ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Bài giảng điện tử TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP. HCM — 2013. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 1 / 67 Nội dung 1 Ánh xạ tuyến tính: nhân và ảnh 2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính: liên hệ tọa độ, cơ sở và số chiều của nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 2 / 67 Khái niệm tổng quát Ánh xạ Định nghĩa Cho 2 tập hợp tùy ý E , F = ∅. Ánh xạ f giữa 2 tập E , F là 1 quy tắc sao cho với mỗi x ∈ E tồn tại duy nhất y ∈ F sao cho y = f (x). Định nghĩa Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu từ x 1 = x 2 ⇒ f (x 1 ) = f (x 2 ). Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu ∀y ∈ F , ∃x ∈ E : y = f (x). Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu f là đơn ánh và toàn ánh. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 3 / 67 Khái niệm tổng quát Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Cho E và F là 2 K -kgv. Một ánh xạ f : E → F được gọi là tuyến tính (hay một đồng cấu) nếu và chỉ nếu  f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ E f (λx) = λf (x), ∀λ ∈ K, ∀x ∈ E . Ta ký hiệu tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ E vào F là L(E , F ). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 4 / 67 Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Ánh xạ f : R 2 → R 3 cho bởi ∀x = (x 1 , x 2 ), f (x) = (3x 1 − x 2 , x 1 , x 1 + x 2 ) là ánh xạ tuyến tính. ∀x = (x 1 , x 2 ), y = (y 1 , y 2 ) ∈ R 2 , f(x+y) = (3(x 1 + y 1 ) − (x 2 + y 2 ), x 1 + y 1 , (x 1 + y 1 ) + (x 2 + y 2 )) = (3x 1 − x 2 , x 1 , x 1 + x 2 ) + (3y 1 − y 2 , y 1 , y 1 + y 2 ) = f(x)+f(y). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 5 / 67 Khái niệm tổng quát Ví dụ ∀λ ∈ K , ∀x ∈ R 2 , f (λx) = (3λx 1 − λx 2 , λx 1 , λx 1 + λx 2 ) = λ(3x 1 − x 2 , x 1 , x 1 + x 2 ) = λf (x) Ví dụ Ánh xạ f : R 2 → R 2 cho bởi ∀x = (x 1 , x 2 ), f (x) = (2x 2 1 − x 2 , x 2 ) không là ánh xạ tuyến tính. Thật vậy, f (λx) = (2(λx 1 ) 2 − λx 2 , λx 2 ) = (2λ 2 x 2 1 − λx 2 , λx 2 ) = λ(2x 2 1 − x 2 , x 2 ), nếu λ = 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 6 / 67 Khái niệm tổng quát Ví dụ Định nghĩa Cho E là một K -kgv. Một ánh xạ f : E → E được gọi là tự đồng cấu của E nếu và chỉ nếu f là ánh xạ tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 7 / 67 Khái niệm tổng quát Nhân và ảnh Định nghĩa Cho 2 K -kgv E và F , f ∈ L(E , F ), khi đó 1 Ker(f ) = {x ∈ E\f (x) = 0} = f −1 (0) là nhân của ánh xạ f . 2 Im(f ) = {y ∈ F \∃x ∈ E , y = f (x)} = f (E ) là ảnh của ánh xạ f . Định lý Cho 2 K -kgv E và F , f ∈ L(E , F ), khi đó 1 Im(f ) là không gian véctơ con của F 2 Ker(f ) là không gian véctơ con của E TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 8 / 67 Khái niệm tổng quát Nhân và ảnh TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 9 / 67 Khái niệm tổng quát Nhân và ảnh Định nghĩa Ta gọi dim(Im(f )) là hạng của ánh xạ f , ký hiệu rank(f ) và dim(Ker(f )) là số khuyết của f . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 10 / 67 [...]... TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 33 / 67 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Khi đó ma trận     A=   a11 ai1 am1 Ma trận của ánh xạ tuyến tính a1j aij amj a1n ain amn        được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở BC Ký hiệu A = MatBC (f ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 34 / 67 Ma trận của ánh xạ tuyến tính. .. của F Khi đó có một và chỉ một ánh xạ tuyến tính f ∈ L(E , F ) thỏa f (ei ) = vi , i = 1, 2, , n Chứng minh tồn tại ánh xạ tuyến tính: ∀x ∈ E ta có x = x1e1 + x2e2 + + xn en , xi ∈ K Lập ánh xạ f : E → F , f (x) = x1v1 + x2v2 + + xn vn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 29 / 67 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Xác định ánh xạ tuyến tính Rõ ràng lúc này ta có f (e1) =... TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 31 / 67 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Xác định ánh xạ tuyến tính Chứng minh f là duy nhất Giả sử còn có g : E → F thỏa g (ei ) = vi , i = 1, 2, , n Khi đó ∀x ∈ E , ta có g (x) = x1g (e1) + x2g (e2) + + xn g (en ) = x1v1 + x2v2 + + xn vn = f (x) Vậy g = f TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 32 / 67 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma... ánh xạ tuyến tính Khi đó ta có rank(f ) + dim(ker (f )) = dim(E ) hay dim(Im(f )) + dim(ker (f )) = dim(E ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 28 / 67 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Xác định ánh xạ tuyến tính Xác định ánh xạ tuyến tính Định lý Giả sử E và F là 2 K -kgv, B = {e1, e2, , en } là 1 cơ sở của E và v1, v2, , vn là n véctơ tùy ý của F Khi đó có một và chỉ một ánh. .. xi ) = i=1 i=1 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 16 / 67 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính 2 Chứng minh < f (M) >⊂ f (< M >) Với mọi y ∈< f (M) >⇒ ∃λ1, λ2, , λn ∈ K : n y= n λi xi ) ∈ f (< M >) λi f (xi ) = f ( i=1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) i=1 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 17 / 67 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Hệ quả Nếu f ∈ L(E , F ) là toàn ánh và nếu M sinh... là toàn ánh nên F = f (E ) = f (< M >) =< f (M) > TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 18 / 67 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Định lý Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ), M = {x1, x2, , xn } là một họ véctơ gồm hữu hạn phần tử của E Khi đó Nếu M phụ thuộc tuyến tính thì f (M) phụ thuộc tuyến tính Nếu f (M) độc lập tuyến tính thì M độc lập tuyến tính 1... vn Vậy luôn tồn tại ánh xạ f thỏa f (ei ) = vi , i = 1, 2, , n Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính Với x = x1e1 + x2e2 + + xn en , y = y1e1 + y2e2 + + yn en , ta có x + y = (x1 + y1)e1 + (x2 + y2)e2 + + (xn + yn )en và λx = λx1e1 + λx2e2 + + λxn en TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 30 / 67 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Xác định ánh xạ tuyến tính Do đó f (x +y )... Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 21 / 67 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Định lý Cho 2 K -kgv hữu hạn chiều E và F , ∀f ∈ L(E , F ) Khi đó nếu f là song ánh thì với mọi cơ sở B của E ta có f (B) cũng là cơ sở của F Chứng minh Ta có f là song ánh= toàn ánh+ đơn ánh Vì f là toàn ánh, B sinh ra E nên f (B) là tập sinh của F Vì f là đơn ánh, B ĐLTT nên f (B) ĐLTT... Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 20 / 67 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Định lý Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ), M = {x1, x2, , xn } là một họ véctơ gồm hữu hạn phần tử của E Nếu f là đơn ánh và M độc lập tuyến tính thì f (M) độc lập tuyến tính n Chứng minh Giả sử i=1 n ⇒ f( n λi f (xi ) = 0 λi xi ) = 0 = f (0) Do f là đơn ánh nên i=1 λi xi = 0 mà... lập tuyến tính 1 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 19 / 67 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Chứng minh 1 Nếu M PTTT thì ∃(λ1, λ2, , λn ) = (0, 0, , 0) sao cho n λi xi = 0 Khi đó i=1 n f( n λi xi ) = f (0) = 0 = i=1 λi f (xi ) i=1 ⇒ f (M) PTTT 2 Chứng minh rằng, nếu f (M) độc lập tuyến tính thì M độc lập tuyến tính Giả sử M PTTT thì f (M) PTTT trái với . TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 1 / 67 Nội dung 1 Ánh xạ tuyến tính: nhân và ảnh 2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính: liên hệ tọa độ, cơ sở và số chiều của nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính. TS thuộc tuyến tính thì f (M) phụ thuộc tuyến tính 2 Nếu f (M) độc lập tuyến tính thì M độc lập tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 19 / 67 Khái niệm tổng quát Tính. Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 3 / 67 Khái niệm tổng quát Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Cho E và F là 2 K -kgv. Một ánh xạ f : E → F được gọi là tuyến tính (hay một đồng