dayhoctoan vn kỹ thuật nhân lượng liên hợp giải phương trình vô tỷ

dayhoctoan vn kỹ thuật nhân lượng liên hợp giải phương trình vô tỷ dayhoctoan vn kỹ thuật nhân lượng liên hợp giải phương trình vô tỷ dayhoctoan vn kỹ thuật nhân lượng liên hợp giải phương trình vô tỷ dayhoctoan vn kỹ thuật nhân lượng liên hợp giải phương trình vô tỷ dayhoctoan vn kỹ thuật nhân lượng liên hợp giải phương trình vô tỷ dayhoctoan vn kỹ thuật nhân lượng liên hợp giải phương trình vô tỷ dayhoctoan vn kỹ thuật nhân lượng liên hợp giải phương trình vô tỷ

Khi giải một phương trình vô tỷ điều ta mong muốn là

khử căn bằng cách bình phương hoặc đặt ẩn phụ Tuy

nhiên trong một số trường hợp việc bình phương hoặc

đặt ẩn phụ sẽ làm cho bài toán trở nên phức tạp đặc biệt

là những bài toán có nhiều căn thức Bằng cách nhẩm

nghiệm trực tiếp hoặc dùng máy tính bỏ túi tìm nghiệm

thì chúng ta có một công cụ khá hiệu quả để giải quyết

đó là phương pháp nhân liên hợp

Ta biến đổi PT theo các công thức nhân liên hợp sau:



 (1)

2

A B

A B

A B



 với B 0 (2)

3 3

A B



  (3)

3 3

A B

A B



  (4)

Trong trường hợp biến đổi theo công thức (2) thông

thường ta cần lưu ý:

- Nếu ta nhẩm thấy PT có 1 nghiệm thì B là hằng số

- Nếu ta nhẩm thấy PT có 2 nghiệm thì B là hàm bậc

nhất

Sau đây là một số bài toán minh họa

Bài toán 1: Giải phương trình

x   x x  

Dễ dàng ta nhẩm được nghiệm x  2

Với x  thì 2 x  2 2 Do đó 2 x2 là biểu

thức cần nhân liên hợp

Lời giải ĐK: x  2 Khi đó PT đã cho tương đương

với x2  x 6 2 x2 0

1

x

x

x





2

x

 





Với x  2 thì ta có 2x  5 (x3) x 2 0 Vậy, nghiệm của PT đã cho là x  2

Bài toán 2: Giải phương trình

3x 1 5x 4 2x 3

Dễ dàng ta nhẩm được nghiệm x  , 1 x  0

Do đó ta phải có 3x  1 (axb) Để tìm ,a b ta

cho x  và 1 x  để biểu thức trên bằng 0, nghĩa là 0

Biểu thức cần nhân liên hợp là 3x 1 (x 1) và

dĩ nhiên phần còn lại là 5x 4 (x2)

3

x   Khi đó PT đã cho tương đương

với 3x 1 (x 1) 5x 4 (x 2)0

2

2

0

0

0 0

1

0

x x

x

x x

x





   

 





3

x   thì ta có

0

3x 1 x 1 5x 4 x 2 

Vậy, nghiệm của PT đã cho là x  hoặc 1 x  0

Bài toán 3: Giải phương trình

2

34x 3x 8 2 3x 2 2x1

Ta nhẩm được nghiệm x  , 1 x  9

Do đó ta phải có 3x 2 (axb) Để tìm a b ta , cho x  và 1 x  để biểu thức trên bằng 0, ta có 9

1 ( ab) và 5 (90  ab) , suy ra 0 1

2

a b 

Biểu thức cần nhân liên hợp là 3 2 1 1

x  x 



hay 2 3x 2 (x1) và dĩ nhiên phần còn lại sẽ là

2

34x 3x 8 (x2)

3

x  Khi đó PT đã cho tương đương

với 34x23x 8 (x2)2 3x 2 (x1) 0

3

2

0



  

3

0



   2

3

1 0

x

x x

x x











Với 2

3

x  thì ta có

3

1

0

(4 3 8) ( 2) 4 3 8 ( 2)

x

x x

x   x x x    x x     

9

x

x

 



      

Vậy, nghiệm của PT đã cho là x  hoặc 1 x  9

Bài toán 4: Giải phương trình

2

3 5 x 3 511x x 3x20

Ta nhẩm được nghiệm x   , 1 x   4

Do đó ta phải có 3 5 x (ax b) và

3 5 11 x (cx d) Để tìm , , ,a b c d ta cho x   1

và x   để các biểu thức trên bằng 0, ta có 4

a b

a b

    



c d

c d

    



7

a

b

 



 

 và

3 9

c d

  



 

 Biểu thức cần nhân liên hợp

là 3 5 x (x 7) và 3 5 11 x  (9 3 )x

5

11

x

   PT tương đương với

2

3 5   x (x 7) 3 5 11 x (9 3 )x x 5x4

2

2

3 5 11 (3 ) 9(5 ) ( 7)

x x

x x

  

2

x x





4

1 0

x

x

 





5

11

x

   thì ta có

3 5 x x 7  5 11x 3 x  

Vậy, nghiệm của PT đã cho là x   hoặc 1 x   9

Bài toán 5: Giải phương trình

Ta nhẩm được nghiệm x  , 1 x  2

Do đó ta phải có (ax b) 16x7 Để tìm a b ta , cho x  và 1 x  để biểu thức trên bằng 0, ta có 2

Biểu thức cần nhân liên

hợp là 2x  1 16x7

16

x  PT đã cho tương đương với

2x  1 16x 7 x  3 (x 3)(3x 1)0

2

(2 1) (16 7)

2

2

2

x

x x





2

2 2

1

2

0

x

x

x

 



Với 7

16

x  thì ta có

2 2

0

x



Vậy, nghiệm của PT đã cho là x  hoặc 1 x  2

Bài toán 6: Giải phương trình

3 3

4x 2 x 14 3 Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi để tìm

nghiệm thì ta có được hai nghiệm là x 1 2, 41421 và

2 0, 41421

x   Tương tự như trên ta tìm a b, sao cho

biểu thức 4x 2 (axb) có giá trị bằng 0 tại x 1

và x Suy ra 2 a  b 1

2

x   Khi đó PT đã cho tương đương

với 4x  2 (x  1) (x2)3x314  0

2

3

2

2 3

2

3

1

6

  



  





14)



 



 2

3

0

      









2

x   thì ta có

3

0

4x  2 x 1 (x2)  (x 2) x  14 (x 14) 

Vậy, nghiệm của PT đã cho là x  1 2

Bài toán 7: Giải phương trình

2

2x  8 2 2x   3 x 4 0

Ta nhẩm được nghiệm x  Tuy nhiên ở bài toán này 2

nếu các bạn nhóm các căn thức với hằng số như bài toán

1 thì sẽ gặp khó khăn vì sau khi nhân liên hợp và rút

nhân tử chung thì PT còn lại vẫn còn nghiệm x  2

Điều này cho thấy nghiệm x  không phải là nghiệm 2

đơn như bài toán 1 mà là nghiệm kép Nghĩa là ta sẽ tách

nhóm các căn thức sao cho sau khi nhân liên hợp ta có nhân tử chung là x24x  Một điều dễ nhận ra là4

2x  8 (x2) x 4x  , do đó ta sẽ nhóm 4 2

2x  8 (x2) và dĩ nhiên nhóm còn lại sẽ là

2x 2 2 2x 3

2

x  Khi đó PT đã cho tương đương

với 2x2 8 (x2)2x 2 2 2x  3 0

2

2 ( 1) (2 3)

0

  

2

  

2

2

x x



2

2





Với 3

2

x  thì

2

  

Do đó nghiệm của PT đã cho là x  2

BÀI TẬP

Giải các phương trình sau:

1) 63x  4x 3 9x5

2) 2x  6 3x3 26 6x 19

3) 3x2  x 3 3x  1 5x 4.

4) 7x 4 3 x  1 x23x1

x

 

       

 

6) x2 3x 1 3x 5 1x

7) x2 162 x23x  4 x  1 1