skkn các phương pháp ứng dụng dấu tam thức bậc hai để giải một số dạng bài toán

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai A.. đặt vấn đề: Định lý về dấu tam thứ bậc hai là một trong những định lý rất quan trọng trong chương trỡnh toỏn phổ thụng.. Nú cú nhiều ứng dụn

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai

A đặt vấn đề:

Định lý về dấu tam thứ bậc hai là một trong những định lý rất quan trọng trong chương trỡnh toỏn phổ thụng Nú cú nhiều ứng dụng như: Xột dấu biểu thức, giải phương trỡnh và bất phương trỡnh chứa ẩn ở mẫu, bất phương trỡnh bậc cao, chứng minh bất đẳng thức và trong bài toỏn biện luận phương trỡnh

Trong bài viết này tụi giới thiệu ra cỏc phương phỏp ứng dụng dấu tam thức bậc hai để giải một số dạng bài toỏn, để độc giả tham khảo và cú thể làm tài liệu tham khảo cho học sinh khỏ, giỏi

Tụi xin chõn thành cảm ơn cỏc đồng nghiệp đó giỳp đỡ, gúp ý để tụi hoàn thành chuyờn đề này Trong quỏ trỡnh viết chắc chắn cũn nhiều thiếu sút mong được sự gúp ý của độc giả Tụi xin chõn thành cảm ơn

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai

ứng dụng về dấu của tam thức bậc hai

i Bài toỏn xột dấu:

Biểu thức f(x) = ax + bx + c, a  0 gọi là tam thức bậc hai biến số x Dấu

của f(x) phụ thuộc vào   b2 – 4ac và a theo sơ đồ sau:

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai

Lưu ý: 1) Nếu a = 0 thỡ f x khụng phải là tam thức bậc hai khi đú

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai

Giải Phõn tớch f x thành thừa số:

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai

x2 + x - 3 + 0 - 0 +

x2 - x + 3 ++ + + + +

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai

a) Bất phương trỡnh tương đương với: f x  x4 x2  6x 9  0

Theo bài toỏn 1 thỡ  

2

13 1 2

13 1

1   





x x

x f

3 6

9 0

9 2

18 9

2

x x x x

x

x x x f

Sau đõy là một số bài tập được chọn từ cỏc đề thi Đại học:

0 9 10

2 3 4

2 4

x x x x

x x

3 2 1

3

x x x

x x

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai

ii chứng minh bất đẳng thức nhờ xột dấu của tam thức bậc hai Sau đõy là một số bài toỏn đề cập trực tiếp đến dấu của tam thức bậc

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai

Suy ra x 0 từ đú suy ra điều phải chứng minh

Lưu ý: Do sự cú mặt của tổng bỡnh phương cỏc cạnh ta cũng cú thể nghĩ

đến hàm số cosin: a2b2c2 2bcCosAb2c2a2  2bcCosA

Vậy x 4b2c2CosA 4b2c2   4b2c2Sin2A x 0

(Do 0 A  Sin2 0)

Giải: Bất đẳng thức đó cho tương đương với:

Bà i toỏn 2: Cho tam giỏc ABC bấ t kỳ Chứng minh với x ta đ ề u cú:

CosB CosC

x CosA x







 2 1

2

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai

4 0 cos 1







C A B

nờn

2 2

A Sin C B

2 2

4 0 1 2 2

 Sin A Cos B C Sin A Sin B C

Bất đẳng thức cuối cựng hiển nhiờn là đỳng

Bà i toỏn 3: Biế t rằ ng a 0 , b 0 chứng minh rằ ng:

a)

a

b b

a a

b b

a a

b b a

(2)

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai

Giải:

a) đặt

a

b b

a

X   , X 2 , 2

(1) X2 2 X X2X 2  0 hiển nhiờn đỳng khi: X 2 , 2

b) Làm tương tự

Sau đõy là một số bài tập được chọn từ cỏc đề thi Đại học:

Bà i 1: Chứng minh rằ ng với mọ i x,y ta đ ề u cú:

a) x2 y2x2 1 4x2y b) 2

(xy)  (x 1)(y 1)

Bà i 2: Cho a2  36 và abc 1 chứng minh:

ca bc ab c b a

3

Bà i 3: Chứng minh với mọ i x và  ta đ ề u cú:

1 Sin2 x2  2Sin Cosx 1 Cos2   0

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai

iii điều kiện để biểu thức khụng đổi dấu

0

a c

c b a

a c

b a

Ta cũng suy ra được điều kiện của f x  0 hoặc f x  0

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai

Giải: Hàm số y đồng biến với mọi x y, 0 với mọi x

 2 1 2 2  1  3  0

 a x a x với mọi x

Trường hợp 1:   1

1 1 0

3

0 1 2

0 1

a a

0 1

2 2 ,

2

a a

a

a a

Vậy a 2 hoặc a  1

Bà i toỏn 2: Tỡm a sao cho bấ t đ ẳ ng thức:

2 2

25 100

1

25y  xaxyy x

nghiệ m đ ỳng vớ i mọ i cặ p số  x; y thoả món x  y

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai

Giải: x  y x y Do đú bất đẳng thức phải đỳng trong cả hai trường

50 0

100

50 1

50 0

0 50

a a

a x

Kết hợp trường hợp (1) và trường hợp (2) ta đi đến đỏp số: a 50

Bà i toỏn 3: Tỡm m sao cho:

0 3 2

4 2

2  y  xxy 

x với mọ i x,y

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai

Giải: Hóy coi vế trỏi là tam thức bậc hai của x thỡ:

Cho tam thức bậc hai: f(x) ax2 bxc, (a 0 )

a) Để so sỏnh cỏc nghiệm của f(x)với số  ta cú quy tắc biểu diễn

sau:

+

 x

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai

1 Khi af(x)  0 ta kết luận được ngay f (x)cú nghiệm nờn khụng cần xột

; nhưng khi af(x)  0thỡ phải đặt điều kiện cú nghiệm cho f (x).

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai

2 Nếu a 0thỡ f x ax2 bxc

) ( cú một nghiệm thuộc ( ,  ) và một nghiệm

ngoài   ,   f(  )f(  )  0

b) Ngoài sơ đồ quy tắc trờn, cỏc bạn học sinh cần nắm vững một số quy tắc sau đõy để biết cỏch xử lý linh hoạt những bài toỏn với cỏc yờu cầu rất cơ bản:

2

f x

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai

0 , 2

1

s

af x

x







Lưu ý: 1) Cú thể sử dụng phương phỏp giỏn tiếp: Xột điều kiện để f (x)

khụng cú nghiệm thoả món x  khi đú xột hai trường hợp:

Trường hợp1: f (x) vụ nghiệm    0

0 , 2

1

s

af x

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai

Trường hợp 1: f (x) cú nghiệm  , hoặc cú nghiệm 

0 ) ( 0

s af af

Bài toỏn 1: Cho phương trỡnh:

0 1 5 ) 2 ( ) (x x2 m x m 

f

Tỡm m sao cho:

a) Phương trỡnh chỉ cú một nghiệm thoả món x 1

b) Phương trỡnh cú ớt nhất một nghiệm thoả món x  4

c) Phương trỡnh cú nghiệm thuộc ( 1 ; 1 )

d) Phương trỡnh cú ớt nhất một nghiệm x 2

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai

2 1

4

2 1

0 ) 1 (

m

m m

m s

f x

0 ) 1 5 ( 4 ) 2 ( 2 1

0 1

2

2

m m

s x

x

16 0

16 0 0

0 16

m m

Vậy m 0 hoặc m 16

b) Ta dựng phương phỏp giỏn tiếp:

Tỡm m để f (x) khụng cú nghiệm x  4

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai

Trường hợp 1: f (x) vụ nghiệm    0 m2 16  0  0 m 16

Trường hợp 2: f (x) cú nghiệm  4 x1,x2  4

0 9

25

4 2

2 4

0 9

0 25 9

0 16

4 2 4

0 ) 4 (

0 ) 4 (

s af af

Túm lại: f (x) khụng cú nghiệm 0

16 4

x

m x

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai

Cho f(x) x2 2mx 2m2 1 tỡm m sao cho:

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai

v phương trỡnh quy về phương trỡnh bậc hai

Cú rất nhiều loại phương trỡnh được đưa về phương trỡnh bậc hai nhờ cỏc phương phỏp biến đổi cơ bản: Phộp luỹ thừa, phộp mũ hoỏ, phộp đặt ẩn phụ,

trong quỏ trỡnh chuyển về phương trỡnh bậc hai sẽ xuất hiện bài toỏn so sỏnh nghiệm của phương trỡnh bậc hai với cỏc số, đó ứng dụng việc xột dấu tam thức bậc hai

) ( ) ( )

( ) (

x f

x g x f x

g x f

0 ) ( )

( ) (

x g x f

x g x

g x f

Bài toỏn 1: Tỡm m để phương trỡnh

m x

x  2 

1 (1)

Cú nghiệm duy nhất

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai

0 1

x m

x

m x x

m x

2x2 mx m2

m x

0 ) 1 ( 2 0 )

0 2 2

Trường hợp 3: (2) cú nghiệm 1

2

0 1 2

0 )

m m

s

m f m x x

Vậy  1 m 1 hoặc m  2

Bỏi toỏn 2: Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm:

0 4

2x2 mx x2  (1)

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai

0 4 0

4 2

2

2

2 2

x x

mx x x

x mx x

(2)

Do đú (1) cú nghiệm  (2) cú ớt nhất một nghiệm ngoài khoảng ( 2 , 2 ) ta

dựng phương phỏp giỏn tiếp tức là tỡm m để (1) vụ nghiệm tức là (2) khụng cú

0 ) 2 (

0 ) 2 ( 0

s af

0 4 2

0 8 2

0 16

2

m m m m

4 4 4 4

m m m m m

4

m m

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai

) ( ) (

1 0

x f

x g x f a

a b

x f

) (

1 0

) ( log

Bài toỏn 1: Tỡm a sao cho phương trỡnh:

0 ) 1 2 2 ( log ) 4 ( log

3 1 2

1 2 2 4

2

a x

a x ax x

0 1 2 ) 1 2 ( 2

2

a x

a x a x

Do đú(1) cú nghiệm duy nhất  ( 2 ) chỉ cú một nghiệm thoả món

x a

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai

0 1 2 ) 1 2 )(

1 2 ( 2

1 2

4

1 10 ) 1 2

x x a

1 2

0 2

1 2

s a

a f

a a

2 1 2

1 2

0 4

1 10 ) 1 2 (

a a a

a a

10

1 2

1

a a

3 Phộp đặt ẩn dụ:

Trước hết: Ta hóy nhỡ những nguyờn tắc khi đặt ẩn phụ Y t (x) Tuỳ theo

yờu cầu của bài toỏn đối với x mà dẫn đến yờu cầu đối với Y Rất cần lưu ý:

- Với những giỏ trị nào của Y thỡ tồn tại x?

- Khi đú mỗi giỏ trị của Y sẽ cho bao nhiờu nghiệm x?

- Nếu xphải thuộc tập hợp một số nào đú thỡ Y phải thoả món điều kiện gỡ?

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai

Trong nhiều kỳ thi tuyển vào ĐH, CĐ của những năm gần đõy, khỏ nhiều

học sinh khụng chuyển được bài toỏn đối với xvề bài toỏn tương đương đối với

Y Đõy chớnh là một điều mà cỏc bạn học sinh cần rốn luyện, ta sẽ đi qua một loạt phương trỡnh cỏc bạn làm quen

1 Phương trỡnh bậc 4 đặc biệt

Giải: Đõy là phương trỡnh trựngphương

Đặt X = x2  0 ta cú phương trỡnh:

0 5 )

3 2 (

3 2

4  m x m 

x (1) cú cỏc nghiệ m thoả món:

3 1

0 1

2  1   2  3  4

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai

Khi và chỉ khi phương trỡnh (2) cú hai nghiệm: 0 X1X2 khi đú:

0 1

2 3 1 0

1

2  1   2  3 4     2     1   1   2 

0 1

0 ) 0 (

0 ) 1 ( 0

1

af af

af X

0 9 7

0 5

0 3

m m m

m m

m

khụng cú m nào thoả món

Giải: Đõy là phương trỡnh thuận nghịch Để ý rằng x 0khụng phải là

nghiệm của (1) nờn cú thể chia 2 vế cho 2

x ta được:

Bà i toỏn 2:

Tỡm giỏ trị củ a h sao cho phương trỡnh:

0 1 ) 1 ( )

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai

(1)  2 (  1 )  1  (  1 )1 12  0

x x h x

Đặt x=  1  2 

x x

5 2 0 ) 2 (        

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai

Lưu ý 1) Dạng tổng quỏt của phương trỡnh trờn là:

0 2

X  1

2) Do nhận xột được (2) cú   1

a

c khụng nờn phải xột nhiều trường hợp

Giải: Ta cú phương trỡnh tương đường:

x4 4x3 4x2  4 x2 2xk 0 (1)

 2  2  2 4 2  2   0

Gọi (*) là phương trỡnh ẩn x, cú  ,  1 X Vậy với X   1 cú hai nghiệm x

Với X   1, (*) cú một nghiệm x, cũn với X   1, (*) cú cú nghiệm x

Xột phương trỡnh: X2 4Xk 0 (2)

Bà i toỏn 3:

Tỡm k đ ể phương trỡnh : x4 4x3 8xk cú 4 nghiệ m phõn biệ t

Chuyên đề: ứng dụng dấu tam thức bậc hai

Phương trỡnh (1) cú bốn nghiệm phõn biệt  ( 2 ) cú hai nghiệm thoả món

0 ) 1 (

0 1

,

2 1

s

af X

2 1

0 5

0 4