Bài 19 hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai đáp án

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy, chỉ có x 4 thỏa mãn... 2 2Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy x4 thỏa mãn.. Giải các phương

2 Giải phương trình có dạng f x( )g( )x (II)

f x( ) ax2bxc và ( )  g x dxe với ad a2, hoặc d có thể bằng 0 )

Các bước giải:

Bước 1: Giải bất phương trình ( )g x 0 để tìm tập nghiệm của bất phương trình đó Bước 2: Bình phương hai vế của (II) dễn đến phương trình f x( ) [ ( )] g x 2 rồi tìm nghiệm của phương trình đó Bước 3: Trong những nghiệm của phương trình f x( ) [ ( )] g x 2, ta chỉ giữ lại những nghiệm thuộc tập nghiệm của bất phương trình ( )g x 0 Tập nghiệm giữ lại đó chính là tập nghiệm của phương

trình (II)

B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1 Giải phương trình có dạng (I)

BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP

Câu 1 Giải phương trình 2 2

Vậy nghiệm của phương trình (1) là x1

Câu 2 Giải phương trình 3x22x162x1 (3)

Bài 19 HAI DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương

Ta có: (5)3x22x164x24x 1 x22x150

Do đó, phương trình (5) có hai nghiệm là x 3 và x5

Trong hai giá trị trên, chỉ có giá trị x5 là thoả mãn 1

2



Vậy phương trình (3) có nghiệm là x5

Câu 3 Giải các phương trình sau:

a) 4x4 x21

3x 6x 1 x 3c) 2x 1 3x4

Sau khi thu gọn ta được x23x Từ đó 0 x 0 hoặc x 3

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x 3 thoả mãn Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x 3

Câu 6 Giải phương trình 2x25x9 x 1

Lời giải

Bình phương hai vế của phương trình ta được

2x 5x 9 x 2x1

Sau khi thu gọn ta được x23x10 Tử đó 0 x  2 hoặc x 5

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x 5 thoả mãn Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x 5

Câu 7 Giải các phương trình sau:

a 3x24x 1 2x24x3

b x22x  3 2x25

c 2x23x  3 x2 x 1

d x25x4 2x24x3

Thử lại giá trị của x: đều thỏa mãn phương trình

Vậy phương trình có nghiệm là x2 hoặc x 2

Thử lại giá trị của x:

- x 2 không thỏa mãn phương trình,

Thử lại giá trị của x:

- x 2 không thỏa mãn phương trình,

- 2

3



x không thỏa mãn phương trình

Vậy phương trình vô nghiệm

- x 3 không thỏa mãn phương trình

Vậy phương trình có nghiệm x2

Câu 8 Giải các phương trình sau:

a 6x213x13 2 4

b 2x25x3  3 x

Thử lại giá trị đều thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm 3 33

Thử lại giá trị đều không thỏa mãn

Vậy phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm là x3

Câu 9 Giải các phương trình sau:

a) 2x27x 1 3x24x9(3)

b) 5x25x 2x1 (4)

Lời giải

a) Bình phương hai vế của (3) và thu gọn ta được x23x100 Từ đó x 2 và x5

- Thay x 2 vào phương trình đã cho:

2( 2) 7( 2) 1   3( 2) 4( 2) 9  hay  5  , vô lí 5

- Thay x5 vào phương trình đã cho: 2 5 2   7 5 1 3 5 2  4 5 9 hay 86 86, thoả mãn

Vậy phương trình (3) có nghiệm duy nhất x5

b) Bình phương hai vế của (4) và thu gọn ta được x2  x 1 0 Từ đó

Bình phương hai vế của phương trình (5) và thu gọn ta được x2(m1)xm0.(*)

Nhận thấy rằng tam thức bậc hai x2 x 1 có a 1 0 và    3 0 Suy ra x2  x 1 0 với mọi x Như vậy nếu phương trình (*) có nghiệm x thì khi thử lại ta thấy 0 2

0  0 1 0

x x , tức là 0

c) Phương trình đã cho vô nghiệm

Câu 12 Giải các phương trình sau:

b) Tập nghiệm S{10}

c) Phương trình đã cho vô nghiệm

Câu 13 Giải các phương trình sau:

Bình phương hai vế phương trình đã cho và thu gọn ta được x2(1m x)  2 m0 (*)

Do 2x2  x 1 0 với mọi x  (vì a20 và    7 0) nên nếu x là một nghiệm của 0

phương trình  * thì khi thử lại ta được 2

0 0

2x x  1 0, tức là x thoả mãn phương trình đã cho 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình  *

có nghiệm Điều này tương đương với

x x

x x

x x

12 04

3

x x

x x

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy, x3 và x 1 thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x3 hoặc x 1

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy, chỉ có x 4 thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 4

Câu 18 Giải các phương trình sau:

x x

2 2

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy x4 thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x4

Vậy phương trình vô nghiệm

Câu 19 Giải các phương trình sau:

x x

x x

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x3 thoả mãn

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x3

c) Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

x x

x x

Câu 21 Giải các phương trình sau:

x x

x thoả mãn Vậy nghiệm

của phương trình đã cho là 2

Câu 22 Giải các phương trình sau:

g) Phương trình vô nghiệm

Câu 24 Giải các phương trình sau:

Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được:

x x

x x

Câu 26 Giải các phương trình sau:

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x  2, x  1

Câu 28 Giải các phương trình sau:

Với điều kiện trên phương trình tương đương với

x x

22

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x 0

Câu 29 Giải các phương trình sau:

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là

310 13

2 0

2

x x

02

x x

Vì x215 x2 8 0 nên phương trình có nghiệm thì phải thỏa mãn 33 x   hay 2 0

827

Đối chếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình x 1

Câu 33 Giải các phương trình sau

Câu 34 Giải các phương trình sau

Câu 35 Giải các phương trình sau

254

t

x 

1 172

suy ra  * vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 1

Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x  1

Câu 38 Giải các phương trình sau

12

2

x

x x

5.5

x 

Dạng 2 Ứng dụng

BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP

Câu 39 Hai ô tô xuất phát tại cùng một thời điểm từ hai vị trí A và O với vận tốc trung bình lần lượt là

50 km h/ và 40 km h/ trên hai con đường vuông góc với nhau và giao tại O Hướng đi của hai xe thể hiện ở Hình 19 Biết AO8 km Gọi x (giờ) là thời gian hai xe bắt đầu chạy cho tới khi cách nhau 5 km (tính theo đường chim bay) trước khi ô tô đi từ A đến vị trí O Tìm x

Lời giải

Quãng đường ô tô xuất phát từ ,A O đi được sau x giờ lần lượt là 50 ( x km và 40 ( ) x km Sau ) x

giờ, ô tô xuất phát từ vị trí A đến C cách O một khoảng OC 8 50 ( x km )

Sau x giờ, ô tô xuất phát từ vị trí O đến D cách O một khoảng

x Đối chiếu với điều kiện 0x0,16, ta nhận

cả hai giá trị trên của x

Vậy thời gian hai xe bắt đầu chạy cho tới khi cách nhau 5 km (tính theo đường chim bay) trước khi ô tô đi từ A đến vị trí O là 39

410 giờ và 0,1 giờ

Câu 40 Một người đi bộ xuất phát từ B trên một bờ sông (coi là đường thẳng) với vận tốc 6 km h/ để gặp một người chèo thuyền xuất phát cùng lúc từ vị trí A với vận tốc 3 km h/ Nếu người chèo thuyền di

chuyển theo đường vuông góc với bờ thì phải đi một khoảng cách AH 300 m và gặp người đi bộ tại địa điểm cách B một khoảng BH1400 m Tuy nhiên, nếu di chuyển theo cách đó thì hai người không tới cùng lúc Để hai người đến cùng lúc thì mỗi người cùng di chuyển về vị trí C (Hình 22)

b) Thời gian hai người bắt đầu di chuyển cho đến khi tới C là 10 phút

Câu 41 Người ta muốn thiết kế một vườn hoa hình chữ nhật nội tiếp trong một miếng đất hình tròn có đường kính bằng 50 m (Hình 23) Xác định kích thước vườn hoa hình chữ nhật để tổng quãng đường đi xung quanh vườn hoa đó là 140 m

Giải phương trình trên ta có: x40( )m hoặc x30( )m Nếu x40( )m thì độ dài cạnh còn lại là

30 m và ngược lại Vậy kích thước vườn hoa là 30 40  m

Câu 42 Để leo lên một bức tường, bác Dũng dùng một chiếc thang cao hơn bức tường đó 2 m Ban đầu, bác Dũng đặt chiếc thang mà đầu trên của chiếc thang đó vừa chạm đúng vào

mép trên của bức tường (Hình 21a) Sau đó, bác Dũng dịch chuyển chân thang vào gần chân bức tường thêm 1 m thì bác Dũng nhận thấy thang tạo với mặt đất một góc 45 (Hình 21b) Bức tường cao bao nhiêu mét?

Lời giải

Gọi chiều cao bức tường là ( )(x m x0) Khi đặt chiếc thang mà đầu trên của chiếc thang đó chạm đúng vào mép trên của bức tường thì khoảng cách chân thang đến chân tường là

2 2(x2) x ( )m

Khi thang tạo với mặt đất một góc 45

thì khoảng cách từ chân thang đến chân tường là ( )x m

Theo đề bài ta có phương trình: 2 2

(x2) x x1 Giải phương trình trên ta có: x3( )m với x0 Vậy chiều cao bức tường là 3 m

Câu 43 Cho tứ giác ABCD có ABCD AB; 2;BC 13;CD8;DA5 Gọi H là giao điểm của AB

và CD và đặt xAH Hãy thiết lập một phương trình để tính độ dài x, từ đó tính diện tích tứ giác ABCD

Lời giải

- Xét tam giác AHD vuông tại H có: HD 25x2 (áp dụng định lí Pytago)

- Xét tam giác BHC vuông tại H có: HB2HC2BC 2

Vậy diện tích tứ giác ABCD là: 36 - 6 = 30 (đơn vị diện tích)

Câu 44 Hằng ngày bạn Hùng đều đón bạn Minh đi học tại một vị trí trên lề đường thẳng đến trường Minh

đứng tại vị trí A cách lề đường một khoảng 50 m để chờ Hùng Khi nhìn thấy Hùng đạp xe đến địa điểm B ,

cách mình một đoạn 200 m thì Minh bắt đầu đi bộ ra lề đường để bắt kịp xe Vận tốc đi bộ Minh là 5 km h/, vận tốc xe đạp của Hùng là 15 km h/ Hãy xác định vị trí C trên lề đường để hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Thử lại phương trình và điều kiện x0 thì x25, 4 thỏa mãn

Vậy vị trí điểm C là cách H 1 khoảng 25,4 m

Câu 45 Mặt cắt đứng của cột cây số trên quốc lộ có dạng nửa hình tròn ở phía trên và phía dưới có dạng hình chữ nhật (xem hình bên) Biết rằng đường kính của nửa hình tròn cũng là cạnh phía trên của hình chữ nhật và đường chéo của hình chữ nhật có độ dài 66 cm Tìm kích thước của hình chữ nhật, biết rằng diện tích của phần nửa hình tròn bằng 0,3 lần diện tích của phần hình chữ nhật Lấy  3,14 và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai

Lời giải

Gọi đường kính của nửa hình tròn là x cm x( )( 0) Độ dài cạnh bên của hình chữ nhật là

66  x Diện tích nửa hình tròn là

23,148

Vậy kích thước của hình chữ nhật khoảng 40, 08 cm52, 44 cm

Câu 46 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB ngắn hơn 4C là 2 cm

a Biểu diễn độ dài cạnh huyền BC theo AB

b Biết chu vi của tam giác ABC là 24 cm Tìm độ dài ba cạnh của tam giác đó

Vậy độ dài ba cạnh AB AC BC lần lượt là: 6 , , cm;8 cm;10 cm

Câu 47 Một con tàu biển M rời cảng O và chuyển động thẳng theo phương tạo với bờ biển một góc 60

Trên bờ biển có hai đài quan sát 4 và B nằm về hai phía so với cảng O và lần lượt cách cảng O khoảng cách 1 km và 2 km (Hình)

a Đặt độ dài của MO là xkm Biểu diễn khoảng cách từ tàu đến A và từ tàu đến B theo x

516

1,643

Vậy x2, 625 thì thỏa mãn yêu cầu đề

Câu 48 Khoảng cách từ nhà An ở vị trí N đến cột điện C là 10 m Từ nhà, An đi x mét theo phương tạo với NC một góc 60

đến vị trí A sau đó đi tiếp 3 m đến vị trí B như Hình 1

a) Biểu diễn khoảng cách AC và BC theo x

x x

x x

Lời giải

Gọi chiều cao bức tường DG là ( )(x m x0)

Chiều dài chiếc thang là x1( )m

Khoảng cách từ chân thang sau khi bác Nam điều chỉnh là:

3(  )33

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ABC ta có:

2 2( 1) (  )

Vậy chiều cao của bức tường là 4,7 m

Câu 50 Một người đứng ở điểm A trên một bờ sông rộng 300 m, chèo thuyền đến vị trí D , sau đó chạy bộ

đến vị trí B cách C một khoảng 800 m như Hình Vận tốc chèo thuyền là 6 km h/ , vận tốc chạy bộ là

10 km h/ và giả sử vận tốc dòng nước không đáng kể Tính khoảng cách từ vị trí C đến D , biết tổng thời gian người đó chèo thuyền và chạy bộ từ A đến B là 7,2 phút

Câu 51 Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng cách AB4 km Trên bờ biển có một

cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7 km Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ A đến vị trí M

trên bờ biển với vận tốc 3 km h/ rồi đi bộ đến C với vận tốc 5 km h/ như Hình 35 Tính khoảng cách từ vị

trí B đến M , biết thời gian người đó đi từ A đến C là 148 phút

( )3

 x h

Câu 52 Bác An rào một mảnh vườn hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 100 m Biết bác An dùng hết

280 m hàng rào Tính diện tích của mảnh vườn

Lời giải

Gọi độ dài một cạnh của mảnh vườn là x mét (0x100) thì độ dài cạnh còn lại là 100  x2 2

Theo đề bài ta có phương trình  2 2

2 x 100 x 280 Rút gọn và chuyển vế ta có

100 x 140x Bình phương hai vế rồi rút gọn, ta thu được 2x2280x96000 Từ đó tìm được x80 và x60 Thay vào phương trình ban đầu, cả hai giá trị này của x đều thoả mãn Vậy x80 hoặc x60

Với cả hai giá trị trên của x thì diện tích mảnh vườn của bác An luôn là 80 60 4800 m2

Câu 53 Một đường dây điện được nối từ nhà máy điện trên đất liền ở vị trí A đến một hòn đảo ở vị trí D Khoảng cách ngắn nhất từ D vào đất liền là DC2 km, khoảng cách từ A đến C là 5 km (như hình vẽ)

Người ta chọn một vị trí (điểm B) nằm giữa A và C để mắc đường dây điện đi từ A đến B, rồi từ B đến

D như hình vẽ bên dưới Chi phí mỗi km dây điện trên đất liền là 3000USD, mỗi km dây điện ngầm dưới biển là 5000 USD Hỏi điểm B phải cách điểm A bao nhiêu km, biết tổng chi phí là 23000 USD (đây cũng

là chi phí thấp nhất để mắc dây điện mà người ta tính toán được)?

Chi phí để mắc dây điện trên đất liền là: 3000x (USD)

Chi phí để mắc dây điện ngầm dưới biển là: 5000 x210x29 (USD)

Suy ra tổng chi phí mắc dây điện là: 3000x5000 x210x29 (USD)

Vì tổng chi phí là 23000 USD nên ta có phương trình:

Vậy để tổng chi phí là 23000 USD thì điểm B phải cách điểm A là 3, 5 km

Câu 54 Một mảnh vườn trồng hoa có hình dạng là một tam giác vuông Biết tam giác vuông này có độ dài của hai cạnh góc vuông hơn kém nhau là 1 m và chu vi của tam giác vuông này bằng với chu vi của một hình vuông cạnh 3 m Hãy tính diện tích của mảnh vườn trồng hoa đó

Chu vi của tam giác vuông là: x  x 1 2x22x 1 2x 1 2x22x1( )m

Chu vi của hình vuông là: 3 4 12( )  m

Vì chu vi của tam giác vuông bằng chu vi của hình vuông nên ta có phương trình:

2x 1 2x 2x 1 12 2x 2x 1 11 2 x

Giải phương trình ta được x3

Suy ra độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông là: 3 m và 4 m

Vậy diện tích của mảnh vườn trồng hoa đó là 6 m 2

Câu 55 Thành phố A trong năm t có dân số là ( ) p t 20.(t2020) 3000 (nghìn người) và tổng thu

( ) 2 ( 2020) 0, 5 ( 2020) 119

E t t t (nghìn tỉ đồng), t2020 Khi đó, thu nhập bình quân

đầu người của thành phố A trong năm t được tính bởi công thức: ( )

( )

E t

p t Vào năm nào thì thu nhập bình

quân đầu người của thành phố A là 5625000 đồng/người?

Câu 1 Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?

A Tập nghiệm của phương trình f x( )  g x( ) là tập nghiệm của phương trình ( )f x g x ( )

B Tập nghiệm của phương trình f x( ) g x( ) là tập nghiệm của phương trình

[ ( )]f x [ ( )]g x

C Mọi nghiệm của phương trình ( )f x g x đều là nghiệm của phương trình ( ) f x( )  g x( )

D Tập nghiệm của phương trình f x( )  g x( ) là tập hợp các nghiệm của phương trình ( ) ( )

f x g x thoả mãn bất phương trình ( ) f x 0 (hoặc ( )g x 0)

Lời giải

Chọn D

Câu 2 Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?

A Tập nghiệm của phương trình f x( ) g x( ) là tập nghiệm của phương trình f x( ) [ ( )] g x 2

B Tập nghiệm của phương trình f x( )g x( ) là tập hợp các nghiệm của phương trình

2

( ) [ ( )]

f x g x thoả mãn bất phương trình ( )g x 0

C Mọi nghiệm của phương trình f x( ) [ ( )] g x 2 đều là nghiệm của phương trình f x( )g x( )

D Tập nghiệm của phương trình f x( ) g x( ) là tập hợp các nghiệm của phương trình

Câu 3 Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB4 km Giả sử bờ biển là đường

thẳng, trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 5 km Người canh hải đăng có thể chèo

thuyền từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc 3 km h/ rồi đi bộ đến C với vận tốc 5 km h/ (như hình vẽ) Khoảng cách giữa B và M là bao nhiêu để thời gian người đó đến kho là 124 phút?

Thay các giá trị vào phương trình có x  vào thỏa mãn phương trình 1

Câu 5 Tập nghiệm của phương trình 2x  1 x25 là

A S  1; 5 B S  1 C S  5 D S  

Lời giải

Chọn D

Vì x25 0 vậy phương trình vô nghiệm

Câu 6 Số nghiệm của phương trình 4 3 x2 2x1là:

Lời giải

Chọn B

12

371

x x

x x

Vậy phương trình có 1 nghiệm

Câu 7 Số nghiệm của phương trình x3 4x2 x24x là: 3

Câu 8 Tổng các nghiệm của phương trình x1 10x2 x23x là: 2

 

2

2 2

22

1( )

x x

Câu 9 Tập nghiệm S của phương trình 2x  3 x 3 là

Lời giải Chọn D

66

2

x

x x

Câu 10 Tìm số giao điểm giữa đồ thị hàm số y 3x4 và đường thẳng y x 3

Lời giải Chọn D

Số giao điểm giữa đồ thị hàm số y 3x4 và đường thẳng y x 3 là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:

Vậy đồ thị hàm số y 3x4 và đường thẳng y x 3 có 1 giao điểm chung

Câu 11 Tổng các nghiệm (nếu có) của phương trình: 2x 1 x bằng: 2

Lời giải Chọn C

+) Với điều kiện x 2 0 x ta có phương trình đã cho tương đương với phương 2