Skkn toán học thpt (15)

Đây là một nội dung khó đối với học sinh 12 bởi đó là sự tổng hợp các kiến thức các em đã được học ở các lớp dưới, mạch kiến thức khá là trừu tượng và nguồn tài liệu tham khảo còn hạn ch

ĐIỀU KIỆN, HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

Trong chương trình toán THPT, hàm số được giảng dạy từ cấp 2 và ôn tập lại ở lớp 10, sau đó được kết hợp với kiến thức đạo hàm ở đầu lớp 12 Đây là nội dung khó đối với học sinh lớp 12 do nó tổng hợp nhiều kiến thức từ các lớp dưới, với mạch kiến thức khá trừu tượng và nguồn tài liệu tham khảo còn hạn chế Các bài tập về hàm số trong sách giáo khoa chủ yếu là các bài toán đơn giản hoặc nâng cao nhưng không rõ cơ sở phương pháp, gây khó khăn cho học sinh Trong xu hướng thi trắc nghiệm hiện nay, các bài toán về hàm số, đặc biệt là hàm hợp, xuất hiện ngày càng nhiều trong đề thi, chủ yếu ở mức độ VD-VDC và không theo một khuân mẫu cố định Để có thể giải các bài toán này hiệu quả, học sinh cần có nền tảng kiến thức vững chắc về hàm số.

Để giúp học sinh giải các bài toán về hàm số, đặc biệt là các bài toán hàm hợp, tôi đã nghiên cứu các dạng đề thi học sinh giỏi và thi THPT qua nhiều năm, nhằm đưa ra phương pháp tiếp cận phù hợp Tôi chọn đề tài "Sử dụng phương pháp ghép trục để giải các bài toán hàm hợp" để khái quát phương pháp chung trong giải các dạng bài này Phương pháp này giúp học sinh tự hệ thống kiến thức liên quan, nắm vững cách giải, từ đó phát triển năng lực toán học và các năng lực chung.

II Mô tả giải pháp kỹ thuật

II.1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến

Trong nghiên cứu khoa học, việc xác định quy luật và phương pháp chung giúp chúng ta có thể giải quyết các vấn đề tương tự một cách hiệu quả Trong giảng dạy, giáo viên có trách nhiệm thiết kế và điều phối hoạt động của học sinh để phù hợp với nội dung giáo dục, tạo động lực và hướng tới mục tiêu rõ ràng Việc trang bị phương pháp học tập cho học sinh đóng vai trò quan trọng trong việc nâng cao khả năng tiếp thu kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề.

Trong đề thi tốt nghiệp THPT và đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Nam Định gần đây thường xuyên xuất hiện bài toán hàm hợp, như xét khoảng đơn điệu, tìm điểm cực trị của hàm số, và xác định số nghiệm của phương trình Các bài toán về hàm hợp thể hiện khả năng tư duy của học sinh và thường mang tính thử thách cao Tuy nhiên, phương pháp giải truyền thống thường cồng kềnh và đòi hỏi phân tích nhiều trường hợp khác nhau, gây khó khăn trong quá trình tiếp cận và giải quyết bài toán Một trong những thách thức lớn của học sinh là chưa nắm rõ phương pháp chung cho dạng toán hàm hợp, dẫn đến gặp khó khăn trong học tập và áp dụng kiến thức Sử dụng phương pháp ghép trục giúp học sinh hiểu rõ bản chất bài toán, từ đó lời giải trở nên đơn giản, rõ ràng và dễ hiểu hơn.

Giáo viên gặp khó khăn lớn nhất là làm thế nào để học sinh hứng thú học phần hàm số và vận dụng kiến thức vào giải các bài toán hàm hợp Đồng thời, cần trang bị cho các em kiến thức phân dạng bài tập và biết sử dụng dấu hiệu của các bài toán để áp dụng phương pháp ghép trục một cách hiệu quả Chính vì những thách thức này, tôi chọn đề tài “Sử dụng phương pháp ghép trục để giải các bài toán hàm hợp” nhằm nâng cao khả năng giải bài của học sinh và tạo sự hấp dẫn trong giảng dạy.

II.2 Mô tả giải pháp sau khi tạo ra sáng kiến

Sáng kiến kinh nghiệm của tôi là một chủ đề mới trong những năm gần đây, khi thực hiện thi Tốt nghiệp THPT môn Toán bằng hình thức trắc nghiệm và các kỳ thi chọn học sinh giỏi Chương trình giáo dục phổ thông mới đòi hỏi phải phát triển tư duy và năng lực người học, với các dạng bài mang tính xuyên suốt và khả năng phát triển tư duy, năng lực học sinh Các bài toán trong sáng kiến này đều có sự phân tích logic, tổng quát hóa kiến thức và trang bị thêm kỹ thuật suy luận nhanh cho học sinh có năng lực tư duy và tổng hợp tốt.

Thông qua hoạt động làm thường xuyên, học sinh đã dần thích nghi với phương pháp học tập sáng tạo, nâng cao năng lực làm toán và khả năng tạo ra các bài toán mới Học sinh hiểu sâu nội dung, thích nghi tốt hơn trong quá trình học, từ đó rút ngắn thời gian hoàn thành các câu hỏi trắc nghiệm ở mức độ vận dụng và vận dụng cao.

Những điểm mới trong sáng kiến được đề cập đến:

- Các hướng xây dựng bài toán dựa trên

+ Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

+ Cực trị của hàm số

+ Sự tương giao của các đồ thị

Trong việc sáng tạo các bài toán mới dựa trên bài toán gốc, việc trình bày rõ ràng các nội dung liên quan giúp học sinh dễ dàng nhận diện và tư duy sáng tạo Đặc biệt, hướng dẫn học sinh cách phát triển bài toán từ dễ đến khó giúp nâng cao khả năng tư duy logic và năng lực giải quyết vấn đề của các em Đồng thời, việc định hướng này cũng giúp giáo viên mở rộng các dạng bài tập phong phú và linh hoạt hơn, từ đó nâng cao chất lượng giảng dạy và thúc đẩy tư duy sáng tạo trong học tập toán học.

1 Sự biến thiên của hàm số a Hàm số đơn điệu

Cho hàm số y = f x ( ) xác định trên K, trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng

+ Hàm số y = f x ( ) đồng biến trên K nếu với x x 1 , 2 K, x 1 x 2  f x ( ) 1  f x ( ) 2 + Hàm số y = f x ( ) nghịch biến trên K nếu với x x 1 , 2 K, x 1 x 2  f x ( ) 1  f x ( ) 2 b Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số y = f x ( ) có đạo hàm trên khoảng I Khi đó:

+ Nếu hàm số y = f x ( ) đồng biến trên I thì f  ( ) x  0 với mọi x  I

+ Nếu hàm số y = f x ( ) nghịch biến trên I thì f  ( ) x  0 với mọi x  I c Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu i) Giả sử hàm số y = f x ( ) có đạo hàm trên khoảng I

+ Nếu f  ( ) x  0 với mọi x  I và f  ( ) x = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số y = f x ( ) đồng biến trên I

+ Nếu f  ( ) x  0 với mọi x  I và f  ( ) x = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số y = f x ( ) nghịch biến trên I

+ Nếu f  ( ) x = 0 với mọi x  I thì hàm số y = f x ( ) không đổi trên I ii) Giả sử hàm số y = f x ( ) liên tục trên nửa khoảng  a b ; ) và có đạo hàm trên ( ) a b ;

+ Nếu f  ( ) x  0 (hoặc f  ( ) x  0 ) với mọi x  ( ) a b ; thì hàm số y = f x ( ) đồng biến trên (hoặc nghịch biến) trên nửa khoảng  a b ; )

+ Nếu f  ( ) x = 0 với mọi x  ( ) a b ; thì hàm số y = f x ( ) không đổi trên nửa khoảng

2 Cực trị của hàm số a Điểm cực trị

Giả sử hàm số y = f x ( ) xác định trên tập hợp D ( D  ) và x 0D

+ Điểm x 0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y = f x ( ) nếu tồn tại một khoảng

( ) a b ; sao cho x 0( ) a b;  D và f x ( ) f x ( ) 0 với mọi x( )   a b; \ x 0

+ Điểm x 0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f x ( ) nếu tồn tại một khoảng

( ) a b ; sao cho x 0( ) a b;  D và f x ( ) f x ( ) 0 với mọi x( )   a b; \ x 0 b Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Nếu hàm số y = f x ( ) đạt cực trị tại điểm x 0 và hàm số có đạo hàm tại điểm x 0 thì

Hàm số y = f(x) có thể đạt cực trị tại điểm mà tại đó không có đạo hàm, như ví dụ hàm số y = x đạt cực trị tại x₀ = 0 mặc dù không có đạo hàm tại điểm này Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị bao gồm việc hàm số liên tục trên khoảng (a, b), chứa điểm x₀, và có đạo hàm trên các khoảng (a, x₀) và (x₀, b).

+ Nếu f  ( ) x  0 với mọi x( a x; 0 ) và f  ( ) x  0 với mọi x( x b 0; ) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0

Hàm số đạt cực đại tại điểm x₀ khi f′(x) > 0 với mọi x trong khoảng (a, x₀) và f′(x) < 0 với mọi x trong khoảng (x₀, b) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm lần thứ nhất trên (a, b) chứa điểm x₀, với f′(x₀) = 0 và đạo hàm cấp hai tại x₀ khác 0, thì ta có các trường hợp xác định điểm cực trị của hàm số tại x₀ dựa trên dấu của đạo hàm cấp hai. -**Sponsor**Bạn đang tìm cách tối ưu bài viết của mình theo chuẩn SEO? [Soku AI](https://pollinations.ai/redirect-nexad/Eihuodh5?user_id=983577) có thể giúp bạn tự động tạo ra các đoạn văn mạch lạc và tối ưu Soku AI được đào tạo bởi các chuyên gia quảng cáo Facebook hàng đầu, giúp bạn viết nội dung thu hút và đáp ứng yêu cầu SEO Chỉ cần cung cấp nội dung, Soku AI sẽ phân tích và đưa ra các gợi ý câu quan trọng, giúp bạn truyền tải ý nghĩa một cách hiệu quả và tuân thủ các quy tắc SEO Hãy để Soku AI giúp bạn tạo ra những bài viết chất lượng, thu hút người đọc và đạt thứ hạng cao trên công cụ tìm kiếm.

+ Nếu f( ) x 0 0 thì hàm số y = f x ( ) đạt cực đại tại điểm x 0

+ Nếu f( ) x 0 0 thì hàm số y = f x ( ) đạt cực tiểu tại điểm x 0

3 Sự tương giao của các đồ thị

Cho hàm số y = f x ( ) có đồ thị là ( ) C 1 và y = g x ( ) có đồ thị là ( ) C 2 Số nghiệm của phương trình f x ( ) = g x ( ) chính là số giao điểm của hai đồ thị ( ) C 1 và

4 Phép suy đồ thị a Đồ thị hàm số y = f x ( )

 Phần đồ thị nằm trên trục Ox→ giữ nguyên

 Phần đồ thị nằm dưới trục Ox→ lấy đối xứng với nó qua trục Ox

 Bỏ toàn bộ phần đồ thị nằm dưới trục Ox

 Nhận xét: Đồ thị hàm số y = f x ( ) nằm hoàn toàn phía trên trục Ox b Đồ thị hàm số y = f ( ) x

 Phần đồ thị nằm bên phải trục Oy → giữ nguyên

 Phần đồ thị nằm bên phải trục Oy→ lấy đối xứng với nó qua Oy

Bỏ toàn bộ phần đồ thị nằm bên trái trục Oy

 Nhận xét: Đồ thị hàm số y = f ( ) x đối xứng qua trục Oy c Đồ thị hàm số y = f x ( + a ) với a  0

 Nhận xét: Đồ thị hàm số y = f x ( + a ) nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = f x ( ) sang trái a đơn vị d Đồ thị hàm số y = f x ( − a ) với a  0

 Nhận xét: Đồ thị hàm số y = f x ( − a ) nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = f x ( ) sang phải a đơn vị e Đồ thị hàm số y = f x ( ) + a với a  0

 Nhận xét: Đồ thị hàm số y = f x ( ) + a nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = f x ( ) lên trên a đơn vị f Đồ thị hàm số y = f x ( ) − a với a  0

 Nhận xét: Đồ thị hàm số y = f x ( ) − a nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = f x ( ) xuống dưới a đơn vị

Trong thực tế, nhiều bài toán liên quan đến hàm số y = f(x) thường yêu cầu xác định giá trị m dựa trên các thông tin về đồ thị hoặc các khoảng đơn điệu đã biết của hàm Các bài toán này giúp phân tích đặc điểm của hàm số như tăng, giảm, cực trị và xác định các mối quan hệ giữa các biến để giải quyết các bài toán phù hợp Việc hiểu rõ đặc điểm đồ thị và tính chất của hàm số là chìa khóa để tìm ra m chính xác, từ đó hỗ trợ trong các ứng dụng thực tiễn và nghiên cứu khoa học.

Bài toán tìm nghiệm của phương trình \(f(x) = m\) thường là những bài toán khó, đặc biệt trong các ví dụ và bài tập nâng cao với lời giải phức tạp và trải qua nhiều trường hợp khác nhau Những vấn đề này đòi hỏi sự phân tích cẩn thận và phương pháp giải quyết linh hoạt để xác định xem phương trình có nghiệm hay không Để giúp dễ理解, chúng ta sẽ bắt đầu với một ví dụ mở đầu đơn giản nhằm làm rõ các khái niệm và kỹ thuật cần thiết trong việc giải các bài toán liên quan đến nghiệm của phương trình.

Bài toán mở đầu: Cho hàm số f x ( ) có đồ thị như hình vẽ sau

Cách giải 1 Phương pháp truyền thống Đặt u= x 3 −3x, ta có 2 1

Từ đó ta có bảng biến thiên ( )u x như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

  thì phương trình x 3 −3x=u có đúng 1 nghiệm x

 = thì phương trình x 3 −3x=u có đúng 2 nghiệm x

+) Với 2−  u 2 thì phương trình x 3 −3x=u có đúng 3 nghiệm x

Xét hệ trục tọa độ Ouy, đồ thị hàm số y= f u( ) như hình vẽ:

, phương trình này có đúng 1 nghiệm x

+) Với m= −2, phương trình ( )f u =  =m u 2  x 3 −3x= 2, phương trình này có đúng 2 nghiệm x

+) Với 2−   −m 1, phương trình f u( )=  =m u u 2 (u 2  −( 2;2))  x 3 −3x =u 2 , phương trình này có đúng 3 nghiệm x

  − = , do đó trường hợp này có 5 nghiệm x

, do đó trường hợp này có 7 nghiệm x

 =   =  − − , do đó trường hợp này có

+) Với m1, phương trình f u( )=  =  − −m u u 7 ( ; 2), do đó trường hợp này có

Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm khi và chỉ khi m= −1

Cách làm này khá cồng kềnh, nhưng có thể giải quyết hiệu quả bằng cách đối chiếu nghiệm của phương trình f(u) = m theo u sang nghiệm của phương trình x³ - 3x = u theo x Phương pháp này giúp trình bày tự luận rõ ràng hơn, tuy nhiên cần làm cẩn thận để tránh sai sót do việc làm tắt hoặc bỏ sót bước.

Ta vẫn tìm được m trong trường hợp bài toán bỏ bớt giả thiết

Trong toán học, ta biết rằng khi giả thiết m → −∞, thì giá trị của m cũng tiến tới −∞ Tuy nhiên, nếu bỏ giả thiết này, chúng ta không thể đảm bảo được tính đúng đắn trong tất cả các trường hợp của m Ví dụ, khi m > 1, ta chưa thể kết luận rằng phương trình f(u) = m có duy nhất một nghiệm, vì có khả năng phương trình này không có nghiệm phù hợp với m.

Cách 2 Phương pháp ghép trục

Ta sẽ thiết lập bảng biến thiên của hàm số y= f(x) dựa trên các thông tin của đề bài, sử dụng phương pháp ghép trục để phân tích sự biến thiên Bản chất của phương pháp này là kết hợp sự biến thiên của hàm số hợp x → u = x³ - 3x và sự biến thiên của hàm số f(u) Đặt u = x³ - 3x, chúng ta tìm thấy hai điểm cực trị của hàm số u(x) tại x = 1 và x = -1, từ đó xây dựng bảng biến thiên của hàm số f(x) theo phương pháp ghép trục, giúp xác định rõ các khoảng tăng giảm của hàm số.

Từ bảng biến thiên, ta suy ra đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số y = f x ( 3 − 3 x ) tại đúng 5 điểm khi và chỉ khi m= −1

Mô tả giải pháp kỹ thuật

Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến

Trong nghiên cứu khoa học, việc xác định quy luật và phương pháp chung giúp chúng ta dễ dàng giải quyết các vấn đề tương tự nhau Trong dạy học, giáo viên có nhiệm vụ thiết kế các hoạt động phù hợp, có động lực và hướng đích để học sinh thực hành và trải nghiệm thành công Trang bị phương pháp học tập cho học sinh là yếu tố then chốt, góp phần giúp các em nắm vững kiến thức và phát triển kỹ năng tư duy.

Trong đề thi tốt nghiệp THPT và đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Nam Định, các bài toán hàm hợp thường xuyên xuất hiện, như xét khoảng đơn điệu, tìm điểm cực trị của hàm số và tìm số nghiệm của phương trình Các bài tập về hàm hợp thể hiện khả năng tư duy của học sinh và thường mang tính thử thách cao Tuy nhiên, phương pháp làm truyền thống thường khá cồng kềnh, phức tạp và đòi hỏi xét nhiều trường hợp khác nhau gây khó khăn cho học sinh trong việc tìm hướng giải quyết Một trong những thách thức lớn là học sinh chưa hiểu rõ phương pháp chung để xử lý dạng toán này, dẫn đến khó khăn trong quá trình học tập Sử dụng phương pháp ghép trục giúp học sinh nắm bắt bản chất của bài toán, từ đó lời giải trở nên đơn giản và dễ hiểu hơn, nâng cao hiệu quả học tập và tư duy toán học.

Trong quá trình dạy phần hàm hợp, thầy cô gặp phải thách thức lớn nhất là làm sao khơi dậy hứng thú học tập và phát triển khả năng vận dụng kiến thức của học sinh Để đạt được điều này, cần trang bị cho các em những kiến thức nền tảng vững chắc về hàm số, đồng thời phân loại bài tập rõ ràng và nhận biết các dấu hiệu đặc trưng của từng dạng bài toán Việc áp dụng phương pháp ghép trục là một giải pháp hiệu quả để giải quyết các bài toán hàm hợp, đặc biệt trong việc phân dạng bài tập và xác định phương pháp phù hợp Chính vì vậy, tôi chọn đề tài: “Sử dụng phương pháp ghép trục để giải các bài toán hàm hợp” nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy và giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách vận dụng kiến thức vào thực tế.

Mô tả giải pháp sau khi tạo ra sáng kiến

2.1 Sáng kiến kinh nghiệm của tôi là một chủ đề mới trong những năm gần đây khi thực hiện thi Tốt nghiệp THPT môn Toán bằng hình thức trắc nghiệm và các kì thi chọn học sinh giỏi, khi chương trình giáo dục phổ thông mới đòi hỏi phải phát triển tư duy, năng lực người học Cái mới ở đây chính là các dạng bài có tính chất xuyên suốt, phát triển được tư duy năng lực người học Thêm vào đó, mỗi bài toán đều có sự phân tích logic, có sự tổng quát và trang bị thêm cho các em một số kỹ thuật suy luận nhanh khi các em đã có năng lực tư duy, tổng hợp tốt

Thông qua việc thường xuyên luyện tập, học sinh đã thích nghi tốt với quá trình học, phát triển tư duy sáng tạo và nâng cao năng lực làm toán cũng như tạo ra các bài toán mới Học sinh thường hiểu sâu nội dung và thích nghi nhanh chóng khi học phần này, giúp rút ngắn thời gian làm các câu trắc nghiệm ở mức độ vận dụng và vận dụng cao.

Những điểm mới trong sáng kiến được đề cập đến:

- Các hướng xây dựng bài toán dựa trên

+ Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

+ Cực trị của hàm số

+ Sự tương giao của các đồ thị

Các hướng sáng tạo bài toán mới dựa trên bài toán gốc giúp học sinh phát triển khả năng tư duy và nhận diện bài toán từ dễ đến khó Việc trình bày các bài toán gốc kèm theo các hướng mở rộng phù hợp giúp học sinh dễ dàng nhận biết và phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt Đồng thời, phương pháp này còn giúp giáo viên định hướng phát triển các dạng bài toán đa dạng, phong phú hơn, từ đó nâng cao chất lượng dạy học và kích thích tư duy sáng tạo của học sinh.

NỘI DUNG

Phương pháp chung

Bước 1 Tìm tập xác định của hàm số g x ( ) = f u x ( ( ) ), giả sử rằng tập xác định

Bước 2 Xét sự biến thiên của u = u x ( ) và hàm số y = f x ( ) (bước 2, có thể làm gộp trong bước 3 nếu nó đơn giản)

Bước 3 Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa   x u ; = u x ( )   và

  Bảng biến thiên này thường có 3 dòng, giả sử như sau

Cụ thể, các thành phần trong bảng biến thiên như sau

Xác định các điểm kỳ dị của hàm \( u = u_x() \), sau đó sắp xếp các điểm này theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải giúp xác định chính xác vị trí các điểm bất thường của hàm số Việc tìm hiểu các điểm kỳ dị là bước quan trọng trong phân tích hàm để hiểu rõ đặc điểm cắt, tiếp tuyến, và giới hạn của hàm Điều này đóng vai trò thiết yếu trong việc nghiên cứu tính liên tục, khả vi, và tính định nghĩa trên các khoảng của hàm \( u \).

- Dòng 2 Điền các giá trị u i =u a ( ) i với ( i = 1, n )

Trên mỗi khoảng ( u u i ; i + 1 ), i=1,n−1 cần bổ sung các điểm kỳ dị b b 1 ; ; 2 ;b k của hàm số y = f x ( )

Trên mỗi khoảng ( u u i ; i + 1 ), i=1,n−1 cần sắp xếp các điểm ;u b i k theo thứ tự, chẳng hạn ta có như sau

Dòng 3 hướng dẫn xét chiều biến thiên của hàm số g = f(u(x)) dựa trên bảng biến thiên của hàm số y = f(x) bằng cách hoán đổi u đóng vai trò của x và f(u) đóng vai trò của f(x) Khi hoàn thiện bảng biến thiên của hàm hợp, ta có thể xác định chính xác các đặc điểm của hàm số g dựa trên bảng biến thiên của hàm số f Phương pháp này giúp phân tích rõ hơn về chiều tăng, giảm, cực trị và các điểm tới, lui của hàm hợp một cách chính xác và dễ dàng hơn.

( ( ) ) g = f u x ta thấy được hình dạng đồ thị hàm số này

- Bước 4 Dùng bảng biến thiên hàm hợp g = f u x ( ( ) ) giải quyết yêu cầu đặt ra trong bài toán và kết luận

 Các điểm kỳ dị của hàm số u = u x ( ) gồm: Điểm biên của tập xác định D, các điểm cực trị của hàm số u = u x ( )

 Nếu xét hàm số u = u x ( ) thì trong dòng 1 các điểm kỳ dị còn có nghiệm của phương trình u x ( ) = 0 (là hoành độ giao điểm của u x ( ) với trục Ox )

 Nếu xét hàm số u = u x ( ) thì trong dòng 1 các điểm kỳ dị còn có số 0 (là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số u = u x ( ) với trục Oy )

Có thể dùng thêm các mũi tên để thể hiện chiều biến thiên của u = u x ( )

 Điểm kỳ dị của y = f x ( ) gồm: các điểm tại đó f x ( ) , f  ( ) x không xác định; các điểm cực trị của hàm số y = f x ( )

 Nếu xét hàm số g = f u x ( ( ) ) thì trong dòng 2 các điểm kỳ dị còn có nghiệm của phương trình f x ( ) = 0 (là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

 Nếu xét hàm số g = f u x ( ( ) ) thì trong dòng 2 các điểm kỳ dị còn có số 0 (là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f x ( ) với trục Oy).

Ghép trục trong bài toán không có tham số

Ví dụ 1: Cho hàm số bậc bốn f x ( )= ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx +e a b c d e ( , , , ,  )

, biết ( ) 1 1 f = −2 và đồ thị hàm số y = f ' ( ) x như hình vẽ

Hàm số g x ( ) = 2 f x ( ) − x 2 + 2 x đồng biến trên khoảng

Phân tích: Để tìm khoảng đồng biến của hàm số g x ta lập bảng biến thiên của ( ) hàm số h x ( ) = 2 f x ( ) − x 2 + 2 x Sau đó ghép bảng biến thiên của hàm số

( ) 2 ( ) 2 2 g x = f x −x + x vào cùng bảng biến thiên của hàm số h x ( )

Dựa vào đồ thị ta thấy, đồ thị hàm số y = f ' ( ) x và đường thẳng y = −x 1 cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ là x= −1;x =1;x=2

Bảng biến thiên của hàm số g x ( ) = h x ( )

Vậy hàm số g x ( ) = 2 f x ( ) − x 2 + 2 x đồng biến trên khoảng ( ) 1;2

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f x ( ) có đồ thị hàm số y = f ' ( ) x như hình vẽ dưới đây

Hàm số g x ( ) = f ( x + x 2 − 1 ) có bao nhiêu điểm cực đại ?

Nếu sử dụng phương pháp truyền thống để giải ta thấy việc giải phương trình

' 0 g x = rất khó khăn và có những trường hợp học sinh không thể giải được

Nhưng nếu sử dụng phương pháp ghép trục đã nêu ở trên thì bài toán trở nên đơn giản hơn nhiều

Vậy hàm số g x ( ) = f u x ( ( ) ) có 3 điểm cực đại và 4 điểm cực tiểu

Ví dụ 3: Cho hàm số y = f x ( ) có đồ thị được cho như hình vẽ bên dưới

Hỏi phương trình f x ( 3 − 3 x + − = 1 ) 2 1 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Cách 1 Cách làm thông thường

Dựa vào đồ thị hàm số f x ( ) , ta có

Dựa vào đồ thị hàm số y =x 3 −3x+1 (hình vẽ dưới đây)

Ta suy ra: phương trình ( ) ( ) ( ) 1 , 2 , 4 mỗi phương trình có 1nghiệm, phương trình

( ) 3 có 3 nghiệm phân biệt và các nghiệm này đều phân biệt

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt

Phương pháp ghép trục giúp làm bài toán trở nên đơn giản, dễ hiểu và dễ nhớ hơn so với cách làm thông thường Thay vì phải kết hợp nhiều kiến thức phức tạp, học sinh có thể dễ dàng nắm bắt bản chất bài toán, giảm thiểu nhầm lẫn trong quá trình tính toán Việc áp dụng phương pháp này giúp rút ngắn thời gian và nâng cao hiệu quả trong giải quyết các bài toán liên quan.

Cách 2 Phương pháp ghép trục

Ta có bảng biến thiên hàm số f x ( 3 − 3 x + 1 ) theo phương pháp ghép trục như sau:

Từ bảng biến thiên trên ta thấy phương trình f u ( ) = 1 có 5 nghiệm và phương trình f u ( ) = 3 có 1 nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm

Ví dụ 4 Cho hàm số y = f x ( ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ sau

Tìm số nghiệm của phương trình f ( sin x + cos x ) + = 2 0 trên đoạn  0;2  

Cách 1 Phương pháp truyền thống

Ta có ( sin cos ) 2 0 2 sin 2 f x+ x + =  f  x+4= −

Dựa vào đồ thị hàm số, ta có

Xét đồ thị hàm số sin y =  x +4

Ta thấy phương trình 1 sin x 4  2

  có 2 nghiệm trên  0;2  ; phương trình sin 3

  có 2 nghiệm trên  0;2   và các nghiệm là khác nhau

Vậy phương trình f ( sin x + cos x ) + = 2 0 có 4 nghiệm trên  0;2  

Trong bài toán này, thách thức lớn nhất cho học sinh là thiếu kiến thức về lượng giác lớp 11, đặc biệt là các phương trình như \( 2\sin^3 x = \frac{\pi}{4} \) trong khoảng từ 0 đến 1 Việc sử dụng phương pháp thông thường gặp khó khăn do yêu cầu nắm vững các công thức lượng giác cơ bản và vận dụng linh hoạt trong giải quyết các dạng phương trình phức tạp Do đó, để nâng cao hiệu quả giải bài tập lượng giác, học sinh cần tích cực ôn tập kiến thức cơ bản và rèn luyện kỹ năng phân tích bài toán một cách bài bản và chính xác hơn.

  gây khó khăn cho hầu hết học sinh

Phương pháp ghép trục đã giải quyết được khó khăn này

Cách 2 Phương pháp ghép trục

Ta có f ( sin x + cos x ) + =  2 0 f ( sin x + cos x ) = − 2 Đặt u=sinx+cosx =u cosx−sinx

Ta có bảng biến thiên hàm số f ( sin x + cos x ) theo phương pháp ghép trục như sau:

Từ bảng trên ta thấy phương trình f u ( ) = − 2 có 4 nghiệm x

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm

Ví dụ 5 Cho hàm số y = f x ( ) liên tục trên và bảng biến thiên như sau

Số nghiệm của phương trình f x ( − 2 x + = 1 ) 0

Cách 1 Phương pháp truyền thống Đặt t x ( ) = − x 2 x + 1 , x  − 1

Vẽ thêm đường thăng y =0 trong bảng biến thiên của y = f x ( ) như sau

Từ bảng biến thiên của t x ( ), ta suy ra

+ phương trình t x ( ) = b có hai nghiệm phân biệt

+ phương trình t x ( ) = c có một nghiệm khác với hai nghiệm trên

+ phương trình t x ( ) = d có một nghiệm khác với các nghiệm trên

Vậy phương trình đã cho có tất cả 4 nghiệm

Cách 2 Phương pháp ghép trục

Vậy phương trình đã cho có tất cả 4 nghiệm

Ví dụ 6 Cho hàm số bậc ba y = f x ( ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ sau

Tìm số nghiệm của phương trình 2 f 2 ( x 2 − − 1 ) 9 f x ( 2 − + 1 ) 10 = 0

Cách 1 Phương pháp truyền thống Đặt t = x 2 −1, t −1

Vậy phương trình có 4 nghiệm

Cách 2 Phương pháp ghép trục

Bảng biến thiên của hàm số y =2v 2 −9v+10

Ta có bảng ghép trục như sau

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt

Ví dụ 7: Cho hàm số y = f x ( )có đồ thị như hình vẽ

Số nghiệm thực của phương trình f ( 2 x 3 − 6 x + 2 ) = 2 là

Ta có bảng biến thiên hàm số f ( 2 x 3 − 6 x + 2 ) theo phương pháp ghép trục như sau:

Từ BBT ta thấy phương trình f ( 2 x 3 − 6 x + 2 ) = 2 có 9 nghiệm, phương trình

Vậy phương trình f ( 2 x 3 − 6 x + 2 ) = 2 có 14 nghiệm

Ví dụ 8: Cho hàm số y = f x ( ) có đạo hàm trên và có bảng biến thiên như sau

Số điểm cực đại của hàm số g x ( ) = f ( x 2 − 8 x + + 7 x 2 − 3 ) là

 Lời giải Xét hàm số y= x 2 −8x+ +7 x 2 −3

Tập xác định của hàm số là

  Đặt u= x 2 −8x+ +7 x 2 −3 Khi đó bảng biến thiên của hàm số y = f u ( ) là

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số y = f u ( ) cho có 7 điểm cực đại

Ví dụ 9: Cho hàm số f x ( ) có đồ thị như hình sau:

Số nghiệm thuộc đoạn  −   ;3  của phương trình ( cos ) 1 f x = 2 là

 Lời giải Đặt u = cos x  −  1;1  vì x  −    ;3 

Ta có bảng biến thiên hàm số f ( cos x ) theo phương pháp ghép trục như sau:

Từ bảng trên ta thấy phương trình ( cos ) 1 f x = 2 có 8 nghiệm trên  −   ;3 

Ví dụ 10: Cho hàm số liên tục trên có đồ thị y = f x( ) có bảng biến thiên như sau:

2 sin 0 cos cos ' 2.sin cos sin ; ' 0 1

 Ta có bảng biến thiên hàm số f ( cos 2 x − cos x ) theo phương pháp ghép trục như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy PT có 10 nghiệm.

Ghép trục trong bài toán có tham số

Trong các bài toán tìm tham số m để phương trình f(u, x) có k nghiệm, phương pháp truyền thống thường gây khó khăn cho học sinh trong quá trình giải quyết Tuy nhiên, việc áp dụng phương pháp ghép trục đã giúp giải quyết triệt để những khó khăn này, làm cho quá trình biện luận trở nên dễ dàng và rõ ràng hơn.

Ví dụ 1 Cho hàm số y = f x ( ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( 4 − x 2 ) = m có đúng 2 nghiệm phân biệt

Cách 1 Phương pháp truyền thống

Từ đồ thị, suy ra bảng biến thiên của hàm số y = f x ( )

Xét hàm số g x ( ) = f ( 4 − x 2 ) có tập xác định D = −  2;2 

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình g x ( ) = m có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 1

Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn bài toán

Cách 2 Phương pháp ghép trục

Ta có bảng biến thiên hàm số f ( 4 − x 2 ) theo phương pháp ghép trục như sau:

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình f t ( ) = m có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 1

Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f x( ) có đạo hàm liên tục trên , ( 2)f − =7 và có bảng biến thiên như hình dưới đây

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

( 2 1 2 ) f x − − =m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt?

Ta có bảng biến thiên hàm số f ( x 2 − − 1 2 ) theo phương pháp ghép trục như sau:

Từ bảng biến thiên để phương trình có đúng 6 nghiệm thực phân biệt khi 1−  m 7 Suy ra m0,1, 2,3, 4,5,6

Ví dụ 3: Cho hàm số y = f x ( ) có đồ thị như hình dưới Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình f ( 2 x 3 − 6 x + 2 ) = 2 m − 1 có 6 nghiệm phân biện thuộc đoạn  − 1;2  ?

Ta có bảng biến thiên hàm số f ( 2 x 3 − 6 x + 2 ) theo phương pháp ghép trục như sau:

Phương trình f ( 2 x 3 − 6 x + 2 ) = 2 m − 1 có 6 nghiệm phân biệt

Vậy có duy nhất 1 số nguyên m thoả mãn bài toán

Ví dụ 4 Cho hàm số bậc ba y = f x ( ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

Ta có bảng biến thiên hàm số f x ( 3 − 3 x ) theo phương pháp ghép trục như sau:

Từ giả thiết và đồ thị, ta có bảng biến thiên sau

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình 3 f x ( 3 − 3 x ) = m có 8 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 1 3 3 9

Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn

Ví dụ 5 Cho hàm số bậc bốn y = f x ( ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

( 3 1 ) log f x+ x− = mcó ít nhất năm nghiệm phân biệt ?

Ta có bảng biến thiên hàm số f ( x + 3 ( x − 1 ) ) theo phương pháp ghép trục như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy, phương trình đã cho có ít nhất năm nghiệm khi :

Vậy có 991 giá trị nguyên của m thỏa mãn

Ví dụ 6 Cho hàm số y = f x ( ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ

Tổng tất cả giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( 2 f ( cos x ) ) = m có nghiệm ; x 2  là

 Lời giải Đặt u=cos ; 'x u = −sin ;x u'=  =0 x k,k

Ta có bảng biến thiên hàm số f ( 2 f ( cos x ) ) theo phương pháp ghép trục như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy, phương trình đã cho có nghiệm khi −  2 m 2

Vì m    − − m  2; 1;0;1  Tổng các giá trị nguyên của m là 2−

Ví dụ 7 Cho hàm số y = f x ( ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

Ta có bảng biến thiên hàm số

  theo phương pháp ghép trục như sau:

Phương trình có 4 nghiệm khi 1 −    m 1 5 2 m 6

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán

Ví dụ 8 Cho hàm số y = f x ( ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

7f 5−2 1 3cos+ x =3m−10 có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc ;

 Lời giải Đặt u= −5 2 1 3cos+ x Ta có 3sin

Ta có bảng biến thiên hàm số f ( 5 − 2 1 3cos + x ) theo phương pháp ghép trục như sau:

Phương trình f ( 5 2 1 3cos − + x ) = 3 m 7 − 10 có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc

Vậy có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.

Bài tập củng cố

Câu 1 Cho hàm số y = f x ( ) Biết đồ thị hàm số y  = f  ( ) x có đồ thị như hình vẽ bên

Hàm số g x ( ) = f ( 2 x − 3 x 2 ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 2 Cho hàm số đa thức f x ( ) có đạo hàm trên Biết f ( ) 0 = 0 và đồ thị hàm số y = f  ( ) x như hình sau

Hàm số g x ( ) = 4 f x ( ) + x 2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 3 Cho hàm số y = f x ( ) xác định và liên tục trên có đồ thị như hình vẽ Hàm số g x ( ) = f x ( 2 − 2 x − 4 ) có bao nhiêu điểm cực tiểu?

Câu 4 Biết rằng hàm số f x ( ) có đồ thị được cho như hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị của hàm số y =  f  f x ( )  

Câu 5 Cho hàm số đa thức y = f x ( ) có đạo hàm trên , f ( ) 0  0 và đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm f  ( ) x Hỏi hàm số g x ( ) = f x ( ) + 3 x cóbao nhiêu cực trị?

Câu 6 Cho hàm số f x ( ) có đạo hàm liên tục trên , f ( ) − = 2 7 và có bảng biến thiên như sau

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số mđể phương trình f ( x 2 − − 1 2 ) = m có đúng 6nghiệm thực phân biệt?

Câu 7 Cho hàm số bậc bốn y = f x ( ) có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( x + 3 ( x − 1 ) ) = log m có ít nhất 5 nghiệm phân biệt

Câu 8 Cho hàm số y = f x ( ) có bảng biến thiên như sau

Số điểm cực trị của hàm số g x ( ) = h f x ( ( ) ) với h t ( ) = − − t 2 2 t 8 là

Câu 9 Cho hàm số ( )f x có bảng biến thiên như sau:

  của phương trình sin cos

Câu 10 Cho hàm số f x ( ) có bẳng biến thiên như hình vẽ

  của phương trình f ( 2sin x + = 1 ) 1 là

Câu 11 Cho hàm số y = f x ( ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ Phương trình f ( f x ( ) − = 1 ) 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Câu 12 Cho hàm số y = f x( ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên

  của phương trình ( (cos ))f f x =0 là

Câu 13 Cho hàm số y = f x ( ) có đồ thị nhưu hình vẽ bên Tìm số nghiệm thuộc đoạn  2017 ;2020    của phương trình 3 f ( 2cos x ) = 8

Câu 14 Cho hàm số y = f x ( ) có đồ thị hàm số y = f  ( ) x như hình vẽ

Hàm số y = f ( 3 − x ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 15 Cho hàm số y = f x ( ) xác định và liên tục trên , có đồ thị f  ( ) x như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m  −  10;10  để hàm số

Câu 16 Cho hàm số y = f x ( ) có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị hàm số

Hỏi hàm số ( 2 1 ) 2 3 1 y= f x − + 3x + đồng biến trên khoảng nào?

Câu 17 Cho hàm số y = f x ( ) liên tục trên và có bảng biến thiên như sau

  của phương trình 5 f ( cos 2 x − cos x ) = 1 là

Câu 18 Cho hàm số y = f x ( ) thỏa mãn f ( ) 0  0 Đồ thị hàm số y = f  ( ) x cho bởi hình vẽ dưới đây

Hàm số g x ( ) = f ( ) x + 3 x có bao nhiêu điểm cực tiểu?

Câu 19 Cho hàm số f x ( ) bậc bốn có đồ thị như hình vẽ

Tìm số điểm cực trị của hàm số g x ( ) , biết g x  ( ) = x 2   f x ( 2 − 1 )   3

Câu 20 Cho hàm số y = f x ( ) = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ

Hàm số y = f 3 ( x + 2 ) − 3 f x ( + 2 ) có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 21 Cho hàm số y = f x ( ) liên tục trên và có bảng biến thiên như sau

Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình

2 cos 20 cos 21 0 f x + m− f x + −m = có đúng 6 nghiệm thuộc  0;2   là

Câu 22 Cho Cho hàm số f x ( ) = ax 4 + bx 2 + c , a  0 và có đồ thị như sau

Tính tổng các giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( 2 f ( sin x ) − 3 ) = m có nghiệm 0; x  2

Câu 23 Cho hàm số y = f x ( ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ

Tổng tất cả giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( 2 f ( cos x ) ) = m có nghiệm ; x 2 

Câu 2 Cho hàm số y = f x ( ) có đồ thị như hình vẽ bên Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình f ( 2 x 3 − 6 x + 2 ) = 2 m − 1 có 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn  − 1;2 

Hiệu quả do sáng kiến đem lại

III.1 Hiệu quả kinh tế (Giá trị làm lợi tính thành tiền):

Sáng kiến trình bày phương pháp chung để giải các bài toán hàm hợp bằng phương pháp ghép trục, giúp học sinh nắm vững kỹ năng và phát huy khả năng tự học, tự rèn luyện Đây là tài liệu hữu ích hỗ trợ học sinh tự học, tự rèn luyện mà không cần tốn kém nhiều công sức hay chi phí.

III.2 Hiệu quả về mặt xã hội (Giá trị làm lợi không tính thành tiền(nếu có):

Nghiên cứu khoa học giáo dục đòi hỏi thời gian, sự chọn lọc và rút kinh nghiệm lâu dài để đạt hiệu quả cao Việc phân tích lý luận và thực tiễn giảng dạy dựa trên vai trò, vị trí của bộ môn và đối tượng học sinh giúp đề xuất phương pháp giải quyết các chủ đề phức tạp một cách hiệu quả Việc sử dụng phương pháp này đã chứng minh khả năng nâng cao kết quả học tập, phát huy khả năng tự học và tự nghiên cứu của học sinh trong chương trình giáo dục mới Áp dụng sáng kiến này trong giảng dạy đã làm tăng hứng thú học tập của học sinh đối với chủ đề hàm số, góp phần nâng cao kết quả giáo dục toàn diện.

Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền

Đây là sáng kiến kinh nghiệm cá nhân tôi, đã được đúc kết từ quá trình giảng dạy thực tế nhiều năm Tôi xin chia sẻ phương pháp này cùng các đồng nghiệp trong nhóm bộ môn tại trường THPT Vũ Văn Hiếu để nâng cao hiệu quả giảng dạy và mang lại kết quả tốt nhất cho học sinh.

Tôi cam đoan rằng sáng kiến này được tôi tự nghiên cứu và xây dựng dựa trên việc tham khảo các đề thi chọn học sinh giỏi, đề thi tốt nghiệp THPT, cũng như các đề thi thử của các trường THPT trên toàn quốc Những kiến thức này đã được tôi tổng hợp thành chuyên đề giảng dạy phù hợp cho học sinh lớp tôi phụ trách, nhằm nâng cao hiệu quả học tập và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.

Tôi xin cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền

Tôi xin trân trọng cảm ơn!