Bài 18 dấu tam thức bậc hai đáp án

Tập hợp gồm tất cả các nghiệm của bất phương trình bậc hai ax2bx  gọi là tập nghiệm c 0của bất phương trình này.. Vậy không có giá trị nào của m thoả mãn bài toán... Vậy không có giá

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức có dạng ax2bxc, trong đó , ,a b c là những số thực

cho trước a 0, được gọi là các hệ số của tam thức bậc hai

Định lí về dấu tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai   2  

0

f x ax bx c a  Nếu  0 thì f x  cùng dấu với hệ số a với mọi x  

Nếu  0 thì f x  cùng dấu với hệ số a và với mọi

2

b x a

2

b f a

Chú ý Trong định lí về tam thức bậc hai có thể thay  bởi '

Ví dụ 1 Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

c) Dễ thấy h x( )2x26x có 8   250,a2 và có hai nghiệm phân biệt 0 x1 4;x2  1

BÀI 18 DẤU TAM THỨC BẬC HAI

• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương

Số thực x gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc hai 0 ax2bx  , nếu c 0 2

ax bx  c Tập hợp gồm tất cả các nghiệm của bất phương trình bậc hai ax2bx  gọi là tập nghiệm c 0của bất phương trình này

Giải bất phương trình bậc hai f x( )ax2bx c  là tìm tập nghiệm của nó, tức là tìm các 0khoảng mà trong đó ( )f x cùng dấu với hệ số a (nếu a 0) hay trái dấu với hệ số a (nếu a 0) Nhận xét Để giải bất phương trình bậc hai 2

a) Tam thức f x( )3x2  có x 5   590, hệ số a  3 0 nên ( )f x luôn dương (cùng dấu

với a) với mọi x, tức là 3x25x 5 0 với mọi x   Suy ra bất phương trình vô nghiệm

Dạng 1 Xét dấu của tam thức bậc hai

Phương pháp: Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai

a) Để xét dấu tam thức bậc hai f x( )ax2bx c a ( 0), ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính và xác định dấu của biệt thức ;

Bước 2: Xác định nghiệm của f x( ) (nếu có);

Bước 3: Xác định dấu của hệ số a;

Bước 4: Xác định dấu của f x( )

b) Khi xét dấu của tam thức bậc hai, ta có thể dùng biệt thức thu gọn  thay cho biệt thức  

BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP

Lời giải

a f x( )3x24x  1, 0,a0, có 2 nghiệm phân biệt lần lượt là 1 và 1

3Bảng xét dấu:

Vậy ( )f x 0 với mọi x 1

c f x( ) x23x2, 0,a0, có 2 nghiệm phân biệt lần lượt là 1 và 2

f x x x a Suy ra ( )f x luôn âm với mọi số thực x

Giá trị của m để các đa thức sau là tam thức bậc hai:

a (m1)x22xm là tam thức bậc hai khi m 1 0m 1

b mx32x2 x m là tam thức bậc hai khi m 0

c 5x22xm1 là tam thức bậc hai với mọi m

ứng

Ta có bảng xét dấu ( )f x như sau:

Vậy ( )f x dương trong hai khoảng ;1

Ta có bảng xét dấu ( )f x như sau:

Vậy ( )f x dương trong hai khoảng ( ; 2) và 3;

g h x( )x22 2x2 có  0, nghiệm kép là x o  2 và a  9 0

Vậy ( )f x âm với mọi x  2

Mặt khác a20 nên ( )f x luôn dương với mọi x khác 1

b  224( 3) 21  256 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

       , và a 2 0 nên ( )f x luôn mang dấu dương với mọi x

Suy ra k x( )0 với mọi ;3 7 3 7;

g x   x không phải là một tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f x( )ax2bx c a ( 0) Khi đó:

- Nghiệm của phương trình bậc hai ax2bx c 0 là nghiệm của f x( )

- Biểu thức  b24ac và

22

b ac

  

   

  lần lượt là biệt thức và biệt thức thu gọn của f x( )

a) f x( ) x23x10 có  490, hai nghiệm phân biệt là x1 2,x2 và 5 a   1 0

Ta có bảng xét dấu f x( ) như sau:

Vậy f x( ) dương trong khoảng ( 2;5) và âm trong hai khoảng ( ; 2) và (5;)

Câu 10 Cho tam thức bậc hai f x( )3x24x7

a) Tính biệt thức và nghiệm (nếu có) của f x( )

b) Xác định dấu của f x( ) tại x0 và x3

Lời giải

a) Biệt thức của f x( ) là 2

4 4 3 ( 7) 100

       Xét phương trình f x( )0 hay 3x24x 7 0, ta có 7

(3)320

f , nên f x( ) dương tại x3

( ) 1 3 6

f x m x mx là một tam thức bậc hai

có x2 là một nghiệm

Lời giải

Ta có f x( ) là tam thức bậc hai khi và chỉ khi m1 và m 1

Mặt khác, x2 là một nghiệm của f x( ) khi và chỉ khi f(2)0

Vậy g x( )0 với mọi x1

c) h x( )2x23x14 có  1210, hai nghiệm phân biệt 1 7 2

2

x x và a20

Ta có bảng xét dấu h x( ) như sau:

Vậy h x( ) dương trong hai khoảng ; 7

Câu 14 Cho biểu thức f x( )(m1)x23x1, trong đó m là tham số Tìm các giá trị của m để:

a) f x( ) là một tam thức bậc hai dương với mọi  x

b) f x( ) là một tam thức bậc hai không đổi dấu với mọi  x

Vậy không có giá trị nào của m thoả mãn bài toán

b) f x( ) là một tam thức bậc hai không đổi dấu với mọi  x khi và chỉ khi m 1 0 và  0

a)   23, ( )f x không có nghiệm và f( 2)  180 nên f x( ) âm tại x 2

b)  0, ( )g x có nghiệm x 2 và g( 2) 0 nên g x( ) không âm, không dương tại x 2

c)  169, ( )h x có nghiệm 1 10

3

 

x và x2 1 ( 2)h   12 nên h x( ) âm tại x 2

a) f x( )(2m8)x22mx1 là một tam thức bậc hai;

b) f x( )(2m3)x23x4m là một tam thức bậc hai có 2 x3 là một nghiệm;

c) f x( )2x2mx3 dương tại x2

Lời giải

a) f x( ) là tam thức bậc hai khi và chỉ khi 2m 8 0, hay m4

b) f x( ) là tam thức bậc hai khi và chỉ khi 2m 3 0, tức là 3

f x m x m x là một tam thức bậc hai có một nghiệm duy nhất;

b) f x( )(m1)x23x1 là một tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt;

c) f x( )mx2(m2)x1 là một tam thức bậc hai vô nghiệm

( )

f x vô nghiệm khi và chỉ khi  (m2)24m0, hay m2 4 0

Điều này không x ảy ra với bất kì giá trị m nào

Vậy không có giá trị nào của m thoả mãn yêu cầu

tương ứng:

Lời giải

a) f x( ) dương trên ( ; 2,5) và (3;), âm trên ( 2,5;3)

b) g x( ) dương với mọi x 1

c) h x( ) âm với mọi  x

a) f x( ) dương trong khoảng (;1) và (4;), âm trong khoảng (1; 4)

b) f x( ) âm với mọi x3

c) f x( ) dương với mọi  x

d) f x( ) âm trong khoảng ( ; 1) và (2, 5;), dương trong khoảng ( 1; 2,5)

e) f x( ) âm với mọi  x

g) f x( ) dương với mọi 3

2

 

a) f x( )(m1)x25x2 là tam thức bậc hai không đổi dấu trên ;

b) f x( )mx27x4 là tam thức bậc hai âm với mọi  x ;

c) f x( )3x24x(3m1) là tam thức bậc hai dương với mọi  x ;

Vậy không có giá trị nào của tham số m thoả mãn yêu cầu

c) Vì 30 nên f x( ) là tam thức bậc hai dương với mọi x  khi và chỉ khi

d) Vì m2 1 0 nên f x( ) không thể âm với mọi  x Vậy không có giá trị nào của tham số m

thoả mãn yêu cầu

a) 2x2 3x 1 0 với mọi  x ;

04

a) Đồ thị của hàm số y f x( ) đi qua ba điểm có toạ độ là ( 1; 4),(0;3)  và (1; 14) ;

b) Đồ thị của hàm số y f x( ) đi qua ba điểm có toạ độ là (0; 2),(2;6) và (3;13);

c) f( 5) 33, (0)f 3 và f(2) 19

Lời giải

a) Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ ( 1; 4)  nên ta có: a   b c 4(1)

Đồ thị hàm số đi qua điểm có toạ độ (0;3) nên ta có: c3 (2)

Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (1; 14) nên ta có: a b c 14 (3)

Thay (2) vào phương trình (1) và (3) ta có 7

Đồ thị hàm số đi qua điểm có toạ độ (2; 6) nên ta có: 4a2b c 6 (2)

Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọ ̣ độ (3;13) nên ta có: 9a3b c 13 (3)

Thay (1) vào phương trình (2) và (3) ta có 4 2 8

(0)3

f nên ta có c3(2)

(2) 19

f nên ta có 4a2b c 19(3)

Thay (2) vào phương trình (1) và (3) ta có 25 5 30

Tam thức bậc hai f x( )x23x có hai nghiệm phân biệt 2 x11,x2 2 và hệ số a  1 0

Ta có bảng xét dấu ( )f x như sau:

cho ở mỗi a), b), c)

c) Từ đồ thị Hình c ta có tam thức bậc hai f x  có hai nghiệm là x1 2,x2 Bảng xét dấu 1tam thức f x  là

a) Phương trình x22x 3 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 1,x2 3

Có a 1 0 nên f x( )x22x 3 0 khi và chỉ khi x  ( ; 1)(3;)=> Phát biểu đúng b) Phương trình x22x 3 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 1,x2 3

Có a 1 0 nên f x( )x22x 3 0 khi và chỉ khi x ( 1;3) => Phát biểu sai

c

Lời giải

Hình a:

Ta thấy đồ thị cắt trục Ox tại điểm (2; 0)

=> Phương trình ( )f x 0 có nghiệm duy nhất x2

Ta thấy đồ thị nằm trên trục hoành nên có bảng xét dấu:

( )

Hinh b:

Ta thấy đồ thị cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt ( 4; 0) và ( 1; 0)

=> Phương trình ( )f x 0 có 2 nghiệm phân biệt x 4,x 1

Trong các khoảng ( ; 4) và ( 1;  thì đồ thị nằm dưới trục hoành nên ( )) f x 0

Trong khoảng ( 4; 1)  thì đồ thị nẳm trên trục hoành nên ( )f x 0

Trong các khoảng (  và (2;; 1)  thì đồ thị nằm trên trục hoành nên ( )) f x 0

Trong khoảng ( 1; 2) thì đồ thị nằm dưới trục hoành nên ( )f x 0

f x với mọi x thuộc các khoảng 3;1

b) Từ đồ thị Hinh 14b ta có tam thức bậc hai ( )f x vô nghiệm Bảng xét dấu của ( ) f x là:

c) Từ đồ thị Hinh 14c ta có tam thức bậc hai f x có hai nghiệm là ( ) x11 và x2 3 Bảng xét dấu của ( )f x là:

Lời giải

Xét tam thức bậc hai f x( )x22x m 12 có hệ số a 1 0

( )0

f x với mọi x  khi     0 1 (m12) 0 m13

Vậy với m13 thì tam thức ( )f x nhận giá trị dương với mọi x 

Suy ra x24x 5 0x  1; 5 và x24x 5 0 x  ;1  5;  

2 2

2 2

Dạng 2 Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Phương pháp: Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai hoặc đồ thị

BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP

hai một ẩn, x 1 và x 2 có là nghiệm của bất phương trình đó hay không?

a) x2  x 3 0;

b) 3x3x2 1 0

Lời giải

a) x2  x 3 0 là một bất phương trình bậc hai một ẩn

Vì 12    1 3 1 0 nên x 1 không là nghiệm của bất phương trình trên

Vì 22   2 3 3 0 nên x 2 là một nghiệm của bất phương trình trên

b) 3x3x2 1 0 không phải là một bất phương trình bậc hai một ẩn

nào là nghiệm của bất phương trình (1)?

2 4.2 3   1 0 Vậy x 2 là nghiệm của bất phương trình (1)

b) Với x 0, ta có: 024.0 3 3 Vậy 0 x 0 không phải là nghiệm của bất phương trình (1)

a) x2 không là nghiệm của bất phương trình x23x 1 0 vì 223.2 1   1 0

b) x2 là nghiệm của bất phương trình 4x23x 5 0 vì 4.223.2 5  170

c) x2 là nghiệm của bất phương trình 2x25x 2 0 vì 2.225.2 2  0 0

Câu 43 Dựa vào đồ thị của hàm số bậc hai đã cho, hãy nêu tập nghiệm của các bất phương trình bậc hai tương ứng

bậc hai sau đây:

b Tập nghiệm của bất phương trình là mọi x 4

c Tập nghiệm của bất phương trình là 3; 4

2

d Bất phương trình vô nghiệm

15 1

42.2

f x có a  2 0 nên ( )f x 0 khi x ( ;3, 5) hoặc (4; )

Vậy nghiệm của bất phương trình 2x215x280 là: x3, 5 hoặc x4

b Xét hàm số f x( ) 2x219x255 có  192  4 ( 2).25524010 Nên f x có hai ( )nghiệm phân biệt

luôn lớn hơn 0 với mọi x

Vậy với mọi x ta luôn có: 12x212x8

( )   1 5 3  4 4 1

4   4 ( 4) ( 1)   Vậy 0( )

b x22x1 có  0,a0, nghiệm kép là x 1, có x22x 1 0 với mọi x 1

Nên bất phương trình x22x 1 0 vô nghiệm

Vậy bất phương trình vô nghiệm

c 3x212x10 có  0,a02 nghiệm phân biệt lần lượt là 13 2

3  và

1323

d 5x2 x 1 có  0,a0 nên 5x2  x 1 0 với mọi số thực x

Từ bảng xét dấu, ta được tập nghiệm của bất phương trình là 1; 2

a) Tam thức 3x236x108 có hệ số a30 và   0 nên 3x236x1080 với mọi x6

và bằng 0 tại x6 Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là \ {6}

b) Tam thức x22x2 có hệ số a  1 0 và biệt thức thu gọn  1 0

    nên

2

x  x  với mọi x Suy ra bất phương trình vô nghiệm

c) Đây là bất phương trình trùng phương nên nếu đặt tx20 thì ta được t23t 2 0 Từ đó

1 t 2 hay 1x22

Giải bất phương trình 1  x2 ta được x 1 hoặc x1

Giải bất phương trình x22 ta được  2x 2

Kết hợp nghiệm ta được tập nghiệm của bất phương trình là [ 2; 1] [1; 2 ]

d) Dễ thấy x2  x 1 0 với mọi x (vì a 1 0 và biệt thức  âm); 2x2  x 2 0 với mọi x

(vì a20 và biệt thức  âm) Do đó ta có thể nhân chéo để được bất phương trình

Câu 51 x3 có là một nghiệm của bất phương trình x24x 2 0 không?

Lời giải

Thay x3 vào bất phương trình ta có 324.3 2 0, hay 1 0  Bất đẳng thức này sai, nên 3



x không phải là nghiệm của bất phương trình x24x 2 0

bậc hai sau đây:

Vậy bất phương trình 3x2  x 1 0 vô nghiệm

 

Vậy bất phương trình x22x 5 0 có tập nghiệm là 

  c) Hàm số xác định khi và chỉ khi x20 và x25x 6 0

Ta có: (3)   4 x2 Tập nghiệm của bất phương trình (3) là S  3 ( 4; 2);

(4)   3 x3 Tập nghiệm của bất phương trình (4) là S  4 ( 3;3)

Giao các tập nghiệm của hai bất phương trình trên là:

c) y2x22x0 không là bất phương trình bậc hai một ẩn vì có 2 ẩn là x và y

Vậy tập nghiệm của bất phương trình 3x27x 4 0 là 1;4

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức 2

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức

x  x mang dấu "-" là 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình x22x 4 0 là 

a) Quan sát đồ thị ở Hình 16a, ta thấy: 2

x x biểu diễn phần parabol yx22x8 nằm phía dưới trục hoành, tương ứng với  4 x2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình 2

d) Quan sát đồ thị ở Hình 16d, ta thấy parabol yx26x9 luôn nằm phía trên trục hoành với mọi x khác 3, tại x3 thì y0 Vậy tập nghiệm của bất phương trình 2

Tập nghiệm của hai bất phương trình 3x27x100 và 2x29x110 lần lượt là 10

Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình là ; 1 1; 

Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình là S   4; 3

Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình là

201

Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình là

3

2 3

x

x x

x x

Dạng 3 Bài toán tham số liên quan đến tam thức bậc hai

BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP

a) Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi    2m22m40, tức là  1 m2

b) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac3m2 3 0, tức là  1 m1

a) có hai nghiệm phân biệt;

b) có hai nghiệm trái dấu

Lời giải

Phương trình đã cho có biệt thức thu gọn  3 2 1

   m m a) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi   0 tức là

Lời giải

Xét hàm số f m( )9m22m3 Ta có  224.9.3 1040 và có a 9 0 Nên ( )f m 0với mọi m nghĩa là 9m22m3

a) x3 là một nghiệm của bất phương trình m21x22mx150;

b) x 1 là một nghiệm của bất phương trình mx22x 1 0;

c) 5

2



x là một nghiệm của bất phương trình 4x22mx5m0;

d) x 2 là một nghiệm của bất phương trình 2  2 

(2m3)x  m 1 x0; e) xm1 là một nghiệm của bất phương trình 2x22mx m 2 2 0

  m m , hay 25 , bất đẳng thức này sai với mọi 0 m 

Vậy không có giá trị m nào thoả mãn yêu cầu

d) x 2 là một nghiệm của bất phương trình 2  2 

b) Phương trình (m1)x22mx 4 0 có hai nghiệm phân biệt;

c) Nếu m0 thì phương trình trở thành x100, có nghiệm x 10

Do đó m0 không thoả mãn yêu cầu

Nếu m0 thì phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi

  m  nên bất phương trình không thể có tập nghiệm là 

Vậy không có giá trị nào của m thoả mãn yêu cầu

Phương trình 2x2(m1)xm 8 0 có nghiệm khi và chỉ khi  0

Vậy phương trình 2x2(m1)xm 8 0 có nghiệm với mọi số thực m

b) Với m  1, phương trình trở thành 2x  2 0 x1 Suy ra m  1thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với m  1 phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

Vậy với  2 m0 thì phương trình có nghiệm

4

m

    bpt có tập nghiệm là Sx x1; 2

Do đó pt đã cho luôn vô nghiệm với mọi m

b) Với m   , tam thức bậc hai trở thành 12 0: luôn đúng với mọi x

Với m   , yêu cầu bài toán 2 (m2)x22(m2)xm 3 0,   x

Kết hợp hai trường hợp ta được m 2 là giá trị cần tìm

a) ( )f x mx  x 1 b) ( )g x (m4)x (2m8)x m  5

Lời giải

a) Với m 0, ta có ( )f x    x 1 0x 1:không thỏa mãn

Với m 0, yêu cầu bài toán mx2  x 1 0,   x

0

01

   thì biểu thức f x  luôn âm

b) Với m 4, ta có ( )g x -1 0 : đúng với mọi x

Với m 4, yêu cầu bài toán  (m4)x2(2m8)xm 5 0,   x

Kết hợp hai trường hợp ta được m  4

2 2

m  thì biểu thức đã cho luôn dương

m m