Bài giảng ánh xạ tuyến tính các dạng bài tập về ánh xạ bài tập tập hợp và ánh xạ có lời giải tìm biểu thức của ánh xạ tuyến tính hướng dẫn giải bài tập về ánh xạ bài tập ánh xạ đơn ánh song ánh toàn ánh bài tập chứng minh ánh xạ chuyên đề ánh xạ nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
Trang 1ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
Khoa Toán - ĐHSP - ĐHĐN
Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011
Trang 2Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 1.1
Cho U, V là 2 không gian vector trên trường K Ánh xạ
T : U →V được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu:
i T( u+ v) = T(u) +T(v), ∀u,v ∈ U
ii T( ku) =kT(u), ∀k ∈ K, ∀u ∈ U
Trang 4Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Chú ý 1.1
Hai điều kiện i,ii trên có thể thay thế bởi điều kiện:
T(au+bv) = aT(u) +bT(v), ∀a,b ∈ K, ∀u,v ∈ U
Trong trường hợp U = V thì ánh xạ tuyến tính gọi là
phép biến đổi tuyến tính
Để đơn giản ta viết T(u)=Tu
Trang 6Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.1
Cho T : R →R xác định bởi Tx = ax, với a là hằng số
cho trước là ánh xạ tuyến tính
Thật vậy:
T(x+y) = a(x+y) =ax+ ay = Tx+ Ty
T(kx) = a(kx) = k(ax) = kTx
Trang 7Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.1
Cho T : R →R xác định bởi Tx = ax, với a là hằng số
cho trước là ánh xạ tuyến tính
Thật vậy:
T(x+y) = a(x+y) =ax+ ay = Tx+ Ty
T(kx) = a(kx) = k(ax) = kTx
Trang 8Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.1
Cho T : R →R xác định bởi Tx = ax, với a là hằng số
cho trước là ánh xạ tuyến tính
Thật vậy:
T(x+y) = a(x+y) =ax+ ay = Tx+ Ty
T(kx) = a(kx) = k(ax) = kTx
Trang 9Ví dụ 1.1
Cho T : R →R xác định bởi Tx = ax, với a là hằng số
cho trước là ánh xạ tuyến tính
Thật vậy:
T(x+y) = a(x+y) =ax+ ay = Tx+ Ty
T(kx) = a(kx) =k(ax) = kTx
Trang 20Ví dụ 1.3
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu= T(x,y) = (x+3y, 2x−y), là ánh xạ tuyến tính.Thật vậy:
T(u1 +u2) = T(x1 +x2,y1+y2)
= ((x1 +x2) +3(y1+y2),2(x1+x2) − (y1+y2))
= (x1+ 3y1+x2 +3y2,2x1 −y1+ 2x2−y2)
= (x + 3y ,2x −y ) + (x +3y ,2x −y )
Trang 23Ví dụ 1.4
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu= T(x,y) = (x+3y, 2x−y), là ánh xạ tuyến tính.Thật vậy:
T(ku) = T(kx,ky)
= (kx+3ky, 2kx−ky)
= k(x+3y, 2x−y) =kTu
Trang 28Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 1.2
Cho T : U →V là ánh xạ tuyến tính
{Tu : u ∈ U} =ImT gọi là ảnh của T.
{u ∈ U : Tu = θV} = KerT gọi là nhân của T dim(ImT) gọi là hạng của ánh xạ tuyến tính T.
Trang 29Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 1.2
Cho T : U →V là ánh xạ tuyến tính
{Tu : u ∈ U} =ImT gọi là ảnh của T.
{u ∈ U : Tu = θV} = KerT gọi là nhân của T.
dim(ImT) gọi là hạng của ánh xạ tuyến tính T.
Trang 30Định nghĩa 1.2
Cho T : U →V là ánh xạ tuyến tính
{Tu : u ∈ U} =ImT gọi là ảnh của T.
{u ∈ U : Tu = θV} = KerT gọi là nhân của T.
dim(ImT) gọi là hạng của ánh xạ tuyến tính T.
Trang 31iii. Im T là không gian vector con của V.
iv. Ker T là không gian vector con của U.
Trang 32iii. Im T là không gian vector con của V.
iv. Ker T là không gian vector con của U.
Trang 33iii. Im T là không gian vector con của V.
iv. Ker T là không gian vector con của U.
Trang 34Tính chất 1
i. TθU → θV
ii. T(α1u1 + α2u2+ · · · + αn u n)
= α1Tu1+ α2Tu2+ · · · + αn Tu n
iii. Im T là không gian vector con của V.
iv. Ker T là không gian vector con của U.
Trang 42Nhận xét 1.3
Nếu W là không gian con của không gian vector U thì
T(W) là không gian vector con của V.
Trang 47Hay ImT = h(1,0,1); (2,1,1); (−1,1, −2)i.
Trang 48Ví dụ 1.6
Cho ánh xạ tuyến tính
T : R3 → R3,Tu = T(x,y,z) = (x+2y−z,y+z,x+y−2z)
Xác định cơ sở, số chiều của ImT, KerT.
Tìm KerT: Ta có T(x,y,z) = θ = (0,0,0) tương đương
Trang 49Nghiệm tổng quát của hệ (*) là(3m, −m,m) = m(3, −1,1).
Vậy KerT có cơ sở{(3, −1,1)} suy ra dim(KerT)=1.
Trang 50Nghiệm tổng quát của hệ (*) là(3m, −m,m) =m(3, −1,1).
Vậy KerT có cơ sở{(3, −1,1)} suy ra dim(KerT)=1.
Trang 51Nghiệm tổng quát của hệ (*) là(3m, −m,m) =m(3, −1,1).
Vậy KerT có cơ sở{(3, −1,1)} suy ra dim(KerT)=1.
Trang 53Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Tính chất 2
Cho T : U →V là ánh xạ tuyến tính Khi đó
i. Nếu u1,u2, ,u m là hệ phụ thuộc tuyến tính thì hệ
Trang 54Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Tính chất 2
Cho T : U →V là ánh xạ tuyến tính Khi đó
i. Nếu u1,u2, ,u m là hệ phụ thuộc tuyến tính thì hệ
Trang 55Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Tính chất 2
Cho T : U →V là ánh xạ tuyến tính Khi đó
i. Nếu u1,u2, ,u m là hệ phụ thuộc tuyến tính thì hệ
Trang 56Tính chất 2
Cho T : U →V là ánh xạ tuyến tính Khi đó
i. Nếu u1,u2, ,u m là hệ phụ thuộc tuyến tính thì hệ
Trang 58Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa 2.2
Khi đó: ma trận A= [a ij]mn gọi là ma trận của ánh xạ T
đối với 2 cơ sở E, F và ký hiệu: MT T/EF
Chú ý 2.1
1 Ma trận MT T/EF, có cột thứ j là[Te j]/F
2 Khi U = V và E = F thì ma trận MT T/EE gọi là ma trận của phép biến đổi tuyến tính T đối với cơ sở E.
Ta ký hiệu: MT T/E
Trang 59Ta ký hiệu: MT T/E
Trang 64Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Ts1 = Te1−3Te2 = (1,2,0);Ts2 = 2Te2 = (0,4,6),
Trang 65Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Trang 67Ts1 = Te1 −3Te2 = (1,2,0),
Ts2 = 2Te2 = (0,4,6),suy ra
Trang 68Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Trang 70Tính chất 3
Cho T : U →V là Axtt, E,F là các cơ sở của U,V và
A= MT T/E,F Khi đó
[Tv]/F = A[v]/E
Trang 72#
Trang 73Chuyển cơ sở
Bài toán
Cho phép biến đổi tuyến tính T : V →V và
E = {e1, ,e n};E0 = {e01, ,e0n} là hai cơ sở của V.
Tìm mối liên hệ giữa:
1 (v)/E và (v)/E0
2 MT T/E và MT T/E0 ?
Trang 75Ví dụ 3.1
Trong R2 cho E là cơ sở chính tắc và
E0 = {e01 = (1,1);e02 = (2,0)} Tìm MT/E,E0 và MT/E0 ,E
Trang 78Bài 3: Chuyển cơ sở
Nhận xét 3.1
Nếu P = MT/E,E0 thì P−1 = MT/E0 ,E
[v]/E = P[v]/E0 → [v]/E0 = P−1[v]/E
Trang 79Nhận xét 3.1
Nếu P = MT/E,E0 thì P−1 = MT/E0 ,E
[v]/E = P[v]/E0 → [v]/E0 = P−1[v]/E
Trang 80Bài 3: Chuyển cơ sở
Định lý 3.2
Cho phép biến đổi tuyến tính T :V →V và E,E0 là hai
cơ sở của V Khi đó:
Trang 81Định lý 3.2
Cho phép biến đổi tuyến tính T :V →V và E,E0 là hai
cơ sở của V Khi đó:
Trang 82Định nghĩa 3.2
Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n Hai ma trận này gọi
là đồng dạng với nhau nếu tồn tại ma trận P sao cho
B= P−1AP
Trang 83Ví dụ 3.2
Cho axtt T : R2 →R2;Tu = T(x,y) = (2x−3y, 5x+y),
Elà cơ sở chính tắc và cơ sở
E0 = {e01 = (1,3);e02 = (0,2)} Tìm MTT/E;MT T/E0
Trang 84Bài 3: Chuyển cơ sở
Dùng công thức chuyển cơ sở:
Trang 85Bài 3: Chuyển cơ sở
Trang 86Bài 3: Chuyển cơ sở
Trang 88Trị riêng và vector riêng của ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa 4.1
Cho T là phép biến đổi tuyến tuyến tính từ V →V
Vector v∈ V(v 6= θ) gọi là vector riêng của T nếu
Tv= λv Sốλ gọi là trị riêng ứng với vector riêng v.
Trang 89Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Nhận xét 4.2
Nếu v là vector riêng ứng với trị riêngλ thì kv cũng là
vector riêng ứng với trị riêng λ
Thật vậy, T( kv) = kTv = k(λv) = λ(kv)
Trang 90Nhận xét 4.2
Nếu v là vector riêng ứng với trị riêngλ thì kv cũng là
vector riêng ứng với trị riêng λ
Thật vậy, T( kv) = kTv = k(λv) = λ(kv)
Trang 91Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Trang 92Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Trang 936x+ (3− λ)y= 0
Trang 94Bài 4: Trị riêng và vector riêng
det(A) =
... class="text_page_counter">Trang 100
Tìm trị riêng vector ánh xạ tuyến tính< /p>
T : R3 → R3;T(x,y,z)... lại
Trang 98Bài 4: Trị riêng vector riêng
Với trị riêngλ = Khi hệ phương trình (*) viết lại