bài giảng không gian véc tơ

1 Định nghĩa không gian véc-tơ2 Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính 3 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ 4 Tọa độ của véctơ, ma trận chuyển cơ sở... Một số tính chất đầu ti

KHÔNG GIAN VÉCTƠ

Bài giảng điện tử

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP HCM — 2013.

1 Định nghĩa không gian véc-tơ

2 Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

3 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

4 Tọa độ của véctơ, ma trận chuyển cơ sở

Cho E 6= ∅ và trường K (R hoặc C) với 2 phép toán

K = R thì ta có không gian véctơ thực , nếu K = C thì ta

có không gian véctơ phức

Rn = {x = (x1, , xn), xi ∈ R, i = 1, n}

+ : Rn × Rn → Rn,(x , y ) → x + y = (x1 + y1, , xn + yn)

• : R × Rn → Rn

(λ, x) → (λx1, , λxn)

Cn = {x = (x1, , xn), xi ∈ C, i = 1, n}

+ : Cn × Cn → Cn,(x , y ) → x + y = (x1 + y1, , xn + yn)

• : C × Cn → Cn

(λ, x) → (λx1, , λxn)

X 6= ∅, E − K − kgv , E

+ : EX × EX → EX,(f , g ) → (f + g )(x ) = f (x ) + g (x), ∀x ∈ X

• : K × EX → EX(λ, f ) → (λf )(x ) = λf (x ), ∀x ∈ X

Mm×n(K )+ : Mm×n(K ) × Mm×n(K ) → Mm×n(K ),

(A, B) → A + B = (aij + bij)

• : K × Mm×n(K ) → Mm×n(K )

(λ, A) → λA = (λaij)

C[a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b]

+ : C[a,b] × C[a,b] → C[a,b],(f , g ) → f + g = f (x) + g (x )

• : K × C[a,b] → C[a,b]

(λ, f ) → λf = λf (x )

E = R 2 , + : E × E → E , • : R × E → E ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (x1λ, x2λ).

VÍ DỤ TẬP HỢP KHÔNG PHẢI LÀ KGVT

Đa thức có bậc đúng bằng n > 0

+ : fPn(x ) × fPn(x ) → fPn(x),(p(x ), q(x )) → p(x ) + q(x )

• : R × fPn(x) → fPn(x )(λ, p(x)) → λ.p(x)

Tuy nhiên, ∀p(x ) ∈ fPn(x ) thì0.p(x ) = 0 /∈ fPn(x )

E = R2, + : E × E → E ,((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2)

• : R × E → Eλ(x1, x2) → (λx1, λx2)

Tuy nhiên, λ(x + y ) = λ(x1y1, x2y2) =

(λx1y1, λx2y2) 6= (λx1.λy1, λx2.λ.y2) = λx + λy

với λ 6= 0 và λ 6= 1

Một số tính chất đầu tiên của không gian véctơ

Kiểm tra x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, , xnhay không?

Xét xem véctơ x = (1, 4, −3) có là tổ hợp tuyếntính của các véctơ

x1 = (2, 1, 1), x2 = (−1, 1, −1), x3 = (1, 1, −2)hay không?

Ví dụ

Xét xem véctơ x = (4, 3, 5) có là tổ hợp tuyếntính của các véctơ

x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) haykhông?

4

−5

−5



 Hệ tương ứng vô nghiệm Vậy

véctơ x = (4, 3, 5) không là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x = (1, 2, 5), x = (1, 3, 7), x = (−2, 3, 4)

Ví dụ

Xét xem véctơ x = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyếntính của các véctơ

x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) haykhông?

9

−50





Hệ tương ứng có vô số nghiệm

(λ1, λ2, λ3) = (9 + 9t, −5 − 7t, t), t ∈ R Vậyvéctơ x = (4, 3, 10) là tổ hợp tuyến tính của cácvéctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4)và

x = (9 + 9t)x1 + (−5 − 7t)x2 + tx3, t ∈ R

{x1, x2, , xm}

là phụ thuộc

tuyến tính

∃λ1, λ2, , λm ∈ Kkhông đồng thời bằng 0sao cho

Trong R2, cho 2 véc tơ x , y cùng phương:

x = k.y ⇐⇒ 1.x − k.y = 0

Suy ra x , y PTTT Ngược lại x , y ĐLTT khi

và chỉ khi x , y không cùng phương

Tương tự trong R3, 3 véctơ x , y , z PTTT khi

và chỉ khi chúng đồng phẳng Ngược lại, 3véctơ ĐLTT khi và chỉ khi chúng không

đồng phẳng

Kiểm tra các véctơ x1, x2, , xm độc lập tuyếntính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải phương trình λ1x1 + λ2x2 + + λmxm = 0với những ẩn số λ1, λ2, , λm ∈ R (Phương trìnhnày tương đương với hệ phương trình tuyến tínhthuần nhất m ẩn trên R) Khi đó

Nếu hệ này có nghiệm duy nhất

λ1 = λ2 = = λm = 0 thì các véctơ

x1, x2, , xm độc lập tuyến tính

Nếu hệ có vô số nghiệm thì các véctơ

x , x , , x phụ thuộc tuyến tính

Đặt A = x1T x2T xmT
và xác định r (A).Nếu r (A) = m thì x1, x2, , xm độc lập tuyếntính.

Nếu r (A) < m thì x1, x2, , xm phụ thuộctuyến tính

Ví dụ

Xác định tập hợp các véctơ

x1 = (2, 1, 2), x2 = (3, 2, 1), x3 = (1, 1, 4) là độclập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Ví dụ

Xác định tập hợp các véctơ

x1 = (1, 2, 3), x2 = (4, 5, 6), x3 = (7, 8, 9) là độclập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Trong không gian R − C2, xác định tập hợp cácvéctơ x = (1 + i , i ), y = (−1 + i , −1) là độc lậptuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Định lý

Trong không gian tuyến tính E

1 Khi thêm 1 véctơ vào tập phụ thuộc tuyến tính

ta được tập phụ thuộc tuyến tính

2 Khi bớt 1 véctơ từ một tập độc lập tuyến tính

ta được tập độc lập tuyến tính

{x1, x2, , xm}

phụ thuộc tuyến

tính

{x1, x2, , xm, x0} phụthuộc tuyến tính???

0 sao cho

λ1x1 + λ2x2 + +

λmxm + 0.x0 = 0

M =

{x1, x2, , xm}

độc lập tuyến tính

N ={xi1, xi2, , xin} ⊂ Mđộc lập tuyến tính???

Hệ quả

Tập chứa véctơ 0 thì phụ thuộc tuyến tính

Vì 1.0 + 0.x1 + + 0.xn = 0

Ví dụ

Trong R2 xét tập M = {(1, 0); (0, 1)} Ta thấy,với mọi x = (x1, x2) ∈ R2 luôn có

x = (x1, x2) = x1(1, 0) + x2(0, 1)

nên M là tập sinh của R2

Ví dụ

Trong R2 xét tập M = {(1, 2); (1, 1)} Ta thấy,với mọi x = (x1, x2) ∈ R2, ta tìm a, b ∈ R sao cho

x = (x1, x2) = a(1, 2) + b(1, 1) = (a + b, 2a + b)

⇔



a + b = x12a + b = x2

Hệ này luôn có nghiệm vì

1 1

2 1

= −1 6= 0 Do

đó M là tập sinh của R2

Chọn (x1, x2, x3) = (1, 1, 2) ta thấy hệ này vô

nghiệm Như vậy (1, 1, 2) không là tổ hợp tuyếntính của các véctơ trong M

Ví dụ

Trong R−kgv P2(x ), cho tập M =

{1 + x + x2; 1 − 2x + x2; 2 + 3x − x2; 4 + 2x + mx2}.Chứng minh rằng M sinh ra P2(x ), ∀m

Thật vậy, ∀p(x ) = ax2 + bx + c ∈ P2(x ) ta cóp(x ) = λ1(1 + x + x2) + λ2(1 − 2x + x2)++λ3(2 + 3x − x2) + λ4(4 + 2x + mx2)

Hệ phương trình này có

rank(A) = rank(AB) = 3 < 4 (số ẩn) nên có vô

số nghiệm Nên M là tập sinh của P2(x), ∀m

Cơ sở, số chiều

Định nghĩa

Cho E là một K -kgv B = {x1, x2, , xn} ⊂ E

B là tập sinh + B ĐLTT = B là cơ sở của E

Số chiều của E được ký hiệu là dim(E ):

dim(E ) = số véctơ của cơ sở

⇔ (α, β, γ) = (0, 0, 0) ⇔ α = β = γ = 0

⇒ B độc lập tuyến tính

Vậy B là cơ sở của R3 ⇒ dim(R3) = 3

Ví dụ

Trong không gian Rn có cơ sở chính tắc

e1 = (1, 0, , 0)T

e2 = (0, 1, , 0)T

en = (0, 0, , 1)Tnên dim(Rn) = n

B = {1, x, x2, , xn} ⊂ Pn(x ) với Pn(x ) là

R−kgv các đa thức có bậc không lớn hơn n, là 1

cơ sở của Pn(x )

∀p(x) = a0 + a1x + + anxn ∈ Pn(x ) thìp(x ) = a0.1 + a1.x + + an.xn ⇒ B là tậpsinh của Pn(x)

Xét k0.1 + k1.x + + kn.xn = 0, ∀x ∈ R

⇔ k0 = k1 = = kn = 0 ⇒ B ĐLTT

Vậy B là cơ sở của Pn(x) ⇒ dim(Pn(x)) = n + 1

0 0

,

e3 =  0 0

1 0

, e4 =  0 0

Trong không gian các ma trận M2×3 có cơ sở gồm

6 ma trận

A1 =  1 0 0

0 0 0

, A2 =  0 1 0

0 0 0

,

A5 =  0 0 0

0 1 0

, A6 =  0 0 0

0 0 1



nên dim(M2×3) = 2 × 3 = 6

Ví dụ

B = {1 + x ; −1 + x ; 2 + x2} là 1 cơ sở của P2(x )

Thật vậy, ∀p(x ) = ax2 + bx + c ∈ P2(x ) tatìm λ1, λ2, λ3 sao cho p(x ) =

Hệ này có nghiệm duy nhất

λ1 = b+c−2a2 , λ2 = 2a−c+b2 , λ3 = a Vậy B là tậpsinh của P2(x )

Xét λ1(1, 0) + λ2(i , 0) + λ3(0, 1) + λ4(0, i ) = 0

⇔ λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 0 ⇒ B ĐLTT

Vậy B là cơ sở của R−kgv C2 do đó dim(C2) = 4

y1, y2, , ym là các tổ hợp tuyến tính của

x1, x2, , xk

m > k y1, y2, , ym phụ thuộc

tuyến tính

{y1, y2, , ym}

là phụ thuộc

tuyến tính???

∃λ1, λ2, , λm ∈ Kkhông đồng thời bằng 0sao cho λ1y1 + λ2y2 + + λmym = 0

các véctơ x1, x2, , xk thì

y1 = a11x1 + a12x2 + + a1jxj + + a1kxk

y2 = a21x1 + a22x2 + + a2jxj + + a2kxk

ym = am1x1 + am2x2 + + amjxj + + amkxkXét hệ thức

λ1.y1 + λ2y2 + + λmym = 0,

Ta cần chứng minh ∃λ1, λ2, , λm ∈ K khôngđồng thời bằng 0

Tức là

λ1(a11x1+a12x2+ .+a1kxk)+λ2(a21x1+a22x2+ .+a2kxk)+

+ + λm(am1x1 + am2x2 + + amkxk) = 0

⇔ (a11λ1+ a21λ2+ + am1λm) x1+ (a12λ1+ a22λ2+ + +am2λm) x2+ + (a1kλ1+ a2kλ2+ + amkλm) xk = 0(∗)

Câu hỏi: Có tồn tại hay không λ 1 , λ2, , λm ∈ K không đồng thời bằng 0 sao cho luôn có (*)???.

λ1, λ2, , λm không đồng thời bằng 0 sao choluôn có (*).

Vậy các véctơ y , y , , y phụ thuộc tuyến tính

y1, y2, , ym là các tổ hợp tuyến tính của

x1, x2, , xn

y1, y2, , ym độc lập

x1, x2, , xn là các tổ hợp tuyến tính của

y1, y2, , ym

x1, x2, , xn độc lập

NHỮNG ĐỊNH LÝ CƠ BẢN

E là K -kgv, dim(E ) = n.

1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E

1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E

M = {x 1 , x 2 , , x k } (k < n) ĐLTT, x không là THTT

của k véctơ của M khi đó M ∪ {x} ĐLTT

Có thể bổ sung thêm n − k véctơ vào 1 tập gồm k(k < n)

véctơ độc lập tuyến tính để tạo nên 1 cơ sở của E

Nếu M = {x 1 , x2, , xm} (m > n) là tập sinh của E , xi

là THTT của những véctơ còn lại của M thì khi bỏ xi ta

được M 0 = M\{xi} là tập sinh của E

Nếu M = {x 1 , x2, , xm} là tập sinh của E thì M chứa

một cơ sở của E

CHỨNG MINHNHỮNG ĐỊNH LÝ CƠ BẢN

Mọi tập có số véctơ nhỏ hơn n đều không là tập sinh của

sở của E

M = {y 1 , y 2 , , y n } là tập sinh của E

∀x ∈ E đều biểu diễn tuyến tính qua y1, y2, , yn

λ 1 y 1 + λ 2 y 2 + + λ n y n + λ n+1 x = 0 ⇒ λ n+1 6= 0.

y1, y2, , yn, x có số véctơ >n nên phụ thuộc tuyến tính

⇒ ∃λi ∈ K , i = 1, n + 1 không đồng thời bằng 0 sao cho

λ1y1+ λ2y2 + + λnyn+ λn+1x = 0.

Một tập của E gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E

M = {y 1 , y 2 , , y n } độc lập tuyến tính PHẢN CHỨNG:

Giả sử M phụ thuộc tuyến tính

yn biểu diễn tuyến tính qua y1, y2, , yn−1

∀x ∈ E đều biểu diễn tuyến tính qua y1, y2, , yn ⇒

∀x ∈ E đều biểu diễn tuyến tính qua y1, y2, , yn−1

y1, y2, , yn−1 là tập sinh của E ⇒ VÔ LÝ vì n − 1 < n.

của k véctơ của M khi đó M ∪ {x} ĐLTT

Có thể bổ sung thêm n − k véctơ vào 1 tập gồm k(k < n) véctơ độc lập tuyến tính để tạo nên 1 cơ sở của E Cơ sở của E là e1, e2, , ei, , en.

M = {x1, x2, , xk} (k < n) ĐLTT, ei không làTHTT của k véctơ của M khi đó M0 = M ∪ {ei}

ĐLTT

Nếu k + 1 = n thì M0 là cơ sở của E 

Nếu k + 1 < n thì lặp lại quá trình đó đối với M0

để có M00 gồm k + 2 véctơ ĐLTT Quá trình nàydiễn ra đến khi có được n véc-tơ là cơ sở của E

Nếu M = {x1, x2, , xm} (m > n) là tập sinh của E , xi là THTT của những véctơ còn lại của M thì khi bỏ xi ta được M0 = M\{xi} là tập sinh của E

∀x ∈ E đều biểu diễn tuyến tính qua

x1, x2, , xi −1, xi, xi +1, , xm

xi biểu diễn tuyến tính qua x1, x2, , xi −1, xi +1, , xm

⇒ ∀x ∈ E đều biểu diễn tuyến tính qua

x1, x2, , xi −1, xi +1, , xm

một cơ sở của E

Nếu M độc lập tuyến tính thì nó là cơ sở.

Nếu M PTTT thì có 1 véctơ là THTT của những véctơ còn lại Giả sử đó là x1 ⇒ M0 = M\{x1} vẫn là tập sinh

của E

Nếu M0 ĐLTT thì nó là cơ sở Nếu M0 PTTT thì ta lặp lại quá trình trên cho đến khi nhận được n véc-tơ là cơ sở

của E

Ví dụ

Hệ M = {(1, 1, 1), (1, 3, 2), (2, 1, 1)} có là cơ sởcủa R3 không?

Hệ M độc lập tuyến tính vì

... n véctơ độc lập tuyến tính sở E

1 tập gồm n véctơ sinh E sở E

M = {x , x , , x k } (k < n) ĐLTT, x không THTT

của k véctơ... Cóthể bổ sung thêm véctơ vào hệ M để

sở R−kgv R4

Xét hệ N Hệ có véctơ (0, 0, 0, 0)nên phụ thuộc tuyến tính ⇒ Khơng thể bổ

sung thêm véctơ vào hệ N để sở củaR−kgv... THTT

của k véctơ M M ∪ {x} ĐLTT

Có thể bổ sung thêm n − k véctơ vào tập gồm k(k < n)

véctơ độc lập tuyến tính để tạo nên sở