Tìm các giá trị của m để khoảng cách từ điểm cực tiểu của C đến đường thẳng ∆ lớn nhất.. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC... Vậy H là trung điểm của BC.. Gọi P là điểm đ
Trang 1ĐỀ SỐ 4
Đề thi thử Đại học lần IV năm 2013 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội
Câu 1 (2 điểm)
Cho hàm số y = x3
– 3x2 + 2 (1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
(2) Đường thẳng ∆ đi qua điểm cực đại của (C) và hệ số góc bằng 2 1
m 4
Tìm các giá trị của m
để khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C) đến đường thẳng ∆ lớn nhất
Câu 2 (1 điểm)
Giải phương trình 1 – 3cosx + cos2x =
cot x cot 2x sin x 1
Câu 3 (1 điểm) Giải hệ phương trình: 4
Câu 4 (1 điểm) Tính tích phân I =
2 1
2
x.ln x 1
Câu 5 (1 điểm)
Hình chóp S.ABC có AB = BC = CA = SA = a, góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) bằng 0
30
, H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) thuộc đường thẳng BC Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Câu 6 (1 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c, d Chứng minh bất đẳng thức:
2
b cc dd aa b
Câu 7 (1 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A (1; 3) và hai đường thẳng d1: x – y + 1 = 0, d2: 2x + y
+ 2 = 0 Viết phương trình dạng tổng quát của đường thẳng l đi qua A và cắt hai đường thẳng d 1 ,
d 2 lần lượt tại các điểm B và C cho 2AB = 3AC
Câu 8 (1 điểm)
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P1): x + y − 2z + 9 = 0 và (P2): 2x – y + z + 2
= 0 Hãy lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x – 4y + z + 5 = 0, : 2x + 2y – 3z – 5 = 0 và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P1),
(P2)
Câu 9 (1 điểm)
Số phức z = x + 2yi (x, y R) thay đổi thỏa mãn z = 1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P = x – y
Trang 2ĐỀ SỐ 4
Đề thi thử Đại học lần IV năm 2013 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội
Câu 1 (2 điểm)
1 (1 điểm): Học sinh tự giải
2 (1 điểm)
Điểm cực đại là A(0 ; 2) và cực tiểu là B (2 ; – 2)
4
Gọi h là khoảng cách từ B đến Ta luôn có h AB Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB
(0,5 điểm)
Ta có AB(2;4)và vectơ chỉ phương của là u (1; m2 1)
4
(0,5 điểm)
Câu 2 (1 điểm)
Điều kiện: sin2x 0
Pt đã cho tương đương với pt : 1 – 3cosx + cos2x = 1
1 sin x sin 2x
2
1 3cos x cos2x 2cos x 2cos x cos x 0
cos x(2cos x 1) 0 (0,5 điểm)
Do sin2x 0cos x0nên 2cosx – 1 = 0 cos x 1 x 2k (k Z)
Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là:
x 2k
3
(kZ) (0,5 điểm)
Câu 3 (1 điểm)
Điều kiện x 0, x 2y 0
Ta có x x2y 22x2y2 x(x2y) 2 x(x2y) 1 (xy)
Thay vào 2(x + y) = 1 + y2 và pt y4 + 19 = 20(x + y), ta được:
y4 + 19 = 10(1 + y2)
2
2
Với y2
= 9 10 1 y 2 2(xy)2 vô lý Trường hợp này vô nghiệm
(thỏa mãn điều kiện)
Trang 3Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y) = (0 ; 1), (2 ; 1) (0,5 điểm)
Câu 4 (1 điểm)
Ta có
2
2
1
0
0
1
0
Câu 5 (1 điểm)
SAH vuông tại H có SA = a, 0
SAH30
nên SH = a
2 và AH =
a 3 2
Trong ABC đều, kẻ đường cao AH',
ta có AH'AH
(đường vuông góc không lớn hơn đường xiên)
Mặt khác AH'
=a 3
2 , suy ra
'
HH Vậy H là trung điểm của BC
Gọi P là điểm đối xứng của S qua H, thì ASP là tam giác đều có đường cao là AH, kẻ đường trung trực của SA cắt AH tại G là trọng tâm của ASP
Ta có GS = GA = GB = GC Suy ra G là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có bán kính R
= a 3
3 Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là V =4 a2 3
27
Câu 6 (1 điểm)
Ta có VT = a(d a) c(b c) b(a b) d(c d)
4 a(d a) d(b c) 4 b(a b) d(a d)
VT
2
VT
(a b c d)
2
2
2(a b c d) 2(a c) 2(b d)
(a b c d) 2(a c) 2(b d)
(a b c d)
Đẳng thức xảy ra khi a = c và b = d Bất đẳng thức được chứng minh
(1 điểm)
Câu 7 (1 điểm)
Do Bd , C1 d2nên B (t; t + 1) và C (t’; −2t’ − 2) AB (t 1; t2)và AC (t’ − 1 ; −2t’
− 5)Từ đẳng thức 2AB = 3AC, ta có hai trường hợp sau:
S
B
P
H
G
Trang 4*) 2(t 1) 3(t ' 1)
2(t 2) 3( 2t ' 5)
2t 3t ' 1 2t 6t ' 11
13
t
6
t '
9
Chọn u(19; 25) làm vectơ chỉ phương của l
Ta có pt của l là : 25x – 19y + 32 = 0 (0,5 điểm)
*)
29
t
23 17 6
t '
9
Chọn u(23; 17)làm vectơ chỉ phương của l
Ta có pt của l là: 17x – 23y + 52 = 0
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là :
l 1 : 25x – 19y + 32 = 0 và l 2 : 17x – 23y + 52 = 0 (0,5 điểm)
Câu 8 (1 điểm)
Gọi n (1; 4;1), n (2; 2; 3) thứ tự là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β) Khi
Ta nhận thấy điểm M ( 2;0; 3) nằm trên d, nên phương trình của d là:
(0,5 điểm)
Gọi I ( 2 2t; t; 3 2t) là tâm mặt cầu tiếp xúc với hai mặt phẳng (P1), (P2)
Ta có d (I, (P1)) = d (I, (P2)) 2 2t t 6 4t 9 4 4t t 3 2t 2
t 3
t 13 5t 5
Vậy có hai mặt cầu thỏa mãn bài toán:
1
50
3 75
Trang 5(0,5 điểm)
Câu 9 (1 điểm)
Ta có z 1 x24y2 1 x24y2 1 (1)
Từ P = x – y y x P, thay vào (1) ta được 5x2 – 8Px + 4P2 – 1 = 0 (2)
(0,5 điểm)
; Với P = 5 z 2 5 5.i
Suy ra : minP = 5
2
khi z 2 5 5.i
;
maxP = 5
2 khi
(0,5 điểm)