Bài giảng Đại số tuyến tính: Không gian vec-tơ - Lê Xuân Thanh

Bài giảng Đại số tuyến tính: Không gian vec-tơ cung cấp cho người học các kiến thức: Vec-tơ trong mặt phẳng tọa độ Descartes R2, định nghĩa không gian vec-tơ, không gian vec-tơ con, tổ hợp tuyến tính, không gian vec-tơ liên kết ma trận. Mời các bạn cùng tham khảo.

Trang 1

Không gian vec-tơ

Lê Xuân Thanh

Trang 2

Nội dung

1 Khái niệm không gian vec-tơ

Không gian vec-tơ phổ thông

Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát

Không gian vec-tơ con

2 Mô tả không gian vec-tơ

Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Cơ sở và số chiều

Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở

3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận

Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trậnKhông gian hạt nhân, số khuyết

Cấu trúc nghiệm hệ phương trình tuyến tính

Trang 3

Nội dung

Trang 4

Vec-tơ trong mặt phẳng tọa độ Descartes R2

Một vec-tơ là

một đoạn thẳng có hướng

xuất phát từ gốc tọa độ

tới một điểm đích nào đó.

Mỗi vec-tơ được biểu diễn bởi

2 3 4 5 6

Trang 5

Một vec-tơ là

2 3 4 5 6

Trang 6

Một vec-tơ là

2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

u = (2, 3) 2u = (4, 6)

Phép cộng hai vec-tơ:

u + v = (u1, u2 ) + (v1, v2) := (u1+ v1, u2+ v2).

c · u = c · (u1 , u2) := (cu1, cu2).

Trang 8

Vec-tơ trong không gian tọa độ Descartes R3

Một vec-tơ là

tọa độ điểm đích:

u = (u1, u2, u3).

Phép cộng hai vec-tơ:

u+v = (u1, u2, u3)+(v1, v2, v3) := (u1+v1, u2+v2, u3+v3).

c · u = c · (u1, u2, u3 ) := (cu1, cu2, cu3).

Trang 10

Nội dung

Trang 11

Định nghĩa không gian vec-tơ

Tập hợp V ̸= ∅ là không gian vec-tơ trên R nếu V được trang bị

Trang 12

Ví dụ

với phép cộng và phép nhân thông thường

Trang 13

Ví dụ

Trang 14

Ví dụ

Trang 15

Tập hợp C[a, b] các hàm thực liên tục trên [a, b]

là một không gian vec-tơ với các phép toán thông thường:

(f+ g)(x) = f(x) + g(x),

(c ◦ f)(x) = cf(x) (với c ∈ R).

Trang 16

Tập hợp C[a, b] các hàm thực liên tục trên [a, b]

là một không gian vec-tơ với các phép toán thông thường:

(f+g)(x) = f(x) + g(x),

(c ◦ f)(x) = cf(x) (với c ∈ R).

Trang 20

Nội dung

Trang 21

Định nghĩa và một số tính chất

Ta nói W là một không gian vec-tơ con của V nếu

Nếu W1, W2là không gian vec-tơ con của V,

thì W1∩ W2cũng là không gian vec-tơ con của V.

Trang 22

Ví dụ

W = {(x, y) | (x, y) = t(x0, y0 ), t ∈ R}

(với các phép toán thông thường)

Tập hợp

W = {(x1, 0, x3)| x1, x3∈ R}

là một không gian vec-tơ con củaR3

Trang 23

Ví dụ

W = {(x, y) | (x, y) = t(x0, y0 ), t ∈ R}

Tập hợp

W = {(x1, 0, x3)| x1, x3 ∈ R}

Trang 24

Ví dụ

Nếu V là một không gian vec-tơ

thì 0 và V là các không gian vec-tơ con (tầm thường) của V.

P n (x) là không gian vec-tơ con của P n+1 (x).

P n (x) là không gian vec-tơ con của P(x).

Trang 25

Ví dụ

P n (x) là không gian vec-tơ con của P(x).

Trang 26

Ví dụ

Trang 27

Ví dụ

Trang 28

Ví dụ

Trang 29

Nội dung

Trang 33

Hệ sinh

Tập hợp S được gọi là một hệ sinh của V nếu

V = span(S).

Khi đó ta cũng nói V sinh bởi S.

Ví dụ 1: Trong không gianR 3 xét các vec-tơ

Trang 34

Hệ sinh

V = span(S).

Trang 35

Hệ sinh

V = span(S).

Tập hợp S = {e1, e2} KHÔNG là hệ sinh của R3 vì

vec-tơ v = [0, 0, 1] ∈ R3 không thể là tổ hợp tuyến tính của e1, e2

̸ ∃ c1, c2∈ R : v = c1· e1+ c2· e2.

Câu hỏi: Như thế nào là “vừa đủ” để là hệ sinh một không gian vec-tơ?

Trang 36

Hệ sinh

V = span(S).

Tập hợp S = {e1, e2} KHÔNG là hệ sinh của R3 vì

vec-tơ v = [0, 0, 1] ∈ R3 không thể là tổ hợp tuyến tính của e1, e2

̸ ∃ c1, c2∈ R : v = c1· e1+ c2· e2 Câu hỏi: Như thế nào là “vừa đủ” để là hệ sinh một không gian vec-tơ?

Trang 37

Nội dung

Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận

Không gian hạt nhân, số khuyết

Trang 38

Hệ vec-tơ S được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu

S không phải là hệ độc lập tuyến tính.

Trang 41

Nhận xét: Hệ thức c1· v1+ + c n · v n= 0 tương đương với

một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất theo n ẩn số c , , c .

Trang 42

Ý nghĩa hình học

Hai vec-tơ v1, v2∈ R2 là

phụ thuộc tuyến tính⇔ v1, v2 đồng phương (i);

độc lập tuyến tính⇔ v1, v2 không đồng phương (ii).

Trang 43

Hai vec-tơ v1, v2∈ R3 là

độc lập tuyến tính⇔ v1, v2 không đồng phương (a);

phụ thuộc tuyến tính⇔ v1, v2 đồng phương (b).

Trang 44

Ba vec-tơ v1, v2, v3∈ R3 là

độc lập tuyến tính⇔ v1, v2, v3 không đồng phẳng (hình trái); phụ thuộc tuyến tính⇔ v1, v2, v3 đồng phẳng (hình phải).

Trang 45

Tính chất

Chứng minh ⇒:

v phụ thuộc tuyến tính ⇒ tồn tại c ̸= 0 sao cho c · v = 0.

Nhân hai vế với c −1 ta có

v = (c −1 c) · v = c −1 (c · v) = c −1 · 0 = 0.

Chứng minh ⇐:

Do 1· 0 = 0 và 1 ̸= 0.

Trang 46

thì biểu diễn này là duy nhất.

Hệ vec-tơ v1, , vn ∈ V phụ thuộc tuyến tính

⇔ (ít nhất) một vec-tơ vi là tổ hợp tuyến tính của các vec-tơcòn lại

Nếu S = {v1, , vn} độc lập tuyến tính,

thì mọi tập hợp con của S cũng độc lập tuyến tính.

Nếu S = {v1, , vn} phụ thuộc tuyến tính,

thì mọi tập hợp chứa S cũng phụ thuộc tuyến tính.

Trang 47

⇔ (ít nhất) một vec-tơ v i là tổ hợp tuyến tính của các vec-tơcòn lại

Nếu S = {v1, , vn} độc lập tuyến tính,

Trang 48

Nếu S = {v1, , v n } độc lập tuyến tính,

Trang 49

Nếu S = {v1, , v n } độc lập tuyến tính,

Nếu S = {v1, , v n } phụ thuộc tuyến tính,

Trang 50

Nội dung

Trang 51

Cơ sở của không gian vec-tơ

(i) B là một hệ sinh của V, và

Trang 52

.0

.1

lập thành một cơ sở (chính tắc) của M 2,2

Trang 53

.0

.1

lập thành một cơ sở (chính tắc) của M 2,2

Trang 54

.0

.1

Trang 55

1 0 1

2 1 0

3 2 1

= 2̸= 0,



 ,



10 1



 lập thành một cơ sở của R 3

Trang 56

Nhận xét về số vec-tơ trong cơ sở

Trong không gian vec-tơ R 2 :

Các vec-tơ [1, 0], [0, 1] lập thành một cơ sở (chính tắc) Các vec-tơ [1, 1], [0, 1] cũng lập thành một cơ sở.

Trong không gian vec-tơ R3:

Các vec-tơ [1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1] lập thành một cơ sở Các vec-tơ [1, 2, 3], [0, 1, 2], [1, 0, 1] cũng lập thành một cơ sở Nhận xét:

(i) Mỗi không gian vec-tơ có thể có nhiều cơ sở.

(ii) Trong mỗi không gian vec-tơ, các cơ sở có cùng số phần tử.

Trang 57

Các vec-tơ [1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1] lập thành một cơ sở Các vec-tơ [1, 2, 3], [0, 1, 2], [1, 0, 1] cũng lập thành một cơ sở Nhận xét:

Trang 58

Các vec-tơ [1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1] lập thành một cơ sở Các vec-tơ [1, 2, 3], [0, 1, 2], [1, 0, 1] cũng lập thành một cơ sở.

Nhận xét:

Trang 59

Tính chất độc lập tuyến tính “cực đại” của cơ sở

Cho V là một không gian vec-tơ.

Nếu S = {v1, , v n } là một cơ sở của V,

Ta thu được hệ n phương trình tuyến tính thuần nhất theo m ẩn k1, , k m.

Do m > n, nên (1) có nghiệm không tầm thường Vậy T phụ thuộc tuyến tính.

Trang 60

Tính chất về số vec-tơ trong các cơ sở

Nếu V có một cơ sở gồm n vec-tơ,

thì mọi cơ sở của V đều có n vec-tơ.

Trang 61

Số chiều của không gian vec-tơ

Nếu không gian vec-tơ V có một cơ sở gồm n vec-tơ, thì ta nói số chiều của V là n, và ký hiệu dim(V) = n.

Quy ước: Nếu V = {0}, thì dim(V) = 0.

Ví dụ:

dim( Rn ) = n.

dim(P n ) = n + 1.

dim(M m,n ) = mn.

Trang 62

Cơ sở trong không gian vec-tơ hữu hạn chiều

Cho V là một không gian vec-tơ n chiều Khi đó

S = {v1, , v n } ⊂ V là một cơ sở của V nếu

S độc lập tuyến tính, hoặc

S là một hệ sinh của V.

Chứng minh:

Giả sử S độc lập tuyến tính Ta cần chỉ ra S là hệ sinh của V.

Thật vậy, giả sử phản chứng S không là hệ sinh của V, tức là

∃ u ∈ V : u ̸∈ span(S).

Như vậy T := S ∪ {u} độc lập tuyến tính và |T| = n + 1 > n = dim(V).

Điều này mâu thuẫn với tính độc lập tuyến tính cực đại của S.

Giả sử span(S) = V Ta cần chỉ ra S độc lập tuyến tính.

Thật vậy, giả sử S phụ thuộc tuyến tính Ta có thể bỏ đi một số vec-tơ trong S

để thu được tập hợp S1gồm k < n vec-tơ độc lập tuyến tính Khi đó

span(S) = span(S1).

Như vậy V = span(S1), và do S1độc lập tuyến tính, nên S1cũng là cơ sở của V.

Tuy nhiên|S | = k < n, mâu thuẫn với tính chất bất biến về số chiều của V.

Trang 63

Nội dung

Trang 64

Tọa độ của vec-tơ theo cơ sở

Cho B = {v1, , v n } là một cơ sở của V.

Trang 65

,

[01

]

,

[12

]}

,

vec-tơ x =

[54

]

Ta có:

[x]B ′ =

[54

]

, [x]B=

[32

]

.

Câu hỏi: Tọa độ của cùng một vec-tơ trong các cơ sở khác nhau

có liên hệ như thế nào?

Trang 66

,

[01

]

,

[12

]}

,

vec-tơ x =

[54

]

Ta có:

[x]B ′ =

[54

]

, [x]B=

[32

]

.

Câu hỏi: Tọa độ của cùng một vec-tơ trong các cơ sở khác nhau

có liên hệ như thế nào?

Trang 67

Ma trận chuyển cơ sở

Cho B1 ={v1, , v n } và B2={u1, , u n } là các cơ sở của V.

 là ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc của



123



 ,



012



 ,



101





Trang 68

Tính chất của ma trận chuyển cơ sở

Cho B1 ={v1, , v n } và B2={u1, , u n } là các cơ sở của V.

Nếu C = (c ij)n ×n là ma trận chuyển cơ sở B1 sang cơ sở B2,thì:

C khả nghịch;

C −1 là ma trận chuyển cơ sở B2 sang cơ sở B1 ;

với mọi vec-tơ x∈ V ta có công thức chuyển tọa độ

[x]B1= C[x] B2.

Trang 69

Nội dung

Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận

Không gian hạt nhân, số khuyết

Trang 70

Không gian hàng của A là span(r1, , rm).

Không gian cột của A là span(c1, , cn)

Tính chất:

Không gian hàng và không gian cột của A có cùng số chiều (được gọi là hạng của A, ký hiệu là rank(A)).

Trang 71

Chứng minh tính chất

Giả sử không gian hàng của A có số chiều k với S = {d1, , d k } là một cơ sở.

Biểu diễn các vec-tơ hàng của A qua cơ sở S:

và hệ quả là dim(span(c1, , c n)) = dim(span(α1, , α k)) ≤ k,

tức là dim(không gian cột của A) ≤ dim(không gian hàng của A).

Lập luận tương tự cho A t, ta thu được khẳng định ngược lại.

Trang 72

Một số tính chất khác

rank(A) = rank(A t)

Chứng minh:

Vec-tơ hàng (cột) của A tương ứng với vec-tơ cột (hàng) của A t.

Nếu ma trận A tương đương theo dòng với ma trận B,

thì không gian hàng của B cũng là không gian hàng của A Chứng minh:

Biến đổi sơ cấp theo hàng không làm thay đổi tương quan độc lập tuyến tính / phụ thuộc tuyến tính giữa các vec-tơ hàng của ma trận.

Nội dung

Không gian vec-tơ. .. data-page="69">

Nội dung

Không gian vec-tơ. .. class="page_container" data-page="58">

Nhận xét số vec-tơ sở

Trong không gian vec-tơ R :

Các vec-tơ [1, 0], [0, 1] lập thành sở (chính tắc) Các vec-tơ [1, 1],

Định dạng
Số trang	80
Dung lượng	494,02 KB