Việc dạy học toán gắn với giải quyết các vấn đề của thực tiễn mang lại nhiều lợi ích, góp phần giúp học sinh hiểu được ý nghĩa của tri thức học được, lý do tồn tại và lợi ích cho cuộc số
Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến
Mô hình hoá toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán học thông qua việc thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận Việc dạy học toán gắn với giải quyết các vấn đề của thực tiễn mang lại nhiều lợi ích, góp phần giúp học sinh hiểu được ý nghĩa của tri thức học được, lý do tồn tại và lợi ích cho cuộc sống xã hội Từ đó, tạo động cơ, gây hứng thú học tập, rèn luyện tư duy cho học sinh
Dạy học mô hình hoá toán học là dạy học cách thức xây dựng mô hình hoá toán học của thực tiễn, hướng tới trả lời cho những câu hỏi vấn đề từ thực tiễn Dạy học bằng mô hình toán học là dạy học toán thông qua dạy học mô hình hoá Như vậy tri thức cần giảng dạy sẽ nảy sinh qua quá trình giải quyết vấn đề thực tiễn
Mô hình hoá toán họcgiúp rèn luyện cho học sinh những kĩ năng toán học cần thiết, kĩ năng hợp tác nghiên cứu, kĩ năng giải quyết vấn đề, phát triển tư duy logic và nhận thức Với mục tiêu dạy học cho học sinh cách sử dụng toán học trong cuộc sống hàng ngày, trong quá trình học tập chúng ta nên tăng cường dạy học hình thành năng lực toán học cho học sinh thông qua thực tiễn và hoạt động học tập Định hướng dạy học hướng vào sự phát triển năng lực của người học, bám sát mục tiêu năng lực mô hình hoá của chương trình giáo dục phổ thông mới và cấp độ cách học toán học của học sinh Hoạt động này giúp tăng cường sự gắn kết giữa không gian lớp học với các vấn đề của thế giới bên ngoài Từ đó, học sinh hiểu sâu và nắm chắc kiến thức toán học trong nhà trường, đồng thời giúp học sinh thấy được vẻ đẹp, cấu trúc và ứng dụng của toán học trong thực tiễn cuộc sống
Năng lực mô hình hoá toán học là một trong những năng lực đặc thù của toán học, thực sự cần thiết phát triển ở học sinh Việc học sinh tiếp cận một tri thức như thế nào, thao tác tri thức đó ra sao, điều đó phụ thuộc rất nhiều vào cách tiếp cận tri thức đó của học sinh thông qua cách tổ chức dạy học trong quá trình học tập Là giáo viên dạy toán, điều mà tôi mong muốn là có bài giảng chất lượng, tạo động cơ học tập, giúp học sinh thấy được ý nghĩa của tri
3 thức Vì vậy, tôi lựa chọn đề tài: “Dạy học bằng mô hình hoá và mô hình hoá toán học qua một số chủ đề trong chương trình toán THPT”.
Mô tả giải pháp
Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
Quan điểm dạy học hình thành năng lực toán học cho học sinh thông qua thực tiễn và hoạt động học tập có được sự quan tâm rất lớn từ các nhà giáo dục Đổi mới phương pháp dạy học theo hướng lấy học sinh làm trung tâm đã được triển khai ở các nhà trường Tuy nhiên, cho đến nay có thể nói học sinh còn gặp nhiều khó khăn trong khi liên hệ thực tiễn và trình bày các nội dung toán học
Một số bài toán có liên quan tới các vấn đề trong thực tế cuộc sống cũng như liên quan đến các môn học khác, học sinh không biết xử lý hoặc không đủ tự tin để giải quyết Trong quá trình học tập, học sinh chưa có nhiều cơ hội hoạt động tích cực, phân tích, bình luận, trao đổi Học sinh còn lúng túng khi sử dụng và vận dụng cách biểu diễn hình ảnh, biểu đồ, công thức trong suy luận nên gặp khó khăn trong khi tìm kiếm các giải pháp toán học trong học tập và thực tiễn Vì thế, các em chưa hiểu rõ kiến thức toán học với cuộc sống nên hứng thú học tập môn Toán của các em chưa cao.
Cơ sở lý thuyết
Dạy học bằng mô hình hoá
Dạy học bằng mô hình toán học là dạy học toán thông qua dạy học mô hình hoá Như vậy tri thức cần giảng dạy sẽ nảy sinh qua quá trình giải quyết vấn đề thực tiễn Để nâng cao năng lực hiểu biết toán học cho học sinh, cần dạy cho học sinh cách thức xây dựng mô hình hoá toán học để trả lời cho những câu hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực tiễn Trong dạy học toán, có thể tổ chức hình thành tri thức cho học sinh theo hai tiến trình sau đây:
Thứ nhất là trình bày tri thức toán học (dạng lý thuyết hoặc mô hình toán có sẵn), sau đó giáo viên hướng dẫn học sinh vận dụng tri thức toán học đó vào giải quyết các bài toán thực tiễn cuộc sống
Thứ hai là xuất phát từ một vấn đề thực tiễn, xây dựng mô hình toán học, đối chiếu lại vấn đề thực tiễn, thể chế hoá tri thức toán học cần truyền thụ cho học sinh và vận dụng vào giải bài toán ở những ngữ cảnh khác nhau
Với tiến trình dạy học thứ nhất, giáo viên có thể tiết kiệm được thời gian nhưng lại làm mất đi nguồn gốc thực tiễn của tri thức toán học và vai trò động cơ của các bài toán thực tiễn và do đó cũng làm mất ý nghĩa của tri thức Với tiến trình dạy học thứ hai, bản chất là dạy học bằng mô hình hoá, cho phép khắc phục những hạn chế của tiến trình thứ nhất, qua đó tri thức toán học sẽ được hình thành qua hoạt động khám phá vấn đề thực tiễn với tư cách là kết quả hay phương tiện để giải quyết vấn đề
Như vậy, dạy học thông qua dạy học cách thức xây dựng mô hình toán học của thực tiễn; tri thức toán học cần giảng dạy sẽ nảy sinh qua quá trình giải quyết các bài toán thực tiễn Bài toán thực tiễn có vai trò quan trọng trong môn Toán Thông qua giải bài toán thực tiễn, học sinh có thể thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng, thể hiện những định nghĩa, định lý, quy tắc, những hoạt động toán học phức tạp hơn, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ Quy trình dạy học bằng mô hình hoá tương ứng có thể là:
- Xuất phát từ bài toán thực tiễn;
- Xây dựng mô hình toán học tạm thời;
- Tìm câu trả lời cho bài toán toán học (làm xuất hiện nhu cầu hình thành tri thức mới để giải quyết khó khăn);
- Tri thức cần giảng dạy; hoàn thiện mô hình toán học; câu trả lời chính thức cho bài toán thực tiễn; vận dụng tri thức này vào giải các bài toán khác
Hình vẽ 1: Hình vẽ mô tả quá trình dạy học bằng mô hình hoá
Nêu vấn đề ngoài toán học
Xây dựng mô hình toán học
Tìm kiếm câu trả lời cho vấn đề ngoài toán học
Thể chế hoá tri thức cần giảng dạy
Khái niệm mô hình, mô hình hoá
1.2.1 Mô hình, mô hình hoá
Mô hình là một hình mẫu dùng để minh hoạ, mô tả hình dáng, cấu trúc, phương thức hoạt động của sự vật, hiện tượng hay một khái niệm Thông qua mô hình, ta có thể khám phá đối tượng mà không cần dùng đến vật thật Về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của quá trình tư duy, ra đời nhờ quá trình trừu tượng hoá các đối tượng cụ thể hay có thể hiểu là đối tượng nghiên cứu đã được lí tưởng hoá
Mô hình hoá được biết đến như một phương pháp dạy học, cung cấp cho học sinh hiểu khái niệm của vấn đề, giúp học sinh đọc hiểu, thiết lập và giải quyết vấn đề cụ thể dựa trên tình huống thực tế Đây chính là môi trường để học sinh khám phá các kiến thức toán học
1.2.2 Mô hình hoá toán học
Mô hình hoá toán học là một mô hình trừu tượng, sử dụng ngôn ngữ toán học (các đồ thị, phương trình, hệ phương trình, hàm số, các kí hiệu toán học) để biểu diễn, mô tả đặc điểm một sự vật, hiện tượng hay một đối tượng thực được nghiên cứu
Mô hình toán học là sự giải thích ngôn ngữ toán học cho một hệ thống ngoài toán học với những câu hỏi xác định mà người ta đặt ra trên hệ thống này Quá trình mô hình hoá toán học là quá trình xây dựng một mô hình toán học cho vấn đề ngoài toán học, giải quyết vấn đề bằng ngôn ngữ toán học trong mô hình đó, rồi kiểm tra và đánh giá kết quả trong ngữ cảnh thực tiễn, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận
Mô hình hoá toán học được đặc trưng bởi môi trường mà trong đó người học được yêu cầu khám phá tri thức thông qua môn Toán hoặc các tình huống thực tế có tính chất liên môn khác Như vậy, có thể nói mô hình hoá toán học được hiểu là sử dụng các công cụ toán học để mô tả các tình huống thực tiễn, thể hiện các tình huống đó dưới dạng ngôn ngữ toán học
Hình 2: Hình vẽ mô tả quá trình mô hình hoá
Dạy học tri thức toán học
Vận dụng tri thức vào giải quyết những vấn đề ngoài toán học
Quy trình mô hình hoá
1.3.1 Quy trình mô hình hoá
Quy trình mô hình hoá bao gồm 4 giai đoạn chủ yếu sau đây:
Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, xây dựng tình huống, tìm các yếu tố trọng tâm có ảnh hưởng đến vấn đề thực tiễn
Giai đoạn 2: Lập giả thiết về mối quan hệ giữa các yếu tố dùng ngôn ngữ toán học Dựa vào đó, xây dựng mô hình toán học tương ứng
Giai đoạn 3: Vận dụng các phương pháp và công cụ toán học phù hợp với tình huống thực tiễn để mô hình hoá bài toán và phân tích mô hình
Giai đoạn 4: Đưa ra kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và rút ra kết luận
1.3.2 Quy trình mô hình hoá toán học
Quy trình mô hình hoá toán học được hiểu là quá trình thu thập, hiểu và phân tích các thông tin toán học và áp dụng toán học để mô hình hoá các tình huống thực tiễn
- Bước 1 (Toán học hoá, hiểu tình huống thực tiễn): Hiểu rõ vấn đề thực tiễn, xây dựng giả thuyết sau đó mô tả và diễn đạt vấn đề bằng công cụ và ngôn ngữ toán học Đây là quá trình chuyển đổi tình huống thực tiễn sang toán học bằng cách xây dựng mô hình toán học tương ứng
- Bước 2 (Giải bài toán): Sử dụng kiến thức toán học thích hợp để giải quyết bài toán đã được toán học hoá Để giải bài toán, học sinh cần phải có phương pháp phù hợp, công cụ toán học tối ưu để xây dựng và giải quyết vấn đề toán học một cách hiệu quả
- Bước 3 (Thông hiểu): Hiểu được ý nghĩa lời giải của bài toán với tình huống thực tiễn ban đầu Học sinh cần phát hiện được ưu, nhược điểm của kết quả toán học vào tình huống thực tiễn
- Bước 4 (Đối chiếu, kiểm định kết quả): Đối chiếu giả thuyết ban đầu đưa ra, tìm hiểu những hạn chế của mô hình toán học, lời giải của bài toán xem xét lại các công cụ và phương pháp
7 toán học đã sử dụng, đối chiếu để cải tiến mô hình, xây dựng mô hình mới Sau đây là một ví dụ minh hoạ cho quy trình mô hình hoá qua bài toán thực tiễn:
Ví dụ 1.3.1 Hai công nhân An và Hà làm việc trong một xưởng cơ khí Xưởng sản xuất sản phẩm loại A và loại B Mỗi sản phẩm loại A bán lãi 600 nghìn đồng, mỗi sản phẩm loại B bán lãi 400 nghìn đồng Để sản xuất được một sản phẩm loại A thì An phải làm việc trong 3 giờ, Hà phải làm việc trong 1 giờ Để sản xuất được sản phẩm loại B thì An phải làm việc trong 2 giờ, Hà phải làm việc trong 6 giờ Một người không thể làm được đồng thời hai sản phẩm Biết rằng trong một tháng An không thể làm việc quá 180 giờ và Hà không thể làm việc quá 220 giờ Tính số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng?
Bước 1 (Toán học hoá, hiểu tình huống thực tiễn):
Giáo viên tổ chức cho học sinh suy nghĩ và thảo luận để tìm những số liệu cần thiết Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm mối liên hệ từ các yếu tố và các dữ liệu từ bài toán đã cho: Với , x y lần lượt là số sản phẩm loại A và loại B được sản xuất ra Thời gian để An làm sản phẩm loại A và B trong một tháng là 3x2y (giờ) và thời gian để Hà làm sản phẩm loại A và B trong một tháng là x6y (giờ) Theo giả thiết x y, phải thoả mãn các điều kiện: 0; 0; 3 2 180; 6 220 x y x y x y Tổng số tiền lãi thu được trong một tháng của xưởng là T 0,5x0, 4y(triệu đồng) Bài toán đưa về: “ Tìm các số nguyên dương x y là , nghiệm của hệ bất phương trình:
sao cho T 0,5x0, 4y đạt giá trị lớn nhất”
Bước 2 (Giải bài toán, xây dựng mô hình toán học cho vấn đề thực tiễn đã nêu trên):
Gọi , x y lần lượt là số sản phẩm loại A và loại B được sản xuất ra Điều kiện , x y nguyên dương
Theo bài ra ta có hệ bất phương trình
Vẽ đường thẳng d 1 : 3x2y180 và đường thẳng d 2 :x6y220
Hình 3: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình
Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác OMNP được tô màu
Tiền lãi trong một tháng của xưởng là T 0,5x0, 4y (triệu đồng) Ta có T đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm M N P, , Vì Pcó toạ độ không nguyên nên bị loại
Vậy tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là 32 triệu đồng
Bước 3 (Thông hiểu): Học sinh hiểu được ý nghĩa của bài toán là với năng suất làm việc của mỗi người công nhân và thời gian làm việc trong một tháng đã quy định giới hạn thì sẽ tính
9 toán tìm được số sản phẩm loại A và loại Bđược sản xuất ra để đảm bảo lợi nhuận trong tháng thu được là lớn nhất
Những ưu điểm của mô hình trên:
+ Đưa bài toán thực tế về mô hình toán học
+ Giải quyết được bài toán thực tế phức tạp trở về bài toán toán học quen thuộc được giải quyết đơn giản và dễ hiểu
+ Phát triển được năng lực ứng dụng kiến thức toán học vào thực tiễn
Bước 4 (Đối chiếu, kiểm định kết quả): Trên thực tế, các cơ sở sản xuất muốn tăng khả năng cạnh tranh thì cần đa dạng hoá các hoạt động ở nhiều lĩnh vực khác nhau Vì vậy phần lợi nhuận phụ thuộc vào nhiều hoạt động khác nhau, kết quả của bài toán là phần lợi nhuận từ hoạt động sản xuất kinh doanh phù hợp với thực tế Một số yếu tố tác động đến lợi nhuận: + Yếu tố chủ quan: Nguồn nhân lực, năng lực quản lí, chất lượng cùng giá thành sản phẩm
+ Yếu tố khách quan: Các đối thủ cạnh tranh, thị trường yếu tố đầu vào, sự phát triển của khoa học kĩ thuật, chính sách do nhà nước đề ra
Ngoài ra, để tạo được lợi nhuận cao, các cơ sở sản xuất, doanh nghiệp cần thực hiện nâng cao chất lượng sản phẩm của mình Đồng thời, kết hợp tăng danh mục sản phẩm, các dịch vụ chất lượng, nhiệt tình chăm sóc khách hàng, giữ uy tín
Ví dụ 1.3.2 Xét bài toán thực tiễn: Một mảnh vườn hình tròn tâm O bán kính 6m Người ta cần trồng cây trên dải đất 6mnhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là 70.000 đồng trên 1m 2 Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó? (số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị)
Bước 1 (Toán học hoá, hiểu tình huống thực tiễn):
Năng lực mô hình hoá toán học
- Về đặc điểm: Năng lực được hình thành và bộc lộ trong hoạt động, năng lực gắn với hoạt động cụ thể
- Về mối quan hệ với tri thức, kĩ năng: Tri thức, kĩ năng là điều kiện cần thiết để hình thành năng lực, năng lực góp phần cho lĩnh hội tri thức, kĩ năng trong lĩnh vực hoạt động nhất định
15 được nhanh chóng, thuận lợi, dễ dàng; có năng lực hoạt động tức là có tri thức, kĩ năng trong lĩnh vực đó
- Năng lực toán học là khả năng cá nhân biết lập công thức (formulate), vận dụng (employ) và giải thích (explain) toán học trong nhiều ngữ cảnh Nó bao gồm suy luận toán học và sử dụng các khái niệm, phương pháp, công cụ toán học để mô tả, giải thích và dự đoán các hiện tượng
Nó giúp con người nhận ra vai trò của toán học trên thế giới và đưa ra phán đoán, quyết định của con người biết góp ý, tham gia và suy ngẫm
- Sử dụng những tình huống học tập để hỗ trợ đánh giá năng lực mô hình hoá toán học của học sinh là cần thiết Để giải quyết các vấn đề thực tiễn, học sinh cần phải trải qua quá trình mô hình hoá, từ đó bộc lộ những biểu hiện của năng lực này Năng lực mô hình hoá toán học là khả năng quan sát tình huống thực tiễn, lựa chọn, xác định các giả thiết, mối liên hệ phù hợp để “phiên dịch” sang ngôn ngữ toán học
- Các năng lực toán đặc trưng thể hiện trên hình ảnh dưới đây:
Hình 7: Hình vẽ mô tả các năng lực toán đặc trưng
- Phát triển năng lực mô hình hoá toán học là quá trình tổ chức cho học sinh vận dụng kiến thức, kĩ năng và các phẩm chất cần thiết cho hoạt động mô hình hoá toán học để thực hiện đầy đủ các giai đoạn mô hình hoá nhằm giải quyết các vấn đề toán học đặt ra
Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện Toán học
Năng lực giao tiếp Toán học
Năng lực giải quyết vấn đề
Năng lực tư duy, lập luận Toán học Năng lực mô hình hoá Toán học
Thực trạng dạy học mô hình hoá ở trường phổ thông
Thống kê những thuận lợi và khó khăn trong việc đưa tình huống thực tiễn vào việc giảng dạy môn Toán
* Thuận lợi: - Trường học có cơ sở vật chất thuận lợi (máy chiếu, ti vi,…), các công cụ máy tính và phần mềm hỗ trợ dạy học được đưa vào sử dụng, học sinh có khả năng tiếp thu tốt
- Ban giám hiệu nhà trường tạo điều kiện cho giáo viên được nghiên cứu
- Tổ chức các giờ hoạt động ngoại khoá cho học sinh
- Giáo viên có mong muốn giảng dạy gắn liền thực tiễn
* Khó khăn: - Việc lựa chọn nội dung, những câu hỏi thực tiễn là khó
- Khả năng liên hệ Toán học với thực tế còn nhiều hạn chế
- Nội dung kiến thức không có nhiều ví dụ, mô hình thực tiễn.
Nội dung
Nâng cao năng lực hiểu biết toán học cho học sinh thông qua dạy học bằng mô hình hoá
Dạy học bằng mô hình toán học là dạy học toán thông qua dạy học mô hình hoá Như vậy tri thức cần giảng dạy sẽ nảy sinh qua quá trình giải quyết vấn đề thực tiễn Quy trình dạy học bằng mô hình hoá thông qua các bước sau:
- Xây dựng mô hình toán học tạm thời;
- Tìm câu trả lời cho bài toán toán học (làm xuất hiện nhu cầu hình thành tri thức mới để giải quyết khó khăn);
- Tri thức cần giảng dạy; hoàn thiện mô hình toán học; câu trả lời chính thức cho bài toán thực tiễn;
- Vận dụng tri thức này vào giải các bài toán khác
Ví dụ 2.1.1 (Dạy học Định nghĩa Logarit)
Giáo viên đặt vấn đề: Hầu hết các tri thức toán học đều xuất phát từ thực tiễn và dùng để giải quyết thực tiễn nên nó rất cần thiết đối với cuộc sống Hôm nay, chúng ta cùng nhau tìm hiểu một tri thức mới mà nó rất cần thiết trong cuộc sống
Nồng độ H được quyết định bởi sự hoạt động của hầu hết các loại enzyme trong cơ thể
Do đó những thay đổi trong nồng độ H thể hiện hoạt động chức năng của tế bào và cơ quan trong cơ thể Nồng độ pHlà chỉ số biểu thị sự hoạt động của các ion H trong dung dịch Dựa vào chỉ số này, người ta có thể xác định được dung dịch có tính axit hay bazơ
Bảng: Nồng độ H + và độ pH tương ứng của một loạt các chất thông thường
STT Các chất thông thường Nồng độ pH
(mol/l) Độ pH Ghi chú
5 Dung dịch sữa magie oxit 10 10 10
Tình huống 1: Hãy nghiên cứu bảng trên để trả lời hai câu hỏi:
Câu hỏi 1: Hãy so sánh trật tự của nồng độ H và độ pH tương ứng của một loạt các chất thông thường trên?
Câu hỏi 2: Có cách thức nào cho thấy mối quan hệ giữa nồng độ H + và độ pH tương ứng của một loạt các chất thông thường trên không? Nếu có hãy trình bày cách thức đó?
Hoạt động 1: Làm việc theo nhóm
Học sinh các nhóm thảo luận và trả lời vào phiếu học tập
Câu 1 Về trật tự của nồng độ H + và độ pH tương ứng của một loạt các chất thông thường trên là giống nhau Tăng giảm tương ứng
Câu 2 (Trình bày mô hình toán học cho bài toán thực tiễn ban đầu)
- Theo trật tự trên, nếu nồng độ H + là 10 x (mol/l) thì độ pH tương ứng là x
Tình huống 2: Người ta biết rằng nồng độ ion H + ở các mô trong cơ thể như sau:
Các mô trong cơ thể Nồng độ ion H +
Khi đó họ muốn tìm hiểu về độ pH của các mô này
Câu 1: Em có nhận xét gì về tình huống này? Vấn đề khó khăn là gì? Có cách nào giải quyết không?
Câu 2: Hãy biểu diễn 4.0x10 5 ; 4.5x10 5 ; 160 dưới dạng 10 x , cách xác định x thoả mãn đẳng thức 4.0x10 5 10 x ; 4.5x10 5 10 x ; 160 10 x ?
Câu 3: Tính độ pH tương ứng với các mô trong cơ thể ở bảng trên?
Giáo viên quan sát học sinh thảo luận và đưa thêm một số câu hỏi gợi mở Học sinh suy nghĩ vấn đề khi gặp khó khăn Sau đó, giáo viên giớ thiệu cách khắc phục vấn đề như sau: Để giải quyết vấn đề đặt ra chúng ta sẽ có cách phát triển một cách thức mới trong toán học tạo thuận lợi cho việc tìm kiếm x
Từ đây, xuất hiện vấn đề phải điều chỉnh mô hình toán học vì chiến lược cũ đã gặp khó khăn, tạo điều kiện cho khái niệm Logarit xuất hiện với hai dấu hiệu đặc trưng
Vấn đề xuất hiện là: Biểu diễn chính xác số mũ x trong luỹ thừa cơ số 10 sao cho bằng một số dương bất kỳ Trong khi đó, với hai số dương a b a , 1 , luôn tồn tại duy nhất một số mũ sao cho a b Do đó, để giải quyết vấn đề này, các nhà toán học đã phát triển một phương thức mới cho việc tìm kiếm số mũ trong biểu thức luỹ thừa một cách tổng quát đúng với mọi trường hợp
Trong bài học này, chúng ta sẽ đi tìm hiểu khái niệm Logarit (ý tưởng được sử dụng để biểu diễn cho số mũ sao cho a bvới hai số dương a b a , 1 )
Hoạt động 2: Thể chế hoá khái niệm Logarit, hoàn chỉnh mô hình toán học và trả lời cho bài toán mở đầu
Giáo viên phân tích khái niệm Logarit gồm kí hiệu, tên gọi, đặc điểm, thành phần Định nghĩa: Cho hai số dương a b a , 1 Số thoả mãn đẳng thức a b được gọi là logarit cơ số acủa bvà kí hiệu là log a b
Sau đó, giáo viên giới thiệu tên gọi, kí hiệu của hai logarit có cơ số đặc biệt: Nếu cơ số
10 thì được gọi là logarit thập phân và kí hiệu là logb hay lgb; nếu cơ số là e thì được gọi là logarit tự nhiên và được kí hiệu là lnb
Tiếp theo, giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính để tính logarit với mục đích tìm độ pH tương ứng với các mô trong cơ thể ở bảng trên log 4.0x10 5 ; log 4.5x10 5 ; log160?
Bởi nồng độ H bình thường là rất thấp và các số quá nhỏ nên người ta thường biểu thị pH thành các số theo hàm logarit Mối liên hệ giữa nồng độ ion H và pHcủa cơ thể được thể hiện qua công thức sau: pH log 1/ H log H
Ví dụ nồng độ H là 0.00000004 Eq/l Vậy pH là: pH log 0.00000004 7.4
Từ công thức này có thể thấy pH tỉ lệ nghịch với nồng độ H , do đó khi nồng độ H cao thì pH nhỏ và khi nồng độ H thấp thì pH lớn Độ pH bình thường của máu động mạch là 7.4 trong khi máu tĩnh mạch và dịch kẽ là 7.35bởi lượng carbon dioxid CO 2 sinh ra từ các mô hoà tan trong dung dịch tạo thành H CO 2 3 Vì bình thường độ pH trong máu động mạch là 7.4, một người được coi là bị nhiễm toan khi độpH giảm xuống dưới mức 7.4 và bị coi là nhiễm kiềm khi độ pH trên mức 7.4 Giới hạn dưới của độpH mà ở đó con người có thể tồn tại được khoảng vài giờ là 6.8và giới hạn trên của độ pH là khoảng 8.0
Hình 8: Hình vẽ ví dụ về độ pH của một số sản phẩm
Hoạt động 3: (Làm việc nhóm) Mục đích rèn cho học sinh biết dùng tri thức toán học vừa học để giải quyết vấn đề thực tiễn cuộc sống (nhiệm vụ thực tiễn) Giáo viên đưa ra bài toán thực tiễn dạng khác về sự phát triển vi sinh vật đã học trong chương trình môn Sinh học lớp
10 Giáo viên yêu cầu học sinh thảo luận và điền câu trả lời vào phiếu học tập Giáo viên quan sát các nhóm làm bài và gọi đại diện các nhóm trả lời
Bài toán thực tế: Một loại vi khuẩn sinh sản theo kiểu phân đôi tế bào với thời gian thế hệ là phút Giả sử ban đầu chỉ có một tế bào và số lượng vi khuẩn sinh ra không bị chết
Một số biện pháp phát triển năng lực mô hình hoá toán học của học sinh
2.2.1 Rèn luyện kĩ năng biểu diễn mô hình dưới dạng biểu đồ, đồ thị với số liệu thực tế
Mô hình hoá là quá trình chuyển đổi từ tình huống thực tiễn sang ngôn ngữ toán học Thông qua việc rèn luyện kĩ năng biểu diễn mô hình dưới dạng biểu đồ, đồ thị với các số liệu trong thực tế học sinh phát triển được các kĩ năng, năng lực cần thiết như: Năng lực mô hình hoá toán học, năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học, kĩ năng thu nhận thông tin toán học từ tình huống thực tiễn
Ví dụ 2.2.1 Một loại vi khuẩn sinh sản theo kiểu phân đôi tế bào với thời gian thế hệ là 20 phút Giả sử ban đầu chỉ có một tế bào và số lượng vi khuẩn sinh ra không bị chết Với số lượng tế bào trong quần thể lúc đầu có được là một tế bào Em hãy trả lời câu hỏi sau: Số lượng tế bào trong quần thể thu được là bao nhiêu sau những khoảng thời gian t tính từ lúc số bào có trong quần thể là một tế bào?
Số tế bào cần tìm dựa vào cách chia tỉ lệ giữa các khoảng thời gian như sau:
Số lần phân đôi tế bào (tính từ thời điểm một tế bào ban đầu)
Số lượng tế bào thu được sau khoảng thời gian t
Từ bảng trên, có một quy luật được thiết lập trong tình huống này như sau: Khi thời gian t tỉ lệ với sự phân đôi của tế bào, giả sử t 20 k k thì k chính là số lần phân đôi của tế bào tính từ số lượng tế bào trong quần thể ( tính từ thời điểm có một tế bào) Do đó, số tế bào nhận được là 1.2 2 2 k k
Giải bài toán như sau: Với t 20 k k , ta lập được mô hình toán học dựa vào hàm số mũ: Gọi tlà khoảng thời gian phân đôi của tế bào Khi đó, số lượng tế bào nhận được sau tkhoảng thời gian tcho trước là 1.2 1.2 20 t k Từ đó học sinh sẽ tìm được số lượng tế bào tương ứng với thời gian được thể hiện trong bảng sau:
Bài toán tìm ra quy luật tăng trưởng của vi khuẩn sau thời gian thế hệ Công thức tìm ra số lượng tế bào được biểu diễn dưới dạng hàm số mũ
Thực tế có nhiều loại vi khuẩn cần được nghiên cứu và phát hiện một cách hợp lý quy luật sinh trưởng, vi khuẩn có thể phân đôi một cách rất nhanh với số lượng lớn, theo công thức của một hàm số nào đó Với cách thức mô hình hoá học sinh có thể tìm tòi khám phá các quy luật tự nhiên khác để phục vụ cho lợi ích trong cuộc sống
Bài toán ý nghĩa của đạo hàm trong sinh học về một vi khuẩn lạ,độ dốc biểu thị trên đồ thị được hiểu như là tốc độ thay đổi, có thể cho ta biết tốc độ nhanh chậm của một đại lượng so với một đại lượng khác
Ví dụ liên quan một con vi khuẩn bí ẩn Có đồ thị y3t thể hiện sự tổng số lượng vi khuẩn biến đổi theo thời gian
Hình 19: Đồ thị biểu thị sự biến đổi vi khuẩn theo thời gian Ở đây độ dốc của hàm sẽ là 3 a1 đơn vị vi khuẩn/ giây Điều này có nghĩa là cứ 1 giây đồng hồ thì số lượng vi khuẩn tăng thêm 3 con Do đó độ dốc trong trường hợp này có thể hiểu là tốc độ sinh trưởng của vi khuẩn Ngoài ra, ở mọi điểm trên đồ thị đều có cùng tốc độ sinh trưởng là 3 vi khuẩn trên giây Điều đó có nghĩa là số lượng vi khuẩn tăng rất đều đặn Ở góc nhìn chi tiết hơn: Nếu tốc độ sinh trưởng là số dương thì nó cho ta thấy con vi khuẩn đang trong giai đoạn sinh sản, còn nếu tốc độ sinh trưởng là số âm thì con vi khuẩn đang trong giai đoạn suy vong Tuy nhiên, ở trong thực tế thì số lượng vi khuẩn sẽ thay đổi liên tục, nó không tăng hay giảm một cách đều đặn do các yếu tố khác nhau trong môi trường như nhiệt độ và độ ẩm
Hình 20: Mô tả trên thực tế vi khuẩn có thể biến đổi không đều đặn
Trong trường hợp này tốc độ sinh trưởng sẽ có giá trị khác nhau tại mọi thời điểm và được thể hiện bằng các đường tiếp tuyến Để tính tốc độ sinh trưởng ở thời gian t bất kì, chúng ta sẽ dùng đến đạo hàm của y Các nhà sinh học rất muốn đi tìm tại thời điểm nào thì tốc độ sinh trưởng xảy ra nhanh nhất hay 'y có giá trị lớn nhất ? Vậy tại sao lại quan trọng như vậy Giả sử tại thời điểm t 0 giây thì tốc độ sinh trưởng xảy ra nhanh nhất và nếu nhiệt độ lúc này
160 t C và độ ẩm 68% Nếu điều kiện môi trường vẫn giữ nguyên sau t 0 giây thì ch ta có thể dự đoán là số lượng vi khuẩn gia tăng với tốc độ nhanh nhất?
Tình huống viện nghiên cứu muốn ch ta báo cáo tốc độ sinh trưởng của vi khuẩn trong khoảng từ 1 đến 4 giây Tuy nhiên trong khoảng này chúng ta có rất nhiều tốc độ sinh trưởng vi khuẩn khác nhau chúng ta không biết nên báo cáo cái nào vì thế cho chắc nếu báo cáo hết tất cả các giá trị này luôn Nếu bạn thực sự làm như vậy thì các đồng nghiệp sẽ cảm thấy rất là hoang mang : Cái bảng quá phức tạp bạn có thể nói một cách tổng quát được không
Hình 21: Mô tả tốc độ sinh trưởng của vi khuẩn
Tìm một giá trị mà có thể nói một cách bao quát hơn tốc độ sinh trưởng của vi khuẩn từ
1 đến 4 giây Ngoài việc tính độ dốc của tiếp tuyến, chúng ta có thể tìm hiểu ý nghĩa độ dốc của đường cát tuyến Độ dốc của nó sẽ cho ta biết tốc độ sinh trưởng trung bình của vi khuẩn
Tốc độ sinh trưởng của vi khuẩn
33 trong khoảng thời gian từ 1 đến 4 giây 300 100
vi khuẩn trên giây Báo cáo là từ
1 đến 4 giây thì tốc độ sinh trưởng trung bình của vi khuẩn là 67 vi khuẩn trên giây
Ví dụ 2.2.2 Bảng giá cước của một hãng Taxi như sau:
Hình 22: https://www.taxinamdinh.vn a) Gọi y (đồng) là số tiền khách hàng phải trả sau đi x km Lập hàm số của y theo x (Giả sử không tính thời gian chờ và phí cầu đường bến bãi) b) Một hành khách đi với quãng đường dài 30 km phải trả số tiền là bao nhiêu? c) Nếu một hành khách đi đường dài 2 chiều với quãng đường 40 km thì tổng chi phí là bao nhiêu?
Bước 1 (Toán học hoá, hiểu tình huống thực tiễn)
Bài toán yêu cầu cần tính chi phí hành khách phải trả khi thuê xe taxi với bảng giá cước gồm các mức giá tương ứng với số km đi xe của hành khách Bài toán dẫn đến vấn đề là phải có công thức biểu diễn của giá tiền y(đồng) với số tiền khách hàng phải trả sau đi x km , đây chính là hàm số của y theo x
Bước 2 (Giải bài toán) a) Nếu quãng đường khách hàng đi không quá 0.8kmta có hàm số:y14000
Nếu một hành khách đi với quãng đường dài từ 0.8kmđến 25 km , tương ứng có hàm số
Nếu một hành khách đi với quãng đường dài trên 25 km , tương ứng có hàm số
14000 25 0.8 16300 25 13300 13300 75960 y x x b) Một hành khách đi với quãng đường dài 30 km phải trả số tiền là 13300.30 75960 474960 (đồng). c) Nếu một hành khách đi đường dài 2 chiều với quãng đường 40 km thì tổng chi phí là
Một số chú ý trong quá trình dạy học …
Để thực hiện việc dạy học mô hình hoá toán học đạt hiệu quả cần gắn với các yếu tố
2.3.1 Lập kế hoạch bài giảng môn Toán một cách chi tiết, cẩn thận, giáo án phát huy năng lực của học sinh
Giáo viên lập kế hoạch bài giảng với việc chuẩn bị bài phải đảm bảo khi lên lớp chúng ta hoàn toàn tự tin, làm chủ giờ giảng của mình và học sinh cảm thấy hứng thú, say mê học tập
Chủ đề bài dạy được ghi to, rõ ràng ngay trang đầu tiên của kế hoạch bài dạy Ví dụ:
Chủ đề 5: Xác suất của biến cố
Giáo viên cần tìm hiểu đối tượng học sinh để chuẩn bị bài dạy cho phù hợp Việc tìm hiểu này rất quan trọng, bởi một giáo án không thể dùng cho mọi đối tượng học sinh, từ việc phân bố thời gian trong bài dạy, khối lượng kiến thức, phương pháp và phương tiện dạy, cho đến cách thức tiến hành kiểm tra, thi
Tìm hiểu quá trình và kết quả học tập môn Toán của các em học sinh ở các năm trước, tìm hiểu hứng thú học tập môn Toán và các nguyên nhân, từ đó để đưa ra những biện pháp phù hợp để nâng cao sự tiến bộ của việc học môn Toán của từng em
Việc chia nhóm học sinh trong lớp có thể dựa vào đếm số, số lượng nam, nữ, trình độ, khả năng nhận thức của các em, để biết cách khuyến khích, động viên các em nhằm giúp học sinh có thể phát huy tốt nhất năng lực của bản thân
Giáo viên soạn giáo án cần phải bố trí thời gian một cách hợp lý cho từng nội dung, vì thực hiện tốt việc này mới có thể đảm bảo đúng tiến độ chương trình đề ra
Mục tiêu là cơ sở cho việc lập kế hoạch bài dạy, là cái đích mà cả giáo viên phải đạt được sau một quá trình dạy và học
Việc làm rõ mục tiêu sẽ giúp nâng cao chất lượng dạy học và khi đó mới có cơ sở để đánh giá hiệu quả của việc dạy và học Một bài dạy cần đạt được những mục tiêu sau đây:
- Về kiến thức: Học sinh tiếp thu được gì? Họ biết và hiểu được những gì?
- Về kĩ năng: Học sinh có thể làm gì? Các em có thực hành được không? Có thể vận dụng kiến thức vào thực tiễn như thế nào?
- Về tư duy, thái độ: Thái độ của học sinh đối với bài dạy như thế nào? Các em có mong muốn gì sau khi học xong bài?
- Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển: Thông qua bài học, học sinh phát triển được những năng lực gì?
Ví dụ: Học bài: “Xác suất của biến cố ”, các mục tiêu cần đạt được là :
+Biết được công thức tính xác suất cổ điển, công thức cộng, công thức nhân xác suất dạng đơn giản
+ Tính được xác suất của biến cố; tính được xác suất của biến cố đối, biến cố hợp, biến cố giao
- Về tư duy, thái độ:
+ Học sinh tích cưc học tập, biết lập kế hoạch và phải biết liên hệ các kiến thức đã học + Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao
- Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển:Năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tự quản lý, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực sử dụng ngôn ngữ
Giáo viên có thể cung cấp hoặc giới thiệu cho học sinh một số tài liệu tham khảo có liên quan đến nội dung bài học để giúp học sinh thuận lợi trong việc nghiên cứu và học tập
Giáo viên tham khảo một số tài liệu như: Sách giáo khoa Đại số lớp 11 Chương trình cơ bản, NXBGD, sách giáo viên Đại số 11 Chương trình cơ bản, NXBGD, hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán học 11, một số tài liệu trên các nhóm facecbook, các trang mạng tin cậy
Thời gian, nội dung bài học, phương pháp và phương tiện được sử dụng trong giáo án Tiến trình bài dạy được thực hiện dựa trên các hoạt động: Hoạt động khởi động, hoạt động hình thành kiến thức, hoạt động luyện tập, hoạt động vận dụng, hoạt động mở rộng, tìm tòi Trong các hoạt động được chia làm hai phần: Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh và dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động của học sinh
2.3.2 Nắm được những yêu cầu cần thực hiện để có một giờ dạy thành công
- Tìm hiểu kĩ về người học
Tìm hiểu quá trình và kết quả học tập môn Toán của các em học sinh ở các năm trước, tìm hiểu hứng thú học tập môn Toán và các nguyên nhân, từ đó để đưa ra những biện pháp phù hợp để nâng cao sự tiến bộ của việc học môn Toán của từng em
Thay đổi linh hoạt cách thể hiện nội dung bằng các phương pháp giảng dạy chủ động khác nhau Chuẩn bị tư liệu minh hoạ sinh động để trực quan hoá bài giảng, kết hợp các sử dụng phương tiện máy chiếu, bảng phụ
- Giao tiếp với người học
Giáo viên cần tôn trọng, lắng nghe học sinh Thái độ thân thiện, cởi mở, biết lắng nghe của thầy cô luôn được học sinh trân trọng Sự khen ngợi, khuyến khích đúng lúc, đúng chỗ của thầy sẽ giúp trò có cơ hội phát triển những tiềm năng
- Rút kinh nghiệm sau từng giờ dạy
Cảm nhận của học sinh sau tiết học là rất quan trọng Sau tiết học các em đã thu hoạch được những gì và giáo viên chúng ta cần thay đổi như thế nào để tốt hơn
Ví dụ: Số lượng hoặc mức độ kiến thức của bài toán sử dụng trong tiết dạy
- Chủ động nắm bắt những khó khăn của học sinh trong quá trình học tập
Hiệu quả do sáng kiến đem lại
Qua thực tiễn áp dụng sáng kiến vào quá trình học tập môn Toán tại trường THPT, sáng kiến bước đầu đã đem lại cho bản thân tôi và các đồng nghiệp, đặc biệt là các em học sinh những hiệu quả đáng kể, các em học sinh học tập tích cực, sôi nổi hơn với những bài toán thực tiễn Sự hấp dẫn của các bài toán có nội dung thực tiễn cũng chính là ở chỗ gắn các kiến thức toán học với các ứng dụng thực tế đa dạng và sinh động trong học tập, cũng như trong lao động và sản xuất
Nội dung các kiến thức trong tài liệu có tính thực tiễn vô cùng to lớn, các khoa học này xuất hiện hầu hết trong các bài toán kinh tế và kĩ thuật từ ngành nông nghiệp đến ngành công nghiệp cũng như trong các lĩnh vực khoa học xã hội
2 Hiệu quả về mặt xã hội
Trong quá trình áp dụng sáng kiến, tôi đã trao đổi sáng kiến với đồng nghiệp và các em học sinh Điều đó thực sự rất bổ ích, giúp tôi rút được kinh nghiệm, có cách nhìn bao quát hơn và có nhiều ý tưởng để xây dựng, hoàn thiện và triển khai rộng rãi trong quá trình giảng dạy
Các tiềm năng ứng dụng và ý nghĩa to lớn của những bài toán có nội dung thực tiễn được gợi mở và dần dần được củng cố bằng hệ thống các bài toán có nội dung thực tiễn đa dạng và phong phú Điều đó kích thích sự hứng thú của cả giáo viên và học sinh trong quá trình học tập Đối với các em học sinh, không những các em được rèn luyện và phát triển năng lực mô hình hoá toán học, đã tự tin hơn rất nhiều khi gặp bài toán về chủ đề này mà các em còn
76 có thêm những kĩ năng giao tiếp trong việc thể hiện suy nghĩ, ý kiến của mình thông qua hoạt động nhóm, có những cách nhìn sâu sắc hơn các vấn đề trong cuộc sống Từ đó các em thêm yêu quý và gắn bó với môn Toán học.
Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền
Tôi cam kết tuyệt đối không vi phạm bản quyền Nếu vi phạm bản quyền, tôi xin chịu mọi hình thức kỉ luật
CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1
I Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến 2
II Mô tả giải pháp 3
1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến 3
2 Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến 3
Phần 1 Cơ sở lý thuyết 3
1.1 Dạy học bằng mô hình hoá 3
1.2 Khái niệm mô hình, mô hình hoá 5
1.3 Quy trình mô hình hoá 6
1.4 Năng lực mô hình hoá toán học 14
1.5 Thực trạng dạy học mô hình hoá ở trường phổ thông 16
2.1 Nâng cao năng lực hiểu biết toán học cho học sinh thông qua dạy học bằng mô hình hoá 16
2.2 Một số biện pháp phát triển năng lực mô hình hoá toán học của học sinh trong quá trình dạy học 28
2.2.1 Rèn luyện kĩ năng biểu diễn mô hình dưới dạng biểu đồ, đồ thị với số liệu thực tế 28
2.2.2 Rèn luyện kĩ năng xác định được các biến số, tham số liên quan và mối
78 quan hệ giữa các biến số 35
2.2.3 Rèn luyện kĩ năng chuyển đổi các vấn đề trong tình huống thực tiễn dưới dạng ngôn ngữ toán học 58
2.3 Một số chú ý trong quá trình dạy học … 61
2.3.1 Lập kế hoạch bài giảng môn Toán một cách chi tiết, cẩn thận, giáo án phát huy năng lực của học sinh 61
2.3.2 Nắm được những yêu cầu cần thực hiện để có một giờ dạy thành công 63
2.3.3 Một số phương pháp dạy học tích cực áp dụng trong quá trình dạy học 64
III Hiệu quả do sáng kiến đem lại 75
2 Hiệu quả về mặt xã hội 75
IV Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền 76