skkn TÍCH HỢP BÀI TOÁN THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC TOÁN HỌC thpt

MỞ ĐẦU Trong giảng dạy môn toán, ngoài việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản Toán học, phát huy tư duy, tích cực, sáng tạo, biết lựa chọn các phương pháp toán học để giải quyết cá

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG TRỊ

TRƯỜNG THPT LÊ LỢI

****

SÁNG KIẾN

TÍCH HỢP BÀI TOÁN THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC TOÁN HỌC

Lĩnh vực/ Môn: Toán học Tên tác giả: Lê Thị Kiều Ngân

GV môn: Toán Đơn vị công tác: Trường THPT Lê Lợi

ĐÔNG HÀ, THÁNG 2/2022

MỤC LỤC

Trang

I MỞ ĐẦU 2

II NỘI DUNG 2

1 Thực trạng của vấn đề 2

2 Mô tả, phân tích giải pháp: 2

2.1.Giải một bài toán liên quan thực tiễn như thế nào 2

2.1.1 Các thành phần của bài toán có liên quan đến thực tiễn 2

2.1.2 Các bước giải bài toán có liên quan đến thực tiễn 3

2.1.3 Một số ví dụ minh họa 3

2.2 Xây dựng bài toán có liên quan đến thực tiễn 7

2.2.1 Các bước xây dựng bài toán có liên quan đến thực tiễn 7

2.2.2 Một số kỹ thuật xây dựng bài toán 7

2.2.3 Một số minh họa 7

2.2.3.1 Xây dựng bài toán có liên quan đến hình học không gian 7

2.2.3.2 Xây dựng bài toán có liên quan đến kiến thức phương trình, bất phương trình 9

2.2.3.3 Xây dựng bài toán có liên quan đến mũ, logarit 10

2.2.3.4 Xây dựng bài toán có liên quan với kiến thức đạo hàm và ứng dụng 11

2.2.3.5 Xây dựng bài toán có liên quan đến kiến thức tích phân 12

3 Biện pháp thực hiện: 12

4 Kết quả và bài học kinh nghiệm: 13

III KẾT LUẬN 15

TÀI LIỆU THAM KHẢO 16

I MỞ ĐẦU

Trong giảng dạy môn toán, ngoài việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức

cơ bản Toán học, phát huy tư duy, tích cực, sáng tạo, biết lựa chọn các phương pháp toán học để giải quyết các bài toán là điều rất cần thiết Bên cạnh việc giải quyết các bài toán thuần túy toán học thì có các bài toán có chứa nội dung thực tiễn, các bài toán liên quan với thực tiễn luôn làm cho học sinh hào hứng,thích thú, đặc biệt các bài toán có nội dung thực tiễn gần gũi với cuộc sống xung quanh các em

Việc tiếp cận bài toán và giải quyết các bài toán này rất có ý nghĩa, trong bối cảnh đã xây dựng chương trình học mới phát huy tính tích cực trong việc ứng dụng Toán học vào thực tiễn chiếm phần trọng tâm không nhỏ và tiến tới phát hành sách giáo khoa mới

Vấn đề tích hợp các bài toán thực tiễn vào dạy học toán học rất đa dạng và phong phú Cả về lý luận và thực tiễn dạy học đều chứng tỏ chúng có hiệu quả

trong việc phát triển tư duy, giải quyết và ứng dụng Với mong muốn có một tài

liệu bổ ích cho dạy học nên tôi xin trình bày đề tài sáng kiến kinh nghiệm:

“ Tích hợp bài toán thực tiễn trong dạy học Toán học”

II NỘI DUNG

1 Thực trạng của vấn đề

Toán học là một trong nh ng m n hoa học cơ bản mang tính tr u tượng,

nh ng m hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của

đ i sống xã hội, trong hoa học lý thuyết và hoa học ứng dụng Tuy nhiên, nó

là một môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh Chính vì vậy, đối với mỗi giáo viên dạy toán cần tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của sách giáo khoa, nắm v ng phương pháp dạy học,

để t đó tìm ra nh ng biện pháp dạy học hiệu quả

Trong nh ng năm dạy học tại trư ng THPT Lê Lợi, tôi thấy gặp các bài toán thực tiễn các em còn lúng túng việc xác định thông tin số liệu đầu vào, yếu

tố cần giải quyết, mô hình hóa thành bài toán thuần túy và lựa chọn phương pháp toán học để tìm ra kết quả Rất nhiều học sinh không biết xử lý t đâu và

bỏ qua các bài toán này khi học và hi đi thi, đặc biệt các bài kiểm tra định kì, Tốt nghiệp THPT Quốc Gia

Với thực trạng trên,trên cơ sở chương trình giáo dục môn toán THPT

hiện hành, nh ng kinh nghiệm giảng dạy, trình độ học tập của học sinh, tôi

đã hệ thống các bài toán , phân dạng, phát triển và chuyển giao đã mang

lại hiệu quả trong dạy học tại các lớp t i đang giảng dạy

2 Mô tả, phân tích giải pháp:

2.1.Phương pháp phân tích bài toán liên quan thực tiễn:

2.1.1 Các thành phần của bài toán có liên quan đến thực tiễn

Bài toán có nội dung thực tiễn là bài toán chứa các tình huống thực tiễn, các giả thiết hoặc d kiện của bài toán có liên quan đến thực tiễn cuộc sống Vì vậy, trong giảng dạy, bên cạnh việc sưu tầm nh ng bài toán có nội dung thực tiễn là điều rất cần thiết Điều này làm phong phú các bài toán cho học sinh và đạt được mục tiêu, phương pháp dạy học sử dụng “thế giới thực” làm trung tâm

Về cấu trúc có thể xem bài toán có liên quan đến thực tiễn được cấu thành bởi: bài toán thuần túy và một số yếu tố liên quan đến thực tiễn như d liệu, ngôn ng tự nhiên… Việc giải bài tập có liên quan đến thực tiễn chính là việc tách các yếu tố liên quan đến thực tiễn để xác định thực chất của bài toán và việc tạo bài tập chứa tình huống liên quan đến thực tiễn chính là thêm các yếu tố thực tiễn, gắn cho các biến của bài toán thuần túy tương ứng với các đại lượng trong thực tiễn

2.1.2 Các bước giải bài toán có liên quan đến thực tiễn

Quá trình trên có thể tóm lược 5 bước chính để giải quyết bài toán có liên quan đến thực tiễn đó là:

Bước 1: Đọc hiểu nội dung bài toán thực tiễn

Bước 2: Toán học hóa bài toán thực tiễn đã cho

Bước 3: Tìm kiếm chiến lược giải quyết mô hình toán học

Bước 4: Thực hiện các phương pháp toán học hợp lý để giải quyết bài toán Bước 5: Chuyển kết quả giải quyết mô hình toán học sang l i giải của bài

toán có nội dung thực tiễn

2.1.3 Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Một t đang chuyển động đều với vận tốc a m s( / ) thì ngư i lái

xe đạp phanh T th i điểm đó, t chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số v   2t a (m/s), trong đó t là th i gian tính bằng giây kể t lúc đạp phanh Hỏi vận tốc ban đầu của ô tô là bao nhiêu, biết t lúc đạp phanh cho đến khi d ng hẳn ô tô di chuyển được 64 mét

Bước 1 Hiểu được bài toán, thu nhận được thông tin t bài toán có liên

quan đến thực tiễn

H: Giả thiết của bài toán là gì?

- Biết vận tốc của ô tô theo hàm số v  2t a

- Biết quãng đư ng t đi được t lúc đạp phanh đến khi d ng hẳn là 40m

H: Bài toán yêu cầu tìm cái gì?( Tìm vận tốc ban đầu a)

Bước 2 Chuyển đổi thông tin t tình huống TT về mô hình TH

H: Khi biết vận tốc của ô tô theo hàm số y  2t a thì làm thế nào để tính được quãng đường từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn?

Gợi ý: Khi xét trên khoảng th i gian t rất nhỏ thì quãng đư ng được xác

định như thế nào?

Quãng đư ng cần tính có quan hệ gì với các quãng đư ng khi xét trên các

khoảng th i gian t rất nhỏ nêu trên?

Có thể sử dụng các công thức toán học gì để tính tổng các quãng đư ng trên

các khoảng th i gian t rất nhỏ?

Trong Vật lý chúng ta biết rằng, đối với mỗi chuyển động thẳng, xét trên

một khoảng th i gian t rất nhỏ thì chuyển động đó có thể xem như là chuyển động đều, hi đó quãng đư ng vật di chuyển được xác định bởi công thức

   Nếu chia th i gian t lúc đạp phanh đến khi d ng hẳn thành các

khoảng th i gian rất nhỏ t thì quãng đư ng di chuyển trong khoảng th i gian

t lúc đạp phanh đến khi d ng hẳn chính là tổng các quãng đư ng mà xe di chuyển trên khoảng th i gian rất nhỏ t đó Hơn n a, với việc hiểu ý nghĩa của

tích phân thì quãng đư ng cần tính là tích phân của hàm vận tốc theo th i gian, với th i gian được xét t lúc đạp phanh đến khi d ng hẳn

H: Làm thế nào để xác định được cận của tích phân?

Gợi ý: Khi ô tô d ng hẳn thì đại lượng nào bằng 0?(vận tốc)

Xác định th i gian lúc xe d ng hẳn theo a?(Khi xe d ng hẳn vận tốc bằng

0) nên: 2 0

2

a

H: Tính quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi dừng hẳn theo a

Khi học về ứng dụng Vật lý của đạo hàm HS đã biết được mối liên hệ '( ) ( )

S t v t và tính chất của nguyên hàm S t dt'( ) S t( )C T hai kiến thức này HS có thể xác định được

2

1

4

S v t dt   t a dt a Khi đó, bài toán

được chuyển về mô hình toán học là: Tìm a để

2 64 4

Bước 3 Tìm kiếm định hướng để giải quyết mô hình toán học

H: Giải phương trình

2 64 4

Bước 4 Thực hiện các phương pháp giải hợp lý để tìm ra kết quả

64

16 4

a a

a









Bước 5 Chuyển t kết quả được giải quyết trong mô hình toán học sang l i

giải của bài toán có nội dung thực tiễn (Do a là số dương nên a16 Vậy vận tốc ban đầu của ô tô là 16m s ) /

Ví dụ 2 Một khu du lịch có sẵn đư ng cáp treo dài 2km nối thẳng t điểm

du lịch A đến điểm du lịch B Khu du lịch ấy mới xây thêm điểm du lịch C cách đư ng cáp treo AB một đoạn AC1km sao cho ba điểm du lịch tạo thành

tam giác vuông tại A Đặt thêm trạm cáp treo tại điểm M trên trạm cáp treo có sẵn AB Biết rằng vận tốc trên đư ng cáp treo AB là 5 km h và vận tốc trên /

đư ng cáp treo CM là 3km h/ Hỏi trạm cáp treo tại điểm M cách A bao nhiêu

m để du hách đi t B đến C nhanh nhất?

C

2km 1km

Bước 1 Hiểu vấn đề cần giải quyết, thu nhận được thông tin t tình huống

thực tế

H: Giả thiết của bài toán là gì?

- Khoảng cách điểm du lịch A đến điểm du lịch B là 2(km)

- Khoảng cách điểm du lịch A đến điểm du lịch C là 1(km)

- Vận tốc trên đư ng cáp treo AB là 5(km h/ ) và vận tốc trên đư ng cáp

treo CM là 3(km h/ )

H: Bài toán yêu cầu tìm cái gì? Tính độ dài AM để th i gian đi t B đến C

là nhanh nhất?

Bước 2 Chuyển đổi thông tin t tình huống thực tiễn về mô hình toán học

H: Làm thế nào để chuyển đổi về mô hình toán học?

Gợi ý: Có thể tính th i gian đi trên các đoạn cáp treo CM , MB theo

x AM được không?

- Tính th i gian đi trên đoạn cáp treo CM theo x

- Tính th i gian đi trên đoạn cáp treo MB theo x

H: Yêu cầu bài toán là gì? Tìm x để f x( ) nhỏ nhất

Bước 3 Tìm kiếm chiến lược giải quyết mô hình toán học

H: Làm thế nào để xác định được x ?

Bài toán thuần túy cần giải quyết là: Tìm x để f x( ) nhỏ nhất Với bài toán này, có hai công cụ chính: Sử dụng công cụ đạo hàm hoặc bất đẳng thức

Bước 4 Thực hiện các phương pháp toán học hợp lý để tìm ra kết quả

H: Cần thực hiện theo hướng giải nào để giải quyết bài toán?

(Sử dụng công cụ đạo hàm bởi với hàm số đã cho việc tính đạo hàm không quá phức tạp, vì vậy có thể thực hiện được các bước tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số theo chiến lược đã có sẵn)

Bước 5 Chuyển t kết quả giải quyết mô hình toán học sang l i giải của bài

toán có chứa tình huống thực tiễn

H: Khoảng cách giữa trạm cáp treo M và điểm du lịch A tương ứng với đại

lượng nào trong bài toán vừa được giải?

Lời giải:

Đặt AM x( m), điều kiện 0 x 2

Th i gian đi t B đến C là

2

( )

(gi )

Xét hàm số

2

( )

trên [0;2]

2

3 1

x

x

X

0 3

4 2

f’(x) - 0 +

f(x) 11

15

2

3

5

3

Vậy 3( )

4 km

Ví dụ 3 Một c ng ty văn phòng phẩm bán ra x bút vẽ chuyên dụng với giá

/1

p bút (đơn vị p:1000VNĐ).Phương trình giá theo tiêu thụ là: p10 0.001 x

Công ty này cần định giá cho loại bút chuyên dụng này là bao nhiêu để có thu nhập cực đại Thu nhập cực đại bằng bao nhiêu?

Bước 1: Hiểu được vấn đề, thu nhận được thông tin t tình huống thực tế

GV: Xác định yêu cầu của bài toán thực tiễn

HS: Xác định giá cho loại bút chuyên dụng để có thu nhập cực đại Tính giá trị thu nhập cực đại

Bước 2: Chuyển đổi thông tin t tình huống thực tế về mô hình toán học

Nhằm giúp HS chuyển t bài toán có liên quan đến thực tiễn sang bài toán

có nội dung toán học thuần túy, GV có thể đặt câu hỏi

GV: x tương ứng với đại lượng nào? Tìm điều kiện của x ?

HS: Số lượng bút bán ra Điều kiện của biến: 0 x 10000

GV: “Giá theo tiêu thụ” tương ứng với yếu tố toán học nào?

HS: p10 0.001 x

GV: “Thu nhập” trong tình huống trên được hiểu như thế nào?

HS: Thu nhập = (giá)(nhu cầu thị trư ng)

GV: “Thu nhập của c ng ty” tương ứng với yếu tố toán học nào?

HS: R x( ) (10 0,001 )  x x

GV: Cụm t “thu nhập cực đại”, trong tình huống trên được hiểu như thế nào?

HS: Hàm số R x( )(100,001 )x x đạt giá trị lớn nhất

Bước 3: Tìm kiếm chiến lược giải quyết mô hình toán học

GV: Thực chất của bài toán cần giải là gì? Hãy phát biểu điều đó thành nội dung bài toán theo ngôn ng toán học?

HS: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số R x( ) (10 0,001 )  x x trên đoạn 0;10000

 

Bước 4: Thực hiện các phương pháp toán học hợp lí để tìm ra kết quả

Trong quá trình giải quyết, nhằm hướng dẫn học sinh chưa biết cách thực hiện l i giải, GV đặt ra các câu hỏi gợi ý

GV: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên a b;  ta cần thực hiện các bước nào?

HS: Tính đạo hàm, tìm các điểm x i i( 1,2, ) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng h ng có đạo hàm, lập bảng biến thiên

GV: Làm thế nào để xác định giá trị lớn nhất của hàm số

( ) (10 0,001 )

R x   x x trên đoạn 0;10000 ?

HS: Cách 1: Tìm R x'( ); tìm các điểm x i0;10000sao cho '( ) 0

i

hoặc R x'( )i không tồn tại; Tính R x'( )i R'(0),R'(1000) để kết luận

Cách 2: Lập bảng biến thiên để kết luận

Bước 5: Chuyển t kết quả giải quyết mô hình toán học sang l i giải của bài

toán có nội dung thực tiễn

GV: Để có thu nhập cực đại, công ty cần bán ra bao nhiêu bút chuyên dụng được sản xuất? Giá mỗi bút chuyên dụng là bao nhiêu?

HS: Vậy để có thu nhập 25000000 công ty cần bán ra 5000 bút chuyên dụng được sản xuất và giá mỗi bút chuyên dụng là 5000 (VNĐ)

Lời giải:

Ta có: Thu nhập = (giá)(nhu cầu thị trư ng) hay R x( ) (10 0,001 )  x x

Do cả giá và nhu cầu thị trư ng đều không âm nên ta có: 0 x 10000 Bài toán trở thành tìm x0;10000 để hàm số R x( ) (10 0,001 )  x x đạt giá trị cực đại Tính giá trị cực đại đó

Ta có: R x'( ) 10 0,002 ; '( )  x R x   0 x 5000

Ta có R(0)0;R(10000) 10010 ;R(5000)25000000

Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng: 25000000 (VNĐ) hi x5000

Do đó hi nhu cầu thị trư ng là x5000 thì giá trị bằng p5000 (VNĐ) Vậy để có thu nhập 25000000 (VND) công ty cần bán ra 5000 bút chuyên dụng được sản xuất và giá mỗi bút chuyên dụng là 5000 (VND)

2.2 Xây dựng bài toán có liên quan đến thực tiễn

2.2.1 Các bước xây dựng bài toán có liên quan đến thực tiễn

Tìm các thể hiện của kiến thức trong thực tiễn cuộc sống

Tìm kiếm d liệu phù hợp cho việc xây dựng câu hỏi

2.2.2 Một số kỹ thuật xây dựng bài toán

Để nguồn bài tập được phong phú và phản ánh được nhiều vấn đề của cuộc sống thì việc có nh ng cách thức biến đổi hình thức của bài toán là điều kiện cần thiết Một số hình thức biến đổi bài toán được sử dụng là:

- Lập bài toán tương tự với bài toán ban đầu

- Lập bài toán đảo của bài toán ban đầu

- Thay đổi vào bài toán ban đầu một số yếu tố

- Đặc biệt hóa bài toán ban đầu

- Bớt đi một số yếu tố của bài toán ban đầu

- Khái quát hóa bài toán ban đầu

Một số kỹ thuật nhằm chuyển đổi bài toán:

Cách 1: Thay đổi các đối tượng đề cập đến trong bài toán

Cách 2: Thay đổi các quan hệ, tính chất của đối tượng trong bài toán

Cách 3: Thay đổi giả thiết hoặc thay đổi kết quả của bài toán

2.2.3 Một số minh họa

2.2.3.1 Xây dựng bài toán có liên quan đến hình học không gian

Kiến thức về hình học không gian có nhiều liên quan đến thực tiễn, chẳng hạn thể tích, diện tích của các hình, khối hộp ch nhật, khối lăng trụ

Bằng cách cho biết kích thước hình sau khi trải trên mặt phẳng yêu cầu tính thể tích khối hộp chữ nhật tạo thành ta có bài toán

Ví dụ 1 Một miếng bìa cứng được cắt với ích thước được cho như hình

bên dưới Tính thể tích h i được tạo thành khi xếp miếng bìa theo các đư ng nét đứt

A.3200cm3 B.3200cm2 C.6272cm3 D.12800cm2

Bằng cách cho biết kích thước hình sau khi trải trên mặt phảng yêu cầu tính thể tích khối nón tạo thành ta có bài toán

Ví dụ 2 T cùng một tấm kim loại dẻo hình quạt như hình vẽ có ích thước

bán kính R5 và chu vi của hình quạt là P8 10, ngư i ta gò tấm kim loại thành chiếc phểu theo hai cách:

1 Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh của một cái phểu

2 Chia đ i tấm kim loại thành hai phần bằng nhau rồi gò thành mặt xung quanh của hai cái phểu

Gọi V1 là thể tích của cái phểu thứ nhất, V2 là tổng thể tích của hai cái phểu

ở cách hai Tính 1

2

V

V ?

A 1

2

21 7

V

V  B 1

2

2 21 7

V

V  C 1

2

2 6

V

V  D 1

2

6 2

V

Bằng cách cho biết kích thước hình sau khi trải trên mặt phẳng yêu cầu tìm

giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp chữ nhật tạo thành ta có bài toán

Ví dụ 3 (đề minh họa quốc gia năm 2017) Cho một tấm nhôm hình vuông

cạnh 12cm Ngư i ta cắt ở bốn góc của tấm nh m đó bốn hình vuông bằng

nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm( ), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp Tìm x cm( ) để hộp nhận được có thể tích lớn nhất

A.x6 B.x3 C.x2 D.x4

Bằng cách cho biết thể tích khối cần tạo thành và cho biết hình sau khi trải trên mặt phẳng yêu cầu tìm kích thước khối cần tạo thành để diện tích hình được trải nhỏ nhất ta có bài toán

Ví dụ 4 Một cái hộp hình hộp ch nhật không nắp được làm t một mảnh

bìa cứng (xem hình bên dưới đây) Hộp có đáy là hình vu ng cạnh x cm( ), chiều

cao là h (cm) và có thể tích là 500cm3 Tìm x cm( ) để tốn ít nguyên liệu nhất

A.x8 B.x9 C.x10 D.x11

2.2.3.2 Xây dựng bài toán có liên quan đến kiến thức phương trình, bất phương trình

Kiến thức phương trình, bất phương trình có liên quan đến nhiều tình huống trong thực tiễn, nếu đại lượng y được biểu thị theo đại lượngx bởi y f x( ), thì

có nhiều cơ hội để xây dựng bài toán phương trình, bất phương trình

Ví dụ 5 Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách b biển một khoảng cách

4

AB km Trên b biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7km Ngư i canh hải đăng có thể chèo thuyền t A đến điểm M trên b biển với

vận tốc 3km h rồi đi bộ đến C với vận tốc 5/ km h (như hình vẽ) Thiết lập /

hàm số tính th i gian t theo xBM