Bài giảng tổng giao không gian véc tơ con

Bài giảng tổng giao không gian véc tơ con

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA

CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP HCM — 2013

Nội dung

gian nghiệm của hệ thuần nhất

Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n.

1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E

1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E

M = {x1, x2, , xk} (k < n) ĐLTT, x không là THTT

của k véctơ của M khi đó M ∪ {x} ĐLTT

Nếu M = {x 1 , x2, , xm} (m > n) là tập sinh của E , xi

là THTT của những véctơ còn lại của M thì khi bỏ x i ta

được M0 = M\{xi} là tập sinh của E

Ví dụ

F = {(x1, x2, x3) : x1, x2, x3 ∈ R, x1+2x2+x3 = 1}

Thật vậy, với x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ Fthì x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) và

(x1 + y1) + 2(x2 + y2) + (x3 + y3) =

Bao tuyến tính

Định lý

Cho S = {x1, x2, , xn} ⊂ E , E − là một K -kgv.Khi đó W =< x1, x2, , xn >= {x ∈ E , x =

Hệ quả

Cho E là một K -kgv, dim(E ) = n, F là không

cần chứng minh B là tập sinh của F

Chứng minh B là tập sinh của F

Vậy p(x ) = c(−x2 + 1) Do đó {−x2 + 1} là tậpsinh của F

dim(F ) = 1

Ví dụ

Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con W

Không gian nghiệm của hệ thuần nhất

Định lý

Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất gồm

đó các nghiệm của hệ phương trình này tạo thành

Định lý

Không gian véctơ nghiệm của hệ phương trình

tuyến tính thuần nhất tổng quát có số chiều bằng

n − r trong đó r = rank(A) và n là số ẩn

−2β β







 + β

−2 1

Số chiều của bao tuyến tính < M > và hạng của hệ véctơ

Vì Mr độc lập tuyến tính tối đại nên mỗi véctơ

của các véctơ của M thì cũng là tổ hợp tuyến tính

Tìm cơ sở và số chiều của không gian con M của kgv E sinh bởi m véctơ x1, x2, , xm : M =< x1, x2, , xm >

1 Lấy một cơ sở B = {e1, e2, , en} bất kỳ của

E Tìm [x1]B, [x2]B, , [xm]B

A = ([x1]B, [x2]B, , [xm]B)T

r (A) và cơ sở của M, số chiều của M bằng

r (A)

hàng 2 độc lập tuyến tính và là cơ sở của không

2 Ta có A.PA = det(A) Nếu r (A) = n − 1 thì

của không gian nghiệm của hệ thuần nhất

r (A) = n − 1 nên A có ít nhất 1 định thức con

r (PA) > 1 Vậy r (PA) = 1

Định nghĩa

Định nghĩa

Ví dụ

Định nghĩa

Số chiều của phần bù của không gian con

Định lý

Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều,

dim(E ) = n, F là một không gian véctơ con của

E , dim(F ) = p(p 6 n) Khi đó

n − p

Hệ quả

Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F và G là

2 không gian véctơ con của E có tổng trực tiếp.Khi đó dim(F ⊕ G ) = dim(F ) + dim(G )

Ta có F và G là 2 không gian véctơ con của Enên H = F ⊕ G cũng là không gian véctơ con của

Hệ quả

Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều,

Hệ quả

Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F và G là

2 không gian véctơ con của E Nếu

Mối liên hệ giữa số chiều của tổng và giao của các không gian con

Không gian U + V là không gian sinh bởi các

véctơ

{(1, 2, 1, 1), (0, 0, 2, 4), (1, 3, 3, 3), (0, −1, −1, 0)}.Tìm cơ sở của U + V

Tìm cơ sở và số chiều của U ∩ V u ∈ U ∩ V ⇔

Không gian U + V là không gian sinh bởi các

Tìm cơ sở và số chiều của U ∩ V x ∈ U ∩ V ⇔

THANK YOU FOR ATTENTION