Skkn toán học thpt (12)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Phương pháp tính tích phân hàm ẩn và bài toán tích phân kết hợp cực trị, tương giao của đồ thị hàm số I.. Hiện nay với xu hướng thi trắc nghiệm, phần tích phân còn

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Phương pháp tính tích phân hàm ẩn

và bài toán tích phân kết hợp cực trị, tương giao của đồ thị hàm số

I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

Trong Chương trình môn Toán Trung học phổ thông, phép tính Nguyên hàm

- Tích phân chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong Toán học, tích phân được ứng dụng rộng rãi trong thực tế như là tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, nó là một trong những cơ sở để nghiên cứu Giải tích hiện đại Ngoài ra phép tính tích phân còn được ứng dụng rộng rãi trong Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học,

Phép tính tích phân được bắt đầu giới thiệu cho các em học sinh lớp 12 và

nó có mặt hầu hết trong các kỳ thi như thi tốt nghiệp THPT, thi học sinh giỏi các cấp Hiện nay với xu hướng thi trắc nghiệm, phần tích phân còn được yêu cầu rộng hơn và đòi hỏi học sinh phải tư duy linh hoạt hơn và phần Nguyên hàm - Tích phân của một số hàm ẩn đã được đưa vào để yêu cầu học sinh, mặc dù đã được học kỹ các phương pháp tính, nhưng đứng trước yêu cầu về tính nguyên hàm, tích phân của hàm ẩn đa số các em còn gặp nhiều khó khăn, lúng túng và thậm chí là không định hình được lời giải khi đứng trước các bài toán dạng này

Muốn học sinh học tốt được phần này thì mỗi người Giáo viên không phải chỉ truyền đạt, giảng giải theo các tài liệu đã có sẵn trong Sách giáo khoa, trong các sách hướng dẫn và thiết kế bài giảng một cách dập khuôn, máy móc, làm cho học sinh học tập một cách thụ động Nếu chỉ dạy học như vậy thì việc học tập của học sinh sẽ diễn ra thật đơn điệu, tẻ nhạt và kết quả học tập sẽ không cao Nó là một trong những nguyên nhân gây ra cản trở việc đào tạo các em thành những con người năng động, tự tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng với những đổi mới diễn ra hàng ngày

Yêu cầu của giáo dục hiện nay đòi hỏi phải đổi mới phương pháp dạy học môn toán theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh Vì

vậy người giáo viên phải gây được hứng thú học tập cho các em bằng cách thiết kế bài giảng lại khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế

Vì những lí do đó, để giúp học sinh có cơ sở khoa học, có có hệ thống kiến thức về tính tích phân của hàm ẩn và tháo gỡ những vướng mắc trên, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học, đáp ứng nhu cầu đổi mới giáo dục, tôi đã chọn sáng kiến sáng kiến kinh nghiệm “Phương pháp tính Tích phân hàm ẩn và bài toán tích phân kết hợp cực trị, tương giao của đồ thị hàm số”

Với Sáng kiến này tôi hi vọng sẽ giúp cho học sinh dễ dàng nắm bắt và thành thạo trong việc tính nguyên hàm, tích phân nói chung và nguyên hàm, tích phân của một số hàm ẩn nói riêng cũng như lớp bài toán kết hợp giữa cực trị, tương giao đồ thị hàm số và tích phân

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP

1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến:

Từ kì thi THPT QG năm 2017 bộ Giáo dục và Đào tạo chuyển đổi hình thức thi của môn toán từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi phương pháp dạy và học cũng phải thay đổi cho phù hợp

Trong các đề minh họa của bộ Giáo dục và Đào tạo, đề thi TN THPT, học sinh thường gặp một số câu về tính tích phân của hàm ẩn và các bài toán tích phân cho kết hợp với cực trị, tương giao của đồ thị hàm số, đây là các bài toán phân hóa đối tượng ở mức độ vận dụng để lấy điểm cao Hướng dẫn các em vận dụng tốt phần này sẽ tạo được cho các em có thêm phương pháp, có kinh nghiệm trong việc tính tích phân và nâng cao tư duy trong giải toán nhằm lấy được điểm cao hơn trong bài thi, giúp giáo viên tự tin hơn trong lên lớp

Trước khi áp dụng sáng kiến này vào dạy học, tôi đã khảo sát chất lượng học tập của học sinh trường 2 lớp 12A2, 12A3 Trường THPT Xuân Trường về các bài toán tính nguyên hàm - tích phân của hàm ẩn, đã thu được kết quả như sau:

12A1 38 7 18,4 10 26,3 21 55,3 0 0 12A2 37 5 13,5 9 24,3 22 59,5 1 2,7 0

Qua bài khảo sát tôi thấy về cơ bản trình độ nhận thức của học sinh 2 lớp trên chênh lệch không đáng kể Số lượng học sinh nắm được kiến thức dạng này không nhiều, có rất nhiều em chưa định hình được lời giải do chưa có được kiến thức và kĩ năng cần thiết

Thực hiện sáng kiến này tôi đã hệ thống lại các phương pháp tính tích phân đã được học để áp dụng tính cho hàm ẩn và lớp bài toán tính tích phân kết hợp cực trị, tương giao của đồ thị hàm số thông qua các phương pháp cụ thể và các ví dụ tương ứng cho mỗi phương pháp đó Cuối cùng là bài tập tương tự để học sinh vận dụng các phương pháp đã được học vào giải quyết vấn đề

2 Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến

Sáng kiến sẽ làm rõ vấn đề mà học sinh còn gặp khó khăn, lúng túng, sai lầm thường gặp và thậm chí là không có định hình về lời giải trong việc tính nguyên hàm, tích phân của hàm ẩn, bài toán tích phân khi kết hợp với các bài toán cực trị, tương giao của đồ thị hàm số

Sáng kiến góp phần gây hứng thú học tập phần nguyên hàm, tích phân của hàm ẩn, bài toán ứng dụng tích phân khi kết hợp với các yếu tố cực trị, tương giao của đồ thị hàm số cho học sinh, một trong các phần được coi là khó, đòi hỏi tính tư duy logic cao và không những chỉ giúp giáo viên lên lớp tự tin; học sinh lĩnh hội được tri thức một cách đầy đủ, khoa học mà còn giúp các em củng cố và khắc sâu các tri thức mới

Sáng kiến sẽ làm cho học sinh thấy được tầm quan trọng của chương học, là vấn đề then chốt cho việc tiếp nhận và giải các dạng toán tiếp theo

Nâng cao chất lượng bộ môn toán theo từng chuyên đề khác nhau góp phần nâng cao chất lượng dạy học

2.1 Giải pháp 1: Xác định cơ sở lý luận thực tiễn và các phương pháp sử dụng trong sáng kiến

Phương thức 1: Xác định rõ các kiến thức lý thuyết cơ bản nguyên hàm và tính chất

Định nghĩa nguyên hàm

Cho hàm số f x xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng)

 

 

 

a , ở đó F x là một

 

 

Sự tồn tại nguyên hàm

Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

 

Phương thức 2: Tìm hiểu định nghĩa, tính chất của tích phân và các phương pháp tính tích phân

Người ta dùng kí hiệu ( )F x để chỉ hiệu số ba F b( )F a( ) Như vậy Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì



b

b a a

Chú ý: nếu F x( ) f x với mọi ( ) x K thì F x( )



Phương pháp đổi biến số

Công thức









b a

u x v x dx u x v x v x u x dx (trong đó ,u v có đạo hàm liên tục trên K và ,a b là hai số thuộc K )

Trên cơ cơ tóm tắt định nghĩa và các tính chất giáo viên nhấn mạnh và đưa

ra các chú ý khi áp dụng để giải toán

Phương thức 3: Các phương pháp tính tích phân hàm ẩn, bài toán tích phân kết hợp cực trị, tương giao của đồ thị hàm số hàm số là giải pháp trọng tâm của sáng kiến

Thực hiện sáng kiến này tôi chia nội dung thành bốn phần

Phần 1 Phương pháp biến đổi đưa về nguyên hàm cơ bản (giải pháp 2)

Phần 2 Phương pháp sử dụng phương pháp đổi biến số (giải pháp 3)

Phần 3 Phương pháp sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần (giải pháp 4) Phần 4 Phương pháp tạo bình phương cho hàm số dưới dấu tích phân (giải pháp 5) Phần 5 Bài toán tích phân kết hợp cực trị, tương giao của đồ thị hàm số (giải pháp 6)

Mỗi phần được thực hiện theo các bước:

- Nhắc lại kiến thức cơ bản sử dụng trong sáng kiến

- Nêu các ví dụ áp dụng

- Phân tích định hướng lời giải cho ví dụ

- Nêu các nhận xét, bình luận đưa ra bài toán tổng quát (nếu có)

2.2 Giải pháp 2: Phương pháp tính tích phân hàm ẩn bằng cách biến đổi đưa

dàng thiết kế mối liên hệ giữa f x f x

   

 

 

tự dựa vào công thức tính đạo hàm của các hàm số chứa căn; đạo hàm của tích, thương hai hàm số ta xét tiếp một số ví dụ sau

Ví dụ 2 (Đề thi chọn HSG tỉnh Nam Định năm 2021) Cho hàm số f x có đạo

 

hàm liên tục trên

 

 

   

Phân tích định hướng lời giải :

Thực hiện biến đổi giả thiết ta được 2

   

 

Phân tích định hướng lời giải : Mấu chốt của bài toán là công thức tính đạo hàm

Do f x đồng biến trên đoạn ( )

 

 

Ví dụ 6 Cho hàm số ( )f x đồng biến, có đạo hàm cấp hai trên đoạn

 

 





Phân tích định hướng lời giải :

Giả thiết 2 ( )









( ) ( ) ( )

2( )

1 1

(2 1) ( ) (2 1) x x x x ( x x) x x 1

Chọn C

Ví dụ 7 Cho f x có đạo hàm trên R và thỏa mãn ( )  3 ( )   2 1 

Giả thiết f x( )





 

 

ta liên tưởng đến công thức tính đạo hàm tích hai hàm số u x f x

   

ta tìm được hàm số u x thì bài toán được giải quyết Khi đó ta có lời giải như sau

 





Cho ( ); ( )A x B x ; ( )g x là các biểu thức đã biết Tìm hàm số ( )f x thỏa mãn



( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A x f x B x f x g x (**)

Do vế trái có dạng (*) nên ta có thể biến đổi (**) 





Trong đó ( )u x được chọn sao cho :

ln ( )u x G x( )c (với ( )G x là một nguyên hàm của ( )

( )

A x

B x ) từ đây ta sẽ chọn được biểu thức ( )u x

Ví dụ 9 Cho ( )f x thỏa mãn x x( 2) '( ) (f x  x4) ( )f x x x( 2)2 với mọi

u

xx

Câu 1 Cho f x( ) liên tục và có đạo hàm trên  \ 1;0 thỏa mãn





Câu 2 Cho ( )f x có đạo hàm trên

 

215

215

có Cuối cùng đưa ra bài tập tương tự để học sinh rèn luyện

2.3.1 Kiến thức sử dụng

Tính tích phân 



b

a

I g x dx Giả sử g x( ) được viết dưới dạng f u x u x ,trong





đó hàm số u x có đạo hàm trên K , hàm số y=f(u) liên tục sao cho hàm hợp ( )

Ví dụ 1 (Đề thi chọn HSG tỉnh Nam Định năm 2021) Cho hàm số f x liên

 

tục trên  và thỏa mãn f x













Phân tích định hướng lời giải:

Do vế trái chứa f x









và thực hiện phép đổi biến số ta sẽ thu được

15.4Phân tích định hướng lời giải:

Nếu dùng phương pháp chia khoảng phá dấu giá trị tuyệt đối và thực hiện phương pháp đổi biến t  1 4x ; rồi t 4x1 thì sẽ xuất hiện hai tích phân ban đầu Do đó ta thực hiện lời giải như sau:

f xx

f xx

Phân tích định hướng lời giải:

Nếu từ phương trình f x

 









từ 1 đến 2 Dùng phương pháp đổi biến số biến đổi hai tích phân

Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số , ,A B C

Nếu f x liên tục trên

   









 

f a b x dx f x dx Chứng minh trường hợp (1):

TừA f x

 

 

   



  

Đặt xsintdxcostdt (với  

Để tính được tích phân I, ta phải tìm được hàm số f x Từ đó ta định

 

  Giải hệ đó ta thu được hàm số f x Do đó ta thực hiện lời

 

giải như sau:

e2 1I

x x

2021

ee

Để tính được tích phân I, ta sử dụng cách đổi biến x  và kết hợp điều 3 tkiện ( ) (3 ) 4

k Bài tập tương tự:

Câu 1 Cho f x là hàm số liên tục trên

 



 

Câu 5 Cho hàm số f x liên tục trên

 

 

2d

Câu 9 Cho hàm số f x liên tục trên ( )

 

Câu 11 Xét hàm số f x liên tục trên

  



Câu 17 Cho f x là một hàm số liên tục trên ( )  thỏa mãn

3 2

xI

xI

Phương thức thực hiện: Trước hết tóm tắt kiến thức hay dùng trong dạng toán này và đưa ra 5 ví dụ minh họa cho phương pháp, trong mỗi ví dụ khác nhau

có phân tích định hướng lời giải, nhận xét Cuối cùng đưa ra bài tập tương tự để học sinh rèn luyện

2.4.1 Kiến thức sử dụng

Công thức









b a

u x v x dx u x v x v x u x dx (trong đó ,u v có đạo hàm liên tục trên K và ,a b là hai số thuộc K )

Phân tích định hướng lời giải:

Để tính được tích phân I, ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần bằng cách chọn u x 1;dv f x dx

 



 

 

Với cách giải tương tự ta có Ví dụ 2, 3, 4, 5 như sau

Ví dụ 2 Cho hàm số ( )f x liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn f( 3) 3 và

xf xdx

Câu 1 (Đề thi TN THPT năm 2019-mã đề 101) Cho hàm số ( )f x có đạo hàm

liên tục trên  Biết f

 

 

Phân tích định hướng lời giải :

Giả thiết chứa





Lời giải

f x x và



 

0

37d

44

Ví dụ 3 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn

   

 

0 0

5

0

2 ( )

Giả thiết chứa

 

ta được hai biểu thức

 

Giả thiết chứa

 

( )

f x ,sin ( )x f x và ( )f x nên ta tạo bình phương dạng





 

2

Bài tập tương tự

Câu 1 Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn

   

 

f ,





  

1

1d45

d

f xx

x f x x và



 

0

9d5

Câu 6 Cho hàm số f x

 

 

Câu 7 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn

   

 

Phương thức thực hiện: Trước hết tóm tắt kiến thức hay dùng trong dạng toán này và đưa ra 5 ví dụ minh họa cho phương pháp, trong mỗi ví dụ khác nhau

có phân tích định hướng lời giải, nhận xét, bình luận Cuối cùng đưa ra bài tập tương tự để học sinh rèn luyện

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x ,

 

 

 

   





a

S f x g x dx 2.6.2 Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1 (Đề thi TN THPT năm 2021-mã đề 101) Cho hàm số

 3 2 

( )

f x x ax bx c với a b c, , là các số thực Biết hàm số

 

 

 

 

g x f x f x f x có hai giá trị cực trị là 3 và 6 Diện tích hình phẳng

giới hạn bởi các đường

 

 



 6

f xy

g x và y 1 bằng

A 2 ln3 B ln3 C ln18 D 2 ln 2

Phân tích định hướng lời giải :

Do hàm số g x có hai giá trị cực trị là 3 và 6 nên từ lý thuyết cực trị hàm số ta

 

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường

 

 



 6

f xy

x x Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

 

 



 6

f xy

Biết f

   

Phân tích định hướng lời giải :

Phân tích định hướng lời giải:

Chú ý đến tính chất đối xứng của parabol khi có đỉnh nằm trên trục tung cho ta tung độ của điểm A và C bằng nhau: f

 

 

Với A



 





  

2

AB sẽ tìm được mối liện hệ giữa a, c

Từ đây dễ dàng tính được diện tích

Do đồ thị y f x

 

 

3; 1;1

  Biết f

   

   

   

3 2

1 2

37ln

49ln

Ví dụ 5 (Đề KSCL lần 4 năm 2022-Chuyên Hùng Vương Phú Thọ) Cho hàm

số f x( )x4bx2 c b c( ,  có đồ thị là đường cong )

 

 

 

 





   

2 1

2

4

31

x

x

g x f x

xx

143

43.5