Bài tập ánh xạ tuyến tính có lời giải p2

Định nghĩa và tính chất của ánh xạ tuyến tínhVậy ánh xạ h cho bởi công thức trên là ánh xạ tuyến tính.. Hơn nữa đây còn là một phép biến đổi tuyến tính, hay toán tử tuyến tính từ không g

Định nghĩa và tính chất của ánh xạ tuyến tính

Vậy ánh xạ h cho bởi công thức trên là ánh xạ tuyến tính

Hơn nữa đây còn là một phép biến đổi tuyến tính, hay toán tử tuyến tính từ không gian vector 2vào chính nó

Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính

Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính

8) Theo đầu bài     3 3 

Ánh xạ f :M2  dưới đây có phải là tuyến tính không:

Cho f : 2  2 là ánh xạ biến mỗi điểm của mặt phẳng thành điểm đối xứng của

nó đối với trục y Hãy tìm công thức cho f và chứng tỏ rằng nó là một toán tử tuyến

tính trong 2

Giải

S là một cơ sở trong không gian n chiều V

a) Chứng minh rằng nếu v v1, , ,2 v là một họ độc lập tuyến tính trong V thì các r

vecto tọa độ    v1 S, v2 S, , v r S cũng tạo thành một họ độc lập tuyến tính và ngược lại

1) Nếu E ĐLTT trong V thì F ĐLTT trong n

2) Nếu F ĐLTT trong n thì E ĐLTT trong V

Vậy (c)  (f) Điều đó chứng tỏ F ĐLTT và phần 1) chứng minh xong

Để chứng minh phần 2) ta giả sử F ĐLTT trong n

Do S là cơ sở của 3 nên tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính f : 3  3 sao cho f v( )1 u f v1, ( )2 u f v2, ( )3  Do u3 S là cơ sở nên tồn tại duy nhất các số

Lấy phương trình cuối trừ đi 10 lần phương trình đầu ta được 7c117c2  z 10x

Vậy hệ trên thu về

Trong 3cho hai hệ vectơ {u1 (1,1,0);u2 (0,1,1);u3 (1,0,1)}

và {v1 (1,1,1);v2 (0,0,1);v3 (1,2,1)} Hỏi có tồn tại một phép biến đổi tuyến tính f : 3  3thỏa f u( )i v i i, 1,2,3 không? Nếu có hãy xác định công thức

Cho x( ,x x x1 2, 3) 3, giả sử x1 1u 2 2u 3 3u Khi đó,

Cho f V:  là một ánh xạ tuyến tính và hệ vecto V'  1, 2, , của V Chứng r

minh rằng nếu hệ vecto f    1 , f 2 , , f   độc lập tuyến tính trong V’ thì hệ r

vecto đã cho cũng độc lập tuyến tính

Điều đó cho ta kết luận hệ 1, , độc lập tuyến tính r

Từ đó ta thấy ngay rằng không có một đa thức P nào để bậc của f P bằng   p  1

Vậy f không toàn ánh

Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

Do các cột của ma trận A là tọa độ của ( ) f e nên thực hiện các phép biến đổi sơ i

cấp trên cột đối với ma trận A, từ đó suy ra rank(A)

Khi đó, Imf = rank(A) = 2, ta chọn hai cột độc lập tuyến tính trong ma trận làm cơ

sở của Imf Khi đó,

 Vậy 1, 4  Im T 

x y

1) Cho ánh xạ tuyến tính T P: 2  xác định bởi P3 T p x    xp x  Hỏi phần tử nào dưới đây thuộc Ker T :

Giải:

Hạng của ánh xạ tuyến tính được xác định bởi rank T dim Im  T 

Vậy, vì V là không gian n chiều nên:

Hệ này tương đương với một phương trình 2x y 0

Nên nó chỉ có nghiệm phụ thuộc 1 tham số: x tùy ý, y2 x

dim Im T dim dim Ker T   2 1 1

b) Phương trình T p  0 P3

viết xp 0 P3 có nghiệm duy nhất là p 0 P2. Vậy dimKer T  0

do đó:

a) dimKer T    5 3 2.

b) dimKer T    5 1 4

c) dimKer T    6 3 3

d) dimKer T    4 3 1

Bài 04.03.1.029

A là ma trận cỡ 5x7 có hạng bằng 4

a) Hãy tìm số chiều của không gian nghiệm của Ax

b) Hỏi Axb có tương thích với mọi b  5 không? Lí do

Giải:

a) Số chiều của không gian nghiệm của Ax là 7 4 3

b) Không Muốn cho Axb tương thích mọi b  , phải có   5

Ta giải nó bằng biến đổi sơ cấp

c) Một cơ sở cho Ker T  .



  

b) Một cơ sở của Im T  là 1, 2,0

c) Để tìm cơ sở cho Ker T  ta xét hệ thuần nhất: Ax .

Ta giải nó bằng biến đổi sơ cấp

c) Một cơ sở cho Ker T  .

c) Để tìm cơ sở cho Ker T  ta xét hệ thuần nhất Ax . và giải nó bằng biến đổi

Vậy chúng tạo thành một cơ sở cho Ker T .



Thực hiện các phép biến đối sơ cấp trên dòng ta đưa hệ phương trình trên về hệ phương trình tương đương sau:

c) Do Kerf {(0,0,0,)} nên f không phải là đơn cấu

Vì dim Imf = rank(f ) =2 < 3 = dim 3, nên f không phải là toàn cấu

a) Tìm a sao cho rank( f ) = 3, rank(f ) <3

b) Khi rank(f ) <3, tìm Kerf và Imf, f có phải đơn cấu, toàn cấu không?

Giải:

a) Gọi A là ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của 3

Ta có dim(Imf ) = 1, có thể chọn vector u = (1, 1, 1) làm cơ sở của Imf

Khi đó, để tìm Kerf ta xét hệ phương trình sau:

1

2

000

Sinh viên làm tương tự

Nhận thấy f không phải đơn cấu cũng không phải toàn cấu

Bài 04.03.1.038

Cho ánh xạ tuyến tính f : 3  2 xác định bởi ( , , )f x y z (x y y,  z)

a Tìm một cơ sở và chiều của tập ảnh của f

b Tìm một cơ sở và chiều của hạt nhân của f

Giải:

a Xét cơ sở tự nhiên (3){e1 (1,0,0),e2 (0,1,0),e3 (0,0,1)} của 3

Khi

đó Im f  f e( ), ( ), ( )1 f e2 f e3  (1,0),(1,1),(0,1) Ta có

a Tìm một cơ sở và chiều của tập ảnh của f

b Tìm một cơ sở và chiều của hạt nhân của f

Cho f : 3  4 là một ánh xạ tuyến tính cho bởi

Ta lập ma trận A với các dòng là tọa độ các vectơ f e( ), ( ), ( )1 f e2 f e3 

Vậy f là đơn cấu Tập ảnh của f là Im f  f e( ), ( )1 f e2  (1,1),( 1, 2)  

Rõ ràng dim Im f 2dim 2 nên Im f  2 Vậy f là toàn cấu và do đó

Rõ ràng dim Im f  1 dim 2 Vậy f không là toàn cấu và do đó f không là

Vậy ma trận của ánh xạ này là

đối với T u 1  ta phải có: B' 7, 1,0 c v1 1c v2 2 c v3 3

Như vậy c c c là nghiệm hệ:1, ,2 3

Như vậy b b b là nghiệm hệ 1, ,2 3

c) Để tính T 2,2,0,0  trước hết ta phải biểu diễn 2,2,0,0 trong cơ sở B của 4

0

30

Để việc xác định ma trận biểu diễn của  theo cặp cơ sở ( )n và ( ) m được

dễ dàng ta thường viết công thức của ( ,x x1 2,,x n) dưới dạng véc tơ cột

a Tìm ma trận biểu diễn của  theo cặp cơ sở (3) và (2)

b Tìm ma trận biểu diễn của  theo cặp cơ sở S và T , trong đó

Hãy xác định ma trận của ánh xạ f, g, gf trong cặp cơ sở chính tắc của các

không gian tương ứng

Cho toán tử tuyến tính tuyến tính : 2  2 xác định bởi ( , ) x y (2 ,3y x y)

a Tìm ma trận   ( 2) của  theo cơ sở (2)

b Tìm ma trận   của S  theo cơ sở S {(1,3),(2,5)}

c Chứng minh rằng [ ( )] v S   S·[ ]v S với mọi v  2

Ma trận biểu diễn của  theo cơ sở (2) là   (2) 0 1

a Chứng minh rằng  là một toán tử tuyến tính

b Tìm ma trận biểu diễn của  theo cơ sở tự nhiên

Vậy  là một toán tử tuyến tính

b Theo công thức của ánh xạ tuyến tính , ta có

Vậy ma trận của ánh xạ này là 1 0

T T

T T

Nghĩa là T  2,1  1, 2 đúng như theo định nghĩa của T

c) Theo đầu bài ta có: T  x y,    x, y do đó      

 

1, 0 1, 00,1 0, 1

T T

Bài 04.03.1.062

3 114

Một điểm có tọa độ x y z trong không gian xyz chiếu trực giao lên mặt phẳng xy , , 

thành điểm x y, ,0 Vậy có công thức xác định ánh xạ T:

 

 , ,   , ,0

T x y z  x y thay đổi kí hiệu được T x x x1, 2, 3 x x1, 2,0

Với B la cơ sở chính tắc của 3,

nên ma trận của ánh xạ T trong cơ sở B là:

Vậy ma trận của ánh xạ T trong cơ sở B’ là: 1

3 114