Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Chứng minh trung điểm I của đoạn AB thuộc một đường cong cố định khi k thay đổi.. 1 điểm Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC và mặt đáy
Trang 1ĐỀ SỐ 1
Đề thi thử Đại học lần VII năm 2013 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội
Câu 1 (2 điểm)
Cho hàm số y = 2x +1
x 1
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Tìm k để đường thẳng y = kx + 1 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B Chứng minh trung điểm I của đoạn AB thuộc một đường cong cố định khi k thay đổi
Câu 2 (1 điểm)
Giải phương trình:
Câu 3 (1 điểm)
Giải hệ phương trình:
x - xy +156y =0
y - yx -39x =0
Câu 4 (1 điểm)
Tính tích phân I =
2 2
2 4
sin 2x 2x cos x
dx sin x
Câu 5 (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC và mặt đáy ABC là các tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA tạo với đáy (ABC) một góc 60 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp o
Câu 6 (1 điểm)
Các số a, b, c, d thuộc đoạn [0; 2] Chứng minh bất đẳng thức:
a + b + c + d ≤ ab 1 bc 1 cd 1 da 1
Câu 7 (1 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2
+ y2 – 6x + 2y – 15 = 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d: 3x – 4y + 22 = 0 sao cho từ điểm M kẻ được tới (C) hai tiếp tuyến ME,
MF (E, F là các tiếp điểm) mà đường thẳng EF đi qua điểm N (0; 1)
Câu 8 (1 điểm)
Trong không gian Oxy hãy lập phương trình mặt cầu (S) đi qua điểm M (1; 6; 0) và chứa đường tròn (C) là giao của mặt phẳng (P): 2x – y + z + 6 = 0 với mặt cầu (E): x2
+ y2 + z2 – 10x – 8y = 0
Câu 9 (1 điểm)
Tìm số phức z thỏa mãn z z 1 i và z 2i
z 2
là số thực
Trang 2ĐỀ SỐ 1
Đề thi thử Đại học lần VII năm 2013 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội
Câu 1 (2 điểm)
1 (1 điểm): Học sinh tự giải
2 (1 điểm)
Đường thẳng ∆: y = kx + 1 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:
2
2x 1
x 1
2
Gọi A (xA, yA), B (xB; yB), I (xI; yI) trong đó xA, xB là nghiệm của (*) và
y1 = kx1 + 1
Theo định lí Viet, ta có xA + xB = k 1
k
2xI = k 1
k
(2xI − 1)k = 1 xI 1
2
và k =
I
1 2x 1
I
Suy ra điểm I thuộc đồ thị của hàm số y = 3x 1
2x 1
cố định (0,5 điểm)
Câu 2 (1 điểm)
Điều kiện: sin2x ≠ 0
4
x.tanx + sin4x.cotx (0,5 điểm)
3
(k R) 2
3
(thỏa mãn đk) (0,5 điểm)
Câu 3 (1 điểm)
Hệ phương trình tương đương với hệ:
x(x y ) 156y (1) y(x y ) 39x (2)
− Nếu x = 0 thì y = 0
− Với x ≠ 0 Từ (1) và (2) suy ra (−y)( 156y
x
) = 39x
y 0 và 4y2 = x2 (3) (0,5 điểm)
Trang 3Ta có x2 – y2 = 3y2 > 0 cùng với (1) suy ra x, y trái dấu
Do đó từ (3) ta có x = −2y
Thay x = −2y vào (1) ta được 6y3 = 156y y 26 x 2 26
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (0; 0), (2 26; 26),
(2 26; 26)
(0,5 điểm)
Câu 4 (1 điểm)
Ta có 2
2 4
2 cos x(sin x x cos x)
sin x
Do
'
2
x sin x x cos x
nên (0,5 điểm)
2
4
x
sin x
2
4
(0,5 điểm)
Câu 5 (1 điểm)
Gọi M là trung điểm của BC, ta có SM, AM vuông góc với BC, do đó (SAM) là mặt phẳng trung trực của BC và SAM là góc giữa SA và mp (ABC) nên ̂ = 0
60 SAM đều, gọi N là trung điểm của SA thì MN là trung trực của SA Từ trọng tâm G của ∆ABC kẻ đường thẳng vuông góc với mp(ABC), nó sẽ thuộc mp(SAM) và cắt MN tại I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp (0,5 điểm)
Ta có ∆GIM NAM g( g)
IM
MN
Suy ra bán kính R = IB = 2 2
=
9 4 6 Vậy Vcầu =
3 3
R
(0,5 điểm)
Câu 6 (1 điểm)
Từ giả thiết suy ra 2
2
Tương tự ta cũng có b + c 2 1 bc và c + a 2 1 ca.
Suy ra a + b + c + d 1 ab 1 bc 1 cd 1 da (đpcm)
I
A
N
M
S
C
B
G
Trang 4(1,0 điểm)
Câu 7 (1 điểm)
Đường tròn (C) có tâm (3; −1)
và bán kính R = 5
Xét điểm M (m, 3m 22) d
4
Đường thẳng MT sẽ là tiếp tuyến của (C)
tại T (x; y) MT.CT0
(x m)(x 3) (y 3m 22)(y 1) 0
4
Do T (x; y) (C) nên x2 + y2 = 6x – 2y + 15 thay vào (1) ta được:
6x – 2y + 15 – 3x – mx + 3m + y – 3m 22y 3m 22 0
(3 – m)x – 3m 26y 15 3m 3m 22 0
(2) Như vậy các tiếp điểm E, F của các tiếp tuyến kẻ từ M tới (C) có toạ độ thoả mãn pt (2), do
đó pt (2) là đường thẳng EF Đường thẳng này đi qua điểm N(0 ; 1) khi và chỉ khi −
Đáp số: M (–2 ; 4) (0,5 điểm)
Câu 8 (1 điểm)
Mặt cầu (E) có tâm E(5; 4; 0) và bán kính R = 41 Gọi H là tâm đường tròn (C), ta có
EH (P) nên EH song song với vectơ pháp tuyến np2; 1; 1 của (P), suy ra phương trình đường thẳng EH là:
(P) 2(5 2t) (4 t) t 6 0
t = –2 Do đó H (1; 6; –2) (0,5 điểm)
Bán kính của (C) là r = 2 2
R EH 17
Do (S) chứa (C) nên tâm S EH
S (5 + 2t; 4 – t, t),
Theo giả thiết ta suy ra: SM2 = SH2 + r2
(4 + 2t)2 + (2 + t)2 + t2 = (4 + 2t)2 + (2 + t)2 + (t + 2)2 + 17
4
C
E
F
M
N
d
p
E
M
S
H
Trang 5Từ đó ta có phương trình đường tròn (S) theo yêu cầu là:
(0,5 điểm)
Câu 9 (1 điểm)
Đặt z = x +yi Từ z z 1 i 2 2 2 2
Ta có z 2i x (y 2)i x (y 2)i (x 2) yi
z 2 (x 2) yi (x 2) yi (x 2) yi
= x(x 2) 2y(y 2)2 (x 2)(y 2) xy2 2 i
Để z 2i
z 2
là số thực khi và chỉ khi
0
0
Xét (x 2)(y 2) xy2 2 0 (x 2)(y 2) xy 0
Từ (1) và (2) ta có x= 3
2, y =
1 2 Với các giá trị trên, kiểm tra ta thấy x(x – 2) + y(y – 2) 0
Đáp số : z = 3 1i
22 (0,5 điểm)