Mô hình tăng trưởng cổ điển Domar cho phép xác định luồng đầu tư đảm bảo cho nền kinh tế luôn luôn ở trạng thái cân bằng.
Mô hình này đƣợc xây dựng với các giả thiết sau đây:
1. Các yếu tố sản xuất đƣợc sử dụng theo một tỷ lệ cố định, do đó sản lƣợng tiềm năng Q (hàm sản xuất) đƣợc xét nhƣ là hàm số của quỹ vốn, hay quỹ tƣ bản K.
2. Tỷ lệ giữa sản lƣợng tiềm năng và quỹ vốn là không đổi, tức là:
QK ( const 0)
3. Xu hướng tiết kiệm cận biên s không đổi và đầu tư bằng tiết kiệm, tức là:
I = sY, trong đó I là luồng đầu tƣ, Y là thu nhập.
(Với giả thiết cân bằng thì Y đồng thời là tổng cầu).
4. Nền kinh tế luôn luôn ở trạng thái sử dụng hết khả năng sản xuất, tức là Y = Q.
Ta xét diễn biến của tất cả các biến nêu trên theo thời gian t (xem nhƣ là các hàm sốcủa t).
Với K(t) là lƣợng quỹ vốn tại thời điểm t thì lƣợng đầu tƣ I(t) tại thời điểm t biểu thị tốc độ gia tăng quỹ vốn, tức là:
I (t) dK,
dt Theo giả thiết thứ hai ta có:
dQ dK
dt dt I (1)
Từ giả thiết thứ ba suy ra
dI dY dY 1 dI
s hay
dt dt dt s dt (2)
Từ giả thiết thứ tƣ suy ra
dY dQ
dt dt (3)
Kết hợp các hệ thức (1), (2), (3) ta đƣợc:
1 dI I
s dt (*)
Phương trình (*) là một phương trình phân ly biến số. Giải phương trình này ta tìm được:
I = A
Với t = 0 ta có: I (0) = A.
Vậy: I = I(0) 4.2. Mô hình tăng trưởng Solow
Trong mô hình Domar, sản lƣợng tiềm năng đƣợc xét nhƣ là hàm số của quỹ vốn:
Q = K.
Sự vắng mặt của biến số lao động hàm ý rằng lao động L đƣợc kết hợp với quỹ vốn K theo một tỷ lệ cố định.
Khác với Domar, Solow đã tìm cách phân tích tăng trưởng trong điều kiện vốn và lao động kết hợp với nhau theo một tỷ lệ thay đổi, tức là hàm sản xuất được xét dưới dạng:
Q = f(L, K) (L, K > 0) Các biến số Q, K, L được sử dụng dưới góc độ kinh tế vĩ mô.
Mô hình tăng trưởng Solow được xây dựng với các giả thiết sau:
1. Hàm sản xuất biểu thị hiệu quả không đổi theo quymô (Khi L và K cùng tăng lên t lần, thì Q cũng tăng lên t lần hay f(tL,tK) = tQ).
Khi đó:
1 1 K
Q f (L, K) f (1, ) (k)
L L L hay Q = L. (k)
trong đó k = K
L là tỷ số vốn - lao động.
2. Ở mọi thời điểm một tỷ phần cố định của sản lƣợng Q đƣợc dành cho đầu tƣ
dK I (t) s.Q(t) (0 s 1)
dt
3. Lực lƣợng lao động tăng theo quy luật hàm số mũ:
dL L ( const 0)
dt
Trong mô hình Solow biến số k=K
L biểu thị hàm lƣợng vốn tính cho một đơn vị lao động.
Mô hình cho phép phân tích động thái của k theo thời gian tđể đảm bảo cho nền kinh tế luôn luôn phát huy hết khả năng công nghệ.
Từ đồng nhất thức:
K = kL Ta có:
dK dk dL
L. k.
dt dt dt (4)
Các giả thiết 1 và 2 cho biết
dK s.Q s.L. (k)
dt
Cùng với giả thiết 3, phương trình (4) có dạng:
sL (k) Ldk k. .L
dt
Từ đây ta có phương trình để xác định hàm số k = k(t):
dk s. (k) .k
dt (5)
Chú ý rằng Q
(k) L
là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của sản lƣợng bình quân của lao động và tỷ số vốn - lao động k.
Trường hợp hàm sản xuất có dạng Cobb - Douglas Q K L 1 (0 1), ta có:
Q K
(k) k
L L
Phương trình (5) trở thành:
dk sk k
dt
dk dt k sk
Phương trình này là phương trình Bernoulli. Theo phương pháp giải phương trình Bernoulli, ta tìm đƣợc:
1 1 (1 ) t
0
s s
kke , với k0 = k(0) Do 0 và 1-> 0 nên e (1 ) t 0.
Vậy
1
1 s s 1
k hay k khi t
Giá trị
1
s 1
k
đƣợc gọi là giá trị cân bằng, hay giá trị trạng thái ổn định của tỷ số vốn - lao động..
Câu hỏi và Hướng dẫn ôn tập Chương 4
1) Nêu định nghĩa về: Phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng, cấp của một phương trình vi phân.
2) Định nghĩa nghiệm (tích phân) tổng quát, nghiệm (tích phân) riêng của một phương trình vi phân.
3) Nêu các dạng của phương trình phân ly biến số và cách giải.
4) Nêu cách giải một số phương trình đưa về dạng phân ly biến số.
5) Nêu dạng và cách giải phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) 6) Nêu dạng và cách giải phương trình Bernoulli.
7) Phân tích các giả thiết của mô hình tăng trưởng Domar.
8) Cách giải mô hình Domar để xác định đƣợc luồng đầu tƣ I(t) bảo đảm cho nền kinh tế luôn luôn ở trạng thái cân bằng.
9) Phân tích các giả thiết của mô hình tăng trưởng Solow.
10) Phân tích hàm được lựa chọn trong mô hình Solow k = k(t), để từ đó thiết lập phương trình vi phân với hàm phải tìm k = k(t)
11) Cách giải mô hình Solow trong trường hợp hàm sản xuất có dạng Cobb-Douglas.
Phân tích ý nghĩa của nghiệm tổng quát tìm đƣợc.
BÀI TẬP CHƯƠNG 4
Bài 1
Giải phương trình biến số phân ly sau:
a) xydx + (x+1)dy = 0 b) y’ = ex+y
c) y
+ x =1 Bài 2
Giải phương trình tuyến tính sau:
a) y’ – 2y = 2x4 b) x2y’ + xy +1 =0 c) y’ = 2x(x2 + y) Bài 3
Giải phương trình Bernoulli sau:
a)
b) (2xy2-y)dx + xdy = 0 Bài 4
Độ co dãn của cầu đối với giá phải mang dấu gì? Giải thích tại sao Bài 5
Cho hàm cầu Qd = Q(p). Biết độ co dãn , lập phương trình vi phân tìm hàm cầu trong trường hợp = Từ đó viết biểu thức tích phân tổng quát.
Bài 6
Cho biết độ co dãn của cầu đối với giá là = - và Q(2) = 4. Tìm hàm cầu.