Bài giảng số 5 đường và mặt bậc hai trong không gian véc tơ euclide

Bài giảng số 5 đường và mặt bậc hai trong không gian véc tơ euclide

Bài giảng số 5 Đường và mặt bậc hai

I Tóm lược lý thuyết

Định nghĩa 5.1: Tập F   được gọi là không gian hình học Euclide n chiều tựa trên E

nếu mỗi cặp điểm (M N, )F tương ứng với một véc tơ của E , ký hiệu là MN

thoả mãn hai điều kiện sau đây:

a) MN  NPMP

với mọi M N P, , F;

b) Với mỗi điểm M Fvà véc tơ aE tồn tại duy nhất điểm NF để MNa

Khi F là một không gian hình học Euclide thì các phần tử thuộc F được gọi là điểm

Định nghĩa 5.2: Cho F là một không gian hình học Euclide tựa trên E , O là một điểm

của F ; hệ véc tơ { ,e e1 2,,e n}là một cơ sở trực chuẩn của E Khi đó bộ { ;O e e1, ,2 ,e n}

được gọi là hệ toạ độ trực chuẩn của F với gốc toạ độ O

Định nghĩa 5.3: Giả sử { ; , ,O e e1 2 ,e n}là một hệ toạ độ trực chuẩn của không gian hình học Euclide F. Khi đó điểm M thuộc F sẽ tương ứng với véc tơ OM

thuộc E và toạ độ

của OM

theo cơ sở { ,e e1 2,,e n}của E là toạ độ của điểm M trong hệ toạ độ

1 2

{ ; , ,O e e ,e n}

Định nghĩa 5.4: Tập con U của không gian hình học Euclide F được gọi là một siêu phẳng của F nếu với mỗi hệ toạ độ trực chuẩn { ; , ,O e e1 2 ,e n} của F thì U có dạng:

Định nghĩa 5.5: Đường bậc hai hay đường Cônic là một tập hợp ( )  các điểm trong không gian hình học Euclide 2mà các toạ độ trong hệ qui chiếu trực chuẩn thoả mãn phương trình:

Các hệ số a b c là các hệ số thực , ,

Chú ý rằng các hệ số a b c là các số thực không đồng thời bằng không , ,

Phân loại các đường bậc hai

Xét dạng toàn phương 2 2

f x y ax  bxycy và ma trận đối xứng A của dạng

toàn phương:

A

  

Giả sử A có các giá trị riêng là  1, 2, gọi u u1, 2 là các véc tơ riêng tương ứng, khi đó bằng phép đặt

' '

P

 

 

 

( P(u u1 2)) ta đưa dạng toàn phương về dạng

' 2 '2

1x 2y

Khi đó phương trình cônic có dạng:

' 2 '2 ' ' ' ' '

1x 2y 2d x 2e y f 0

Trường hợp 1:   1 2 0

Khi đó phương trình của đường bậc hai ( )  có dạng:

Đặt

' 1 ' ' 2

'

d

e







 







  



Ta chuyển (1) về dạng: 2 2

1X 2Y K 0

+) Nếu   1 2 0 và K cùng dấu với  1, 2 thì phương trình có dạng:

2 2

2 2 1

(3) là phương trình của một đường Elip thực Nếu K trái dấu với  1 , 2 thì (2) xác định một Elip ảo

+) Nếu   1 2 0 thì (2) có thể viết dưới dạng:

2 2

2 2 1

(4) là phương trình của một hypebol

+) Nếu 1 2 1

2

0 0

0



 









thì (1) có dạng:

2 2

2 2











(5) (5) là phương trình của một Parabol

Định nghĩa 5.6: Mặt bậc hai hay đường Quadric là một tập hợp ( )  các điểm trong không

gian hình học Euclide  3mà các toạ độ trong hệ qui chiếu trực chuẩn thoả mãn phương trình:

Các hệ số a b c d e f m n p q là các hệ số thực , , , , , , , , ,

Chú ý rằng các hệ số a b c d e f là các số thực không đồng thời bằng không , , , , ,

Phân loại mặt bậc hai

Xét dạng toàn phương 2 2 2

Trường hợp 1: Nếu   1, 2, 3 đều khác 0 và cùng dấu, thì phương trình của mặt bậc hai đưa về dạng:

2 2 2

(7) là phương trình của một elipxôit thực hoặc ảo

Nếu 1 2 thì elipxôit thực có dạng:

2 2 2

(8) là phương trình của một elipxôit tròn xoay tạo bởi elip có phương trình

2 2

2 2 1

trong mặt phẳng Oxzkhi nó quay quanh trục O z

Trường hợp 2: Nếu   1, 2, 3khác 0 và không cùng dấu thì phương trình của mặt bậc hai

có thể đưa về dạng:

2 2 2

hoặc

2 2 2

hoặc

2 2 2

(9) là phương trình của mặt hypecbôlôit một tầng Nếu ab thì mặt bậc hai có dạng:

2 2 2

a  a  c  (12)

(12) là một hypecbôlôit tròn xoay một tầng sinh bởi hypecbôn có phương trình

2 2

2 2 1

trong mặt phẳng Oxzkhi nó quay quanh trục O z

(10) là phương trình của mặt hypecbôlôit hai tầng Nếu ab thì mặt bậc hai có dạng:

2 2 2

a  a  c   (13)

(13) là một hypecbôlôit tròn xoay hai tầng sinh bởi hypecbôn có phương trình

2 2

trong mặt phẳng Oxz khi nó quay quanh trục O z

(11) là phương trình của mặt nón thực Đặc biệt nếu ab, (11) trở thành

2 2 2

a  a  c  (14)

(14) là phương trình của mặt nón tròn xoay quanh trục O z

Trường hợp 3:  1 2 0,3 0, khi đó phương trình mặt bậc hai có dạng:

1X 2Y 2kZ 0

hoặc 2 2

1X 2Y k 0

    (16) (15) là phương trình của mặt parabôlôit Đặc biệt khi 1 2 thì (15) là parabôlôit tròn xoay sinh bởi parabol có phương trình: 2

1

2

0

k



  trong mặt phẳng Oxzkhi nó quay quanh trục O z

(16) là phương trình của mặt trụ có đường sinh song song với trục O z Đặc biệt khi 1 2

thì (16) là mặt trụ tròn xoay có phương trình: 2 2

1

k



Trường hợp 3: Nếu 1 0,2 3 0, khi đó phương trình của mặt bậc hai có dạng:

(17) là phương trình của mặt trụ parabôlic

II Các ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Nhận dạng các đường bậc hai sau đây:

1) 5x2 8xy5y2 18x18y  ; 9 0

2) 2 2

Giải:

1) Xét dạng toàn phương: f x y( , )5x2 8xy5y2

Ma trận của dạng toàn phương là: 5 4

4 5

A  

Các giá trị riêng của ma trận là nghiệm của phương trình:

2

0 (5 ) 16 0

1 9









  

 Toạ độ của véc tơ riêng ứng với giá trị riêng  1thoả mãn hệ phương trình:

1 2

1 2

1 2







vậy véc tơ riêng tương ứng là v  1 ( 1,1)

Toạ độ của véc tơ riêng ứng với giá trị riêng  9 thoả mãn hệ phương trình:

1 2

1 2

1 2





 Vậy véc tơ riêng tương ứng là v 2 (1,1)

Khi đó ma trận

P





là ma trận trực giao và ta có P1 P t

Đặt

' '

P





 

 



thay vào phương trình đường cônic ta có:

' 2 ' 2

Đặt:

'

'

2







 thì đường bậc hai là một Elip chính tắc có dạng:

2 2

1

2) Xét dạng toàn phương 2 2

ma trận của dạng toàn phương là: 1 3

Các giá trị riêng của ma trận là nghiệm của phương trình:

0 ( 1)( 1) 3 0

2 2





 



  

 Toạ độ của véc tơ riêng ứng với giá trị riêng   2 thoả mãn hệ phương trình:

1 2

3







Vậy véc tơ riêng tương ứng là v  1 ( 1, 3)

Toạ độ của véc tơ riêng ứng với giá trị riêng  2 thoả mãn hệ phương trình:

1 2

3





 Vậy véc tơ riêng tương ứng là v 2 ( 3, 1)

P





là ma trận trực giao và ta có 1

t



Đặt

' '

' '

P





 

 



thay vào phương trình đường cônic ta có:

' 2 ' 2

(x 1) (y 1)  1 Đặt:

' '

1 1







thì đường bậc hai là một hypecbol chính tắc có dạng: X2 Y2 1

Ví dụ 2: Nhận dạng và đưa các mặt bậc hai sau đây về dạng chính tắc:

1) x2  y2  z2 xy yz zx  ; 1 0

2) 2xy2xz2yz6x6y4z 0

Giải:

1) Xét dạng toàn phương: 2 2 2

x  y  z  xy yzzx

Ma trận của dạng toàn phương có dạng:

1

1

1

A

Phương trình đặc trưng của ma trận là:

0 3 2













 

 Với  0, toạ độ véc tơ riêng tương ứng là nghiệm của hệ sau:

1 2 3

0

0

0

















 Véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng  0 là v 1 (1, 1, 1)

Với 3,

2

  toạ độ véc tơ riêng tương ứng là nghiệm của hệ sau:

1 2 3

0

0

















 Nghiệm tổng quát của hệ có dạng: ( a b a b, , ) (a b, )

Véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng 3

2

  là:

v2  ( 1, 1, 0), v3 v1v2   ( 1, 1, 2)

Trực chuẩn hoá hệ véc tơ trực giao v v v1, 2, 3 ta được hệ véc tơ sau:

Khi đó ma trận  1 2 3

0

là ma trận trực giao

Đặt

'

'





  

 



 



 

 

    

    





Thay vào phương trình của mặt bậc hai, ta có:

' 2 ' 2

1 0

2 y  2z   Phương trình trên xác định một mặt trụ tròn xoay quanh trục Ox

2) Xét dạng toàn phương: 2xy2yz2zx

Ma trận của dạng toàn phương có dạng:

0 1 1

A

Khi đó phương trình đặc trưng của ma trận A có dạng:

2

2

1

















 Với  2, toạ độ véc tơ riêng tương ứng là nghiệm của hệ:

1 2 3

1 2 3









Véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng  2 là 1 1 , 1 , 1

Với    toạ độ véc tơ riêng tương ứng là nghiệm của hệ: 1,

1 2 3

1 2 3

0

0

  







   

 Véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng   1 là:

2 1 , 1 , 0 , 3 2 1 1 , 1 , 2

Khi đó ma trận 1 2 3

0



là ma trận trực giao

Đặt

'

'





  

 



 



 

 

    

    



 Thay vào phương trình của mặt bậc hai, ta có:

' 2 '2 ' 2 '2 '

3

X x  Y  y Z  z  , thì mặt bậc hai có dạng:

2 2 2 30 2

3

Đây là phương trình của mặt hypecbolôit hai tầng tròn xoay sinh bởi hypecbol

2 2 30 2

3

trong mặt phẳng Oxy khi nó quay quanh trục Ox

Ví dụ 3:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với cơ sở chính tắc xét điểm M a b trong đó ( , )

cos , sin ( 0),

(a1)x 2bxy(a1)y 2ax2by(a1) (C) 0

1) Xác định đường bậc hai ứng với gốc toạ độ;

2) Tìm giá trị riêng véc tơ riêng của dạng toàn phương:

(a1)x 2bxy(a1)y

3) Nhận dạng và đưa đường bậc hai (C) về dạng chính tắc biết điểm M nằm trên đường tròn tâm O bán kính bằng 1

Giải:

1) Đường bậc hai tương ứng với điểm O(0, 0) có dạng:

2 2

1

x  y   Đây là phương trình của đường tròn ảo

2) Ma trận của dạng toàn phương trên là:

1

1

A



 

Đa thức đặc trưng của ma trận có dạng:

1

r

r





  



           

 Với    1 r, toạ độ véc tơ riêng tương ứng là nghiệm của hệ sau:

cos sin 0







Vậy toạ độ véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng 1 r  là: 1( sin , cos )

Với    1 r, toạ độ véc tơ riêng tương ứng là nghiệm của hệ sau:

sin cos 0







Vậy toạ độ véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng 1 r  là: 2(cos , sin )

3) Vì M nằm trên đường tròn tâm O bán kính bằng 1 nên ta có r 1

Khi đó ma trận 1 2

sin cos



là ma trận trực giao

Đặt:

' '

P







 

 

 Thay vào đường bậc hai (C), ta có:

Khi đó đường bậc hai (C ) là một Parabol có dạng:

2

2

III Bài tập tự giải

Bài 1: Nhận dạng và đưa về dạng chính tắc các đường bậc hai sau:

1) x2 2xy y2 8x y0;

2) 11x2 24xy4y2 150;

3) 2x2 4xy5y2 240;

4) 5x2  4xy2y2 24x12y180

Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với cơ sở chính tắc xét điểm M a b trong đó ( , )

cos , sin ( 0),

ar  br  r và đường bậc hai tương ứng với điểm M có phương trình:

(a1)x 2bxy(a1)y 2ax2by(a1) (C) 0

Nhận dạng và đưa về dạng chính tắc đường bậc hai (C) trong các trường hợp sau:

1) M nằm trong đường tròn tâm O bán kinh bằng 1

2) M nằm ngoài đường tròn tâm O bán kinh bằng 1

Bài 3: Nhận dạng và đưa về chính tắc các mặt bậc hai sau:

1) 2 2 2

x  y  z  xy xz yz   ;

2) 2 2 2

2x  y 2z 2xy2yz x4y3z20;

3) 2x2 2y2 5z2 4xy2xz2yz10x2z260;

4) 2xy2xz x y z 0;

5) x2  y2  z2  xy yz zx 1 0;

6) 2xy6x10y z 31 0.