bài giảng dạng toàn phương

Nội dungbiến đổi trực giao, phương pháp biến đổi Lagrange đưa dạng toàn phương về dạng chínhtắc tính, tiêu chuẩn Sylvester... Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phép biến đổi tr

DẠNG TOÀN PHƯƠNG

Bài giảng điện tử

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP HCM — 2013

Nội dung

biến đổi trực giao, phương pháp biến đổi

Lagrange đưa dạng toàn phương về dạng chínhtắc

tính, tiêu chuẩn Sylvester

Dạng toàn phương trong R3 thường được ghi ở

Cho dạng toàn phương f (x ) = xT.M.x , với

nên M chéo hóa được bởi ma trận trực giao P và

ma trận chéo D : D = PTMP ⇒ M = PDPT.Khi đó

Định nghĩa

chính tắc của dạng toàn phương f (x ) = xTMx

Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao

Bước 1 Viết ma trận M của dạng toàn phương(trong cơ sở chính tắc)

Bước 2 Chéo hóa M bởi ma trận trực giao P và

ma trận chéo D

Bước 3 Kết luận: dạng chính tắc cần tìm là

Ví dụ

Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc

bằng phép biến đổi trực giao

det(M − λI ) =

Tiêu chuẩn Sylvester

Định lý

= 1 > 0 nên theo tiêuchuẩn Sylvester dạng toàn phương đã cho xác địnhdương.

Ta có ma trận của dạng toàn phương f là

Vì (−1)1∆1 = −(−5) > 0,

−5 −2

−2 −1

= 1 > 0,

... data-page="22">

Giả sử dạng tồn phương đưa dạng tắc

Giả sử dạng toàn phương đưa dạng tắc

g... không suy biến đưa dạng tồnphương dạng tắc

Đưa dạng tồn phương dạng tắc biến đổi Lagrange

Bước... tổngbình phương Như vậy, ta tổng bình

Bước Sử dụng bước 1, cho dạng toàn

Chú ý Nếu dạng toàn