10 bài giảng số 3 không gian véc tơ, các tính chất và ứng dụng

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS.. Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS.. Bài giảng được cung cấ

Trang 1

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: ThS Trương Chí Trung

Bài giảng số 03 KHÔNG GIAN VÉCTƠ

3.1 ĐỊNH NGHĨA KHÔNG GIAN VÉCTƠ VÀ VÍ DỤ 3.1.1 Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa: Giả sử K là một trường Tập V được gọi là một K - không gian véctơ (hay không gian véctơ trên K, hay không gian tuyến tính trên K) và các phần tử của V gọi là véctơ nếu tập V được trang

bị hai phép toán: Phép cộng các véctơ, kí hiệu x + y, đối với x, y  V, và phép nhân các phần tử   K với các véctơ x  V, kí hiệu x, sao cho các điều kiện sau đây được thoả mãn:

1) (V, +) là một nhóm Aben

2)  (x + y) = x + y, với mọi   K, x, y  V

3) ( + ) x = x + x, với mọi ,   K, x  V

4)  ( x) = ( ) x, với mọi ,   K, x  V

5) 1x = x, với mọi x  V

Phần tử trung hoà của nhóm Aben (V, +) gọi là véctơ không, kí hiệu là  Phần tử đối của phần tử x trong nhóm Aben (V, +) gọi là véctơ đối của véctơ x, kí hiệu là - x

Theo tính chất của phép toán hai ngôi trong nhóm (V, +) véctơ không  và véctơ đối -x của véctơ x là duy nhất Ta có

x +  = x

x + (-x) = , với mọi x  V

Ta sẽ viết x + (- y) là x - y và gọi là hiệu của hai véctơ x, y

 Các tính chất suy từ định nghĩa

1) 0x = , với mọi x  V

2)  = , với mọi   K

3) x =  khi và chỉ khi  = 0, hoặc x = 

4) (-x) = -(x) = (-)x, với mọi   K, x  V

Chứng minh:

1) Ta có 0x = (0 + 0) x = 0x + 0x

Trang 2

Do đó ta có (0x + 0x) + (- 0x) = 0x + (- 0x)

0x + (0x + (- 0x)) =  0x +  = 

Vậy thì 0x = 

2) Ta có  = ( + ) =  + 

Do đó ta có ( + ) + (- ) =  + (- )

 + ( + (- ) = 

 =  3) Theo các tính chất 1) và 2) ta có: nếu  = 0 hoặc x =  thì x =  Ngược lại giả sử x =  Nếu  

0, khi đó có  -1  K:  -1 = 1 Ta có

 -1 (x) =  -1 

( -1 )x = ,

1x =  Do đó x = 

4) Ta có  (-x) + x = ((-x) + x) =  = 

Vậy  (-x) = - (x)

Tương tự ta có (-)x = - (x).

3.1.2 Các ví dụ không gian véctơ

1) Giả sử K là một trường, n là một số nguyên dương Kí hiệu V là luỹ thừa Đề-các bậc n của tập K

V = Kn = x = (x 1 , , x n ) : x i  K, i = 1, , n

V là một K - không gian véctơ đối với hai phép toán sau đây:

- Phép cộng véctơ: Giả sử x = (x1, , xn), y = (y1, , yn)

Ta định nghĩa x + y = (x1 + y1, , xn + yn)

- Phép nhân các véctơ với các phân tử của trường K:

x = (x1, , xn), với mọi   K

Dễ dàng kiểm tra lại các điều kiện của định nghĩa không gian véctơ được thoả mãn Vậy Kn là một K - không gian véctơ Không gian Kn có véctơ không là  = (0, , 0); véctơ đối của véctơ x = (x1, , xn) là -x = (- x1, , -xn)

Chẳng hạn với K = R, n = 4 ta có:

 = (0, 0, 0, 0);

Nếu x = (0, -1, 3, 1), y = (1, 2 , -5, 2)

Trang 3

thì x + y = (1, 2-1, - 2, 3), - x = (0, 1, -3, -1); 2x = (0, -2, 6, 2)

Với n = 1 ta có K1 = K, vậy trường K là một không gian véctơ trên chính nó

2) Giả sử K là một trường Khi đó tập K[x] các đa thức ẩn x hệ số trên K là một K - không gian véctơ đối với phép cộng các đa thức và phép nhân các đa thức với các phần tử của trường K Véctơ không là

đa thức 0, véctơ đối của f(x) là - f(x)

3) Giả sử P là một trường, K là một trường con của trường P Khi đó dễ thấy rằng P là một K - không gian véctơ đối với phép cộng các phần tử trong P và phép nhân các phần tử của K đối với các phần tử thuộc P

Vậy ta có: Tập số thực R là một Q - không gian véctơ Tập số phức C là một R - không gian véctơ

4) Kí hiệu C(a,b) là tập các hàm số xác định liên tục trên khoảng mở (a, b) Trong tập C(a, b) ta xác định phép toán cộng các hàm số và phép nhân các hàm số với số thực như sau: Với mọi f, g  C(a, b),

  R

(f + g) (x) = f(x) + g(x) (f) (x) =  f(x), với mọi x  (a, b)

Dễ thấy rằng đối với hai phép toán trên đây C(a, b) là một R - không gian véctơ

3.2 KHÔNG GIAN CON 3.2.1 Định nghĩa không gian con

Định nghĩa: Giả sử V là một K - không gian véctơ Tập con khác rỗng F  V được gọi là không gian con của K - không gian véctơ V nếu các điều kiện sau được thoả mãn

1) Với mọi x, y  F  x + y  F

2) Với mọi x  F  x  F, đối với mọi   K

Vì F   nên tồn tại x  F Theo điều kiện 2) ta có  = 0x  F, do đó mọi không gian con đều chứa véctơ 

Nếu x  F, theo điều kiện 2) ta có -x = (- 1) x  F

Vậy mỗi không gian con của K - không gian véctơ V cũng là một K - không gian véctơ

Mệnh đề 3.2.1: Tập con khác rỗng F  V là không gian con của K - không gian véctơ V khi và chỉ khi

điều kiện sau đây được thoả mãn:

Với mọi x, y  F  x + y  F, đối với mọi ,   K

Chứng minh:

Trang 4

Điều kiện cần: Giả sử x, y  F, theo điều kiện 2) của định nghĩa không gian con ta có  x, y  F, với mọi ,   K Và theo điều kiện 1) của định nghĩa ta có  x + y  F

Điều kiện đủ: Nếu lấy  =  = 1 ta có điều kiện 1) được thoả mãn Nếu lấy  = 0, ta có điều kiện 2) được thoả mãn Vậy F là một không gian con 

 Ví dụ không gian con

1) Mỗi K - không gian véctơ V đều có hai không gian con hiển nhiên đó là V và không gian tầm

thường 

2) Với mỗi số nguyên n  0 Ta đặt

K n [x] = f  K[x] : bậc f < n

Dễ thấy rằng Kn[x] là một không gian con của không gian các đa thức ẩn x trên trường K

3) Đặt: F = x = (0, 0, x3, x4)  K4

F là một không gian con của K - không gian véctơ K4

4) Kí hiệu C1(a, b) là tập các hàm số xác định và có đạo hàm liên tục trên khoảng (a, b) Dễ dàng thấy

rằng C-1(a, b) là một không gian con của R - không gian véctơ C(a,b) các hàm số xác định liên tục trên

(a, b)

3.2.2 Bao tuyến tính, tập sinh của một không gian véctơ

Mệnh đề 3.2.2: Giao của một họ khác rỗng bất kỳ các không gian con của K - không gian véctơ V là

một không gian con

I i i

F



Vì   Fi, với mọi i  I, nên   F Ta có F   Giả sử x, y  F, khi đó ta có x, y  Fi, với mọi i  I

Vì Fi là không gian con nên x + y  Fi, với mọi ,   K Vậy x + y  

I i i

F



= F Theo mệnh đề 3.2.1 tập F là một không gian con 

Giả sử S là một tập con của K - không gian véctơ V Khi đó họ các không gian con chứa tập S là một

họ khác rỗng Chẳng hạn V là một không gian con chứa tập S Ta kí hiệu (S) là giao tất cả các không gian con chứa tập S Theo mệnh đề 3.2.2 thì (S) là một không gian con và (S) là không gian con nhỏ nhất chứa tập S Ta gọi không gian con (S) là không gian con sinh bởi tập S

Đặc biệt nếu (S) = V, thì tập S gọi là tập các phần tử sinh của không gian véctơ V

Biểu diễn tuyến tính (bdtt):

Giả sử A là một tập con của K - không gian véctơ V Ta nói véctơ x  V biểu diễn tuyến tính qua tập

A nếu tồn tại các véctơ ui  A, và các phần tử i  K, i = 1, , m sao cho

Trang 5

x = 

 m

1 i

iu α

i

=  1 u 1 + +  m u m Khi đó ta nói véctơ x là một tổ hợp tuyến tính của các véctơ u1, , um

Dễ thấy rằng nếu véctơ x bdtt qua tập A, và mỗi véctơ của tập A lại bdtt qua tập B  V thì véctơ x cũng bdtt qua tập B

Mệnh đề 3.2.3: Giả sử S là một tập con khác rỗng của K - không gian véctơ V Khi đó ta có

(S) = x = 

 m

1 i

iu α

i

: u i  S,  i  K

Vậy (S) là tập tất cả các phần tử bdtt qua tập S Vì lẽ đó không gian con (S) còn gọi là bao tuyến

tính của tập S

 m

1 i i

i u

α ; ui  S, i  K

Vì X S nên X   Dễ thấy rằng nếu x, y  X thì x + y  X với mọi ,   K Vậy X là một không gian con chứa tập S

Giả sử F là một không gian con chứa tập S Khi đó đối với mọi ui  S, i  K, i = 1, , m, vì F là

không gian con nên ta có 

 m

1 i i

i u

α  F

Do đó ta có X  F Vậy X là một không gian con nhỏ nhất chứa tập S hay X = (S).

Ví dụ: a) Trong K - không gian véctơ K4 ta xét hệ véctơ

e1 = (1, 0, 0, 0),

e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1)

Khi đó đối với mọi x = (x1, x2, x3, x4)  K4 ta có

x = (x1, 0, 0, 0) + (0, x2, 0, 0) + (0, 0, x3, 0) + (0, 0, 0, x4)

x = x1(1, 0, 0, 0) + x2(0, 1, 0, 0) + x3(0, 0, 1, 0) + x4(0, 0, 0, 1)

x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 + x4 e4

Vậy ta có K4 = (e1, e2, e3, e4) Hệ e1, e2, e3, e4 là tập sinh của không gian véctơ K4

Một cách tổng quát ta có: Hệ véctơ

e1 = (1, 0, 0, ,0), e2 = (0, 1, 0, , 0),

en = (0, 0, 0, , 1),

Trang 6

là tập sinh của K - không gian véctơ Kn

b) Dễ dàng thấy rằng trong không gian các đa thức ẩn x trên trường K ta có:

K[x] = (1, x, x2, )

K n [x] = (1, x, xn-1)

3.2.3 Tổng trực tiếp của các không gian con

Giả sử Xi, i = 1, , m là các tập con của K - không gian véctơ V Ta kí hiệu





m

1

i

X = X 1 + + X m = x =



m

1 i i

u : u i  X i 

Mệnh đề 3.2.4: Nếu F1, F2 là các không gian con của K - không gian véctơ V thì F = F1 + F2 cũng là

không gian con Không gian con F gọi là tổng của các không gian con F 1 , F 2

Chứng minh: Theo mệnh đề 3.2.3 dễ dàng thấy rằng

F 1 + F 2 = (F 1  F 2 ).

 Định nghĩa tổng trực tiếp

Không gian con F gọi là tổng trực tiếp của các không gian con F1 và F2, kí hiệu là F = F1  F2, nếu các điều kiện sau đây được thoả mãn:

1) F = F1 + F2

2) F1  F2 = 

Khi đó không gian con Fi gọi là phần bù tuyến tính (hay bù trực tiếp) của không gian con Fj

Ví dụ: Trong R - không gian véctơ R3 ta xét các không gian con

F 1 = x = (x 1 , x 2 , 0) : x 1  R, x 2  R,

F 2 = y = (0, 0, y) : y  R

Rõ ràng rằng R3 = F1 + F2 và F1  F2 =  Vậy ta có

R3 = F1  F2

Mệnh đề 3.2.5: Giả sử F1, F2 là các không gian con của K - không gian véctơ F Khi đó F = F1  F2 khi và chỉ khi mỗi véctơ u  F có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng

u = u 1 + u 2 , với u 1  F 1 , u 2  F 2 (3.2.1)

Chứng minh:

F có biểu diễn (3.2.1)

Giả sử rằng u = u'1 + u'2, u'1  F1, u'2  F2 Khi đó ta có  = (u1 - u'1) + (u2 - u'2) Do đó ta có u'1 - u1 = u2

- u'2  F1F2 =  Vậy thì u1 = u'1, và u2 = u'2 Biểu diễn (3.2.1) của véctơ u  F là duy nhất

Trang 7

Điều kiện đủ: Giả sử mọi véctơ u  F có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng (3.2.1) Khi đó rõ ràng rằng

F = F1 + F2 Nếu có v  F1F2 và v   Khi đó véctơ   F có hai biểu diễn (3.2.1) khác nhau, đó là 

=  +  và  = v + (-v) Mâu thuẫn này chứng tỏ F1F2 =  Ta có F = F1F2

Tổng quát: Không gian con F gọi là tổng trực tiếp của các không gian con F1, , Fm, kí hiệu là F = F1

  Fm = 



m

i i

Fi, nếu các điều kiện sau được thoả mãn

1) F = 



m

1

i

F

2) Fj  





m

j

i 1

i

F = , j = 1, , m

Bằng quy nạp ta có: Giả sử F1, i = 1, , m là những không gian con của K - không gian véctơ F Khi

đó F = 



m

i

Fi nếu và chỉ nếu với mọi véctơ u  F có duy nhất biểu diễn

u = u 1 + + u m , với u i  F i , i = 1, , m (3.2.2)

3.2.4 Không gian thương

Giả sử F là một không gian con của K - không gian véctơ V Ta xét một quan hệ ~ trên tập V được xác định như sau

Theo tính chất của không gian con dễ dàng thấy rằng quan hệ ~ xác định bởi (3.2.3) là một quan hệ tương đương trên tập V Ta kí hiệu V F là tập thương của tập V theo quan hệ tương đương đó

Bổ đề 3.2.6: Nếu x ~ x' và y ~ y' thì z + y ~ x' + y' và x ~ x', đối với mọi   K

Chứng minh: Vì x ~ x', y ~ y' theo (3.2.3) ta có x - x'  F, y - y'  F Do đó ta có

(x + y) - (x' + y') = (x - x') + (y - y')  F;

x - x' = (x - x')  F, với mọi   K Vậy theo (3.2.3) ta có x + y ~ x' + y', x ~ x'

Trên tập thương

F

V/ ta xác định hai phép toán sau đây:

 Phép cộng các phần tử của

F

V/

 Phép nhân các phần tử của trường K với các phần tử của

F

V/

Trang 8

Từ bổ đề 3.2.6 ta suy ra rằng nếu x = x', y  y' thì x  y = x' y ', α x= α x' Do đó các phép toán xác định bởi (3.2.4) và (3.2.5) là đúng đắn, phần tử ở vế phải không phụ thuộc vào đại biểu của các lớp tương đương Dễ dàng chứng minh rằng tập

F

V/ là một K - không gian véctơ đối với các phép toán (3.2.4) và (3.2.5)

K - không gian véctơ

F

V/ được gọi là không gian thương của không gian véctơ V theo không gian con

F

3.3 HỆ VÉCTƠ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH,

PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 3.3.1 Hệ véctơ độc lập tuyến tính (ĐLTT)

Định nghĩa:

- Hệ véctơ u1, , um thuộc K - không gian véctơ V gọi là độc lập tuyến tính nếu khi có tổ hợp tuyến tính

 1 u 1 + +  m u m = , thì suy ra 1 = = m = 0

- Tập con S của K - không gian véctơ V gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi tập con hữu hạn u1, , um  S,

ui  uj, khi i  j là hệ độc lập tuyến tính

Ví dụ: a) Trong không gian K3 xét hệ véctơ: e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) Hệ véctơ e1, e2,

e3 là một hệ ĐLTT Thực vậy giả sử có tổ hợp tuyến tính 1 e1 + 2 e2 + 3 e3 =  Ta có

 1 (1, 0, 0) +  2 (0, 1, 0) +  3 (0, 0, 1) = (0, 0, 0)

( 1 ,  2 ,  3 ) = (0, 0, 0)

Vậy 1 = 2 = 3 = 0

Một cách tương tự ta có: Trong không gian Kn hệ véctơ

e 1 = (1, 0, , 0),

e 2 = (0, 1, , 0),

e n = (0, 0, , 1)

là một hệ ĐLTT

b) Trong không gian các đa thức K[x] tập con

Trang 9

B = 1, x, x2, 

là một tập ĐLTT

3.3.2 Hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính (PTTT)

Định nghĩa:

- Nếu hệ véctơ u1, , umthuộc K - không gian véctơ V không ĐLTT thì gọi là PTTT

Vậy hệ véctơ u1, , umPTTT khi và chỉ khi tồn tại các phần tử 1, , m thuộc trường K, trong đó có

ít nhất một i  0 sao cho 1u1 + + mum = 

- Tập con S của K - không gian véctơ V gọi là PTTT nếu S là tập không độc lập tuyến tính Tức là S chứa ít nhất một tập con hữu hạn PTTT:

Ví dụ: Trong không gian R4 hệ các véctơ sau đây là PTTT

u1 = (1, -1, -1, 3), u2 = (-2, 2, 2, -6), u3 = (-5, 2, 7, 0) Vì nếu chọn 1 = 2, 2 = 1, 3 = 0 thì ta có 2u1 + u2 + 0u3 = 

3.3.3 Tính chất

Các tính chất suy từ định nghĩa:

1) Tập một véctơ u phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi u = 

Thực vậy theo tính chất 3) ở mục 3.1.1 ta có u =  khi và chỉ khi hoặc u =  hoặc  = 0

2) Giả sử A, B là các tập con của K - không gian véctơ V và A  B Khi đó ta có:

- Nếu tập B ĐLTT thì tập A ĐLTT

- Nếu tập A PTTT thì tập B PTTT

Từ các tính chất trên suy ra rằng mỗi tập con chứa véctơ  là tập PTTT

Điều kiện cần và đủ để một hệ véctơ ĐLTT, PTTT

Mệnh đề 3.3.1: Hệ véctơ u1, , um, m  2, thuộc K - không gian véctơ V là ĐLTT (PTTT) khi và chỉ khi không có (có một) véctơ biểu diễn tuyến tính qua các véctơ còn lại

u1, biểu diễn tuyến tính qua các véctơ còn lại

u 1 =  2 u 2 + +  m u m

Ta có u1 - 2u2 - - m um = , trong đó 1 = 1  0 Trái với giả thiết hệ ĐLTT

Điều kiện đủ: Giả sử hệ véctơ u1, , um, thoả mãn điều kiện không có véctơ nào biểu diễn tuyến tính qua các véctơ còn lại Khi đó nếu có tổ hợp tuyến tính 1u1 + + mum =  thì

1 = = m = 0 Vì nếu có i nào đó khác 0, chẳng hạn 1  0, ta có

Trang 10

u 1 = - (α11 2 ) u 2 - - (α11 m ) u m Vậy véctơ u1 biểu diễn tuyến tính qua các véctơ còn lại, trái với giả thiết Do đó hệ đã cho ĐLTT Điều khẳng định thứ hai suy từ điều khẳng định thứ nhất vì mỗi hệ véctơ không ĐLTT thì PTTT và ngược lại.

3.4 CƠ SỞ, SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉCTƠ 3.4.1 Cơ sở của không gian véctơ

Định nghĩa: Tập con S gọi là một cơ sở của K - không gian véctơ V nếu các điều kiện sau đây được thoả mãn:

1) S là tập độc lập tuyến tính

2) S là tập các phần tử sinh của K - không gian véctơ V, tức là (S) = V

Định lý 3.4.1: Hệ véctơ S = u1, , un là một cơ sở của K - không gian véctơ V khi và chỉ khi mỗi véctơ x  V có thể biểu diễn tuyến tính duynhất qua hệ S, tức là

x = 

 n

1 i

i

i u

Họ  1 , ,  n  được gọi là toạ độ của véctơ x đối với cơ sở S

Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử S = u1, , un là một cơ sở của K - không gian véctơ V Vì (S) =

V, theo mệnh đề 3.2.3 mỗi véctơ x  V đều có thể bdtt qua S Giả sử có hai biểu diễn

x = 

 n

1 i

i

i u

λ ,

 n

1 i

i

i u λ'

Khi đó ta có 



n

1 i

i i

i ) u ( λ λ' = 

Vì hệ S ĐLTT nên ta có i - 'i = 0, i = 1, , n

Do đó i = 'i, u = 1, , n Vậy biểu thức (3.4.1) là duy nhất

Điều kiện đủ: Giả sử hệ véctơ S = u1, , un thoả mãn các điều kiện của định lý Rõ ràng rằng (S) =

V Giả sử có tổ hợp tuyến tính tầm thường



 n

1 i

i

i u

λ = 

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	421,05 KB