đề thi THPT QG 2020 môn toán học đề 15 có lời giải chi tiết

Một mặt cầu có đường kính bằng a có diện tích S bằng bao nhiêu?. Thể tích khối tứ diện ABCD bằng.?. Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng.. Cắt một khối trụ bởi một

Trang 1

ĐỀ SỐ 15



ĐỀ THI THỬ THPT QG NĂM HỌC 2020

Môn: Toán Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ Giá trị cực đại của hàm số bằng:

Câu 2 Cho số dương a và , �� m n .Mệnh đề nào sau đây đúng?

A a a m n a m n B m n  m n

a a a C a a m n a m n D a a m n a mn

Câu 3 Một mặt cầu có đường kính bằng a có diện tích S bằng bao nhiêu?

A

2

4

3

 a

2 3

 a

Câu 4 Cho số phức z 2 5 i Điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng Oxy có tọa độ là:

Câu 5 Trong không gian Oxyz cho hai điểm A2;3;4  và B3;0;1  Khi đó độ dài véctơ uuur

AB là.

Câu 6 Với giá trị nào của x thì biểu thức B log 22x xác định?1

2

x �� �� ��

� � B x� 1; � C \ 1

2

� � �

�

2

x ��� ��

Câu 7 Cho khối nón có bán kính đáy là r, chiều cao h Thể tích V của khối nón đó là:

A V r h2 B 1 2

3

V  r h

Câu 8 Tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 2

1

x y

x







Trang 2

Câu 9 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ Hàm số đã cho đồng biến trên

khoảng nào dưới đây?

A 1;0  B 1;1 

C  �1;  D  0;1

Câu 10 Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là.

A 7!

3 7

7

C

Câu 11 Tập xác định D của hàm số y (x 1)13 là.

A D   �; 1  B D � C D�\ 1 D  �1; 

Câu 12 Hình bát diện đều có bao nhiêu đỉnh?

Câu 13 Đạo hàm của hàm số 2

)

5 3 (

y ln  x là:

A 26

2

5 3

x x

6

x

6

x

x 



Câu 14 Cho số phức z 5 4 i Số phức đối của z có tọa độ điểm biểu diễn là.

A  5; 4 B  5; 4 C 5;4 D 5; 4 

Câu 15 Cho2   2  

f x dx và g x dx

1

f x g x dx

Câu 16 Họ nguyên hàm của hàm số f x  x2 là3

A

3

x

x C

3

2

x

x C

  D x2 3 C

Câu 17 Cho S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Biết SAABCD và SA a  Tính thể tích

của khối chóp S.ABCD.

A

3

a

2 3 2

a

3 6

a

Câu 18 Họ nguyên hàm của hàm số f x  5 1 4

x



 là

A 1 ln 5 4

ln 5 x  C B ln 5x 4 C C 1ln 5

5 x 4 C D 1ln 5

5 x 4 C

Câu 19 Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc, AB4 cm AC, 5 cm AD, 3 cm Thể

tích khối tứ diện ABCD bằng.

Câu 20 Số nghiệm của phương trình 2 2 7 5

2 x x  là:1

Trang 3

A 1 B 0 C 3 D 2

Câu 21 Cho hàm số y f x x , �2;3 có đồ thị như hình

vẽ Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

hàm số f x trên đoạn   2;3  Giá trị của S M m là:

Câu 22 Tập xác định của hàm số y2sinx là

Câu 23 Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

Câu 24 Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có

cạnh bằng a Tính diện tích xung quanh S của khối trụ đó.

2 2

a

S  a

Câu 25 Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số 3

y x   là điểm:x

A M 1;3 B N1;7  C Q 3;1 D P7; 1 

Câu 26 Kết quả tính 2�xln(x1)dx bằng:

A  2    2

2

x  x x  x C

ln

2

1 x

ln 1

2

x

Câu 27 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4 xm.2x  có hai nghiệm 1 0 x x1; 2 thỏa x1 x2 1:

Câu 28 Phương trình cos 2x2cosx 3 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng 0; 2019 ?

Câu 29 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P x: 2y2z   Phương trình mặt phẳng (Q)10 0

song song với (P) và khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 7

3 là:

A x2y2z 3 0; x2y2z  17 0

Trang 4

B x2y2z 3 0; x2y2z17 0.

C x2y2z 3 0; x2y2z  17 0

D x2y2z 3 0; x2y2z17 0.

Câu 30 Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên � là      4

f x�  x x x Hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 31 Biết

3

0

ln 2 ln 3, 3

� trong đó a, b, c là các số nguyên Tính T   a b c

Câu 32 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O và  , 6,

3

a

SO ABCD SO BC SB a  Số

đo góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) là:

Câu 33 Gọi z z là các nghiệm của phương trình 1; 2 2

2 3 0

z  z  Mô-đun của 3 4

1 2

z z bằng:

Câu 34 Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 3 x

x me có 2 nghiệm phân biệt?

Câu 35 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P x y z:     và đường thẳng3 0

 Đường thẳng d' đối xứng với d qua mặt phẳng (P) có phương trình là:

x  y  z

x  y  z



x  y  z

x  y  z

Câu 36 Cho tập A0;1;2;3; 4;5;6  Xác suất để lập được số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ

các phần tử của tập A sao cho số đó chia hết cho 5 và các chữ số 1, 2, 3 luôn có mặt cạnh bằng nhau là:

A 1

11

1 45

Câu 37 Cho hình thang ABCD có

� �

A B  �AB BC a AD   a Tính thể tích khối nón tròn xoay

sinh ra khi quay quanh hình thang ABCD xung quanh trục CD

A

3

7

12

a

12

a



Trang 5

C

3

7 2

6

a

7 6

a



Câu 38 Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên �, hàm số

 

y f x� có đồ thị như hình vẽ Số điểm cực trị của hàm số

1 

y f  là: x

Câu 39 Ông A có 200 triệu đồng gửi tiết kiệm tại ngân hàng với kì hạn 1 tháng so với lãi suất 0,6% /1

tháng được trả vào cuối kì Sau mỗi kì hạn ông đến tất toán cả gổc lẫn lãi, rút ra 4 triệu đồng để tiêu dùng,

số tiền còn lại ông gửi vào ngân hàng theo phương thức trên (phương thức giao dịch và lãi suất không thay đổi trong suốt quá trình gửi) Sau đúng 1 năm (đúng 12 kì hạn) kể từ ngày gửi, ông A tất toán và rút

ra toàn bộ số tiền nói trên ở ngân hàng, số tiền đó là bao nhiêu? (làm tròn đến nghìn đồng)

A 169234 (nghìn đồng) B 165288 (nghìn đồng).

C 168269 (nghìn đồng) D 165269 (nghìn đồng).

Câu 40 Cho hàm số y f x  liên tục trên đoạn [1; 3], thỏa mãn f 4 x f x , �x  1;3 và

 

3

1

2

xf x dx 

1

2 f x dx� bằng:

Câu 41 Cho f x mà đồ thị hàm số   y f x�  như hình bên đây

Hàm số y f x   1 x2 2x đồng biến trên khoảng?

A  1; 2 B 1;0

C  0;1 D   2; 1

Câu 42 Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng 1 Gọi E, F lần lượt là trung điểm của

AA' và BB'; đường thẳng CE cắt đường thẳng C'A' tại E', đường thẳng CF cắt đường thẳng C'B' tại F' Thể

tích khối đa diện EFA'B’E'F' bằng:

A 3

3

3 6

Trang 6

Câu 43 Cho một bảng ô vuông 3 3� Điền ngẫu nhiên các số 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 vào bảng trên (mỗi ô chỉ điền một số) Gọi A là biến cố: “mồi hàng, mỗi cột bất kì đều có ít nhất một số lẻ” Xác suất của biến

cố A bằng:

A   5

7

3

56

21

Câu 44 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a 3, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Thể tích của khối chóp S.ABCD là:

A 9 3 3

2

a

C 3 3 3

2

a

Câu 45 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cos 2x(2m1 cos) x m   có1 0

nghiệm trên khoảng ;3 ?

2 2

 

A 1�m0 B   1 m 0 C  � �1 m 0 D 1 1

2

m

 � 

Câu 46 Có 4 hành khách bước lên một đoàn tàu gồm 4 toa Mỗi hành khách độc lập với nhau và chọn

ngẫu nhiên một toa Tính xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai

A 1

3

13

3 16

Câu 47 Giá trị của 3 2

2 0

1 1 lim

x

�

   bằng.

Câu 48 Cho hàm số f x  x3(2m1)x2(2m x)  Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số2

 

y f x có 5 cực trị:

4 m

4

m

4� �m

Câu 49 Để giá trị lớn nhất của hàm số y 2x x 3 3m đạt giá trị nhỏ nhất thỏa mãn:4

Trang 7

A 3.

2

3

m

Câu 50 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, 17,

2

a

SD hình chiếu vuông góc

H của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của đoạn AB Gọi K là trung điểm của đoạn AD (tham khảo

hình vẽ) Khoảng cách giữa hai đuờng HK và SD theo a là :

A 3

5

45

15

25

a

Trang 8

Đáp án

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án A

Dựa vào đồ thị ta có: y CD   khi 1 x CD 0

Câu 2: Đáp án C

Sử dụng công thức:a a m n  a m n

Mệnh đề đúng: a a m n a m n

Sử dụng công thức tính diện tích mặt cầu bán kính r là 2

4

S  r

Câu 4: Đáp án B

Số phức z a bi a b  ,( �� có điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng Oxy là (a;b) Điểm biểu diễn số)

phức z trong mặt phẳng Oxy có tọa độ là:  2;5

Câu 5: Đáp án A

  2    2 2

Câu 6: Đáp án D

Để biểu thức Blog 22( x xác định thì 1) 2 1 0 1

2

x  � x

Thể tích khối nón có bán kính đáy R và chiều cao h: 1 2

3

V  R h

Sử dụng: đồ thị hàm số y ax b

cx d





 nhận đường thẳng

a y c

 làm đường tiệm cận ngang và đường thẳng

d

x

c

  làm đường tiệm cận đứng

Ta có: lim 2 2 2 2

1

x

y x



� �

   �  

 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Hàm số đồng biến trên 1;0 và 1;�

Hàm số nghịch biến trên  �; 1  và 0;1

Trang 9

Số tập con gồm k phần tử của tập hợp gồm n phân tử là: k

n

C tập hợp.

Số tập con gồm 3 phần tử của tập hợp gồm 7 phân tử là: 3

7

C tập hợp.

Hàm số y (x 1)13 xác định khi x 1 0� x 1.

Nhìn hình vẽ

Hình bát diện đều có 6 đỉnh

Sử dụng công thức tính đạo hàm lnu u

u

�

�

 2

2 2

x



�

Số phức đối của z là z  5 4 i

       

f x dx và g x dx � ��f x g x dx�� 

3

x

x  dx  xC

�

Ta có:

3 2

a

Ta có:

5l

1 5

dx



�

Thể tích của tứ diện có các cạnh đôi một vuông góc và các cạnh

đó có độ dài lần lượt là a, b, c là 1

6

V  abc

Tứ diện ABCD có AB , AC, AD đôi một vuông góc

 Thể tích khối tứ diện ABCD là:

 3

Trang 10

Ta có: 2 2 7 5 2

1

2

x x

x

�

� 

� Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là: 1; 5

2

x x

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy trong 2;3thì    

   

�

3 2 1

S M m   

�

Hàm số ysinx xác định trên �

Hàm số y2sinx xác định trên � nên tập xác định D �

Sử dụng lý thuyết khối đa diện

Hình lăng trụ tam giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng như hình vẽ bên dưới, trong đó:

• 3 mặt phẳng tạo bởi 1 cạnh bên và trung điểm của các cạnh đối diện

• 1 mặt phẳng tạo bởi trung điểm của 3 cạnh bên

Vì đường kính mặt cầu bằng a nên bán kính mặt cầu là

2

a

r

Diện tích mặt cầu là

2 2

2

a

S  � �� a

� �

Ta có y' 3 x2 3

1

x

y

x



�

� � � � Suy ra hàm số đạt giá trị cực đại tại x1,x 1

6

y� x

Ta có y� 1 6.1 6 0   và y 1  13 3.1 5 3 

Do đó điểm cực tiểu của đồ thị là M 1;3

Trang 11

Sử dụng công thức từng phần:

a

udv uv  vdu

     2 2   2    

2 lnx x1 dx ln x1 d x x ln x 1 �x d ln x1

   

1

x



     

Đặt 2x

t  ta có 2

1 0

t mt  có nghiệm khi: 2

0

m



�

� ��

�

Vậy m�2

Giải phương trình lượng giác tìm nghiệm x  k sau đó cho nghiệm đó thuộc (0;2019) tìm số các giá trị k�� rồi suy ra số nghiệm của phương trinh đã cho

2 cos 2x2cosx 3 0�2cos x2cosx 4 0

   

cos 1

2

x

�



 

Phương trình có nghiệm thuộc 0; 2019

 

1; 2; ;321

k



� �

 

     

3 10

17

c c

c

 

 Q x: 2y2z  hoặc 3 0  Q x: 2y2z 17 0

Câu 30: Đáp án

Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x  là số nghiệm bội lẻ của phương trình f x�  0

Ta có:        4

3 1

2 5

x



�

�  

�

Trang 12

Trong đó 3, 1

2

x x  là các nghiệm bội lẻ và x 5 là nghiệm bội chẵn nên hàm số có hai điểm cực trị

x t�x t  �dx tdt

Đổi cận: x0�t1;x3�t2

1 2

4 2

t x







2

t

12ln 2 6ln 3 12ln 2 6ln 3

Gọi M là trung điểm của SC Chứng minh

   

 SBC ; SCD BM DM; 

Tính các cạnh BM, DM ,BD và sử dụng định lí cosin trong tam giác BDM.

Gọi M là trung điểm của SC

Tam giác SBC cân tại B �BM SC

Xét tam giác SBD có SO là trung tuyến đồng thời là đường cao

SBC

� cân tại S�SB SD a 

   � cân tại D �DM SC.

Ta có:

   

 

     ;    ; 



�

Xét hình chóp B.SAC ta có BC BS BA a  �Hình chiếu của B lên (SAC) trùng với tâm đường tròn

ngoại tiếp SAC

 



�



 SAC vuông cân tại S

2

Xét tam giác vuông OAB có:

Trang 13

3

2 3

Xét tam giác vuông BCM có:

2

Áp dụng định lí cos trong tam giác BDM ta có:

2

3

a

BM DM



Vậy �((SBC);(SCD)) 90 o

�

3 4

�

Hàm số y f x  đồng biến trên  a b; ۳ �f x�  0 x  a b; và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

Ta có: y� 2f�1 2 x

Với x1�y� 1  2f�  1 0� Loại đáp án B, C, D

  1;1;1 

I  �d P �I Tìm A�?

2

x t



�

�  

� uuur uur

Suy ra H t t ; 1;t2 

Mà   2; 1 8;

3 3 3

Ta có: 4 1 10; ; 1; 2 7; : 1 1 1

A�� IA���  ��d�     



uur

Lập số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau từ tập A0;1;2;3; 4;5;6 

  5 4

7 6 2160

n  A A 

�

Gọi A là biến cố: “Số lập được chia hết cho 5 và các chữ số 1, 2, 3 luôn có mặt cạnh nhau”

Trang 14

Giả sử số có 5 chữ số cần tìm là abcde a �0

Do số cần tìm chia hết cho 5 nên e� 0;5

TH1: e0

Buộc 3 số 1,2, 3, coi là 1 phần tử Sắp xếp 3 số này trong buộc có 3! = 6 cách

Chọn vị trí cho buộc (123) có 2 cách chọn

Số cách chọn 1 số còn lại (khác 0, 1,2, 3) là 3 cách

1.6.2.3 36

TH2: e5

Buộc 3 số 1, 2, 3 coi là 1 phần tử Sắp xếp 3 số này trong buộc có 3! = 6 cách

Nếu buộc (123) đứng ở vị trí (abc), khi đó có 3 cách chọn d d �0; 4;6  

Nếu buộc (123) đứng ở vị trí (bcd), khi đó có 2 cách chọn a a � 4;6 

 

Có1.6 3 2 30

�

  36 30 66

�

Vậy P A  n A    216066 36011

n



Gọi A', B' lần lượt các điểm đối xứng A, B qua CD H là trung điểm của BB’, ta dễ dàng chứng minh được

C là trung điểm của AA�

Gọi V1 là thể tích khối nón có chiều cao CD, bán kính đáy AC

V2 là thể tích khối nón cụt có chiều cao CH, bán kính đáy nhỏ BH, bán kính đáy lớn AC

V3 là thể tích khối nón có chiều cao CH , bán kính đáy BH

Kẻ CK AD suy ra ABCK là hình vuông �CK KD a

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông CKD ta có:

CD CK KD  a a a

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC ta có:

AC AB BC  a a a

Tam giác vuông CKD vuông cân tại K:

KDC ��BCH  ��BCH vuông cân tại H

�

2 1

a

�

Trang 15

  2 2

2

3

Vậy thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang ABCD quanh trục CD là:

1 2 3

Giải phương trình  f u �    để tìm số cực trị của hàm số 0 f u 

Hoặc lập luận để có số điểm cực trị của hàm số y f 1 bằng với số điểm cực trị của hàm sốx

 

y f x

Từ hình vẽ ta thấy đồ thị f x � cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt hay    

2

x

 

�

 � �

�

�

nhưng chỉ có

2 nghiệm x0,x2 là f x�  đổi dấu từ dương sang âm hoặc từ âm sang dương, như vậy hàm số f x 

có hai điểm cực trị

Nhận thấy      

nhưng chỉ có hai nghiệm

 

x x  là f x� đổi dấu, như vậy hàm số f x chỉ có hai điểm cực trị. 

Sau tháng thứ nhất, số tiền còn lại là A1200 1  r 4

Sau tháng thứ hai số tiền còn lại là:

   2  

A A  r   r    r

…

Sau 12 tháng số tiền còn lại là

 12     11

12 200 1 4 1 1 1

 12 1 12  12  12

1

r r

 



165, 269

 triệu đồng)

Trang 16

Sử dụng tính chất 3   3  

2

I �xf x dx�tf t dt  

Áp dụng phương pháp đổi biến, đặt t 4 x

Sử dụng công thức b   b   b    

f x dx g x dx ��f x g x dx��

Ta có: 3   3  

2

I �xf x dx�tf t dt  

Đặt t  4 x�dt dx

 � 

�

�  � 

�

       

I   x f x dx x f x dx 

     

2I  xf x dx 4x f x dx 4

       



Hàm số y f x  đồng biến trên  a;b ۳ �f� x 0, x  a;b và bằng 0 tại hữu hạn điểm

Ta có: y� � f x  1 2x 2 0� f x�  1 2 x 1 0

Đặt t  x 1 ta có y� � f t  2t 0� f t�    2t 0

Vẽ đồ thị hàm số y f t và y�    trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:2t

Xét y��۳ �0 f t�  2t Đồ thị hàm số y f t� nằm trên đường

thẳng y 2 t

Xét x� 1; 2 � �t  0;1 � thỏa mãn

Xét x�1;0� �t  2; 1� không thỏa mãn

Xét x� 0;1 � �t 1;0 � không thỏa mãn

Xét x� 2; 1� �t  3; 2� không thỏa mãn

Gọi V1,V2,V3,V4 lần lượt là thể tích các khối

ABC A B C C ABEF C C E F CC EFA B��

V là thể tích khối đa diện EFA'B'E'F'.

Ta có:

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	1,88 MB