1 MỞ ĐẦU 1 1 Lí do chọn đề tài Trong công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện nền giáo dục nước nhà, đổi mới phương pháp dạy học là một trong những nhiệm vụ quan trọng hàng đầu Để có một bài giảng thu h[.]
Trang 11 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài
Trong công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện nền giáo dục nước nhà, đổi mới phương pháp dạy học là một trong những nhiệm vụ quan trọng hàng đầu
Để có một bài giảng thu hút được học trò, giúp học trò phát triển tư duy về môn toán và dẫn dắt học trò tới niềm say mê tìm tòi sáng tạo, tôi thường trăn trở với những khó khăn của học trò trong quá trình tiếp cận từng bài toán
Trong quá trình giảng dạy bộ môn Toán, bản thân tôi thấy việc ứng dụng định lí về dấu tam thức bậc hai để giải quyết nhiều bài toán vô cùng phong phú
và hấp dẫn Phạm vi ứng dụng rất rộng, từ các bài toán cơ bản ở lớp 10 đến các bài toán khó trong đề thi học sinh giỏi các cấp và đề thi THPTQG Thực trạng những năm gần đây bộ giáo dục và đào tạo có đưa vào đề minh họa và đề thi THPTQG một số bài toán ứng dụng định lí dấu tam thức bậc hai rất khó, nhằm
phân loại học sinh Chính vì thế bản thân tôi chọn đề tài “Hệ thống hóa lý thuyết và bài tập phần Ứng dụng định lí về dấu tam thức bậc hai giúp học sinh lớp 12 trường THPT Nông Cống 1 ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc gia”
nhằm cung cấp cho học sinh một chuỗi các kiến thức từ dễ đến khó để các em dễ tiếp thu, tìm tòi, và có động lực nghiên cứu toán học Nội dung đề tài rất bổ ích thiết thực, giúp các em học tốt, thi tốt
Tôi hy vọng đề tài “Hệ thống hóa lý thuyết và bài tập phần Ứng dụng định
lí về dấu tam thức bậc hai giúp học sinh lớp 12 trường THPT Nông Cống 1
ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc gia” cũng là nguồn tài liệu hỗ trợ cho giáo viên
dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi THPTQG
1.2 Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là xây dựng một hệ thống lý thuyết và bài tập về ứng dụng định lí về dấu tam thức bậc hai nhằm định hướng hình thành và phát triển cho học sinh những năng lực, kỹ năng sau đây:
- Năng lực tư duy, năng lực tính toán
- Kỹ năng vận dụng các kiến thức về tam thức bậc hai lớp 10 vào các bài toán hàm
số lớp 12
- Năng lực sử dụng các công cụ, phương tiện hỗ trợ tính toán mà cụ thể ở đây là năng lực sử dụng các loại máy tính cầm tay
- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học
1.3 Đối tượng nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu của đề tài là hệ thống các bài tập ứng dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai từ các bài toán cơ bản ở lớp 10 đến các bài toán khó
Trang 2trong đề thi học sinh giỏi các cấp và đề thi THPTQG được thiết kế theo định hướng phát triển các năng lực Toán học của học sinh, qua đó khẳng định sự cần thiết phải xây dựng hệ thống bài tập này trong chương trình giảng dạy
1.4 Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm:
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo sát thực
tế dạy học toán nói chung và dạy học ở trường THPT Nông Cống 1 để từ đó thấy được tầm quan trọng của việc xây dựng hệ thống bài tập ứng dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai trong việc nâng cao chất lượng dạy học
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Trên cơ sở tài liệu phân phối chương trình môn học, chuẩn kiến thức - kỹ năng, sách giáo khoa Đại số 10 – Cơ bản và tài liệu về Dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh để xây dựng hệ thống bài tập theo mục đích đã đặt ra
2
Trang 32 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm Định lí về dấu tam thức bậc hai
Ta có trái dấu với a
và cùng dấu với a
Hệ quả
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến nghiệm
- Học sinh lớp 10 chỉ áp dụng được định lí về dấu tam thức bậc hai để giải bất phương trình bậc hai Các em rất ngại tiếp xúc với các bài toán liên quan đến bất phương trình có chứa tham số, các bài toán chứng minh bất đẳng thức nhiều ẩn, hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa nhiều ẩn
- Học sinh lớp 12 thường quên định lí dấu tam thức bậc hai và không phân loại được các dạng toán này nên thường không giải quyết được vấn đề
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1 Bài toán định tham số để bất phương trình bậc hai (ẩn x) thỏa với
mọi (bài toán cơ bản ở lớp 10)
2.3.1.1 Phương pháp giải.
Áp dụng hệ quả định lí dấu tam thức bậc hai
2.3.1.2 Giải pháp và cách thực hiện
Trang 4+ Khi dạy định lí về dấu tam thức bậc hai, giáo viên phải chứng minh kĩ định lí này
để học sinh nắm được bản chất của nó
+ Học sinh phải hiểu và thuộc hệ quả trên trước khi giải dạng toán này
+ Giáo viên nhấn mạnh cho học sinh điều kiện trong hệ quả
2.3.1.3 Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1 Tìm các giá trị của để biểu thức
Giải
Ví dụ 2 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để bất phương trình
vô nghiệm
Giải
vô nghiệm
Giải
(Nhận xét: Học sinh thường không xét trường hợp , nên giáo viên cần nhắc lại hệ quả trên chỉ áp dụng cho tam thức bậc hai )
vô nghiệm
Vậy không thỏa yêu cầu bài toán
Trang 5Ví d ụ
4 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
có tập xác định là ?
Giải
để hàm số
có tập xác định là với mọi
Vậy có giá trị nguyên của thỏa yêu cầu bài toán
Ví dụ 5 Với giá trị nào của tham số thì bất phương trình
(1) thỏa
Giải
(1)
(2) (1) thỏa khi và chỉ khi cả hai bất phương trình trong hệ (2) đồng thời thỏa
(học sinh thường nhầm lẫn giữa phép giao và phép hợp)
2.3.2 Bài toán chứng minh bất đẳng thức 2.3.2.1 Phương pháp giải.
Đưa bất đẳng thức về một trong các dạng
5
UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com
Trang 6, , hoặc
Áp dụng hệ quả định lí dấu tam thức bậc hai
2.3.2.2 Giải pháp thực hiện: Dạng toán này ta chỉ chọn một ẩn, các ẩn khác
xem như tham số, học sinh thường ngại tư duy vào dạng toán này nên giáo viên cần dẫn dắt học sinh đi từ ví dụ dễ hiểu trước
2.3.2.3 Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1 Chứng minh rằng với mọi số thực
Giải:
(Ta có thể xem là ẩn, là tham số)
Do đó với mọi
mọi số thực .
Giải
tam thức bậc hai ẩn có hệ số và
Cộng vế với vế lại suy ra
Trang 7Ví dụ 3 Cho thỏa mãn:
Giải
Không mất tính tổng quát ta giả sử z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z
Từ giả thiết
Nên
có hệ số (do ) và có biệt thức :
đpcm
Ví dụ 4 Cho các số thực dương x,y,z Chứng minh rằng:
Giải
Trong ba số x,y,z luôn tồn tại hai số cùng không nhỏ hơn 1 hoặc cùng không lớn hơn 1 Ta giả sử hai số đó là x và y Khi đó ta có:
Nên ta chứng minh:
Tam thức có và
là tam thức bậc hai ẩn x, có và
(đpcm) Đẳng thức xảy ra
2.3.3 Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức.
2.3.3.1 Phương pháp
Áp dụng hệ quả định lí dấu tam thức bậc hai
2.3.3.2 Giải pháp thực hiện
Trang 8Giáo viên nhắc lại bất đẳng thức cô si, phương pháp miền giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất.
2.3.3.3 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1 Xét tất cả các tam thức bậc hai:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Giải
Do
Ta có
Dấu bằng xảy ra
Ví dụ 2 Cho là các số thực thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất của biểu thức
Giải
Ta có:
Thay vào biểu thức phía trên ta được:
Trang 9Ta cần tìm P để phương trình trên tồn tại a Tức là ta phải có:
Tìm giá trị lớn nhất
Giải
Từ điều kiện ta có
Do đó
Dễ thấy Ta có
Do đó
Phương trình có nghiệm ẩn z khi và chỉ khi
Ta có khi
Giải
Để ý rằng, với giả thiết thì
Khai triển và rút gọn, ta thu được:
Trang 10Tương đương với Coi đây là tam thức bậc hai ẩn x, do điều kiện tồn tại của x nên suy ra (*) phải có nghiệm, tức
Vậy
2.3.4 Bài toán điều kiện để hàm số bậc ba đơn điệu.
2.3.4.1 Phương pháp giải
Áp dụng hệ quả định lí dấu tam thức bậc hai
2.3.4.2 Giải pháp thực hiện
-Học sinh 12 thường quên hệ quả trên nên giáo viên cần nhắc lại hệ quả
-Học sinh thường mắc sai lầm ở chỗ không để dấu “=” trong bất phương trình hoặc , do đó giáo viên cần nhắc lại định lí mở rộng trong bài “Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số”
2.3.4.3 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1 Tìm để hàm số đồng biến trên tập xác định
Giải
Tập xác định Tính đạo hàm
Giải
Suy ra loại
Trang 11Ycbt
Vậy tập hợp các giá trị thỏa ycbt là
2.3.5 Bài toán định tham số để bất phương trình bậc lớn hơn hai (ẩn x)
thỏa với mọi x thuộc R
2.3.5.1 Phương pháp giải
Áp dụng hệ quả định lí dấu tam thức bậc hai
2.3.5.2 Giải pháp thực hiện
Giáo viên nhắc lại cách xét dấu của biểu thức có nghiệm kép, nghiệm bội
lẻ, nghiệm bội chẵn
2.3.5.3 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1 (Câu 49- Đề minh họa THPTQG năm 2019)
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình
nghiệm đúng với mọi x ∈ R
Tính tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S
Nhận xét : Đây là bài toán phân loại học sinh ( đểm 9, 10) Trong đề minh họa
THPTQG Khi giải dạng bài toán này ta cần chú ý đến nghiệm kép của phương trình.
Giải
Trang 12Nếu không phải là nghiệm của g( x đó điều kiện cần để f ( x ) ≥ 0 , ∀ x ∈ R là x=1
-Với thì mãn
)thì f ( x) sẽ đổi dấu khi x đi qua 1 Do phải là
nghiệm của
,
thỏa mãn
Vậy tổng các phần tử của S bằng
Ví dụ 2 Tìm để bất phương trình
nghiệm đúng với mọi
Giải
Đặt
Ta có
Giả sử không phải là nghiệm của phương trình
thì hàm số
sẽ đổi dấu khi qua điểm , nghĩa
Do đó , để yêu cầu bài toán được thỏa mãn thì một điều kiện cần là
phải có nghiệm , suy ra
Trang 13Điều kiện đủ:
(loại)
Ví dụ 3 Có bao nhiêu cặp số thực để bất phương trình
nghiệm đúng với mọi .
Giải
Đặt Giả sử không phải là nghiệm của phương trình
thì hàm số
có nghiệm đúng với mọi
Do đó, để yêu cầu bài toán được thỏa mãn thì một điều kiện cần là
có nghiệm suy ra (1)
Từ (1) và (2) ta có hệ Điều kiện đủ:
Vậy không tồn tại cặp số thực nào thỏa mãn yêu cầu bài toán
Trang 14Ví dụ 4 Tìm tất cả các giá trị của tham số để bất phương trình
nghiệm đúng với mọi
Giải
Đặt điều kiện
nghiệm đúng với mọi tương đương với phương trình
nghiệm đúng với mọi Đặt
Ta có
Giả sử không phải là nghiệm của phương trình
nghiệm đúng với mọi
Do đó, yêu cầu bài toán được thỏa mãn thì một điều kiện cần là
có nghiệm , suy ra Điều kiện đủ
Với Vậy
2.3.6 Bài tập luyện tập
Trang 15Bài 1.Tìm m để vô nghiệm
Bài 3 Cho là độ dài ba cạnh của một tam giác và thỏa mãn:
Bài 4 Tìm tất cả các giá trị của y sao cho BĐT sau đúng với
Bài 5 Cho a và b là các số thực thỏa mãn Chứng minh rằng
Bài 6 Cho các số thực thỏa mãn bất phương trình
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 7 Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực để hàm số
đồng biến trên khoảng
Bài 8 Cho hàm số Tìm tất cả giá trị của để hàm số nghịch biến trên
Bài 9 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số
đồng biến trên
Bài 10 Trong số các cặp số thực để bất phương trình
nghiệm đúng với mọi Tìm giá trị nhỏ nhất của tích ./
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Đề tài được tác giả thực nghiệm sư phạm trong luyện thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi Kết quả cho thấy:
- Học sinh nhớ lâu và hiểu sâu sắc hơn về bản chất của định lí về dấu tam thức bậc hai và các ứng dụng của nó
- Học sinh hứng thú trong việc học toán và có động lực nghiên cứu toán sâu
hơn
Trang 16- Học sinh dễ dàng tiếp cận lớp các bài toán bất phương trình chứa tham số, tự tin giải
các dạng toán này nhanh, gọn
Để kiểm nghiệm hiệu quả của đề tài nghiên cứu tôi tiến hành giảng dạy theo nội dung của đề tài ở lớp 12B9 (lớp thực nghiệm) và giảng dạy theo giáo án thông thường tại lớp 12B7 (lớp đối chứng) - trường THPT Nông Cống 1 tỉ lệ học sinh tương đối đồng đều về cả số lượng và chất lượng
Kết quả thực nghiệm thông qua các câu hỏi liên quan đến định lí về dấu của tam thức bậc hai Kết quả thu được về số lượng học sinh có đáp án đúng đối với các bài toán liên quan đến định lí về dấu của tam thức bậc hai trong các kỳ thi KSCL do trường, Sở tổ chức như bảng sau:
số
8
Đồng thời nội dung sáng kiến này được các đồng nghiệp trong tổ đánh giá cao về chất lượng chuyên môn và được chọn là tài liệu cho chuyên đề tổng hợp trong ôn học sinh giỏi và luyện thi tốt nghiệp THPT Quốc gia
Trang 17UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com
Trang 183 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận
Đề tài “Hệ thống hóa lý thuyết và bài tập phần Ứng dụng định lí về dấu
tam thức bậc hai giúp học sinh lớp 12 trường THPT Nông Cống 1 ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc gia” gồm các bài toán được sắp xếp từ dễ đến khó, nhưng
mở rộng nhiều, đòi hỏi người học chịu khó tư duy Bản thân tác giả mong muốn
hỗ trợ thêm một số dạng toán cho học sinh hiểu bản chất định lí về dấu tam thức bậc hai, khắc sâu và phát triển nó Thông qua mỗi dạng toán cụ thể các em tự rút
ra phương pháp giải toán cho mình, rèn cho các em thói quen suy nghĩ, sáng tạo, tính cẩn thận, tỉ mĩ, bao quát và đúc kết vấn đề để có kiến thức vững vàng khi bước vào kì thi THPTQG, thi chọn học sinh giỏi và học Đại học sau này
Thông qua sáng kiến kinh nghiệm này tôi mong muốn được đóng góp một phần công sức nhỏ bé của mình trong việc hướng dẫn học sinh ứng dụng và khai thác tốt các bài toán liên quan đến định lí về dấu của tam thức bậc hai Đồng thời hình thành khả năng tư duy, sáng tạo, kỹ năng giải nhanh toán trắc nghiệm,
từ đó tạo hứng thú cho các em khi học toán Tuy nhiên do kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, trình độ bản thân còn hạn chế nên tôi rất mong được sự đóng góp bổ sung của Hội đồng khoa học các cấp và của các bạn đồng nghiệp
3.2 Kiến nghị
- Đối với nhà trường : Cần đầu tư nhiều hơn nữa các trang thiết bị dạy học ; Tích cự tổ
chức các buổi thảo luận, hội thảo chuyên môn
- Đối với Sở giáo dục : Chúng tôi mong muốn được tham dự nhiều hơn nữa các buổi tập
huấn chuyên môn, các buổi hội thảo khoa học để được trao đổi kinh nghiệm; Ngoài ra các sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng đề nghị Sở phổ biến rộng rãi về các trường để chúng tôi áp dụng trong quá trình dạy học
Trang 19XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 12 tháng 5 năm 2021
mình, không sao chép nội dung của người khác
Văn Thị Vân Anh
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Sách giáo khoa và bài tập Đại số 10 cơ bản và nâng cao -Nhà xuất bản Giáo dục Việt
Nam
[2] Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ - Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam
[3] Các đề minh họa và đề thi THPTQG từ 2016-2017 đến nay
[4] Các đề thi học sinh giỏi, đề thi thử THPTQG của các trường các tỉnh, thành phố
18