán cộng bên dưới không đúng Hãy

sữa một chữ số d, ở bất cứ vị trí nào, thành chữ

số e để bài toán trên là đúng Tìm tổng của d

15 Năm điểm trên đường tròn được đánh số 1,

2, 3, 4, 5 theo chiều kim đồng hồ Một chú rận nhảy theo chiều kim đồng hồ từ điểm này đến điểm khác quanh đường tròn Nếu nó nhảy từ điểm số lẻ, nó nhảy tiếp tới điểm kế tiếp, nếu nhảy từ điểm số chẵn, nó nhảy tiếp thêm 2 điểm Nếu chú rận bắt đầu từ điểm số 5, hỏi sau 1995 bước nhảy, nó nhảy tới tại điểm nào a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

16 An xem đấu bóng ở thành phố A, và ước

lượng có 50.000 khán giả Bình xem đấu bóng tại thành phố Boston và ước lượng có 60.000 khán giả Một viên chức thể thao biết rõ số khán giả thực sự của hai trận, cho biết:

(i) Số khán giả thực sự ở thành phố Atlanta thì trong vòng 10% mà An ước lượng

(ii) Ưùơc lượng của Bình thì trong vòng 10% số khán giả thực sự ở thành phố Boston

Tính gần đúng đến 1000, hiệu số lớn nhất có thể có giữa số khán giả của hai trận là:

a) 10.000 b) 11.000 c) 20.000 d) 21.000 e) 22 000

17 Cho ngủ giác đều ABCDE, một đường tròn

tiếp xúc với DC tại D và tiếp xúc với AB tại A Tính số đo theo độ của cung nhỏ AD

a) 72 b) 108 c) 120 d) 135 e) 144

VIETMATHS.NET

18 Cho một góc xOy = 300 A và B lần lượt là

hai điểm trên Ox và Oy sao cho AB = 1 Tính

giá trị lớn nhất của đô dài OB

19 Cho tam giác đều DEF nội tiếp trong tam

giác đều ABC sao cho DE vuông góc BC Tỉ

số diện tích tam giác DEF và tam giác ABC là:

a) 1/6 b) 1/4 c) 1/3 d) 2/5 e) ½

20 Nếu a, b, và c là ba số ( không nhất thiết

khác nhau) chọn ngẫu nhiên và có thay thế từ

tập hợp {1, 2, 3, 4, 5}, xác suất để ab + c chẵn

là:

a) 2/5 b) 59/125 c) ½ d) 64/125 e) 3/5

21 Hai đỉnh không liên tiếp của một hình chữ

nhật là (4, 3) và (- 4, - 3 ), và tọa độ các đỉnh khác là số nguyên Có bao nhiêu hình chữ nhật như thế?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

22 Một ngủ giác được tạo ra bằng cách cắt rời

một tam giác ngay đỉnh một tờ giấy hình chữ nhật Năm cạnh hình ngủ giác có đô dài là 13,

19, 20, 25 và 31, các cạnh nầy không nhất thiết kể theo thứ tự quanh ngủ giác Diện tích ngủ giác là:

a) 459 b) 600 c) 680 d) 720 e) 745

23 Cạnh một tam giác có đô dài 11, 15 và k,

với k là số nguyên Có bao nhiêu giá trị k để tam giác là tam giác tù?

a) 5 b) 7 c) 12 d) 13 e) 14

24 Tồn tại các số nguyên dương A, B và C,

không có ước số chung lớn hơn 1, sao cho:

A log200 5 + B log200 2 = C Tìm A + B + C

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

VIETMATHS.NET

25 Một bảng gồm 5 số nguyên dương có số

trung bình là 12 Số mốt và số trung vị đều

bằng 8 Hiệu của số lớn nhất và nhỏ nhất là 18

Thế thì số lớn thứ hai trong bảng có thể có tất

cả bao nhiêu giá trị?

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

26 Xem hinh, AB và CD là hai đường kính

của đường tròn tâm O, AB vuông góc CD và

dây DF cắt AB tại E Biết DE = 6 và EF = 2,

thế thì diện tích hình tròn là:

a) 23π b) 47π/2 c) 24π d) 49π/2 e) 25π

27 Xét dãy số tam giác gồm các số 0, 1, 2, 3,

dọc theo các cạnh còn những số bên trong có

được bằng cách cộng hai số kế cận ở hàng trên

Hình dưới là dảy tam giác từ cột 1 đến cột 6

Gọi f (n) là tổng các số ở hàng n Tìm dư số của

phép chia f(100) cho 100

a) 12 b) 30 c) 50 d) 62 e) 74

28 Hai dây song song của đường tròn có đô

dài lần lượt là 10 và 14, khoảng cách giữa chúng là 6 Một dây cung song song với hai dây này và cách đều chúng có đô dài là a, vậy a =

a) 144 b) 156 c) 168 d) 176 e) 184

29 Có bao nhiêu tập hợp 3 phần tử là các số

nguyên dương {a, b, c} sao cho a.b.c = 2310? a) 32 b) 36 c) 40 d) 43 e) 45

30 Một khối lập phương lớn tạo bởi 27 khối

lập phương đơn vị Một mặt phẳng vuông góc với đường chéo của khối lập phương lớn tại trung điểm của nó Mặt phẳng này cắt ngang bao nhiêu khối lập phương đơn vị?

a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

VIETMATHS.NET

Do đó rẽ hơn: 99, 99 – 99, 9 2 = 0, 07 $ tức 7 xu

so với giá ở siêu thị

6 (c) Lấy A là đáy, lật B làm

mặt sau, lật x lên làm mặt

trái và C lật qua làm mặt

phải, đối diện với x

7 (c) Quảng đường bay xấp xỉ bằng đô dài

đường xích đạo là: C = 2π 4000 = 8000π dặm

Số giờ bay là:  16 

500

800

 Giá trị này > 16 3,1 = 49,6 giờ và < 16.3,2 = 51,2

giờ

Vậy đáp số gần nhất là: 50 giờ

8 (c) Aùp dụng định lí Pitago, ta được: AB = 10

TheoTalet:

3

20 6

4 10

9 (d) Tất cả tam giác trong hình đều là tam giác

vuông cân

Mọi tam giác đều gồm 1, 2 hay 4 tam giác nhỏ Có 8 tam giác nhỏ, có 4 tam giác hợp bởi 2 tam giác nhỏ và 4 tam giác hợp bởi 4 tam giác nhỏ Vậy có tất cả 16 tam giác trong hình

10 (e) Tam giác giới hạn bởi ba đường là tam

giác OAB với A (6, 6), B ( - 6, 6 ) Diện tích tam giác là:

12 (d) Vì f là hàm số bậc nhất nên f(x) = ax + b

Vì f (1) ≤ f (2), ta có: a ≥ 0

Tương tự vì f (3) ≥ f (4), ta có: a ≤ 0

Vậy a = 0 và f là hàm hằng

Suy ra: f(0) = f(5) = 5

13 (c) Tổng số trong cột vạn

và 10 vạn là sai Chữ số duy

nhất chung của hai cột là 2

Thay chữ số 2 bằng chữ số 6

ở hai cột, ta có phép cộng

đúng Thay hai chữ số 2 ở các cột khác bằng chữ

số 6 các phép tính vẫn đúng Không có chữ số

nào khác hơn 2 có thể thay thế để được phép

15 (d) Với cú nhảy đầu tiên, chú

rận nhảy tới điểm số 1, cú nhảy thứ hai tới điểm số 2, cú nhảy thứ

ba tới điểm 4, cú nhảy thứ tư trở về điểm 1 Kể từ lúc này, sau mỗi

ba cú nhảy nó lại trở về điểm 1

Do đó, sau n > 0 cú nhảy, chú rận sẽ đến só 1,

2 hay 4 tùy theo n = 3k + 1, n = 3k + 2 hay n

= 3k

Vì 1995 = 3 (665), chú rận sẽ đến điểm số 4 sau

1995 cú nhảy

16 (e) Gọi A là số khán giả ở thành phố Atlanta,

và B là số khán giả ở thành phố Boston Theo

giả thiết, ta có:

45.000 ≤ A ≤ 55 000

<=> - 55.000≤ - A ≤ - 45.000 ( 1) 0,9 B ≤ 60.000 ≤ 1, 1 B

<=> 54 546 ≤ B ≤ 66.666 ( 2) Cộng (1) và (2), ta được:

- 454 ≤ B – A ≤ 21.666

Do đó giá trị lớn nhất của hiệu số khán giả của hai trận là 21 666

Vậy ( e) là đáp số đúng

17 (e) Gọi O là tâm đường tròn Vì tổng các góc

trong của n – giác là ( n – 2) 1800, nên tổng các góc trong ngủ giác ABCDO là: 5400

Vì góc ABC = góc BCD = 1080, và Góc OAB = góc ODC = 900, ta suy ra:

góc AOD = 5400 – 1080 2 – 900 2 = 1440

Tức sđ AD = 1440

18 (d) Áp dụng định lí hàm sin trong tam giác

OAB:

2 / 1

1 sin

AOB

AB OAB

OB

=> OB = 2sinOAB ≤ 2 sin90o = 2 Vậy giá trị lớn nhất của OB là 2 khi AB vuông góc Ox

19 (c) Ta có: CED = 300 Ta chứng minh AEF =

900

Ta có: AEF = 1800 – DEF – CED = 1800 – 600 – 300 = 900 Các tam giác CDE và AEF nũa đều và bằng nhau, do đó nếu đặt CD = AE = x thì CE = 2x

VIETMATHS.NET

2 2 2

20 (b) Số ab + c sẽ chẵn nếu ab và c cùng chẵn

hoặc cùng lẻ Hơn nũa ab sẽ lẻ khi và chỉ khi a

và b đều lẻ, vì thế xác suất để ab lẻ là: (3/5)

(3/5) = 9/25

Suy ra xác suất để ab chẵn là 1 - 9/25 = 16/25

Suy ra xác suất cần tìm là:

125

59 5

3 25

9 5

Tâm hình chữ nhật là trung điểm AC, có tọa độ

(0, 0) Vậy hai điểm còn lại cũng như hai điểm đã

cho thuộc đường tròn tâm O, bán kính 5, có

phương trình: x2 + y2 = 52

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình này, ta

được 5 đường chéo BD cần tìm, có tọa độ: (0, 5)

và (0, - 5), (5, 0 ) và (- 5, 0 ), (3, 4) và (- 3, - 4),

(- 3, 4) và (3, - 4), (4, - 3) và ( - 4, 3)

Mỗi đường chéo này cùng với AC tạo thành một

hình chữ nhật Vậy có tất cả 5 hình chữ nhật cần

tìm

22 (e) Gọi a, b, c, d, e là đô dài các cạnh ngủ

giác, và r và s là đô dài cạnh tam giác được cắt rời ra ( Xem hình )

Ta có phương trình: r2 + s2 = e2 (1) Bộ ba nghiệm của phương trình là bộ ba số Pitago quen thuộc

Ta xét các trường hợp sau:

1.•e = 19 hay e = 31 : (1) vô nghiệm

4 e = 25: r = 15, s = 20 hay r = 7, s = 24: không có a, b, c, d

5, 6, 7, 8, 9, 10, 19, 20, 21, 22, 23, 24 và 25

24 (a) Ta có: C = log2005A + log200 2B = log200 (5A 2B)

<=> 200C = 5A 2B <=> (52 23 )C = 5A 2B

VIETMATHS.NET

25 (b) Vì số trung vị và số mốt đều bằng 8 và

hiệu số số lớn nhất và nhỏ nhất là 18, bảng số

phải có một trong các dạng sau:

26 (c) Hai tam giác vuông DOE và DFC đồng

dạng, cho ta:

DC

DE DF

DO



Đặt DO = r: DC = 2r, ta được

DE EF = r 2 – OE 2 => 12 = r 2 – OE 2 (1)

Mặt khác trong tam giác vuông DOE:

OE 2 + r 2 = DE 2 = 36 (2)

Cộng (1) và (2): 2r 2 = 48 <=> r 2 = 24 (2) Dựng OG ED Trong tam giác vuông ODE:

Nói cách khác: f(n+1) = [2f(n) – 2 (n – 1)] + 2n = 2 f(n) + 2

= 2 [2n – 2] + 2 = 2 n + 1 – 2 Vậy (1) đúng với n + 1

Kết luận (1) đúng với mọi n

Cuối cùng ta tìm dư số của phép chia f(100) =

Do đó f(100) = 2100 – 2 có dư số là 74 khi chia cho 100

Câu hỏi: Ngoàøi số 76, có số nguyên dương N nào khác có tính chất dư số của phép chia N 2 cho 100 là N không?

28 (e) Gọi x và y lần lượt là khoảng cách từ tâm

O đến dây cung có đô dài 10 và 14 Gọi r là bán kính đường tròn Thế thì:

VIETMATHS.NET

x + 25 = r

y2 + 49 = r2

Suy ra:

x2 + 25 = y2 + 49 <=> (x - y ) ( x + y) = 24

Vì khoảng cách hai dây là 6, ta có:

•* x - y = 6 (hai dây cùng một phía đối với O) => x

+ y = 4: vô lý

•* x + y = 6 (hai dây ở hai phía đối với O)

=> x – y = 4

Vậy x = 5 và y = 1 Suy ra: r2 = 50

Dây có đô dài a cách tâm O một khoảng là 2

Vậy ( a/2)2 + 22 = r2 = 50 <=> a = 184

29 (c) Ba số a, b, c phải phân biệt (a < b < c ) và

thỏa: abc = 2310 = 2 3 5 7 11 (các thừøa số

nguyên tố)

Vậy mỗi bộ ba số a, b, c ứng với một cách chia

tập hợp S = {2, 3, 5, 7, 11} ra thành các tâp con

cách biệt với điều kiện:

*•Có nhiều nhất một tập con rổng, ứng với a = 1

* Hội các tập con phải là S

Ví dụ với tâp con {O}, {2, 5}, {3, 7, 11}, ta có: a =

1, b = 2 5 = 10, c = 3 7 11 = 231

Ta xét các trường hợp sau tùy theo số các phần

tử của các tập con là:

1) 0, 1, 4: Có 5 cách chọn tâp con gồm 1 phần

tử, tập con còn lại gồm 4 phần tử Vậy có 5 cách

chọn

2) 0, 2, 3: Có C52= 10 cách chọn tâp con 2 phần

tử, tâp con còn lại gồm 3 phần tử Vậy có 10 cách chọn

3) 1, 1, 3: Có C35 = 10 cách chọn 3 tập con 4) 1, 2, 2: Có 5 cách chọn tâp con 1 phần tử, còn lại 4 phần tử có 2 C24

1

= 3 cách chia thành hai tập con mỗi tập con 2 phần tử Vậy có 5 3 = 15 cách chia

Vậy có tất cả: 5 + 10 + 10 + 15 = 40 cách chọn 3 tập con hay có 40 cách biểu diễn số 2310 thỏa yêu cầu

30.(d) Giả sửõ các đỉnh của khối lập phương đơn

vị là (i, j, k) với mọi i, j, k  {0, 1, 2, 3}, và đường chéo đang xét của khối lập phương lớn nối hai đỉnh có tọa độ O(0, 0, 0 ) và A(3, 3, 3), thế thì phương trình mặt phẳng trung trực (a) của OA là: x + y + z - 9 / 2 = 0

Mặt phẳng này cắt khối lập phương đơn vị khi và chỉ khi các đầu mút (I, j, k) và (i + 1, j + 1, k+ 1) của đường chéo khối lập phương đơn vị nằm về hai phía đối với (a) Do đó bài toán qui về việc đếm trong số 27 bô ba (i, j, k) với i, j, k  {0, 1, 2} có bao nhiêu bộ ba thỏa:

i + j + k – 9 / 2 < 0 và (i + 1) + (j + 1) + (k + 1) – 9 / 2 > 0

Năm 1996

1 Phép cộng dưới đây là sai Hãy tìm chữ số lớn

nhất có thể điều chỉnh để phép tính là đúng

2 Mỗi ngày Quang được trả 3 $ cho công việc lặt

vặt, nếu làm thật xuất sắc công việc ấy thì được đến

5 $ Sau 10 ngày làm việc liên tiếp, Quang nhận

được một số tiền tổng cộng là 36$ Hỏi có bao nhiêu

ngày Quang hoàn thành công việc một cách xuất

4 Sáu số trong một bảng kê 9 số nguyên là 7, 8, 3,

5, 9 và 5 Giá trị lớn nhất có thể có của số trung vị

của 9 số trong bảng là:

d a





c)

d a

c b





d c

7 Một người cha dẫn hai đứa con sinh đôi và một

đứa con út đi ăn tiệm nhân ngày sinh nhật của cặp sinh đôi Nhà hàng tính 4$ 95 cho ông bố và 0,45$ cho mỗi năm đối với số tuổi của trẻ con, trong đó tuổäi được tính là tuổi tại ngày sinh nhật gần nhất Biết hóa đơn thanh toán tiền ăn là 9$ 45, số nào dưới đây có thể là tuổi của đứa con út?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8 Biết 3 = k 2r và 15 = k 4r, thế thì r =

a) – log25 b) log52 c) log10 5 d) log25 e) 5/ 2

9 Tam giác PAB và hình vuông ABCD nằm trong

hai mặt phẳng vuông góc Biết PA = 3, PB = 4, AB

= 5 Tìm đô dài đoạn PD

a) 5 b) 34 c) 41 d) 2 13 e) 8

10 Có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu mút là

hai đỉnh của một khối lập phương cho trước

a) 12 b) 15 c) 24 d) 28 e) 56

11 Cho đường tròn bán kính

2, có vô số đoạn thẳng có đô dài 2 tiếp xúc với đường tròn tại trung điểm của chúng Tìm diện tích tạo bởi các đoạn thẳng ấy

VIETMATHS.NET

a) π/4 b) 4 - π c) π/2 d) π e) 2π

12 Cho hàm số f từ tập hợp các số nguyên vào tập

hợp các số nguyên, định bởi:

3

n n

Giả sữ k lẻ và f(f(f(k))) = 27 Tìm tổng các chữ số

của k

a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15

13 Nhật chạy với vận tốc đều và Nguyệt chạy

nhanh gấp m lần Nhật với m > 1 Nếu Nguyệt cho

Nhật chạy trước h mét, hỏi Nguyệt phải chạy bao

nhiêu mét để bắt kịp Nhật?

a) hm b)

m h

15 Một cạnh của một

hình chữ nhật được chia

thành n đoạn bằng nhau,

người ta nối các đầu mút

của một đoạn ấy với tâm

hình chữ nhật để tạo ra tam giác A Tương tự, cạnh

liên tiếp với cạnh nói trên được chia thành m đoạn

bằng nhau, và hai đầu mút của một đoạn được nối

với tâm hình chữ nhật để tạo thành tam giác B

Tính tỉ số diện tích của A và B

a) 1 b) m/n c) n/m d) 2m/n e) 2n/m

16 Một hột xúc sắc tiêu chuẫn có 6 mặt được ném

ba lần Biết rằng tổng các số hiện ra trong hai lần

ném đầu bằng số hiện ra trong lần ném thứ ba, tìm xác suất để có ít nhất một số “ 2 “ xuất hiện ? a) 1/6 b) 91/216 c) 1/2 d) 8/15 e) 7/12

17 Trong hình chữ nhật ABCD, góc C được chia

làm ba phần bằng nhau bởi CF và CE, trong đó E trên đoạn AB, F trên đoạn AD, và BE = 6,

AF = 2 Số nào dưới đây gần nhất với diện tích hình chữ nhật ABCD ?

a) 110 b) 120 c) 130 d) 140 e) 150

18 Một đường tròn bán kính 2 có tâm là điểm

(2, 0) Một đường tròn bán kính 1 có tâm là điểm (5, 0) trong hệ trục xy Một đường thẳng tiếp xúc với hai đường tròn tại các tiếp điểm thuộc phần tư thứ nhất Số nào dưới đây gần nhất với tung độ giao điểm của đường thẳng và trục tung

a) 2/4 b) 8/3 c) 1 + 3 d) 2 2 e) 3

19 Nối các trung điểm của các cạnh một lục giác

đều ABCDEF, ta được một lục giác nhỏ hơn Lục giác này chiếm bao nhiêu phần diện tích của ABCDEF?

a) 1/2 b) 3/3 c) 2/3 d) 3/4 e) 3/2

nếu n lẻ nếu n chẵn

VIETMATHS.NET

20 Trong mặt phẳng Oxy, tìm đô dài của lộ trình

ngắn nhất để đi từ điểm (0, 0) đến điểm (12, 16)

trong hệ trục Oxy sao cho lộ trình không được đi

vào bên trong đường tròn (x – 6)2 + (y – 8)2 = 25

a) 10 3 b) 10 5 c) 10 3+5π/3

d) 40 3/3 e) 10 + 5π

21 Cho tam giác ABC, ABD cân với AB = AC =

BD BD cắt AC tại E Biết BD  AC, thế thì góc

C + góc D =

a) 1150 b) 1200 c) 1300

d) 1350 e) không xác định được

22 Bốn điểm A, B, C, và D được chọn trong số

1996 điểm cách đều nhau trên đường tròn Mọi bốn

điểm đều có cùng cơ hội được chọn như nhau Tìm

xác suất sao cho dây AB và dây CD cắt nhau

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/499 d) 1/6 e) đáp số khác

23 Tổng đô dài 12 cạnh của một hình hộp chữ

nhật là 140, và khoảng cách từ một đỉnh đến đỉnh

xa nhất là 21 Vậy tổng diện tích 6 mặt hình hộp là: a) 776 b) 784 c) 798 d) 800 e) 812

24 Dảy 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2,

2, 1, 2, gồm số 1 ngăn cách bởi các khối số 2, khối thứ n chứa n số 2 Tổng của 1234 số hạng đầu tiên của dãy này là:

a) 1996 b) 2419 c) 2429 d) 2439 e) 2449

25 Biết rằng x2 + y2 = 14x + 6y + 6, tìm giá trị lớn nhất của 3x + 4y

a) 72 b) 73 c) 74 d) 75 e) 76

26 Một bình chứa các viên bi đủ 4 màu: đỏ, trắng,

xanh và lam Khi lấy 4 viên bi và không thay thế, các biến cố sau đều có cùng cơ hội xảy ra như nhau: (i) chọn được 4 bi đỏ

(ii) chọn được 1 bi trắng và 3 bi đỏ (iii) chọn được 1 bi trắng, 1 bi xanh và 2 bi đỏ (iv) chọn được 4 bi có đủ màu

Hỏi số bi nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên a) 19 b) 21 c) 46 d) 69 e) nhiều hơn 69

27 Trong không gian Oxyz, cho hai khối cầu, có

tâm (0, 0, 21/2), bán kính 6, và có tâm (0, 0, 1), bán kính 9/2 Hỏi có bao nhiêu điểm (x, y, z) với x, y, z đều nguyên và thuộc phần giao của hai khối cầu a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 15

28 Cho hình hộp chữ nhât có kích thước 4 x 4 x

3, (xem hình) Khoảng cách từ D tới mặt phẳng

VIETMATHS.NET

ABC gần nhất với số

a) 1, 6 b) 1, 9 c) 2, 1 d) 2, 7 e) 2, 9

29 Nếu n là số nguyên dương sao cho 2n có 28 ước

số dương và 3n có 30 ước số dương, thế thì số 6n có

bao nhiêu ước số dương ?

a) 32 b) 34 c) 35 d) 36 e) 38

30 Một lục giác nội tiếp trong đường tròn có ba

cạnh liên tiếp có đô dài 3, ba cạnh liên tiếp có đô

dài 5 Xét dây cung đường tròn chia lục giác thành

hai hình thang, một hình thang có ba cạnh có đô

dài 3, hình thang kia có ba cạnh có đô dài 5 Dây

cung này có đô dài m/n, trong đó m và n là hai số

dương nguyên tố cùng nhau Tìm m + n

a) 309 b) 349 c) 369 d) 389 e) 409

BÀI GIẢI 1.(d) Lỗi sai ở cột số hàng chục trong đó mỗi chữ

số ở ba hàng trên có thể tăng thêm 1 hoặc chữ số 5 trong tổng số đổi thành 6, thì phép cộng sẽ đúng Trong tất cả chữ số này, chữ số lớn nhất là

7

2 (a) Quang kiếm thêm 2 $ mỗi ngày làm việc

xuất sắc Nếu không có ngày nào xuất sắc thì Quang chỉ được 30 $ trong 10 ngày Vậy 6 $ tăng thêm chứng tỏ Quang có ba ngày làm việc xuất sắc

3.(e) 6 5 4 120

! 3

!

4.(d) Các số đã chó xếp theo thứ tư:

3, 5, 5, 7, 8, 9 ïChúng ta phải xen vào danh sách thêm ba số nữa, và số trung vị sẽ là số đứng ở vị trí thứ 5 kể từ số đầu tiên Nếu ta thêm vào ba số đều lớn hơn hay ít nhất bằng các số đã có, ta sẽ được số trung vị lớn nhất có thể có Và số trung vị cần tìm chính là số thứ 5 trong dảy số đã cho, đó là số 8

5 (e) Phân số lớn nhất có tử lớn nhất và mẫu

nhỏ nhất

6 (e) Vì 0z = 0 với mọi z > 0 nên f(0) = f(- 2) =

0 Suy ra:

f(0) + f(- 1) + f(- 2) + f(- 3) = (- 1)0 (1)2 + (- 3) - 2 (- 1) 0 = 1 + 1/9 = 10/9

7 (b) Tổng số tuổi các đứa bé là 10 vì :

9, 45 – 4, 95 = 4, 5 = 10 0, 45 Nếu hai bé sinh đôi nhỏ hơn hay bằng 3 tuổi thì

VIETMATHS.NET

đứa út không thể là đứa nhỏ nhất Nếu hai bé

sinh đôi đều 4 tuổi, thì đứa út được 2 tuồi

8 (d) Vì 3 = k 2r và 15 = k 4r, chia hai đẳng

thức, ta được 5 = 2r <=> r = log2 5

9 (b) Vì AD vuông góc với giao tuyến AB của hai

mặt phẳng vuông góc nên AD  (PAB) Suy ra

tam giác PAD vuông tại A, cho ta:

PD = AD2 + PA2 = 52 + 32 = 34

•Ghi chú: Giả thiết PB = 4 không cần thiết

10 (d) Mỗi cặp đỉnh chọn trong 8 đỉnh khối lập

phương cho ta một đoạn thẳng Vậy có tất cả:

Cách khác: Khối lập phương có 12 cạnh, 12

đường chéo của 6 mặt và 4 đường chéo của khối,

tất cả là 28 đoạn

11 (d) Các đầu mút của các đoạn thẳng cách

tâm đường tròn một khỏang: 22 12  5

Do đó các đoạn tạo thành một hình vành khăn,

bán kính đường tròn trong là 2, bán kính đường

tròn ngoài là 5, có diện tích là:

π( 5)2 - π(2)2 = π

Ghi chú: Diện tích hình vành khăn không phụ

thuộc vào bán kính đường tròn đã cho

12 (b) Vì k lẻ nên f(k) = k + 3 là chẵn

=> f(f(k)) = f(k + 3) = 1/2 (k + 3) Nếu (k + 3)/2 là lẻ thì:

3 (d) Gọi x là số mét mà Nguyệt phải chạy để

bắt kịp Nhật, và gọi r và mr là vận tốc của Nhật và Nguyệt

Vì Nhật chạy x – h mét trong khi Nguyệt chạy x mét, do đó ta có phương trình:

x r

h x

14 (c) Vì E (100) = E(0), do đó số cần tìm cũng

bằng: E(0) + E(1) + E(2) + + E (99) = E (00) + E(01) + E(02) + + E (99)

(thêm số 0 vào các số có một chữ số, kết quả cũng không đổi)

= E (000102 99)

Số 000102 99 có tất cả 2 x 100 chữ số, mỗi chữ số xuất hiện 200/10 = 20 lần, do đó mỗi chữ

VIETMATHS.NET

số chẵn cũng xuất hiện 20 lần Tổng cần tìm là :

20 (0 + 2 + 4 + 6 + 8) = 20 (20) = 400

15 (b) Gọi a, b là đô dài hai cạnh liên tiếp của

hình chữ nhật (Xem hình) Tam giác A có chiều

cao b/2 và cạnh đáy a/n

Tam giác B có chều cao a/2 và cạnh đáy b/m

Do đó tỉ số diện tích là:

n

m a

16 (d) Có 15 cách trong đó số thứ ba bàng tổng

hai số đầu:

Vì cả ba lần ném đều độc lập nên tất cả 15 biến

cố trên đều có cùng cơ hội, trong đó có 8 lần số

“ 2 “ xuất hiện Vậy xác suất cần tìm là 8 / 15

17 (e) Tam giác CEB nũa đều cho: BC = 6 3

18 (d) Gọi D và F là tâm các đường tròn, C và B

là giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành và trục tung Gọi E và G là các tiềp điểm Ta có:

19 (d) Gọi M, N là trung điểm của AB Tam giác

OMN đều, cho ta: MN = OM

Tam giác OAB đều, cho ta: OM = AB 3/2

20 (c) Gọi P(6, 8) là tâm đường tròn và

Q(12, 16) Nhận xét là P là truing điểm của OQ

Lộ trình ngắn nhất là OTRQ gồm đoạn tiếp tuyến

vẽ từ O, cung TR và đoạn tiếp tuyến vẽ từ Q

Tam giác PTO vuông có: OP = 62  82  10 và

PT = 5 (bánkính) nên là tam giác nửa đều, cho

ta: OT = 5 3

Tương tự: QR = 5 3

Suy ra góc RPT = 1800 – góc OPT – góc QPR

= 1800 – 600 – 600 = 600

=> đô dài cung RT = 5 /3

Vậy đô dài của lộ trình cần tìm là:

2 (5 3) + 5/3

21 (d) Đặt góc ABD = x và góc BAC = y

Vì các tam giác ABC và ABD đều cân nên:

C = (1800 – y)/2 và D = (1800 – y)/2

Mặt khác: x + y = 900, suy ra:

C + D = 1800 – (x + y)/2

= 1800 - 450 = 1350

22 (b) Vì mọi bốn điểm đều có cùng cơ hội được

chọn như nhau, ta chỉ cần xét 6 cách sắp xếp 4

điểm quanh đường tròn: ACBD, ADBC, ABCD,

ADCB, ABDC và ACDB Trong 6 cách này, chỉ

có 2 trường hợp đầu là thỏa điều kiện cắt nhau

Do đó xác suất cần tìm là: 2/6 = 1/3

23 (b) Gọi a, b, c là ba kích thước của hình hộp,

ta có:

140 = 4a + 4b + 4c và 21 = 2 2 2

c b

a  

<=> 35 = a + b + c và 441 = a2 + b2 + c2 Tổng diện tích 6 mặt hình hộp là :

2 (ab + bc + ca) = (a + b + c)2 – (a2 + b2 + c2) = (35)2 – 441

= 1 + 3 + 5 + + (2k – 1 ) (tổng k số lẻ đầu tiên)

Do đó tổng của 1225 số hạng đầu tiên là 49 2 =

2401, và tổng của 9 số hạng sau (đều là 2) là bằng 18, do đó tổng cần tìm là:

Ta có: (D) qua M (x, y) <=> 3x + 4y = m

k – 1 số

VIETMATHS.NET

Vậy biểu thức 3x + 4y lớn nhất khi m/4 lớn nhất

<=> (D) tiếp xúc với (I) và ở phía trên I

Khi đó: d(I, (D)) = R <=>

2 2

4 3

| ) 3 ( 4 ) 7 ( 3

Vậy GTLN là 73 (GTNN là – 7 ứng với (D) tiếp

xúc với (I) và ở phiá dưới tâm I)

Vậy GTLN của biểu thức 3x + 4y là 73

26 b) Giả thiết cho ta:

C

C C C C C

C C C C

C C

C

C

n

l x t d n

x t d n

t d

n

d

4

1 1 1 1 4

1 1 2 4

1 3

GTNN của d sao cho t, x và l là những số nguyên

dương là d = 11, khi đó: t = 2, x = 3 và l = 5 Vậy số bi nhỏ nhất cần tìm là:

11 + 2 + 3 + 5 = 21

27 (d) Ta có: x2 + y2 + (z - 21/2)2 ≤ 62 (1) => |z - 21/2| ≤ 6 => z ≥ 21/2 - 6 = 9/2 (2) Tương tự: x2 + y2 + (z – 1)2 ≤ (9/2)2 (3)

=> |z - 1| ≤ 9/2 => z ≤ 9/2 + 1 = 11/2 (4)

Vì z nguyên nên từ (2) và (4) suy ra: z = 5 Thế vào (1) và (3), ta được:

x2 + y2 + (- 11/2)2 ≤ 62 và x2 + y2 + (4)2 ≤ (9/2)2

<=> x2 + y2 ≤ 27/4 và x2 + y2 ≤ 17/4 <=> x2 + y2 ≤ 17/4 với x, y  Z

Đếm, ta có tất cả 13 bộ (x, y, 5) thỏa là:

(- 2, 0, 5), (2, 0, 5), (0, - 2, 5), (0, 2, 5), (-

1, - 1, 5), (1, - 1, 5), (- 1, 1, 5), (1, 1, 5), (-

1, 0, 5), (1, 0, 5), (0, -1, 5), (0, 1, 5) và (0, 0, 5)

28 (c) Kẻ đường cao DK của tam giác DBC, kẻ

đường cao DH của tam giác ADK, ta chứng minh dễ dàng DH  (ABC) Vậy DH là khoảng cách từ

D tới (ABC)

Trong tam giác vuông cân BCD:

DK = DB/ 2 = 2 2 Trong tam giác ADK:

72

17 9

1 8

1 1 1

1

2 2

2     

DK DA

DH

Vậy DH = 72 / 17  2 , 1

VIETMATHS.NET

Cách khác: Chọn hệ trục tọa độ Dxyz với B

12

2 3

2 





29 (c) Gọi 2e1 3e2ø 5e3 là phân tích thừa số

nguyên tố của số n Thế thì số các ước số dương

trong đó P = (e3 + 1)(e4+ 1)

Trừ hai phương trình trên, ta được:

2 = (e1 – e2) P

Suy ra e1 – e2 = 1, và P = 2 hay

e1 – e2 = 2 và P = 1

* Trong trường hợp đầu, thế e2 = e1 – 1 vào (2),

ta được 15 = (e1 + 1)2 Điều này vô lí vì e1 nguyên

Vậy 6n có (6 + 1)(4 + 1) = 35 ước số dương

30 (e) Gọi lục giác là ABCDEF với AB = BC =

CD = 3 và DE = EF = FA = 5 Gọi P là giao điểm

của BE và CF, Q là giao điểm của BE và AD, R

là giao điểm của CF và AD

Các tam giác EFP, BCP và PQR là các tam giác

đều vì các cung chắn bởi các góc đều có số đo

bằng 1/3 đường tròn

Hai tam giác ABQ và EDQ đồng dạng cho ta:

BQ EQ

AQ (1) Thay AQ = DR = 1/2 (AD – QR),

) (

<=> 5AD - 11QR = 30 và 3AD + 13QR = 30 Giải hệ này, ta được: AD = 360/49

Aùp dụng định lí hàm cos trong tam giác BAF và FOB để tính BF bằng hai cách, ta được:

BF 2 = a 2 + ab + b 2 = 3r 2 Mặt khác đặt góc AOB = 2 => góc AOD = 6, áp dụng định lí hàm sin, ta có: AB = a = 2rsin và AD = 2r sin 3 = 2r sin (3 – 4 sin 2)

VIETMATHS.NET

= 32 ( )2

b ab a

b a ab