PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG (ĐIỂM & VECTƠ)A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ:.[r]
Trang 1PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
(ĐIỂM & VECTƠ)
A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
I Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho ⃗u=(u1;u2), ⃗v =(v1;v2) Ta có:
1 ⃗u=( u1;u2)⇔ ⃗u=u1 ⃗i+u2 ⃗j
2 ⃗u=⃗v ⇔{u1=v1
u2=v2
3 ⃗u+⃗v=(u1+v1;u2+v2)
4 k ⃗u=( k u1; k u2), ∀ k ∈ R
5 ⃗u ⃗v=u1 v1+u2 v2
6 |u⃗|=√u12+u22
7 cos (⃗u , ⃗v )= u ⃗v⃗
|u⃗||⃗v|=
u1 v1+u2 v2
√u12+u22√v12+v22
8 ⃗u ⊥ ⃗v ⇔ ⃗u ⃗v=0 ⇔u1 v1+u2 v2=0
9 ⃗u cùng ph ư ơ ⃗v ng ⇔∃ k∈ R : ⃗u=k ⃗v⇔ u1
v1
=u2
v2(v1, v2≠ 0)
II Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho A(x A ; y A), B(x B ; y B),C(x C ; y C) Ta có:
1 ⃗AB=(x B−x A ; y B−y A)
2 AB=√ (x B−x A)2+(y B−y A)2
3 M làtrung đi m ể đo n ạ AB ⇔ M(x A+x B
2 ;
y A+y B
2 )
4 Glà tr ng ọ tâm ∆ ABC ⇔G(x A+x B+x C
y A+y B+y C
Trang 2B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:
(Nếu không chú thích gì ta hiểu là các bài tập cho trên mặt phẳng toạ độ Oxy )
Dạng 1: Tọa độ của điểm, của vectơ
Phương pháp: Tìm tọa độ của vectơ ⃗u=(x ; y) hay điểm M(x ; y)
* Tìm một hệ thức vectơ có chứa ⃗u hay M
* Lập hệ phương trình để tìm x , y hoặc dùng định nghĩa để suy ra x , y
Bài tập:
Bài 1.1: Viết tọa độ của các vectơ sau:
1 ⃗a=2 ⃗i+3 ⃗j
2 ⃗b=3 ⃗i
3 ⃗c=−2 ⃗j
4 ⃗d=0,2 ⃗i+√3 ⃗j
⌊ ĐS : ⃗a=(2 ;3) , ⃗b=(3 ;0 ), ⃗c=(0 ;−2) , ⃗d=(0,2 ;√3)⌋
Bài 1.2: Viết vectơ ⃗u=x ⃗i+ y ⃗j khi biết tọa độ của ⃗u là:
1 (2;−3)
2 (2; 0)
3 (0 ;−1)
4 (0 ; 0) ĐS: ⃗u=2 ⃗i−3 ⃗j, ⃗u=2 ⃗i , ⃗u=−⃗j, ⃗u=⃗0
Bài 1.3: Cho ⃗a=(2;−1) , ⃗b=(3 ;0 ) , ⃗c=(−1;2) Tìm tọa độ của các vectơ:
1 ⃗x=2 ⃗a−3 ⃗b+⃗c
2 ⃗y=−⃗a+2 ⃗b−3 ⃗c
3 ⃗u sao cho 3 ⃗a−⃗u=−2 ⃗b+4 ⃗c
4 ⃗v sao cho 2 ⃗v +⃗a=3 ⃗b−5 ⃗c
⌊ĐS : ⃗x=(−6 ; 0) , ⃗y=(11;−7 ) , ⃗u=(16 ;−11) , ⃗v=(6 ;−9
2)⌋
Bài 1.4: Cho ⃗a=(2;−2) , ⃗b=(1; 4) , ⃗c=(5 ;0) , ⃗d=(−3 ;−1)
1 Tìm các số h và k sao cho
⃗
c=h ⃗a+k ⃗b
2 Hãy phân tích vectơ ⃗a theo hai vectơ
⃗b , ⃗d
⌊ĐS : ⃗c=2 ⃗a+⃗b , ⃗a=−8
11 ⃗b−
10
11⃗d ⌋
Bài 1.5: Cho A (1;−2) , B (0 ;4 ) ,C (3 ;2)
1 Tìm điểm D để ⃗CD=2⃗ AB−3⃗ AC 2 Tìm điểm E đối xứng với A qua
B
⌈ HD :2 B trung đi m ể đo n ạ AE ⌉ ⌊ ĐS : D (−5 ;2) , E (−2 ;−4 ) ⌋
Dạng 2: Vectơ cùng phương – Ba điểm thẳng hàng – Hai đường thẳng song song
Phương pháp: Dùng các mệnh đề
¿⃗u=(u1; u2)cùng ph ư ơ ⃗v= ng (v1; v2)⇔∃ k ∈ R :⃗u=k ⃗v ⇔ u1
v1=
u2
v2(v1, v2≠0)
* A , B , C thẳng hàng ⇔⃗ AB cùng phương ⃗AC
* AB ∥ BC ⇔{ ⃗AB cùng ph ư ơ⃗ ng BC
A , B , C không th ng ẳ hàng ⇔{ ⃗AB cùng ph ư ơ⃗ ng BC
⃗AB không cùng ph ư ơ⃗ ng AC
Trang 3* ABCD là hình bình hành ⇔⃗ AB=⃗ DC
Bài tập:
Bài 2.1: Tìm x để các cặp vectơ sau cùng phương
1 ⃗a=(2;3 ), ⃗b=(4 ; x)
2 ⃗u=(0;5 ), ⃗v=( x ;7 )
3 ⃗m=( x ;−3 ), ⃗n=(−2;2 x )
⌊ ĐS :1 x=6, 2 x=0, 3 x=±√3⌋
Bài 2.2: Xét xem các cặp vectơ sau có cùng phương không? Nếu có thì xét xem chúng cùng hướng hay ngược hướng?
1 ⃗a=(2;3 ), ⃗b=(−10 ;−15)
2 ⃗u=(0;7), ⃗v=(0 ;8)
3 ⃗m=(3 ;4), ⃗n=(6 ;9)
4 ⃗p=(0 ;5 ), ⃗q=(3 ;0)
⌊ĐS : ⃗a , ⃗b ng ư ợh c ư ớ ; ⃗u , ⃗v cùng h ng ư ớ ;⃗ ng m, ⃗n không cùng ph ư ơ ; ⃗p , ⃗q không cùng ph ng ư ơ ng ⌋
Bài 2.3: Cho A (−1;1) , B (1 ;3) ,C (−2 ;0) Chứng minh A , B , C thẳng hàng
⌈ HD :Ch ng ứ minh⃗ AB ,⃗ AC không cùng ph ư ơ ng ⌉
Bài 2.4: Tìm m để K(2;−1), L(4 ;5).
1 K , L , M (m−1 ;m+2) thẳng hàng 2 C (−7 ;m) thuộc đường thẳng KL
⌈ HD :1.⃗ KL ,⃗ KM cùng ph ư ơ ,2.⃗ ng KL,⃗ KC cùng ph ư ơ ng ⌉ ⌊ ĐS :1.m=4, 2 m=−28 ⌋ Bài 2.5: Cho A (−1;3 ), B (2; 4) , C (0 ;1)
1 Chứng minh A , B , C không thẳng hàng
2 Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
3 Tìm tọa độ điểm E thuộc Ox để A , B , E thẳng hàng
4 Tìm tọa độ điểm F thuộc Oy để ⃗AF ,⃗ BC cùng phương
5 Cho H (1 ;4 ) Chứng minh AC ∥ BH
⌈
HD :1.⃗ AB ,⃗ AC không cùng ph ư ơ ng
2.⃗AB=⃗ DC , 3 E(x E ;0), 4 F(0 ; y F)
5.{ ⃗AC cùng ph ư ơ⃗ ng BH
⃗AC không cùng ph ư ơ ⃗ ng AB
⌉ ⌊
ĐS :2 D (1 ;6 )
3 E (−10 ;0)
4 F(0 ;9
2)
⌋
Dạng 3: Tích vô hướng , góc giữa hai vectơ - Hai đường thẳng vuông góc
Xác định dạng tam giác – Chu vi – Diện tích
Phương pháp: Sử dụng các công thức với ⃗u=( u1;u2), ⃗v =(v1;v2)
* ⃗u ⃗v=u1 v1+u2 v2
¿cos ( ⃗u , ⃗v )= ⃗u ⃗v
|u⃗||⃗v|=
u1 v1+u2 v2
√u12 +u22
√v12 +v22
* ⃗u ⊥ ⃗v ⇔ ⃗u ⃗v=0 ⇔u1 v1+u2 v2=0
với A(x A ; y A), B(x B ; y B)
* ⃗AB=(x B−x A ; y B−y A)
* AB=√ (x B−x A)2+(y B−y A)2
* ∆ ABC vuông cân tại A ⇔{AB AB= AC ⊥ AC ⇔{⃗AB.⃗ AC=0
AB= AC
Trang 4* ABCD là hình vuông ⇔{⃗AB AB=⃗ ⊥ CB CD
AB= AD
⇔{⃗AB ⃗⃗AB=⃗ CB=0 CD AB= AD
Bài tập:
Bài 3.1: Cho ⃗a=(5 ;2), ⃗b=(7 ;−3)
1 Tìm ⃗x thoả ⃗a ⃗x=38 và
⃗b ⃗x=30
2 Tính (a , ⃗b⃗ )
⌊ĐS : ⃗x=(6 ; 4) ;(a , ⃗b⃗ )=45° ⌋
Bài 3.2: Cho ∆ ABC có A (1;−1) , B (5 ;1) ,C (3 ;3 )
1 Tính cos(⃗BC ,⃗ BA) và góc A 2 Tính chu vi ∆ ABC
⌈ HD :1 ^A=(⃗AB ,⃗ AC)
2 P ∆ ABC=AB+ AC+BC ⌉ ⌊ ĐS:1 cos(⃗BC , ⃗ BA)=√1010, ^A ≈ 36 °52 °
2 P ∆ ABC=4√5+2 √2
⌋
Bài 3.3: Cho A(7 ;−3), B(8 ;4), C(1 ;5), D(0 ;−2)
1 Chứng minh AB ⊥ CB
2 Chứng minh tứ giác ABCD là hình
vuông
3 Tính chu vi hình vuông ABCD
4 Tính diện tích hình vuông ABCD
⌈ HD :1.⃗AB ⃗ CB=0,2.{⃗AB ⃗⃗AB=⃗ CB=0 CD
AB= AD
3 P ABCD=4 AB , 4 SABCD=AB AC
⌉ ⌊ ĐS:3 P ABCD=5√2
4 P ∆ ABC=50√2 ⌋
Bài 3.4: Cho A (−3 ;2) , B (4 ;3 )
1 Tìm điểm M trên trục Ox sao cho
∆ MAB vuông tại M
2 Tìm B sao cho ∆ OAB vuông cân
tại A
3 Tính chu vi và diện tích ∆ OAB và
∆ MAB
⌈ HD :1.⃗ MA ⃗ MB=0, 2.{⃗AO ⃗ AB=0
AO= AB
3 S ∆ MAB=1
2MA MB , 4 S ∆ OAB=1
20 A 0 B
⌉ ⌊
ĐS:1 M (−2;0 ), 2 B (−2 ;−5)
3 P ∆ MAB=4√5+5√2 , S ∆ MAB=5
2
P ∆ OAB=2√13+5√2 , S ∆ OAB=13
2
⌋
Bài 3.5: Nhận dạng ∆ ABC , biết:
1 A(−2 ;2), B(6; 6),C(2;−2)
2 A (−2 ;8) , B (−6 ;1) ,C (0 ;4 )
3 A(−4 ;2), B(0;−1), C(3 ;3)
A (−1; 0) , B (3 ;0) ,C(1;2√3) ⌊ĐS :1 ∆ cân t i ạ B ;2 ∆ cânt i ạ B , 3 ∆ vuông cân t i ạ B , 4 ∆ đ u ề ⌋
Trang 5Dạng 4: Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng – Chân đường cao trong tam giác
Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác Phương pháp: Cho ∆ ABC với A(x A ; y A), B(x B ; y B),C(x C ; y C).
¿M làtrung đi m ể đo n ạ AB ⇔ M(x A+x B
2 ;
y A+y B
2 )
¿Glà tr ng ọ tâm ∆ ABCG(x A+x B+x C
y A+y B+y C
* K là chân đường cao vẽ từ A ⇔{K , B , C th ng AK ⊥ BC ẳ hàng ⇔{ ⃗AK ⃗ BC=0
⃗BK cùng ph ư ơ ⃗ ng BC
* H là trực tâm ∆ ABC ⇔{BH AH ⊥ AC ⊥ BC ⇔{⃗AH ⃗ BC=0
⃗BH ⃗ AC=0
* I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC ⇔ IA=IB=IC ⇔{IA2
=IB2
IA2=IC2
(hay
v i ớ M trung đi m ể AB, N trung đi m ể AC thì
I làtâm đ ư ờ tròn ngo i ng ạ ti p ế ∆ ABC ⇔{MI ⊥ AB
¿⊥ AC ⇔{⃗MI ⃗ AB=0
⃗
¿.⃗ AC=0 )
Bài tập:
Bài 4.1: Cho ∆ ABC có A (−1;2 ), B (5 ;2) , C (3 ;0) Tìm tọa độ của:
1 Trọng tâm G của ∆ ABC
2 Tâm đường tròn ngoại tiếp I của
∆ ABC
3 Chân đường cao A ' vẽ từ A
4 Trực tâm H của ∆ ABC
⌊ĐS :1 G(73;
4
3);2 I (2 ;3) ;3 A '
(2 ;−1) ; 4 H (3 ;−2) ⌋
Bài 4.2: Cho A (−2 ;1 ), B (2 ;0) , C (3 ;4 )
1 Tìm trọng tâm G , trực tâm H , tâm I của đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC
2 Chứng minh 3 điểm G , H , I thẳng hàng
⌊ĐS :1 G(73;
5
3);I(12;
5
2); H (2;0 ) ⌋
Bài 4.3: Cho ∆ ABC với M (−1 ;−1) , N (1; 9) , P (9 ;1) lần lượt là trung điểm các cạnh
BC , AC , AB Tìm toạ độ của A , B , C
⌊ĐS : A(11;11); I(7 ;−9); H(−9 ;7)⌋
Bài 4.4: Cho ∆ ABC với A(1;−1), B(3 ;−3),C ∈ Oy Xác định toạ độ điểm C , biết rằng
∆ ABC có trọng tâm thuộc trục Ox
⌊ĐS :C (−4 ;0 ) ⌋
Bài 4.5: Cho ∆ ABC có các đỉnh A (−1; 0) , B (4 ; 0) ,C ( 0; m) với m≠ 0 Tìm toạ độ trọng tâm
G của ∆ ABC theo m Xác định m để ∆ GAB vuông tại G
⌊ĐS :G(1 ; m
3);m=3√6⌋